1、2020-2021 学年辽宁省大连市中山区八年级上学年辽宁省大连市中山区八年级上期中数学试卷期中数学试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确 的）的） 1下列四个数学符号中，是轴对称图形的是（ ） A B C D 2下列说法中，正确的是（ ） A面积相等的两个图形是全等图形 B形状相等的两个图形是全等图形 C周长相等的两个图形是全等图形 D能够完全重合的两个图形是全等图形 3下列运算正确的是（ ） Aa2+a3a5 Ba2a3a5 Ca3a
2、2a5 D （a2）3a5 4如图，已知ABCDCB，要使ABCDCB，只需要添加一个条件是（ ） AABCACB BDCBD CACBC DABDC 5如图，有一池塘，要测池塘两端 A，B 的距离，可先在平地上取一个直接到达 A 和 B 的点 C，连接 AC 并延长到 D，使 CDCA，连接 BC 并延长到 E，使 CECB，连接 DE，那么量出 DE 的长，就是 A、B 的距离我们可以证明出ABCDEC，进而得出 ABDE，那么判定ABC 和DEC 全等的依据是 （ ） ASSS BSAS CASA DAAS 6计算 3a2b（ ） A5ab B5a C6ab D6b 7已知图中的两个三角
3、形全等，则 的度数是（ ） A72 B60 C58 D50 8如图，ABC 与DEF 关于直线 l 对称，BE 交 l 于点 O，则下列说法不一定正确的是（ ） AACDF BBOEO CADl DABEF 9如图，在 RtABC 中，ACB90，A50，以点 B 为圆心，BC 长为半径画弧，交 AB 于点 D， 连接 CD，则ACD 的度数是（ ） A50 B40 C30 D20 10如图，在平面直角坐标系中，A（0，2） ，B（4，2） ，点 P 是 x 轴上任意一点，当 PA+PB 有最小值时， P 点的坐标为（ ） A （0，0） B （1，0） C （2，0） D （3，0） 二、填
4、空题（本题共二、填空题（本题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11如图，BC，12，图中共有全等三角形 对 12a7a4 13如图，在ABC 中，已知 AC16，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，BCE 的周长等于 30，则 BC 的长是 14计算： （2a2b）2 15如图，AD 与 BC 交于 O 点，OAOB，依据 SAS，使AOCBOD，则还需添加条件 16如图，在 RtABC 中，ACB90，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，若 AB5，DC2，则ABD 的 面积为 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 4 小题，其中小题
5、，其中 17、18、19 题各题各 10 分，分，20 题题 9 分，共分，共 39 分）分） 17 （10 分）计算： （1）x2y2 （xy3） ； （2） （4x3+2x）2x 18 （10 分）如图，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，ABAC，BC，求证：BDCE 19 （10 分）如图在ABC 中，ABAC，点 D 在 AC 上，且 BDBCAD，求A 的度数 20 （9 分）如图，在平面直角坐标系中，已知 A（3，3） B（5，1） C（1，2） （1）画出ABC 关于 y 轴的轴对称图形A1B1C1； （2）在（1）的条件下，连接 A1A、C1A，直接写出A1C1A 的
6、面积 四、解答题（本题共四、解答题（本题共 3 小题，其中小题，其中 21 题题 9 分，分，22、23 题各题各 10 分，共分，共 29 分）分） 21 （9 分）如图，CAD 为ABC 的外角，ABAC作CAD 的平分线 AE （1）依题意补全图形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ； （2）求证：AEBC 22 （10 分）如图，ABC 是等边三角形，DEBC，分别交 AB、AC 于点 D、E求证：ADE 是等边三 角形 23 （10 分）已知（x2+mx3） （2x+n）的展开式中不含 x2项，常数项是6 （1）求 m，n 的值 （2）求（m+n） （m2mn+n2）的值 五
