1、 第 1 页 / 共 11 页 第第 57 讲讲 二项式定理二项式定理 一、课程标准 1、能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理 2、会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.基础知识回顾 二、基础知识回顾 1. 二项式定理 公式：(ab)nC0nanC1nan 1bCk na nkbkCn nb n(nN*) 这个公式表示的定理叫做二项式定理在上式中右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，其中的系数 Ckn(k0，1，n)叫做二项式系数，式中的 Cknan kbk叫做二项展开式的通项，用 T k1表示，即 Tk1C k na n kbk 2. 二项展开式形式上的特点 (1)项数为_n
2、1_ (2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a 与 b 的指数的和为 n. (3)字母 a 按_降幂_排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直到零；字母 b 按_升幂_排列，从第 一项起，次数由零逐项增 1 直到 n. (4)二项式系数从_C0n_，C1n，一直到 Cn 1 n ，_Cnn_ 3. “杨辉三角”与二项式系数的性质 (1)“杨辉三角”有如下规律：左右两边斜行都是 1，其余各数都等于它“肩上”两个数字之和 (2)对称性：在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 Cm n_C nm n _ (3)增减性与最大值：二项式系数 Ckn，当 kn1 2 时，
3、二项式系数逐渐_增大_；当 kn1 2 时，二项式 系数逐渐_减小_当 n 是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当 n 是奇数时，中间两项的二项式系数 最大 (4)各二项式系数的和：(ab)n的展开式的各项二项式系数之和为_2n_，即 C0nC1nCnn_2n_. (5)奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即 C0nC2n_C1nC3n_2n 1_ 三、自主热身、归纳总结 1、(12x)5的展开式中，x2的系数为( ) A. 10 B. 20 C. 25 D. 40 【答案】 D 【解析】 Tr1Cr5(2x)rCr52rxr，当 r2 时，x2的系数为 C252240.故选 D
4、. 2、若 x1 x n 展开式的二项式系数之和为 64，则展开式的常数项为( ) 第 2 页 / 共 11 页 A. 6 B. 12 C. 20 D. 32 【答案】 C 【解析】二项式系数之和 2n64，n6，Tr1Cr6x6 r 1 x r Cr6x6 2r，当 62r0，即当 r3 时为常 数项，T4C3620.故选 C. 3、(xy)n的二项展开式中，第 m 项的系数是( ) A. Cm n B. C m1 n C. Cm 1 n D. (1)m 1Cm1 n 【答案】 D 【解析】 (xy)n二项展开式第 m 项的通项公式为 TmCm 1 n (y)m 1xnm1，系数为 Cm1
5、n (1)m 1.故选 D. 4、(多选)已知(3x1)na0a1xa2x2anxn，设(3x1)n的展开式的二项式系数之和为 Sn，Tna1a2 an，则( ) Aa01 BTn2n(1)n Cn 为奇数时，SnTn；n 为偶数时，SnTn DSnTn 【答案】 BC 【解析】由题意知 Sn2n，令 x0，得 a0(1)n，令 x1，得 a0a1a2an2n，所以 Tn2n( 1)n，故选 B、C. 5、(一题两空)若 3x 1 3 x2 m 的展开式中二项式系数之和为 128，则 m_，展开式中 1 x3的系数是 _ 【答案】 7 21 【解析】由题意可知 2m128，m7，展开式的通项
6、Tr1Cr7(3x)7 r 1 3 x2 rCr 73 7r(1)rx75r 3 ，令 75 3r3，解得 r6， 1 x3的系数为 C 6 73 76(1)621. 6、(2020 合肥模拟)(x2)3(2x1)2的展开式中 x 的奇次项的系数之和为_ 【答案】 9 【解析】依题意得，(x2)3(2x1)2(x36x212x8) (4x24x1)4x520 x425x310 x220 x8，所 以展开式中 x 的奇次项的系数之和为 425209. 11若 x 1 2x n(n4，nN*)的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则 n_. 第 3 页 / 共 11 页 【答案】 8 【解析】
7、 x 1 2x n的展开式的通项 T r1C r nx nr 1 2x rCr n2 rxn2r，则前三项的系数分别为 1，n 2， nn1 8 ，由 其依次成等差数列，得 n1nn1 8 ，解得 n8 或 n1(舍去)，故 n8. 四、例题选讲 考点一 二项展开式中特定项及系数问题 例 1、 （1）二项式 x 2 2 x 10的展开式中， x项的系数是( ) A.15 2 B15 2 C15 D15 （2）(2019 天津高考) 2x 1 8x3 8的展开式中的常数项为_ （3）(2019 浙江高考)在二项式( 2x)9的展开式中，常数项是_，系数为有理数的项的个数是 _ 【答案】 （1）B
8、（2）28（3）16 2 5 【解析】 ： （1）选 x 2 2 x 10 的二项展开式的通项为 Tr1Cr10 x 2 10r 2 x r(1)r22r10Cr 10 x 2 3 - 5 r ，令 5 3r 2 1 2，得 r3，所以 x项的系数是(1) 3 24 C3 1015 2 .故选 B. （2） ： 2x 1 8x3 8的通项为 T r1C r 8( )2x 8r 1 8x3 rCr 82 8r 1 8 r x84r. 令 84r0，得 r2， 常数项为 T3C2826 1 8 228. （3）由二项展开式的通项公式可知 Tr1Cr9 ( 2)9 r xr，rN,0r9， 当项为常
