1、人教版八年级数学上册期末专题复习：几何压轴题强化训练试题人教版八年级数学上册期末专题复习：几何压轴题强化训练试题 1、如图，ABAC，BAC 的平分线与 BC 边的中垂线 GD 相交于点 D，过点 D 作 DEAB 于点 E，DFAC 于点 F，求证：BE=CF 2、如图，ABC 中，ACB=90，AC=BC，将ABC 绕点 C 逆时针旋转角 （090）得到 A1B1C1，连接 BB1设 CB1 交 AB 于 D，A1B1分别交 AB、AC 于 E、F （1）在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以说明（ABC 与 A1B1C1全等除外） ； （2）当BB1D 是等
2、腰三角形时，求 3、如图，在ABC 中，BAC=120，AD，BE 分别为ABC 的角平分线，连结 DE （1）求证：点 E 到 DA，DC 的距离相等； （2）求DEB 的度数 4、在ABC 中，ACB=90，AC=BC，直线，MN 经过点 C，且 ADMN 于点 D，BEMN 于点 E （ 1）当直线 MN 绕点 C 旋转到如图 1 的位置时，求证：DE=AD+BE； （2）当直线 MN 绕点 C 旋转到如图 2 的位置时， 求证：DE=ADBE； （3）当直线 MN 绕点 C 旋转到如图 3 的位置时，线段 DE、AD、BE 之间又有什么样的数量关 系？请你直接写出这个数量关系，不要证明
3、 5、概念学习：规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为 “等角三角形” 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分 割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角 形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线” 理解概念 （1）如图 1，在 RtABC 中，ACB90，CDAB，请写出图中两对“等角三角形”概念应用 （2）如图 2，在ABC 中，CD 为角平分线，A40，B60 求证：CD 为ABC 的等角分割线 （3）在ABC 中，A42，CD 是ABC
4、 的等角分割线，直接写出ACB 的度数 6、如图,ABC=BAD=90，点E，F分别是AC，BC的 中点。 (1)求证：EAF=EBF； (2)试判断直线EF与AB的位置关系，并说明理由。 7、【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图 1，ABC中，若AB=12，AC=8，求BC边上的中线AD的 取值范围。 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE=AD，连接BE.请根据小明的方法思 考： (1)由已知和作图能得到ADCEDB，依据是_. A. SSS B.SAS C.AAS D.HL (2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是_. 解后反思
5、：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和 所求证的结论集合到同一个三角形中 。 【初步运用】 如图 2，AD是ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.若EF=3，EC=2，求线段BF的长。 【灵活 运用】 如图 3,在ABC中,A=90，D为BC中点，DEDF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，试猜想 线段BE、CF、EF三者之间的等量关系，并证明你的结论。 8、在ABC 中，AB=AC，点 D 是直线 BC 上一点（不与 B、C 重合） ，以 AD 为一边在 AD 的右侧 作ADE，使 AD=AE，DAE=BAC，连接
6、CE （1）如图 1，当点 D 在 线段 BC 上，如果BAC=90，则BCE= （2）设BAC=，BCE= 如图 2，当点 D 在线段 BC 上移动，则 、之间有怎样的数量关系？请说明理由； 当点 D 在直线 BC 上移动，则 、之间有怎样的数量关系？请画出图形，并直接写出你的结论 图 1 图 2 9、如图，已知长方形 ABCD 中，AD6cm，AB4cm，点 E 为 AD 的中点若点 P 在线段 AB 上以 1cm/s 的速度由点 A 向点 B 运动，同时，点 Q 在线段 BC 上由点 B 向点 C 运动 (1)若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后，AEP 与BPQ
7、 是否全等，请说明理由，并 直接写出 此时线段 PE 和线段 PQ 的位置关系； (2)若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，运动时间为 t 秒，设PEQ 的面积为 Scm2，请用 t 的代数 式表示 S； (3)若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使AEP 与BPQ 全等？ 10、如图，正方形 ABCD 的对角线交于点 O，点 E、F 分别在 AB、BC 上（AEBE） ，且EOF=90，OE、DA 的延长线交于点 M，OF、AB 的延长线交于点 N，连接 MN （1）求证：OM=ON （2）若正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 OM
8、 的中点，求 MN 的长 11、如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，E 为 CD 的中点，连接 AE、BE，BEAE，延长 AE 交 BC 的延长线于点 F求证： （1）FC=AD； （2）AB=BC+AD 12、如图，ABC 中，AB=AC，BAC=90，点 D 是直线 AB 上的一动点（不和 A、B 重合） ，BECD 于 E，交 直线 AC 于 F （1）点 D 在边 AB 上时，证明：AB=FA+BD； （2）点 D 在 AB 的延长线或反向延长线上时， （1）中的结论是否成立？ 若不成立，请画出图形并直接写出 正确结论 13、在ABC 中，CB，AE 平分BAC，F 为射线 AE
9、 上一点（不与点 E 重合） ，且 FDBC 于 D； （1）如果点 F 与点 A 重合，且C=50，B=30，如图 1，求EFD 的度数； （2）如果点 F 在线段 AE 上（不与点 A 重合） ，如图 2，问EFD 与CB 有怎样的数 量关系？并说 明理由 （3）如果点 F 在ABC 外部，如图 3，此时EFD 与CB 的数量关系是否会发生变化？请说明理 由 14、如图,在ABC 中,AB=AC,BAC=90,点 P 是 BC 上的一动点,AP=AQ,PAQ=90,连接 CQ. (1)求证:CQBC. (2)ACQ 能否是直角三角形?若能,请直接写出此时点 P 的位置;若不能,请说明理由.
