1、2020-2021 学年江苏省南京市鼓楼区四校联考八年级学年江苏省南京市鼓楼区四校联考八年级上上期中数学试卷期中数学试卷 一、选择题 1（2 分）下列倡导节约的图案中是轴对称图形的是（ ） A B C D 2（2 分）下列各式正确的是（ ） A B|3.14|3.14 C D 3（2 分）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃， 那么最省事的办法是（ ） A带去 B带去 C带去 D带和去 4（2 分）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出 一个角的平分线 如图：一把直尺压住射线 OB，另一把直尺压住射线 OA
2、 并且与第一把直尺交于点 P，小明说：“射线 OP 就是BOA 的角平分线”他这样做的依据是（ ） A角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D以上均不正确 5 （2 分） 如图所示， ABC 中， ABBCAC， BDCE， AD 与 BE 相交于点 P， 则APE 的度数是 （ ） A45 B55 C75 D60 6 （2 分）如图的方格纸中每一个小方格都是边长为 1 的正方形，A、B 两点都在小方格的格点（顶点）上， 请在图中找一个格点 C，使ABC 为等腰三角形，这样的格点的个数有（ ） A8
3、 个 B9 个 C10 个 D11 个 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在 答题卡相应的位置上） 7（2 分）比较大小： 2 8（2 分）角是轴对称图形， 是它的对称轴 9（2 分）已知实数 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，e 是的整数部分，f 是的小数部分，求代数 式+ef 10（2 分）等腰三角形的一个内角为 70，另外两个内角的度数为 11（2 分）如图，要为一段高 5 米，长 13 米的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯 米 12（2 分）如图，在ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，AE3，BCD 的周长为 13
4、，则ABC 的周长 是 13（2 分）如图，RtABC 中，AB9，BC6，B90，将ABC 折叠，使 A 点与 BC 的中点 D 重 合，折痕为 MN，则线段 BN 的长为 14（2 分） 如图， 在ABC 中， ABAC5， BC6， 点 M 为 BC 中点， MNAC 于点 N， 则 MN 的长是 15（2 分）如图，ACD 是ABC 的外角，BAC80，ABC 和ACD 的平分线相交于点 E，连接 AE，则CAE 的度数是 16（2 分）如图，AOB30，点 P 为AOB 内一点，OP8点 M、N 分别在 OA、OB 上，则PMN 周长的最小值为 三、解答题（本大题共 8 小题，共 6
5、8 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤） 17（8 分）计算 （1）（2）2+； （2）+（3）0|1| 18（10 分）求下列各式中的 x： （1）（x+2）24； （2）1+（x1）37 19（8 分）如图，已知直线 l 及直线 l 外一点 P （1）求作：直线 PQ，使得 PQl（保留作图痕迹） （2）证明：PQl 20（8 分）如图，点 D，E 分别是三角形ABC 边 BC 上的点，若 ABAC，BECD，求证：ADAE 21（6 分）已知：ABC 和ECD 是等腰直角三角形，ACBDCE90，点 D 在 AB 的延长线上 求证：AE2+AD2ED
6、2 22（6 分）如图为一个广告牌支架的示意图，其中 AB13m，AD12m，BD5m，AC15m，求图中 ABC 的周长和面积 23（10 分）如图，ABC 中，ACB90，AB5cm，BC4cm，若点 P 从点 A 出发，以每秒 2cm 的 速度沿折线 ABCA 运动，设运动时间为 t 秒（t0） （1）若点 P 在 BC 上且满足 PAPB，则此时 t （2）若点 P 恰好在ABC 的角平分线上，求此时 t 的值； （3）在点 P 运动过程中，若ACP 为等腰三角形，则此时 t 24（12 分）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 在ABC 中，AB9，AC5，BC 边上的
7、中线 AD 的取值范围 （1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图 1）： 延长 AD 到 Q 使得 DQAD； 再连接 BQ，把 AB、AC、2AD 集中在ABQ 中； 利用三角形的三边关系可得 4AQ14，则 AD 的取值范围是 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散 的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中 （2）请写出图 1 中 AC 与 BQ 的位置关系并证明； （3）思考：已知，如图 2，AD 是ABC 的中线，ABAE，ACAF，BAEFAC90，试探究 线段 AD 与 EF 的数量和位置关系，并加以证明 参考
8、答案 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题 目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1（2 分）下列倡导节约的图案中是轴对称图形的是（ ） A B C D 解：A、不是轴对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，故此选项正确； C、不是轴对称图形，故此选项错误； D、不是轴对称图形，故此选项错误； 故选：B 2（2 分）下列各式正确的是（ ） A B|3.14|3.14 C D 解：A、9，故本选项错误； B、正确； C、2，故本选项错误； D、已是最简形式，并且不是同类项，不用计算，故本选项错误 故选：
