1、2020-2021 学年西安市雁塔区学年西安市雁塔区九年级上九年级上第一次月考数学试卷（第一次月考数学试卷（10 月份）月份） 一、选择题： （每题只有一个正确答案，共一、选择题： （每题只有一个正确答案，共 10 道小题，每题道小题，每题 3 分，共分，共 30 分）分） 1如图所示的几何体是由一些正方体组合而成的立体图形，则这个几何体的俯视图是（ ） A B C D 2下列运算结果正确的是（ ） Aa2+a3a5 B （a2）3a6 Ca2a3a6 D3a2a1 3下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 4掷一枚质地均匀的硬币 10 次，下列说法正确的是（ ）
2、 A可能有 5 次正面朝上 B必有 5 次正面朝上 C掷 2 次必有 1 次正面朝上 D不可能 10 次正面朝上 5用配方法解一元二次方程 2x23x10，配方正确的是（ ） A B C D 6如图，下列条件之一能使平行四边形 ABCD 是菱形的为（ ） ACBD；BAD90；ABBC；ACBD A B C D 7如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，ACB30，则AOB 的大小为（ ） A30 B60 C90 D120 8已知一元二次方程 x26x+c0 有一个根为 2，则另一根及 c 的值分别为（ ） A2，8 B3，4 C4，3 D4，8 9如果关于 x 的一元二
3、次方程 kx2x+10 有两个不相等的实数根，那么 k 的取值范围是（ ） A0k1 且 k0 Bk且 k0 C0k1 Dk1 且 k0 10如图，点 E 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，且 EC2AE，直角三角形 FEG 的两直角边 EF、EG，分 别交 BC、DC 于点 M、N，若正方形的边长为 a，则重叠部分四边形的面积为（ ） A B C D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 6 小题，计小题，计 18 分）分） 11化简： （2a2）3 12不等式组的解集是 13一个正多边形的内角和为 540，则这个正多边形的每一个外角等于 14分解因式：2a（b+c）
4、3（b+c） 15任意抛掷一枚均匀的骰子一次，朝上的点数大于 4 的概率等于 16如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，BE2，AE3BE，P 是 AC 上一动点，则 PB+PE 的最小 值是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 72 分，所有答案必须写在本题答题卡的方框内）分，所有答案必须写在本题答题卡的方框内） 17 （10 分） （1）计算：； （2）化简： 18 （10 分）用适当的方法解下列一元二次方程： （1）x28x20； （2） （x1） （x2）2 19 （6 分）解不等式组： 20 （8 分）如图，请用尺规在ABC 的边 BC 上找
5、一点 D，使得点 D 到 AB、AC 的距离相等（保留作图痕 迹，不写作法） 21 （8 分）已知关于 x 的方程 x2+（2k+1）x+k220 （1）若方程有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围； （2）若方程的两个实数根为 x1、x2，且满足 x12+x2211，求 k 的值 22 （8 分）小亮和小丽进行摸球试验他们在一个不透明的空布袋内，放入两个红球，一个白球和一个黄 球，共四个小球这些小球除颜色外其它都相同试验规则：先将布袋内的小球摇匀，再从中随机摸出 一个小球，记下颜色后放回，称为摸球一次 （1）小亮随机摸球 10 次，其中 6 次摸出的是红球，求这 10 次中摸出红球的频率；
6、 （2）若小丽随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球中一个是白球、一个是黄 球的概率 23 （10 分）某商场将进货价为 30 元的台灯以 40 元售出，平均每月能售出 600 个，调查表明：售价在 40 60 元范围内，这种台灯的售价每上涨 1 元，其销售量就将减少 10 个为了实现平均每月 10000 元的销 售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？ 24 （12 分）问题探究： （1）如图 1，AOB45，在AOB 内部有一点 P，分别作点 P 关于边 OA、OB 的对称点 P1，P2顺 次连接 O，P1，P2，则OP1P2的形状是 三角形 （2）如图
7、2，在ABC 中，ABAC，BAC30，ADBC 于 D，AD2+，求：ABC 的面积 问题解决： （3）如图 3，在四边形 ABCD 内有一点 P，点 P 到顶点 B 的距离为 10，ABC60，点 M、N 分别是 AB、BC 边上的动点，顺次连接 P、M、N，使PMN 在周长最小的情况下，面积最大，问：是否存在使 PMN 在周长最小的条件下， 面积最大这种情况？若存在， 请求出PMN 的面积的最大值； 若不存在， 请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题： （每题只有一个正确答案，共一、选择题： （每题只有一个正确答案，共 10 道小题，每题道小题，每题 3 分，共分，