10、 (3)当点 P 在 BC 上什么位置时,ACQ 是等腰三角形?请说明理由. 15、如图，ABC 的边 BC 在直线 l 上，ACBC ，且 ACBC，EFP 的边 FP 也在直线 l 上，边 EF 与 边 AC 重合，且 EFFP. (1)在图中，请你通过观察、测量、猜想，写出 AB 与 AP 所满足的数量关系和位置关系； (2)将EFP 沿直线 l 向左平移到图的位置时，EP 交 AC 于点 Q，连接 AP，BQ，猜想并写出 BQ 与 AP 所满足的数量关系和位置关 系，请证明你的猜想； (3)将EFP 沿直线 l 向左平移到图 的位置时，EP 的延长线交 AC 的延长线于点 Q，连接 A
11、P，BQ， 你认为(2)中所猜想的 BQ 与 AP 的数量关系与位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理 由 参考答案参考答案 1、如图，ABAC，BAC 的平分线与 BC 边的中垂线 GD 相交于点 D，过点 D 作 DEAB 于点 E，DFAC 于点 F，求证：BE=CF 【解答】证明：连结 BD，CD AD 平分BAC，DEAB，DFAC， AED=BED=AFD=90，DE=DF DG 垂直平分 BC， DB=DC 在 RtDEB 和 RtDFC 中， ， RtDEBRtDFC（HL） ， BE=CF； 2、如图，ABC 中，ACB=90，AC=BC，将ABC 绕点 C
12、逆时针旋转角 （090）得到 A1B1C1，连接 BB1设 CB1 交 AB 于 D，A1B1分别交 AB、AC 于 E、F （1）在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以说明（ABC 与 A1B1C1全等除外） ； （2）当BB1D 是等腰三角形时，求 解： （1）全等的三角形有：CBDCA1F 或AEFB1ED 或ACDB1CF； 证明：ACB1+A1CF=ACB1+BCD=90 A1CF=BCD A1C=BC A1=CBD=45 CBDCA1F； CF=CD， CA=CB1， AF=B1D， A=EB1D，AEF=B1ED， AEFB1ED， AC=B1C，A
13、CD=B1CF，A=CB1F， ACDB1CF （2）在CBB1中 CB=CB1 CBB1=CB1B=（180） 又ABC 是等腰直角三角形 ABC=45 若 B1B=B1D，则B1DB=B1BD B1DB=45+ B1BD=CBB145=（180）45=45， 45+=45， =0（舍去） ； BB1C=B1BCB1BD，BDB1D，即 BDB1D； 若 BB1=BD，则BDB1=BB1D，即 45+=（180） ，=30 由可知，当BB1D 为等腰三角形时，=30； 3、如图，在ABC 中，BAC=120，AD，BE 分别为ABC 的角平分线，连结 DE （1）求证：点 E 到 DA，DC
14、 的距离相等； （2）求DEB 的度数 【解答】 （1）证明： 过 E 作 EHAB 于 H，EFBC 于 F，EGAD 于 G， AD 平分BAC，BAC=120， BAD=CAD=60， CAH=180120=60， AE 平分HAD， EH=EG， BE 平分ABC，EHAB，EFBC， EH=EF， EF=EG， 点 E 到 DA、DC 的距离相等； （2）解：由（1）知：DE 平分ADC， EDC=DEB+DBE， =DEB+ABC， DEB=（CDAABC）=BAD=30 4、在ABC 中，ACB=90，AC=BC，直线，MN 经过点 C，且 ADMN 于点 D，BEMN 于点 E
15、 （1）当直线 MN 绕点 C 旋转到如图 1 的位置时，求证：DE=AD+BE； （2）当直线 MN 绕点 C 旋转到如图 2 的位置时，求证：DE=ADBE； （3）当直线 MN 绕点 C 旋转到如图 3 的位置时，线段 DE、AD、BE 之间又有什么样的数量关 系？请你直接写出这个数量关系，不要证明 【解答】 （1）证明：ADMN，BEMN， ADC=CEB=90， DAC+ACD=90， ACB=90， BCE+ACD=90， DAC=BCE， 在ADC 和CEB， ， ADCCEB（AAS） ， CD=BE，AD=CE， DE=CE+CD=AD+BE； （2）证明：与（1）一样可证明