9、B 3（2 分）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃， 那么最省事的办法是（ ） A带去 B带去 C带去 D带和去 解：A、带去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原来一样的三角形，故 A 选项错误； B、带去，仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形，故 B 选项错误； C、带去，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一条边，符合 ASA 判定，故 C 选项正确； D、带和去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，同样不能得到与原来一样的三角形，故 D 选项 错误 故选：C 4（2 分）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后
10、发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出 一个角的平分线 如图：一把直尺压住射线 OB，另一把直尺压住射线 OA 并且与第一把直尺交于点 P，小明说：“射线 OP 就是BOA 的角平分线”他这样做的依据是（ ） A角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D以上均不正确 解：（1）如图所示：过两把直尺的交点 P 作 PEAO，PFBO， 两把完全相同的长方形直尺， PEPF， OP 平分AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故选：A 5 （2 分） 如图所示， ABC 中，
11、 ABBCAC， BDCE， AD 与 BE 相交于点 P， 则APE 的度数是 （ ） A45 B55 C75 D60 解：在ABD 和BCE 中， ， ABDBCE（SAS）， BADCBE， APEABE+BAD，ABE+CBE60， APEABC60 故选：D 6 （2 分）如图的方格纸中每一个小方格都是边长为 1 的正方形，A、B 两点都在小方格的格点（顶点）上， 请在图中找一个格点 C，使ABC 为等腰三角形，这样的格点的个数有（ ） A8 个 B9 个 C10 个 D11 个 解：图中的黑点为 C 点所在位置，这样的 C 点共有 9 个 故选：B 二、填空题（本大题共 10 小题
12、，每小题 2 分，共 20 分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在 答题卡相应的位置上） 7（2 分）比较大小： 2 解：9，238， 98， 2 故答案为： 8（2 分）角是轴对称图形， 角平分线所在的直线 是它的对称轴 解：角的对称轴是“角平分线所在的直线” 故答案为：角平分线所在的直线 9（2 分）已知实数 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，e 是的整数部分，f 是的小数部分，求代数 式+ef 4 解：实数 a、b 互为相反数， a+b0， c、d 互为倒数， cd1， 34， 的整数部分为 3，e3， 23， 的小数部分为2，即 f2， +ef+3（2）01+3+24， 故答案为
13、：4 10（2 分）等腰三角形的一个内角为 70，另外两个内角的度数为 55，55或 70，40 解：分情况讨论： （1）若等腰三角形的顶角为 70时，另外两个内角（18070）255； （2）若等腰三角形的底角为 70时，它的另外一个底角为 70，顶角为 180707040 故填 55，55或 70，40 11（2 分）如图，要为一段高 5 米，长 13 米的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯 17 米 解：根据勾股定理，楼梯水平长度为12 米， 则红地毯至少要 12+517 米长， 故答案为：17 12（2 分）如图，在ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，AE3，BCD 的周长为 13，
14、则ABC 的周长 是 19 解：DE 是 AC 的垂直平分线，AE3， DADC，AC2AE6， BCD 的周长为 13， BC+BD+CD13， BC+BD+DABC+AB13， ABC 的周长BC+AB+AC13+619， 故答案为：19 13（2 分）如图，RtABC 中，AB9，BC6，B90，将ABC 折叠，使 A 点与 BC 的中点 D 重 合，折痕为 MN，则线段 BN 的长为 4 解：设 BNx，由折叠的性质可得 DNAN9x， D 是 BC 的中点， BD3， 在 RtBND 中，x2+32（9x）2， 解得 x4 故线段 BN 的长为 4 故答案为：4 14（2 分）如图，
15、在ABC 中，ABAC5，BC6，点 M 为 BC 中点，MNAC 于点 N，则 MN 的长是 解：连接 AM， ABAC，点 M 为 BC 中点， AMCM（三线合一），BMCM， ABAC5，BC6， BMCM3， 在 RtABM 中，AB5，BM3， 根据勾股定理得：AM4， 又 SAMCMN AC AM MC， MN 15（2 分）如图，ACD 是ABC 的外角，BAC80，ABC 和ACD 的平分线相交于点 E，连接 AE，则CAE 的度数是 50 解：过点 E 作 ENBD，垂足为 N，作 EMAC，垂足为 M，作 EFAB，交 BA 的延长线于 F， BE 平分ABC，CE 平分
16、ACD， EFENEM， E 点在FAC 的角平分线上， CAECAF， CAF+BAC180，BAC80， CAF100， CAE50 16（2 分）如图，AOB30，点 P 为AOB 内一点，OP8点 M、N 分别在 OA、OB 上，则PMN 周长的最小值为 8 解：分别作点 P 关于 OA、OB 的对称点 P1、P2，连 P1、P2，交 OA 于 M，交 OB 于 N，连接 OP， 则 OP1OPOP2，P1OAPOA，POBP2OB， MPP1M，PNP2N，则PMN 的周长的最小值P1P2 P1OP22AOB60， OP1P2是等边三角形 PMN 的周长P1P2， P1P2OP1OP