8、共 30 分）分） 1如图所示的几何体是由一些正方体组合而成的立体图形，则这个几何体的俯视图是（ ） A B C D 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中 【解答】解：从上面看易得左侧有 2 个正方形，右侧有一个正方形 故选：A 2下列运算结果正确的是（ ） Aa2+a3a5 B （a2）3a6 Ca2a3a6 D3a2a1 【分析】利用幂的有关运算性质逐一计算后即可确定正确的选项 【解答】解：A、a2与 a3不是同类项，不能合并，故错误； B、 （a2）3a6，正确，符合题意； C、a2a3a5，故错误； D、3a2aa，故错误， 故选：B 3下列图形中
9、既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选：B 4掷一枚质地均匀的硬币 10 次，下列说法正确的是（ ） A可能有 5 次正面朝上 B必有 5 次正面朝上 C掷 2 次必有 1 次正面朝上 D不可能 10 次正面朝上 【分析】根据随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，可得答案 【解答】解：A、
10、是随机事件，故 A 正确； B、不是必然事件，故 B 错误； C、不是必然事件，故 C 错误； D、是随机事件，故 D 错误； 故选：A 5用配方法解一元二次方程 2x23x10，配方正确的是（ ） A B C D 【分析】移项，系数化成 1，再配方，即可得出选项 【解答】解：2x23x10， 2x23x1， x2x， x2x+， （x）2， 故选：C 6如图，下列条件之一能使平行四边形 ABCD 是菱形的为（ ） ACBD；BAD90；ABBC；ACBD A B C D 【分析】菱形的判定方法有三种：定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；四边相等的四边形是 菱形；对角线互相垂直的平行四边形是
11、菱形据此判断即可 【解答】解：ABCD 中，ACBD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定ABCD 是 菱形；故正确； ABCD 中，BAD90，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判定ABCD 是矩形，而 不能判定ABCD 是菱形；故错误； ABCD 中， ABBC， 根据一组邻边相等的平行四边形是菱形， 即可判定ABCD 是菱形； 故正确； D、ABCD 中，ACBD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定ABCD 是矩形，而不能判定 ABCD 是菱形；故错误 故选：A 7如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，ACB30，则AOB 的大小为（ ）
12、 A30 B60 C90 D120 【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得 OBOC，再根据等边对等角可得OBCACB，然 后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解 【解答】解：矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O， OBOC， OBCACB30， AOBOBC+ACB30+3060 故选：B 8已知一元二次方程 x26x+c0 有一个根为 2，则另一根及 c 的值分别为（ ） A2，8 B3，4 C4，3 D4，8 【分析】 设方程的另一个根为 t， 根据根与系数的关系得到 t+26， 2tc， 然后先求出 t， 再计算 c 的值 【解答】解：设方
13、程的另一个根为 t， 根据题意得 t+26，2tc， 解得 t4，c8 故选：D 9如果关于 x 的一元二次方程 kx2x+10 有两个不相等的实数根，那么 k 的取值范围是（ ） A0k1 且 k0 Bk且 k0 C0k1 Dk1 且 k0 【分析】根据方程的定义和根的判别式可得 k0 且（） 24k10，解之得出 k 的范围， 再根据二次根式有意义的条件知 3k+10 即 k，从而得出答案 【解答】解：方程 kx2x+10 有两个不相等的实数根， k0 且（）24k10， 即 3k+14k0， 解得：k1， 由 3k+10 可得 k， k1 且 k0， 故选：D 10如图，点 E 在正方形
14、 ABCD 的对角线 AC 上，且 EC2AE，直角三角形 FEG 的两直角边 EF、EG，分 别交 BC、DC 于点 M、N，若正方形的边长为 a，则重叠部分四边形的面积为（ ） A B C D 【分析】过 E 作 EPBC 于点 P，EQCD 于点 Q，EPMEQN，利用四边形 EMCN 的面积等于正 方形 PCQE 的面积求解 【解答】解：过 E 作 EPBC 于点 P，EQCD 于点 Q， 四边形 ABCD 是正方形， BCD90， 又EPMEQN90， PEQ90， PEM+MEQ90， 三角形 FEG 是直角三角形， NEFNEQ+MEQ90， PEMNEQ， AC 是BCD 的角