7、、解答题（本题共五、解答题（本题共 3 小题，其中小题，其中 24、25 题各题各 11 分，分，26 题题 12 分，共分，共 34 分）分） 24 （11 分）如图，甲、乙都是长方形，边长的数据如图所示（其中 m 为正整数） （1）图中的甲长方形的面积 S1，乙长方形的面积 S2，试比较 S1、S2的大小，并说明理由； （2）现有一正方形，其周长与图中的甲长方形周长相等，试探究：该正方形面积 S 与图中的甲长方形面 积 S1的差（即 SS1）是一个常数，求出这个常数 25 （11 分）如图 1，RtABC 中，ACBC，点 P 在线段 AB 上，BDCP 于点 D，CEBD，CECD， A
8、E 交直线 CP 于点 F （1）求证ACPCBD； （2）探究线段 CF，BD 的数量关系，并证明你的结论； （3）当点 P 在 AB 延长线上时，其他条件不变（如图 2） ，若P30，请直接写出的值 26 （12 分）阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图 1，ABC 中，ABAC，点 D 在 BC 边上，DABABD，BEAD， 垂足为 E求证：BC2AE小明探究发现，可以通过构造全等三角形来解决，在 BC 上截取 BFAE， 连接 AF，可证ABFBAE（如图 2） ，从而使问题得到解决 （1） 根据阅读材料回答： ABF 与BAE 全等的条件是 （填 “SSS” “SAS” “A
9、SA” “AAS” 或 “HL” 中的一个） ； 参考小明思考问题的方法，解答下列问题： （2）如图 3，ABC 是等边三角形，点 P 在 BQ 上，且APB120，CPCQ，探究线段 AP，BQ 的 数量关系，并证明你的结论 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确 的）的） 1下列四个数学符号中，是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】利用轴对称图形的概念可得答案 【解答】解：四个数学符号中，是轴
10、对称图形的是：， 故选：A 2下列说法中，正确的是（ ） A面积相等的两个图形是全等图形 B形状相等的两个图形是全等图形 C周长相等的两个图形是全等图形 D能够完全重合的两个图形是全等图形 【分析】全等图形指的是完全重合的图形，包括边长、角度、面积、周长等，但面积、周长相等的图形 不一定全等，要具体进行验证分析 【解答】解：A、面积相等，但图形不一定能完全重合，说法错误； B、形状相等的两个图形也不一定是全等形，说法错误； C、周长相等的两个图形不一定能完全重合，说法错误； D、符合全等形的概念，正确 故选：D 3下列运算正确的是（ ） Aa2+a3a5 Ba2a3a5 Ca3a2a5 D （
11、a2）3a5 【分析】A根据合并同类项的定义即可判断； B根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断； C根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断； D根据幂的乘方，底数不变，指数相乘即可判断 【解答】解：Aa2+a3a5，所以 A 选项错误； Ba2a3a5，所以 B 选项正确； Ca3a2a，所以 C 选项错误； D （a2）3a6，所以 D 选项错误； 故选：B 4如图，已知ABCDCB，要使ABCDCB，只需要添加一个条件是（ ） AABCACB BDCBD CACBC DABDC 【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可 【解答】解：A、根据ABCDCB，BCCB 和A
12、BCACB 不能推出ABCDCB，故本选项 不符合题意； B、根据DCBD，BCCB 和ABCACB 不能推出ABCDCB，故本选项不符合题意； C、根据ACBC，BCCB 和ABCACB 不能推出ABCDCB，故本选项不符合题意； D、根据 BCCB，ABCACB，ABDC 能推出ABCDCB，故本选项符合题意； 故选：D 5如图，有一池塘，要测池塘两端 A，B 的距离，可先在平地上取一个直接到达 A 和 B 的点 C，连接 AC 并延长到 D，使 CDCA，连接 BC 并延长到 E，使 CECB，连接 DE，那么量出 DE 的长，就是 A、B 的距离我们可以证明出ABCDEC，进而得出 A