17、2OP8 故答案为：8 三、解答题（本大题共 8 小题，共 68 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤） 17（8 分）计算 （1）（2）2+； （2）+（3）0|1| 解：（1）原式4+426； （2）原式+1（1） 18（10 分）求下列各式中的 x： （1）（x+2）24； （2）1+（x1）37 解：（1）x+22， x+22 或 x+22， x0 或4； （2）（x1）38， x12， x1 19（8 分）如图，已知直线 l 及直线 l 外一点 P （1）求作：直线 PQ，使得 PQl（保留作图痕迹） （2）证明：PQl 【解答】（1）解：如图，直
18、线 PQ 即为所求 （2）证明：由作图可知，PCPD，CQQD， PQ 垂直平分线段 CD， PQ直线 l 20（8 分）如图，点 D，E 分别是三角形ABC 边 BC 上的点，若 ABAC，BECD，求证：ADAE 【解答】证明：ABAC， BC， 在ABE 和ACD 中， ， ABEACD（SAS）， ADAE 21（6 分）已知：ABC 和ECD 是等腰直角三角形，ACBDCE90，点 D 在 AB 的延长线上 求证：AE2+AD2ED2 【解答】证明：BCAC， ACB90， ABCCAB45 ABC 和ECD 都是等腰直角三角形，ACBDCE90， BCCA，CDCE，BCDECA，
19、 在ACE 和BCD 中， ， ACEBCD（SAS） CAECBD135， DAECAECAB90， AD2+AE2ED2 22（6 分）如图为一个广告牌支架的示意图，其中 AB13m，AD12m，BD5m，AC15m，求图中 ABC 的周长和面积 解：在ABD 中， AB13m，AD12m，BD5m， AB2AD2+BD2， ADBC， 在 RtADC 中， AD12m，AC15m， DC9（m）， ABC 的周长为：AB+AC+BC13+15+5+942m， ABC 的面积为：BCAD141284m2 23（10 分）如图，ABC 中，ACB90，AB5cm，BC4cm，若点 P 从点
20、A 出发，以每秒 2cm 的 速度沿折线 ABCA 运动，设运动时间为 t 秒（t0） （1）若点 P 在 BC 上且满足 PAPB，则此时 t （2）若点 P 恰好在ABC 的角平分线上，求此时 t 的值； （3）在点 P 运动过程中，若ACP 为等腰三角形，则此时 t 或或或 3 解：（1）如图，设 PBPAx，则 PC4x， ACB90，AB5cm，BC4cm， AC3cm， 在 RtACP 中，AC2+PC2AP2， 32+（4x）2x2， 解得 x， BP， t 故答案为： （2）如图，过 P 作 PDAB 于 D， BP 平分ABC，C90， PDPC，BCBD4， AD541，
21、设 PDPCy，则 AP3y， 在 RtADP 中，AD2+PD2AP2， 12+y2（3y）2， 解得 y， CP， t， 当点 P 与点 B 重合时，点 P 也在ABC 的角平分线上， 此时，t 综上所述，点 P 恰好在ABC 的角平分线上，t 的值为或 （3）分四种情况： 如图，当 P 在 AB 上且 APCP 时， AACP，而A+B90，ACP+BCP90， BBCP， CPBP， P 是 AB 的中点，即 APAB， t 如图，当 P 在 AB 上且 APCA3 时， t 如图，当 P 在 AB 上且 ACPC 时，过 C 作 CDAB 于 D，则 CD， RtACD 中，AD，
22、AP2AD， t 如图，当 P 在 BC 上且 ACPC3 时，BP431， t3 综上所述，当 t或或或 3 时，ACP 为等腰三角形 故答案为：或或或 3 24（12 分）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 在ABC 中，AB9，AC5，BC 边上的中线 AD 的取值范围 （1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图 1）： 延长 AD 到 Q 使得 DQAD； 再连接 BQ，把 AB、AC、2AD 集中在ABQ 中； 利用三角形的三边关系可得 4AQ14，则 AD 的取值范围是 2AD7 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造
23、全等三角形，把分散 的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中 （2）请写出图 1 中 AC 与 BQ 的位置关系并证明； （3）思考：已知，如图 2，AD 是ABC 的中线，ABAE，ACAF，BAEFAC90，试探究 线段 AD 与 EF 的数量和位置关系，并加以证明 解：（1）延长 AD 到 Q 使得 DQAD，连接 BQ， AD 是ABC 的中线， BDCD， 在QDB 和ADC 中， QDBADC（SAS）， BQAC5， 在ABQ 中，ABBQAQAB+BQ， 4AQ14， 2AD7， 故答案为：2AD7； （2）ACBQ，理由：由（1）知，QDBADC， BQDCAD， ACB
24、Q； （3）EF2AD，ADEF， 理由：如图 2，延长 AD 到 Q 使得 DQAD，连接 BQ， 由（1）知，BDQCDA（SAS）， DBQACD，BQAC， ACAF， BQAF， 在ABC 中，BAC+ABC+ACB180， BAC+ABC+DBQ180， BAC+ABQ180， BAEFAC90， BAC+EAF180， ABQEAF， 在ABQ 和EAF 中， ABQEAF， AQEF，BAQAEF， 延长 DA 交 EF 于 P， BAE90， BAQ+EAP90， AEF+EAP90， APE90， ADEF， ADDQ， AQ2AD， AQEF， EF2AD， 即：EF2AD，ADEF
