1、2020-2021 学年上海市徐汇区位育初级中学九年级（上）期中数学试卷学年上海市徐汇区位育初级中学九年级（上）期中数学试卷 一一.单项选择题（本大题共单项选择题（本大题共 6 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 24 分）分） 1下列四条线段能成比例线段的是（ ） A1，1，2，3 B1，2，3，4 C，2，3 D2，3，4，5 2在 RtABC 中，C90，AB5，BC3，则 tanB 的值为（ ） A B C D 3如图，直线 OA 过点（2，1） ，直线 OA 与 x 轴的夹角为 ，则 tan 的值为（ ） A B C2 D 4如图，OABOCD，OA：OC3：2，OAB 与OCD
2、 的面积分别是 S1与 S2，周长分别是 C1与 C2，则下列说法正确的是（ ） A B C D 5如图，已知ACDB，若 AC6，AD4，BC10，则 CD 长为（ ） A B7 C8 D9 6如图，在ABC 中，BC120，高 AD60，正方形 EFGH 一边在 BC 上，点 E，F 分别在 AB，AC 上， AD 交 EF 于点 N，则 AN 的长为（ ） A15 B20 C25 D30 二二.填空题（本大题共填空题（本大题共 12 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 48 分）分） 7两个三角形的相似比是 2：3，那么它们面积的比是 8若 sincos60，则锐角 9在 RtABC
3、 中，C90，如果 tanA，那么 cosB 10化简：3（）2（） 11如图，在 RtABC 中，C90，BC2，且 tanA，则 AC 12如图，在等边ABC 中，AB12，P、Q 分别是边 BC、AC 上的点，且APQ60，PC8，则 QC 的长是 13 如图， 在ABC 中， AB6cm， AC8cm， D 是 AB 上一点且 AD2cm， 点 E 在边 AC 上， 当 AE cm 时，使得ADE 与ABC 相似 14如图所示，在四边形 ABCD 中，B90，AB2，CD8连接 AC，ACCD，若 sinACB， 则 AD 长度是 15 古希腊时期， 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度
4、与肚脐至足底的长度之比是（0.618， 称为黄金分割比例） ，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚 脐的长度之比也是若某人满足上述两个黄金分割比例，头顶至咽喉的长度为 27cm，则其身高大 约是 cm （结果保留整数） 16如图，ABP 的顶点都在边长为 1 的方格纸上，则 sinACB 的值为 17如图，ABC 三边的中点分别为 D，E，F连接 CD 交 AE 于点 G，交 EF 于点 H，则 DG：GH：CH 18如图，在边长为 10 的正方形 ABCD 中，内接有六个大小相同的正方形，点 P，Q，M，N 是落在大正 方形边上的小正方形的顶点，则每个小正方
5、形的面积为 三三.解答题（本大厦共解答题（本大厦共 7 题，满分题，满分 78 分）分） 19 （10 分）计算： （1）2sin30+3cos604tan45 （2）+tan260 20 （10 分）在 RtABC 中，C90，a6，b6解这个三角形 21 （10 分）如图，已知：ABC 中，点 D、E 分别在 AB、AC 上，AB9，AC6，AD2，AE3 （1）求的值； （2）设 ， ，求（用含 、 的式子表示） 22 （10 分）如图，建筑物 BC 上有一个旗杆 AB，小明和数学兴趣小组的同学计划用学过的知识测量该建 筑物的高度，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量方
6、法如下：在该建筑物底部 所在的平地上有一棵小树 ED，小明沿 CD 后退，发现地面上的点 F、树顶 E、旗杆顶端 A 恰好在一条直 线上，继续后退，发现地面上的点 G、树顶 E、建筑物顶端 B 恰好在一条直线上，已知旗杆 AB3 米， DE4 米，DF5 米，FG1.5 米，点 A、B、C 在一条直线上，点 C、D、F、G 在一条直线上，AC、 ED 均垂直于 CG，根据以上信息，请求出这座建筑物的高 BC 23 （12 分）如图，在等腰ABC 中，ABAC，BAC90，点 D 是 BC 上一点，作 AEAD 交 BC 延 长线于 E，CFBC 交 AE 于 F （1）求证：ABDACF； （