13、BDE，那么判定ABC 和DEC 全等的依据是 （ ） ASSS BSAS CASA DAAS 【分析】图形中隐含对顶角的条件，利用两边且夹角相等容易得到两个三角形全等 【解答】证明：在ABC 和DEC 中， ， ABCDCE， （SAS） 故选：B 6计算 3a2b（ ） A5ab B5a C6ab D6b 【分析】根据单项式乘单项式的运算法则计算 【解答】解：3a2b6ab， 故选：C 7已知图中的两个三角形全等，则 的度数是（ ） A72 B60 C58 D50 【分析】要根据已知的对应边去找对应角，并运用“全等三角形对应角相等”即可得答案 【解答】解：图中的两个三角形全等 a 与 a，
14、c 与 c 分别是对应边，那么它们的夹角就是对应角 50 故选：D 8如图，ABC 与DEF 关于直线 l 对称，BE 交 l 于点 O，则下列说法不一定正确的是（ ） AACDF BBOEO CADl DABEF 【分析】根据轴对称的性质解决问题即可 【解答】解：ABC 与DEF 关于直线 l 对称， ACBDFE，直线 l 垂直平分线段 AD，直线 l 垂直平分线段 BE， ACDF，ADl，OBOE， 故选项 A，B，C 正确， 故选：D 9如图，在 RtABC 中，ACB90，A50，以点 B 为圆心，BC 长为半径画弧，交 AB 于点 D， 连接 CD，则ACD 的度数是（ ） A5
15、0 B40 C30 D20 【分析】根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论 【解答】解：在 RtABC 中，ACB90，A50， B40， BCBD， BCDBDC（18040）70， ACD907020， 故选：D 10如图，在平面直角坐标系中，A（0，2） ，B（4，2） ，点 P 是 x 轴上任意一点，当 PA+PB 有最小值时， P 点的坐标为（ ） A （0，0） B （1，0） C （2，0） D （3，0） 【分析】根据两点之间线段最短，先在 x 轴上找到 PA+PB 有最小值时的点 P 所在的位置，然后求出直线 AB 的解析式，即可得到 P的坐标，从而可以解答本题 【
16、解答】解：作点 A 关于 x 轴的对称点 A，连接 BA与 x 轴交于点 P， 则 PA+PB 有最小值就是线段 AB 的值， A（0，2） ，B（4，2） ， 点 A的坐标为（0，2） ， 设直线 AB 的解析式为 ykx+b， ， 解得， 即直线 AB 的解析式为 yx2， 当 y0 时，x2， 即点 P的坐标为（2，0） ， 故选：C 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11如图，BC，12，图中共有全等三角形 2 对 【分析】共有 2 对分别为ABEACD，ABDACE做题时要从已知条件开始结合图形利用 全等的判定方法由
17、易到难逐个寻找 【解答】解：如图， BC， ABAC， 在ABE 与ACD 中， ， ABEACD（SAS） BECD， BE+EDCD+ED，即 BDCE， 在ABD 与ACE 中， ， ABDACE（SAS） 综上所述，图中共有全等三角形 2 对，它们分别是ABEACD，ABDACE 故答案是：2 12a7a4 a3 【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案 【解答】解：a7a4a7 4a3 故答案为：a3 13如图，在ABC 中，已知 AC16，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，BCE 的周长等于 30，则 BC 的长是 14 【分析】根据线段垂直平分线
18、性质知，AEBEBCE 的周长BC+BE+ECBC+AE+ECBC+AC解 方程得解 【解答】解：DE 垂直平分 AB， EAEB BCE 的周长BC+BE+ECBC+AE+ECBC+AC， 即 BC+1630， BC14 故答案为：14 14计算： （2a2b）2 4a4b2 【分析】利用积的乘方的性质和幂的乘方的性质进行计算即可 【解答】解：原式4a4b2， 故答案为：4a4b2 15如图，AD 与 BC 交于 O 点，OAOB，依据 SAS，使AOCBOD，则还需添加条件 OCOD 【分析】根据全等三角形的判定定理 SAS 可得出答案 【解答】解：OCOD， 理由是：在AOC 和BOD
19、中， ， AOCBOD（SAS） 故答案为：OCOD 16如图，在 RtABC 中，ACB90，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，若 AB5，DC2，则ABD 的 面积为 5 【分析】作 DHAB 于 H，如图，根据角平分线的性质得到 DHDC2，然后根据三角形面积公式计 算 【解答】解：作 DHAB 于 H，如图， AD 平分BAC，DHAB，DCAC， DHDC2， ABD 的面积525 故答案为 5 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 4 小题，其中小题，其中 17、18、19 题各题各 10 分，分，20 题题 9 分，共分，共 39 分）分） 17 （10 分）计算： （1）x