15、平分线，EPCEQC90， EPEQ，四边形 PCQE 是正方形， 在EPM 和EQN 中， ， EPMEQN（ASA） SEQNSEPM， 四边形 EMCN 的面积等于正方形 PCQE 的面积， 正方形 ABCD 的边长为 a， ACa， EC2AE， ECa， EPPCa， 正方形 PCQE 的面积aaa2， 四边形 EMCN 的面积a2， 故选：C 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 6 小题，计小题，计 18 分）分） 11化简： （2a2）3 8a6 【分析】根据积得乘方与幂的乘方的运算法则计算即可 【解答】解： （2a2）3（2）3 （a2）38a6 故答案为：
16、8a6 12不等式组的解集是 x 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可 【解答】解：， 由得，x， 由得，x2， 故此不等式组的解集为：x 故答案为：x 13一个正多边形的内角和为 540，则这个正多边形的每一个外角等于 72 【分析】首先设此多边形为 n 边形，根据题意得：180（n2）540，即可求得 n5，再由多边形的外 角和等于 360，即可求得答案 【解答】解：设此多边形为 n 边形， 根据题意得：180（n2）540， 解得：n5， 这个正多边形的每一个外角等于：72 故答案为：72 14分解因式：2a（b+c）3（b+c） （b+c） （2a3） 【分析】直接提取
17、公因式 b+c 即可 【解答】解：原式（b+c） （2a3） ， 故答案为： （b+c） （2a3） 15任意抛掷一枚均匀的骰子一次，朝上的点数大于 4 的概率等于 【分析】由任意抛掷一枚均匀的骰子一次，朝上的点数大于 4 的有 2 种情况，直接利用概率公式求解即 可求得答案 【解答】解：任意抛掷一枚均匀的骰子一次，朝上的点数大于 4 的有 2 种情况， 任意抛掷一枚均匀的骰子一次，朝上的点数大于 4 的概率等于： 故答案为： 16如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，BE2，AE3BE，P 是 AC 上一动点，则 PB+PE 的最小 值是 10 【分析】由正方形性质的得出 B、
18、D 关于 AC 对称，根据两点之间线段最短可知，连接 DE，交 AC 于 P， 连接 BP，则此时 PB+PE 的值最小，进而利用勾股定理求出即可 【解答】解：如图，连接 DE，交 AC 于 P，连接 BP，则此时 PB+PE 的值最小 四边形 ABCD 是正方形， B、D 关于 AC 对称， PBPD， PB+PEPD+PEDE BE2，AE3BE， AE6，AB8， DE10， 故 PB+PE 的最小值是 10 故答案为：10 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 72 分，所有答案必须写在本题答题卡的方框内）分，所有答案必须写在本题答题卡的方框内） 17 （10
19、 分） （1）计算：； （2）化简： 【分析】 （1）根据立方根、绝对值和负整数指数幂可以解答本题； （2）根据分式的加法和除法可以解答本题 【解答】解： （1） 2（3）+14 6+14 1+； （2） a 18 （10 分）用适当的方法解下列一元二次方程： （1）x28x20； （2） （x1） （x2）2 【分析】 （1）利用配方法将原方程变形进而得出答案； （2）整理后利用因式分解法求解即可 【解答】解： （1）x28x20， 配方得：x28x+162+16，即（x4）218， x43， x14+3，x243； （2） （x1） （x2）2， 整理得：x23x0， x（x3）0， 解得
20、：x10，x23 19 （6 分）解不等式组： 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小 无解了确定不等式组的解集 【解答】解：解不等式，得：x2， 解不等式，得：x3， 则不等式组的解集为3x2 20 （8 分）如图，请用尺规在ABC 的边 BC 上找一点 D，使得点 D 到 AB、AC 的距离相等（保留作图痕 迹，不写作法） 【分析】作BAC 的角平分线，与 BC 的交点就是 D 位置 【解答】解：如图所示： ， 点 D 即为所求 21 （8 分）已知关于 x 的方程 x2+（2k+1）x+k220 （1）若方程有两个不相等的实数根，求 k
21、 的取值范围； （2）若方程的两个实数根为 x1、x2，且满足 x12+x2211，求 k 的值 【分析】 （1）根据根的判别式得出关于 k 的不等式，求出不等式的解集即可； （2） 根据根与系数的关系得出 x1+x2 （2k+1） ， x1x2k22， 根据完全平方公式变形后代入， 得出 （2k+1）22（k22）11，再求出即可 【解答】解： （1）方程有两个不相等的实数根， （2k+1）241（k22）4k+90， 解得：k， 即 k 的取值范围是 k； （2）根据根与系数的关系得：x1+x2（2k+1） ，x1x2k22， 方程的两个实数根为 x1、x2，且满足 x12+x2211，