7、2）作 AG 平分DAE 交 BC 于 G，求证：AF2DGDC 24 （12 分）如图，已知 AMBN，AB90，AB4，点 D 是射线 AM 上的一个动点（点 D 与点 A 不重合） ，点 E 是线段 AB 上的一个动点（点 E 与点 A、B 不重合） ，连接 DE，过点 E 作 DE 的垂线，交 射线 BN 于点 C，连接 DC设 AEx，BCy （1）当 AD1 时，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出它的定义域； （2）在（1）的条件下，取线段 DC 的中点 F，连接 EF，若 EF2.5，求 AE 的长； （3）如果动点 D、E 在运动时，始终满足条件 AD+DEAB，那么请探究
8、：BCE 的周长是否随着动点 D、E 的运动而发生变化？请说明理由 25 （14 分）在平面直角坐标系 XOY 中，直线 l1过点 A（1，0）且与 y 轴平行，直线 l2过点 B（0，2）且 与 x 轴平行，直线 l1与直线 l2相交于点 P点 E 为直线 l2上一点，反比例函数（k0）的图象过点 E 与直线 l1相交于点 F （1）若点 E 与点 P 重合，求 k 的值； （2）连接 OE、OF、EF若 k2，且OEF 的面积为PEF 的面积的 2 倍，求 E 点的坐标； （3）是否存在点 E 及 y 轴上的点 M，使得以点 M、E、F 为顶点的三角形与PEF 全等？若存在，求 E 点坐标
9、；若不存在，请说明理由 2020-2021 学年上海市徐汇区位育初级中学九年级（上）期中数学试卷学年上海市徐汇区位育初级中学九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.单项选择题（本大题共单项选择题（本大题共 6 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 24 分）分） 1下列四条线段能成比例线段的是（ ） A1，1，2，3 B1，2，3，4 C，2，3 D2，3，4，5 【分析】 对于四条线段， 如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积， 则四条线段叫成比例线段 对 选项一一分析，排除错误答案即可 【解答】解：A、1312，故四条线段不能成比例线段，此选项不符合题
10、意； B、1423，故四条线段不能成比例线段，此选项不符合题意； C、32，故四条线段能成比例线段，此选项符合题意； D、2534，故四条线段不能成比例线段，此选项不符合题意 故选：C 2在 RtABC 中，C90，AB5，BC3，则 tanB 的值为（ ） A B C D 【分析】根据勾股定理求出 AC，根据正切的定义解答即可 【解答】解：在 RtABC 中，C90，AB5，BC3， AC4， tanB， 故选：C 3如图，直线 OA 过点（2，1） ，直线 OA 与 x 轴的夹角为 ，则 tan 的值为（ ） A B C2 D 【分析】过点 C（2，1） ，作 CDx 轴于 D，则 OD2
11、，CD1，由三角函数定义即可得出答案 【解答】解：过点 C（2，1）作 CDx 轴于 D，如图所示： 则 OD2，CD1， 在 RtOCD 中，tan 故选：B 4如图，OABOCD，OA：OC3：2，OAB 与OCD 的面积分别是 S1与 S2，周长分别是 C1与 C2，则下列说法正确的是（ ） A B C D 【分析】根据相似三角形的性质判断即可 【解答】解：OABOCD，OA：OC3：2， ，A 正确； ，B 错误； ，C 错误； OA：OC3：2，D 错误； 故选：A 5如图，已知ACDB，若 AC6，AD4，BC10，则 CD 长为（ ） A B7 C8 D9 【分析】由AA，ACD
12、B，即可判定ACDABC，然后由相似三角形的对应边成比例， 即可求得答案 【解答】解：AA，ACDB， ACDABC， ， AC6，AD4，BC10， ， CD 故选：A 6如图，在ABC 中，BC120，高 AD60，正方形 EFGH 一边在 BC 上，点 E，F 分别在 AB，AC 上， AD 交 EF 于点 N，则 AN 的长为（ ） A15 B20 C25 D30 【分析】设正方形 EFGH 的边长 EFEHx，易证四边形 EHDN 是矩形，则 DNx，根据正方形的性 质得出 EFBC，推出AEFABC，根据相似三角形的性质计算即可得解 【解答】解：设正方形 EFGH 的边长 EFEH