16、ADCCEB， CD=BE，AD=CE， DE=CECD=ADBE； （3）解：DE=BEAD 5、概念学习：规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为 “等角三角形” 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分 割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角 形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线” 理解概念 （1）如图 1，在 RtABC 中，ACB90，CDAB，请写出图中两对“等角三角形”概念应用 （2）如图 2，在ABC 中，CD 为角平分线，
17、A40，B60 求证：CD 为ABC 的等角分割线 （3）在ABC 中，A42，CD 是ABC 的等角分割线，直接写出ACB 的度数 【解答】解：（1）ABC 与ACD，ABC 与BCD，ACD 与BCD 是“等角三角形”； （2）在ABC 中，A40，B60 ACB180AB80 CD 为角平分线， ACDDCBACB40， ACDA，DCBA， CDDA， 在DBC 中，DCB40，B60， BDC180DCBB80， BDCACB， CDDA，BDCACB，DCBA， BB， CD 为ABC 的等角分割线； （3）当ACD 是等腰三角形，DADC 时，ACDA42， ACBBDC42+4
18、284， 当ACD 是等腰三角形，DAAC 时，ACDADC69， BCDA42， ACB69+42111， 当BCD 是等腰三角形，DCBD 时，ACDBCDB46， ACB92， 当BCD 是等腰三角形，DBBC 时，BDCBCD， 设BDCBCDx， 则B1802x， 则ACDB1802x， 由题意得，1802x+42x， 解得，x74， ACD1802x32， ACB106， ACB 的度数为 111或 84或 106或 92 6、如图,ABC=BAD=90，点E，F分别是AC，BC的中点。 (1)求证：EAF=EBF； (2)试判断直线EF与AB的位置关系，并说明理由。 (1)证明：
19、如图，取AB的中点M，连接EM、FM； 点E，F分别是AC，BC的中点， EMBC,FMAD； ABC=BAD=90， EMAB，FMAB， EM、FM重合，即 E. F. M三点共线； EMAB，且平分AB， EA=EB，FA=FB， EAB=EBA，FAB=FBA， EAF=EBF. (2)证明：E、F. M三点共线，且FMAB， EFAB. 7、【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图 1，ABC中，若AB=12，AC=8，求BC边上的中线AD的 取值范围。 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE=AD，连接BE.请根据小明的方法思 考： (
20、1)由已知和作图能得到ADCEDB，依据是_. A. SSS B.SAS C.AAS D.HL (2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是_. 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和 所求证的结论集合到同一个三角形中。 【初步运用】 如图 2，AD是ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.若EF=3，EC=2，求线段BF的长。 【灵活运用】 如图 3,在ABC中,A=90，D为BC中点，DEDF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，试猜想 线段BE、CF、EF三者之间的等量关系，并证明你的结论。 解：(1)
21、在ADC和EDB中, ADCEDB(SAS)， 故选：B； (2)ABBEAEAB+BE， 2AD10， 故答案为：2AD10； 【初步运用】延长AD到M，使AD=DM，连接BM， AE=EF.EF=3， AC=5， AD是ABC中线， CD=BD， 在ADC和MDB中, BM=AC，CAD=M， AE=EF， CAD=AFE， AFE=BFD， BFD=CAD=M， BF=BM=AC， 即BF=5； 【灵活运用】线段BE、CF、EF之间的等量关系为： 证明：如图 3，延长ED到点G，使DG=ED，连结GF，GC， EDDF， EF=GF， D是BC的中点， BD=CD， 在BDE和CDG中，