20、2y2 （xy3） ； （2） （4x3+2x）2x 【分析】 （1）直接利用单项式乘单项式运算法则计算得出答案； （2）直接利用整式的除法运算法则计算得出答案 【解答】解： （1）x2y2 （xy3） x3y5； （2） （4x3+2x）2x 4x32x+2x2x 2x2+1 18 （10 分）如图，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，ABAC，BC，求证：BDCE 【分析】要证 BDCE 只要证明 ADAE 即可，而证明ABEACD，则可得 ADAE 【解答】证明：在ABE 与ACD 中 ， ABEACD（ASA） ADAE BDCE 19 （10 分）如图在ABC 中，ABAC，
21、点 D 在 AC 上，且 BDBCAD，求A 的度数 【分析】由已知条件开始，通过线段相等，得到角相等，再由三角形内角和求出各个角的大小 【解答】解：设Ax BDAD， AABDx， BDCA+ABD2x， BDBC， BDCBCD2x， ABAC， ABCBCD2x， 在ABC 中 x+2x+2x180， 解得：x36， A36 20 （9 分）如图，在平面直角坐标系中，已知 A（3，3） B（5，1） C（1，2） （1）画出ABC 关于 y 轴的轴对称图形A1B1C1； （2）在（1）的条件下，连接 A1A、C1A，直接写出A1C1A 的面积 【分析】 （1）直接利用关于 y 轴对称点的
22、性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用三角形面积求法进而得出答案 【解答】解： （1）如图所示：A1B1C1，即为所求； （2）A1C1A 的面积为：6515 四、解答题（本题共四、解答题（本题共 3 小题，其中小题，其中 21 题题 9 分，分，22、23 题各题各 10 分，共分，共 29 分）分） 21 （9 分）如图，CAD 为ABC 的外角，ABAC作CAD 的平分线 AE （1）依题意补全图形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ； （2）求证：AEBC 【分析】 （1）利用基本作图作DAC 的平分线； （2）利用等腰三角形的性质和三角形外角性质证明BDAE，从而可判断
23、 AEBC 【解答】 （1）解：如图， （2）证明：ABAC， BC， CADB+C， CAD2B， AE 平分CAD， CAD2DAE， BDAE， AEBC 22 （10 分）如图，ABC 是等边三角形，DEBC，分别交 AB、AC 于点 D、E求证：ADE 是等边三 角形 【分析】根据ABC 为等边三角形，则CB60，由 DEBC 得到ADECBAED 60，然后根据等边三角形的判定方法得到ADE 是等边三角形； 【解答】证明：ABC 是等边三角形， ABC， DEBC， ADEB，AEDC， AADEAED， ADE 是等边三角形 23 （10 分）已知（x2+mx3） （2x+n）的
24、展开式中不含 x2项，常数项是6 （1）求 m，n 的值 （2）求（m+n） （m2mn+n2）的值 【分析】 （1）直接利用多项式乘多项式将原式变形，进而得出 m，n 的值； （2）利用多项式乘多项式运算法则计算得出答案 【解答】解： （1）原式2x3+2mx26x+nx2+mnx3n 2x3+2mx2+nx2+mnx6x3n 2x3+（2m+n）x2+（mn6）x3n， 由于展开式中不含 x2项，常数项是6， 则 2m+n0 且3n6， 解得：m1，n2； （2）由（1）可知：m1，n2， 原式m3+n3（1） 3+23， 1+8 7 五、解答题（本题共五、解答题（本题共 3 小题，其中小
25、题，其中 24、25 题各题各 11 分，分，26 题题 12 分，共分，共 34 分）分） 24 （11 分）如图，甲、乙都是长方形，边长的数据如图所示（其中 m 为正整数） （1）图中的甲长方形的面积 S1，乙长方形的面积 S2，试比较 S1、S2的大小，并说明理由； （2）现有一正方形，其周长与图中的甲长方形周长相等，试探究：该正方形面积 S 与图中的甲长方形面 积 S1的差（即 SS1）是一个常数，求出这个常数 【分析】 （1）利用多项式乘多项式法则，先求出两个长方形的面积，再计算两个长方形面积的差即可； （2）根据长方形的周长，先算出正方形的周长，再求出两个多边形的面积差 【解答】解