13、x， 四边 EFGH 是正方形， HEFEHG90，EFBC， AEFABC， AD 是ABC 的高， HDN90， 四边形 EHDN 是矩形， DNEHx， AEFABC， （相似三角形对应边上的高的比等于相似比） ， BC120，AD60， AN60 x， ， 解得：x40， AN60 x604020 故选：B 二二.填空题（本大题共填空题（本大题共 12 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 48 分）分） 7两个三角形的相似比是 2：3，那么它们面积的比是 4：9 【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可 【解答】解：两个三角形的相似比是 2：3， 它们面积的比是（）2
14、， 故答案为：4：9 8若 sincos60，则锐角 45 【分析】根据 30，45，60角的三角函数值解答即可 【解答】解：sincos60， 45 故答案为：45 9在 RtABC 中，C90，如果 tanA，那么 cosB 【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出A30，进而得出B 的度数，进而得出答案 【解答】解：tanA， A30， C90， B180309060， cosB 故答案为： 10化简：3（）2（） 【分析】平面向量的运算法则也符合实数的运算法则 【解答】解：3（）2（）3 +2 +2 （32） +（+2） 故答案是： 11如图，在 RtABC 中，C90，BC2，且 ta
15、nA，则 AC 6 【分析】根据正切的定义列式计算，得到答案 【解答】解：tanA， ，即， 解得，AC6， 故答案为：6 12如图，在等边ABC 中，AB12，P、Q 分别是边 BC、AC 上的点，且APQ60，PC8，则 QC 的长是 【分析】通过证明ABPPCQ，可得，可求解 【解答】解：ABC 是等边三角形， ABCACB60，ABBC12， PC8， BP4， APCB+BAPAPQ+CPQ， BAPCPQ， 又BC60， ABPPCQ， ， ， QC， 故答案为： 13如图，在ABC 中，AB6cm，AC8cm，D 是 AB 上一点且 AD2cm，点 E 在边 AC 上，当 AE
16、或 1.5 cm 时，使得ADE 与ABC 相似 【分析】分两种情形利用相似三角形的性质求解即可 【解答】解：有两种情形： 如图，当 DEBC 时，ADEABC， ， ， AE（cm） ， 当ADEC 时，AA， ADEACB， ， ， AE1.5（cm） ， 故答案为或 1.5 14如图所示，在四边形 ABCD 中，B90，AB2，CD8连接 AC，ACCD，若 sinACB， 则 AD 长度是 10 【分析】根据直角三角形的边角间关系，先计算 AC，再在直角三角形 ACD 中，利用勾股定理求出 AD 【解答】解：在 RtABC 中， AB2，sinACB， AC26 在 RtADC 中，
17、AD 10 故答案为：10 15 古希腊时期， 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（0.618， 称为黄金分割比例） ，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚 脐的长度之比也是若某人满足上述两个黄金分割比例，头顶至咽喉的长度为 27cm，则其身高大 约是 185 cm （结果保留整数） 【分析】根据黄金分割的概念、黄金比值为 0.618 分别求出咽喉至肚脐的长度，肚脐至足底的长度，计 算即可 【解答】解：设咽喉至肚脐的长度为 xcm，肚脐至足底的长度为 ycm， 由题意得，0.618， 解得，x43.7， 人体的头顶至肚脐的长度为：27+
18、43.770.7， 0.618， 解得，y114.4， 其身高114.4+70.7185（cm） ， 故答案为：185 16如图，ABP 的顶点都在边长为 1 的方格纸上，则 sinACB 的值为 【分析】过点 B 作 BDAC，垂足为 D利用 ABC 的面积先求出 BD，在 RtBCD 中求出ACB 的正 弦 【解答】解：过点 B 作 BDAC，垂足为 D 由题图知：AB2，BC2， AC2 SABCABCEACBD， 222BD， BD 在 RtBCD 中， sinACB 故答案为： 17如图，ABC 三边的中点分别为 D，E，F连接 CD 交 AE 于点 G，交 EF 于点 H，则 DG
19、：GH：CH 2：1：3 【分析】根据三角形中位线定理得到 EFAB，EFAB，证明CHECDB，根据相似三角形的性 质得到 CHDH，证明EGHAGD，根据相似三角形的性质解答即可 【解答】解：E，F 分别为 CB、CA 的中点， EF 是ABC 的中位线， EFAB，EFAB， CHECDB， ， CHDH， ADDB， ， EFAB， EGHAGD， ， DG：GH：CH2：1：3， 故答案为：2：1：3 18如图，在边长为 10 的正方形 ABCD 中，内接有六个大小相同的正方形，点 P，Q，M，N 是落在大正 方形边上的小正方形的顶点，则每个小正方形的面积为 【分析】根据相似三角形的