22、（x1+x2）22x1x211， （2k+1）22（k22）11， 解得：k3 或 1， 关于 x 的方程 x2+（2k+1）x+k220 有两个不相等的实数根， 必须 k， k3 舍去， 所以 k1 22 （8 分）小亮和小丽进行摸球试验他们在一个不透明的空布袋内，放入两个红球，一个白球和一个黄 球，共四个小球这些小球除颜色外其它都相同试验规则：先将布袋内的小球摇匀，再从中随机摸出 一个小球，记下颜色后放回，称为摸球一次 （1）小亮随机摸球 10 次，其中 6 次摸出的是红球，求这 10 次中摸出红球的频率； （2）若小丽随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球中一个是白球
23、、一个是黄 球的概率 【分析】 （1）由频率定义即可得出答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球中一个是白球、一 个是黄球的情况，利用概率公式求解即可求得答案 【解答】解： （1）小亮随机摸球 10 次，其中 6 次摸出的是红球，这 10 次中摸出红球的频率； （2）画树状图得： 共有 16 种等可能的结果，两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的有 2 种情况， 两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率 23 （10 分）某商场将进货价为 30 元的台灯以 40 元售出，平均每月能售出 600 个，调查表明：售价在 40 60 元范围内，这种台灯的
24、售价每上涨 1 元，其销售量就将减少 10 个为了实现平均每月 10000 元的销 售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？ 【分析】设售价定为 x，那么就少卖出 10（x40）个，根据利润售价进价，可列方程求解 【解答】解：设售价定为 x 元， 60010（x40）（x30）10000， 整理，得 x2130 x+40000， 解得：x150，x280（舍去） 60010（x40）60010（5040）500（个） 答：台灯的定价定为 50 元，这时应进台灯 500 个 24 （12 分）问题探究： （1）如图 1，AOB45，在AOB 内部有一点 P，分别作点 P 关于边 O
25、A、OB 的对称点 P1，P2顺 次连接 O，P1，P2，则OP1P2的形状是 等腰直角 三角形 （2）如图 2，在ABC 中，ABAC，BAC30，ADBC 于 D，AD2+，求：ABC 的面积 问题解决： （3）如图 3，在四边形 ABCD 内有一点 P，点 P 到顶点 B 的距离为 10，ABC60，点 M、N 分别是 AB、BC 边上的动点，顺次连接 P、M、N，使PMN 在周长最小的情况下，面积最大，问：是否存在使 PMN 在周长最小的条件下， 面积最大这种情况？若存在， 请求出PMN 的面积的最大值； 若不存在， 请说明理由 【分析】 （1）如图，OP1P2是等腰直角三角形证明 O
26、P1OP2，P1OP290即可 （2）如图 2 中，在 AD 上取一点 E，使得 AEEC，连接 EC证明DECEAC+ECA30，设 CDBDx，则 ECEA2x，DEx，构建方程求出 x 即可解决问题 （3）存在如图，作点 P 关于 AB 的对称点 G，作点 P 关于 BC 的对称点 H，连接 GH，交 AB，BC 于 点 M，N，此时PMN 的周长最小，易知 SBGHGHBO25，由 S四边形BMPNSBGM+SBNHS BGHSBMN，推出 SBMN的值最小时，S四边形BMPN的值最大，此时 SPMN的面积最大 【解答】解： （1）如图 1 中，OP1P2是等腰直角三角形 理由：点 P
27、 关于边 OA、OB 的对称点分别为 P1，P2， OPOP1OP2，AOPAOP1，BOPBOP2， AOB45， P1OP22（AOP+BOP）90， OP1P2是等腰直角三角形 故答案为等腰直角 （2）如图 2 中，在 AD 上取一点 E，使得 AEEC，连接 EC ABAC，ADBC， EACBAC15， EAEC， EACECA15， DECEAC+ECA30，设 CDBDx，则 ECEA2x，DEx， AD2+， 2x+x2+， x1， BC2CD2， SABCBCAD2（2+）2+ （3）如图 3 中，存在 理由：如图，作点 P 关于 AB 的对称点 G，作点 P 关于 BC 的
28、对称点 H，连接 GH，交 AB，BC 于点 M， N，此时PMN 的周长最小 BPBGBH10，GBMPBM，HBNPBN， PBM+PBN60， GBH120，且 BGBH， BGHBHG30， 过点 B 作 BOGH 于 O， BO5，HOGO5， GH10， SBGHGHBO25， S四边形BMPNSBGM+SBNHSBGHSBMN，SBGH面积为定值， SBMN的值最小时，S四边形BMPN的值最大，此时 SPMN的面积最大， 观察图象可知：OB 是BMN 的高，是定值， MN 最小时，BMN 的面积最小， 当BMN 是等边三角形时，MN 定值最小，此时 SBMN最小， 此时 GMMNNH， PMN 的最大值SBGH2SBMN2525