26、： （1）S1（m+1） （m+7）m2+8m+7， S2（m+2） （m+4）m2+6m+8， S1S2（m2+8m+7）（m2+6m+8）2m1， m 为正整数， 2m10， S1S2 （2）图中甲的长方形周长为 2（m+7+m+1）4m+16， 该正方形边长为 m+4， SS1（m+4）2（m2+8m+7）9， 这个常数为 9 25 （11 分）如图 1，RtABC 中，ACBC，点 P 在线段 AB 上，BDCP 于点 D，CEBD，CECD， AE 交直线 CP 于点 F （1）求证ACPCBD； （2）探究线段 CF，BD 的数量关系，并证明你的结论； （3）当点 P 在 AB 延
27、长线上时，其他条件不变（如图 2） ，若P30，请直接写出的值 【分析】 （1）由余角的性质可得出结论； （2）过 A 作 AGCP 延长线于点 G，证明AGCCDB（AAS） ，由全等三角形的判定与性质得出 CG BD，AGCD，证明AGFECF（AAS） ，由全等三角形的性质得出 CFGF，则可得出结论； （3）过 A 作 AHCP，交 CP 的延长线于点 H，证明ACHCDB（AAS） ，得出 AHCD，CHBD， 证明AHFECF（AAS） ，得出 HFCF，由直角三角形的性质可得出结论 【解答】证明： （1）BDPC， CDB90， DCB+CBD90， ACB90， DCB+ACP
28、90， ACPCBD； （2）解：BD2CF 证明：过 A 作 AGCP 延长线于点 G， G90， GCDB， 在AGC 和CDB 中， ， AGCCDB（AAS） ， CGBD，AGCD， 又CDCE， AGCE， CEBD， CDB+ECD180， ECD90， GECD， 在AGF 和ECF 中， ， AGFECF（AAS） ， CFGF， GCCF+GF2CF， BD2CF； （3）解： 过 A 作 AHCP，交 CP 的延长线于点 H， ACBAHCCDB90， ACH+BCD90，BCD+CBD90， ACHCBD， 在ACH 和CBD 中， ， ACHCDB（AAS） ， AH
29、CD，CHBD， CECD， AHCE， 在AHF 和ECF 中， ， AHFECF（AAS） ， HFCF， BD2CF， P30，BDP90， BP2BD4CF， 26 （12 分）阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图 1，ABC 中，ABAC，点 D 在 BC 边上，DABABD，BEAD， 垂足为 E求证：BC2AE小明探究发现，可以通过构造全等三角形来解决，在 BC 上截取 BFAE， 连接 AF，可证ABFBAE（如图 2） ，从而使问题得到解决 （1） 根据阅读材料回答： ABF 与BAE 全等的条件是 SAS （填 “SSS” “SAS” “ASA” “AAS” 或 “H
30、L” 中的一个） ； 参考小明思考问题的方法，解答下列问题： （2）如图 3，ABC 是等边三角形，点 P 在 BQ 上，且APB120，CPCQ，探究线段 AP，BQ 的 数量关系，并证明你的结论 【分析】 （1）由 SAS 证明ABFBAE 即可； （2）在 BP 上截取点 M，使 BMAP，连接 CM，在 QB 上取点 N，使 QNPM，连接 CN，ABP BCM（SAS） ，得 BPCM，APBBMC120，再证PCMQCN（SAS） ，得 CMCN，则 CMN 是等边三角形得 CMMN，进而得出结论 【解答】解： （1）在 BC 上截取 BFAE，连接 AF，如图 2 所示： DAB
31、ABD， BAEABF， 在ABF 和BAE 中， ， ABFBAE（SAS） ， 故答案为：SAS； （2）BQ2AP，理由如下： 在 BP 上截取点 M，使 BMAP，连接 CM，在 QB 上取点 N，使 QNPM，连接 CN，如图 3 所示： APB120， APQ18012060， ABC 是等边三角形， ABC60，ABBC， APQABC， 即ABP+BAPABP+CBM， BAPCBM， 在ABP 和BCM 中， ， ABPBCM（SAS） ， BPCM，APBBMC120， CMN18012060， CPCQ， CPMQ， 在PCM 和QCN 中， ， PCMQCN（SAS） ， CMCN， CMN 是等边三角形 CMMN， BQBP+PM+MN+QN， BQ2BM2AP