20、判定与性质与正方形的性质找出相似三角形并根据相似比求解即可 【解答】解：过 Q 作 QEAD 于 E，如下图所示， 在MDN 和NEQ 中，MDNNEQ90，DMNENQ， MDNNEQ， ， DN2， 在MDN 和PBQ 中， ， MDNPBQ（ASA） ， DMBP，DNBQ2， NEADDNEAADDNBQ10226， DM， 每个小正方形的面积为， 故答案为： 三三.解答题（本大厦共解答题（本大厦共 7 题，满分题，满分 78 分）分） 19 （10 分）计算： （1）2sin30+3cos604tan45 （2）+tan260 【分析】 （1）直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求
21、出答案； （2）直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案 【解答】解： （1）原式 ； （2）原式 +3 20 （10 分）在 RtABC 中，C90，a6，b6解这个三角形 【分析】根据勾股定理求出斜边 c，再根据 tanA，求出A，最后根据A+B90，求出B 即 可 【解答】解：由勾股定理得，c12， tanA， A30， B90A903060， 即：c12，A30，B60； 21 （10 分）如图，已知：ABC 中，点 D、E 分别在 AB、AC 上，AB9，AC6，AD2，AE3 （1）求的值； （2）设 ， ，求（用含 、 的式子表示） 【分析】 （1）根据已知，AA，进而得出
22、ADEACB，由该相似三角形的性质解答； （2）由三角形法则解答即可 【解答】解： （1）AB9，AC6，AD2，AE3， 又AA ADEACB， ，即 （2）+ 22 （10 分）如图，建筑物 BC 上有一个旗杆 AB，小明和数学兴趣小组的同学计划用学过的知识测量该建 筑物的高度，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量方法如下：在该建筑物底部 所在的平地上有一棵小树 ED，小明沿 CD 后退，发现地面上的点 F、树顶 E、旗杆顶端 A 恰好在一条直 线上，继续后退，发现地面上的点 G、树顶 E、建筑物顶端 B 恰好在一条直线上，已知旗杆 AB3 米， DE4 米，DF5 米，
23、FG1.5 米，点 A、B、C 在一条直线上，点 C、D、F、G 在一条直线上，AC、 ED 均垂直于 CG，根据以上信息，请求出这座建筑物的高 BC 【分析】根据相似三角形的判定和性质得出 CD，进而解答即可 【解答】解：由题意可得，ACFEDF90，AFCEFD， ACFEDF， ，即， CD， 由题意可得，BCGEDG90，BGCEGD， BCGEDG， ，即， 6.5BC4（CD+6.5） ， 6.5BC4， BC14， 这座建筑物的高 BC 为 14 米 23 （12 分）如图，在等腰ABC 中，ABAC，BAC90，点 D 是 BC 上一点，作 AEAD 交 BC 延 长线于 E，
24、CFBC 交 AE 于 F （1）求证：ABDACF； （2）作 AG 平分DAE 交 BC 于 G，求证：AF2DGDC 【分析】 （1）根据垂直的定义得到DAEDAC+290，求得12，根据全等三角形的判定 定理即可得到结论； （2）根据角平分线的定义得到DAGDAE45，根据相似三角形的性质得到 AD2CDDG， 根据全等三角形的性质即可得到结论 【解答】 （1）证明：AEAD， DAEDAC+290， 又BACDAC+190， 12， CFBC， BCF90， ACF+ACBACB+ABC90， BACF， ABAC， ABDACF； （2）证明：DAE90，作 AG 平分DAE， D
25、AGDAE45， ABAC，BAC90， ACB45， DAGACB， ADGCDA， DAGDCA， ， AD2CDDG， 由（1）知，ABDACF， AFAD， AF2DGDC 24 （12 分）如图，已知 AMBN，AB90，AB4，点 D 是射线 AM 上的一个动点（点 D 与点 A 不重合） ，点 E 是线段 AB 上的一个动点（点 E 与点 A、B 不重合） ，连接 DE，过点 E 作 DE 的垂线，交 射线 BN 于点 C，连接 DC设 AEx，BCy （1）当 AD1 时，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出它的定义域； （2）在（1）的条件下，取线段 DC 的中点 F，连接