22、 DBEDCG(SAS)， BE=CG， A=90， B+ACB=90 ， DBEDCG，EF=GF， BE=CG，B=GCD， GCD+ACB=90 ,即GCF=90， 8、在ABC 中，AB=AC，点 D 是直线 BC 上一点（不与 B、C 重合） ，以 AD 为一边在 AD 的右侧 作ADE，使 AD=AE，DAE=BAC，连接 CE （1）如图 1，当点 D 在线段 BC 上，如果BAC=90，则BCE= （2）设BAC=，BCE= 如图 2，当点 D 在线段 BC 上移动，则 、之间有怎样的数量关系？请说明理由； 当点 D 在直线 BC 上移动，则 、之间有怎样的数量关系？请画出图形
23、，并直接写出你的结论 图 1 图 2 解答： （1）90 （2）+=180， 理由： BAC=DAE， BACDAC=DAEDAC 即BAD=CAE 在ABD 与ACE 中，AB=AC.BAD=CAE,AD=AE ABDACE（SAS）B=ACE B+ACB=ACE+ACB B+ACB=， +B+ACB=180， +=180； 当点 D 在射线 BC 上时，+ =180，当点 D 在射线 BC 的反向延长线上时，= 9、如图，已知长方形 ABCD 中，AD6cm，AB4cm，点 E 为 AD 的中点若点 P 在线段 AB 上以 1cm/s 的速度由点 A 向点 B 运动，同时，点 Q 在线段
24、BC 上由点 B 向点 C 运动 (1)若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1秒后，AEP 与BPQ 是否全等，请说明理由，并 直接写出 此时线段 PE 和线段 PQ 的位置关系； (2)若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，运动时间为 t 秒，设PEQ 的面积为 Scm2，请用 t 的代数 式表示 S； (3)若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使AEP 与BPQ 全等？ 解：（1）全等。理由：当 t=1 时，AP=1，BQ=1，AP=BQ E 是 AD 的中点，AE= PB=AB=AP=41=3，AE=PB 在 RtEA
25、P 和 RtPBQ 中， EAPRtPBQ（SAS） 此时PQPE . （2）如图 1 所示连接 QE 图 1 当 t4 时，AP=BQ=t， S梯形AEQB=2t+6 =，=2t S=2t+6（） 整理得：S=， 如图 2 所示： 当 4t6 时，点 P 与点 B 重合， S=2t S 与 t 的函数关系式为 S=； （3）如图 3 所示： AEPBQP，PABQ， AP=PB=2，AE=BQ=3 t=AP= 点 Q 运动的速度为=32=1.5cm/秒时，AEPBQP； 10、如图，正方形 ABCD 的对角线交于点 O，点 E、F 分别在 AB、BC 上（AEBE） ，且EOF=90，OE、
26、DA 的延长线交于点 M，OF、AB 的延长线交于点 N，连接 MN （1）求证：OM=ON （2）若正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 OM 的中点，求 MN 的长 解： （1）四边形 ABCD 是正方形， OA=OB，DAO=45，OBA=45， OAM=OBN=135， EOF=90，AOB=90， AOM=BON， OAMOBN（ASA） ， OM=ON； （2）如图，过点 O 作 OHAD 于点 H， 正方形的边长为 4， OH=HA=2， E 为 OM 的中点， HM=4， 则 OM=2， MN=OM=2 11、如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，E 为 CD 的中点，连接
27、 AE、BE，BEAE，延长 AE 交 BC 的延长线于点 F求证： （1）FC=AD； （2）AB=BC+AD 【解答】证明： （1）ADBC（已知） ， ADC=ECF（两直线平行，内错角相等） ， E 是 CD 的中点（已知） ， DE=EC（中点的定义） 在ADE 与FCE 中， ， ADEFCE（ASA） ， FC=AD（全等三角形的性质） （2）ADEFCE， AE=EF，AD=CF（全等三角形的对应边相等） ， BE 是线段 AF 的垂直平分线， AB=BF=BC+CF， AD=CF（已证） ， AB=BC+AD（等量代换） 12、如图，ABC 中，AB=AC，BAC=90，点