26、 EF，若 EF2.5，求 AE 的长； （3）如果动点 D、E 在运动时，始终满足条件 AD+DEAB，那么请探究：BCE 的周长是否随着动点 D、E 的运动而发生变化？请说明理由 【分析】 （1）由AEDBCE，得出其对应边成比例，进而可得出 x 与 y 的关系式； （2）可过 D 点作 DHBN 于 H，求出 BC 的值，即 y 的值，进而可求解 x 的值； （3）BCE 的周长为一定值，由于题中满足条件 AD+DEAB，且AEDBCE，由于相似三角形的 周长比即为其对应边的比，所以可得其周长不变 【解答】解： （1）由题中条件可得AEDBCE， ， AEx，BCy，AB4，AD1 BE
27、4x， ， yx2+4x（0 x4） ； （2）DEEC， DEC90， 又DFFC， DC2EF22.55， 过 D 点作 DHBN 于 H，则 DHAB4， RtDHC 中，HC3， BCBH+HC1+34，即 y4， x2+4x4 解得：x1x22， AE2； （3）BCE 的周长不变理由如下： CAEDAE+DE+AD4+x，BE4x， 设 ADm，则 DE4m， A90， DE2AE2+AD2即， （4m）2x2+m2 ， 由（1）知：AEDBCE， BCE 的周长不变 25 （14 分）在平面直角坐标系 XOY 中，直线 l1过点 A（1，0）且与 y 轴平行，直线 l2过点 B（
28、0，2）且 与 x 轴平行，直线 l1与直线 l2相交于点 P点 E 为直线 l2上一点，反比例函数（k0）的图象过点 E 与直线 l1相交于点 F （1）若点 E 与点 P 重合，求 k 的值； （2）连接 OE、OF、EF若 k2，且OEF 的面积为PEF 的面积的 2 倍，求 E 点的坐标； （3）是否存在点 E 及 y 轴上的点 M，使得以点 M、E、F 为顶点的三角形与PEF 全等？若存在，求 E 点坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）根据反比例函数中 kxy 进行解答即可； （2）当 k2 时，点 E、F 分别在 P 点的右侧和上方，过 E 作 x 轴的垂线 EC，垂足为
29、C，过 F 作 y 轴的 垂线 FD，垂足为 D，EC 和 FD 相交于点 G，则四边形 OCGD 为矩形，再求出 SFPEk2k+1，根据 SOEFS矩形OCGDSDOFSEGFSOCE即可求出 k 的值，进而求出 E 点坐标； （3）当 k2 时，只可能是MEFPEF，作 FHy 轴于 H，由FHMMBE 可求出 BM 的值， 再在 RtMBE 中，由勾股定理得，EM2EB2+MB2，求出 k 的值，进而可得出 E 点坐标； 当 k2 时，只可能是MFEPEF，作 FQy 轴于 Q，FQMMBE 得，可求出 BM 的值，再在 RtMBE 中，由勾股定理得，EM2EB2+MB2，求出 k 的
30、值，进而可得出 E 点坐标 【解答】解： （1）若点 E 与点 P 重合，则 k122； （2）当 k2 时，如图 1， 点 E、F 分别在 P 点的右侧和上方，过 E 作 x 轴的垂线 EC，垂足为 C，过 F 作 y 轴的垂线 FD，垂足为 D，EC 和 FD 相交于点 G，则四边形 OCGD 为矩形， PFPE， SFPEPEPF（1） （k2）k2k+1， 四边形 PFGE 是矩形， SPFESGEF， SOEFS矩形OCGDSDOFSEGFSOCEk（k2k+1）k21， SOEF2SPEF， k212（k2k+1） ， 解得 k6 或 k2， k2 时，E、F 重合， k6， E
31、点坐标为： （3，2） ； （3）存在点 E 及 y 轴上的点 M，使得MEFPEF， 当 k2 时，如图 2，只可能是MEFPEF，作 FHy 轴于 H， MHFEBM90，HMFMEB， FHMMBE， ， FH1，EMPE1，FMPF2k， ，BM， 在 RtMBE 中，由勾股定理得，EM2EB2+MB2， （1）2（）2+（）2， 解得 k，此时 E 点坐标为（，2） ， 当 k2 时，如图 3， 只可能是MFEPEF，作 FQy 轴于 Q，FQMMBE 得， FQ1，EMPFk2，FMPE1， ，BM2， 在 RtMBE 中，由勾股定理得，EM2EB2+MB2， （k2）2（）2+22，解得 k或 0，但 k0 不符合题意， k 此时 E 点坐标为（，2） ， 符合条件的 E 点坐标为（，2） （，2）