28、D 是直线 AB 上的一动点（不和 A、B 重合） ，BECD 于 E，交 直线 AC 于 F （1）点 D 在边 AB 上时，证明：AB=FA+BD； （2）点 D 在 AB 的延长线或反向延长线上时， （1）中的结论是否成立？ 若不成立，请画出图形并直接写出 正确结论 （1）证明：如图 1，BECD，即BEC=90，BAC =90， F+FBA=90，F+FCE=90 FBA=FCEFAB=180DAC=90， FAB=DAC AB=AC， FABDAC，FA=DAAB=AD+BD=FA+BD （2）如图 2，当 D 在 AB 延长线上时，AF=AB+BD，理由是： 同理得：FABDAC，
29、 AF=AD=AB+BD； 如图 3，当 D 在 AB 反向延长线上 时，BD=AB+AF，理由是：同理得：FABDAC， AF=AD， BD=AB+AD=AB+AF 13、在ABC 中，CB，AE 平分BAC，F 为射线 AE 上一点（不与点 E 重合） ，且 FDBC 于 D； （1）如果点 F 与点 A 重合，且C=50，B=30，如图 1，求EFD 的度数； （2）如果点 F 在线段 AE 上（不与点 A 重合） ，如图 2，问EFD 与CB 有怎样的数量关系？并说 明理由 （3）如果点 F 在ABC 外部，如图 3，此时EFD 与CB 的数量关系是否会发生变化？请说明理 由 【解答】
30、 （1）解：C=50，B=30， BAC=1805030=100 AE 平分BAC， CAE=50 在ACE 中AEC=80， 在 RtADE 中EFD=9080=10 （2）EFD= 2 1 （CB） 证明：AE 平分BAC， BAE= 2 180CB =90 2 1 （C+B） AEC 为ABE 的外角， AEC=B+90 2 1 （C+B）=90+ 2 1 （BC） FDBC， FDE=90 EFD=9090 2 1 （BC） EFD= 2 1 （CB） （3）EFD= 2 1 （CB） 如图， AE 平分BAC， BAE= 2 180CB DEF 为ABE 的外角， DEF=B+ 2
31、180CB =90+ 2 1 （BC） ， FDBC， FDE=90 EFD=9090 2 1 （BC） EFD= 2 1 （CB） 14、如图,在ABC 中,AB=AC,BAC=90,点 P 是 BC 上的一动点,AP=AQ,PAQ=90,连接 CQ. (1)求证:CQBC. (2)ACQ 能否是直角三角形?若能,请直接写出此时点 P 的位置;若不能,请说明理由. (3)当点 P 在 BC 上什么位置时,ACQ 是等腰三角形?请说明理由. 解:(1)BAP+CAP=BAC=90,CAQ+CAP=PAQ=90, BAP=CAQ, 在ABP 和ACQ 中, = , = , = , ABPACQ(
32、SAS), ACQ=B, AB=AC,BAC=90, B=ACB=45, BCQ=ACB+ACQ=45+45=90, CQBC. (2)当点 P 为 BC 的中点或与点 C 重合时,ACQ 是直角三角形. (3)当 BP=AB 时,ABP 是等腰三角形; 当 AB=AP 时,点 P 与点 C 重合; 当 AP=BP 时,点 P 为 BC 的中点. ABPACQ, 当点 P 为 BC 的中点或与点 C 重合或 BP=AB 时,ACQ 是等腰三角形. 15、如图，ABC 的边 BC 在直线 l 上，ACBC，且 ACBC，EFP 的边 FP 也在直线 l 上，边 EF 与边 AC 重合，且 EFF
33、P. (1)在图中，请你通过观察、测量、猜想，写出 AB 与 AP 所满足的数量关系和位置关系； (2)将EFP 沿直线 l 向左平移到图的位置时，EP 交 AC 于点 Q，连接 AP，BQ，猜想并写出 BQ 与 AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； (3)将EFP 沿直线 l 向左平移到图的位置时，EP 的延长线交 AC 的延长线于点 Q，连接 AP，BQ， 你认为(2)中所猜想的 BQ 与 AP 的数量关系与位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理 由 解：(1)ABAP，ABAP (2)BQAP，BQAP. 证明：由已知得 EFFP，EFFP，EPF45.ACBC， CQPCPQ45，CQCP，由 SAS 可证BCQACP， BQAP.如图，延长 BQ 交 AP 于点 M， BCQACP，12.在 RtBCQ 中，1390，又34， 241390，QMA90， BQAP (3)成立 证明：EPF45， CPQ45.又ACBC， CQPCPQ45， CQCP.由SAS 可证BCQACP， BQAP.延长 QB 交 AP 于点 N，则PBNCBQ.BCQACP， BQCAPC.在 RtBCQ 中，BQCCBQ90， APCPBN90，PNB90，BQAP