9、数项时，r0，T1C09 ( 2)9 x0( 2)916 2. 当项的系数为有理数时，9r 为偶数， 可得 r1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的个数是 5. 变式 1、已知在 3 x 3 3 x n 的展开式中，第 6 项为常数项 (1)求 n； (2)求含 x2项的系数； (3)求展开式中所有的有理项 【解析】 利用通项确定 n 的值， 进而根据指定项的特征求解 通项公式为 Tr1Crn xnr 3 (3)r x r 3( 第 4 页 / 共 11 页 3)rCrnxn2r 3 . (1)第 6 项为常数项，r5 时，有n2r 3 0，解得 n10. (2)令102r 3 2，得 r1
10、 2(106)2，x 2项的系数为 C2 10(3) 2405. (3)由题意知， 102r 3 Z， 0r10， rZ .令102r 3 k(kZ)，则 102r3k，即 r53 2k，rZ，且 0r10， k 应为偶数，k2，0，2，即 r2，5，8，第 3 项，第 6 项与第 9 项为有理项，它们分别为 405x2， 61 236，295 245x 2. 变式 2、求二项展开式中的特定项或指定项的系数 (1)在( x1)4的展开式中，x 的系数为_ (2)(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为_ 【答案】(1)6 (2)30 【解析】(1)由题意可知 Tr1Cr4( x)4 r(1)
11、r 4 2 4 C ( 1) r rr x ，令4r 2 1 解得 r2，所以展开式中 x 的 系数为 C24(1)26 (2)方法一 利用二项展开式的通项公式求解 (x2xy)5(x2x)y5，含 y2的项为 T3C25(x2x)3 y2其中(x2x)3中含 x5的项为 C13x4 xC13x5所 以 x5y2的系数为 C25C1330 方法二 利用组合知识求解 (x2xy)5为 5 个 x2xy 之积，其中有两个取 y，两个取 x2，一个取 x 即可，所以 x5y2的系数为 C25C23 30 方法总结：求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要 求
12、(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数 r1，代回通项公式即可 考点二、 二项式系数的和或各项系数的和的问题 例 2、在(2x3y)10的展开式中，求： (1) 二项式系数的和； (2) 各项系数的和； (3) 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4) 奇数项系数和与偶数项系数和； (5) x 的奇次项系数和与 x 的偶次项系数和 第 5 页 / 共 11 页 【解析】设(2x3y)10a0 x10a1x9ya2x8y2a10y10，(*) 各项系数的和为 a0a1a10，奇数项系数和为 a0a2a10，偶数项系数和为 a1a3a5 a9，x 的奇次项系数和为
13、 a1a3a5a9，x 的偶次项系数和为 a0a2a4a10 由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和 (1)二项式系数的和为 C010C110C10 102 10 (2)令 xy1，各项系数和为(23)10(1)101 (3)奇数项的二项式系数和为 C010C210C10 102 9， 偶数项的二项式系数和为 C110C310C91029 (4)令 xy1，得到 a0a1a2a101， 令 x1，y1(或 x1，y1)，得 a0a1a2a3a10510， 得 2(a0a2a10)1510，奇数项系数和为15 10 2 ； 得 2(a1a3a9)1510，偶数项系数和为15 10
14、2 (5)x的奇次项系数和为a1a3a5a915 10 2 ； x的偶次项系数和为a0a2a4a1015 10 2 变式 1、 (1)(2020 合肥模拟)已知(axb)6的展开式中 x4项的系数与 x5项的系数分别为 135 与18， 则(ax b)6的展开式中所有项系数之和为( ) A1 B1 C32 D64 (2)若(1x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，则|a0|a1|a2|a3|a4|a5|( ) A0 B1 C32 D1 (3)在(1x)n(xN*)的二项展开式中，若只有 x5的系数最大，则 n_. 【答案】(1)D (2)A (3)10 【解析】 (1)由二项展开式
15、的通项公式可知 x4项的系数为 C26a4b2，x5项的系数为 C16a5b，则由题意可得 C26a4b2135， C16a5b18， 解得 ab 2，故(axb)6的展开式中所有项的系数之和为(ab)664. (2)由(1x)5的展开式的通项 Tr1Cr5(x)rCr5(1)rxr，可知 a1，a3，a5都小于 0.则|a0|a1|a2|a3| |a4|a5|a0a1a2a3a4a5.在原二项展开式中令 x1，可得 a0a1a2a3a4a50. (3)二项式中仅 x5的系数最大，其最大值必为 Cn 2n，即得 n 25，解得 n10. 变式 2、对任意实数 x，有 9239 01239 (2
16、3)1(1)(1)(1)xaa xa xa xa x.则下列结论成 第 6 页 / 共 11 页 立的是（ ） A 2 144a B 0 1a C 0129 1aaaa D 9 01239 3aaaaa 【答案】ACD 【解析】对任意实数 x， 有 9239 01239 (23)1(1)(1)(1)xaa xa xa xa x1+2（x1）9， a2 2 9 C 22144，故 A 正确； 故令 x1，可得 a01，故 B 不正确； 令 x2，可得 a0+a1+a2+a91，故 C 正确； 令 x0，可得 a0a1+a2+a939，故 D 正确；故选：ACD. 变式 3、 （2020 深喀第二
17、高级中学高二期末）已知 5 1 2x 25 0125 aa xa xa x，则 12345 2345aaaaa_. 【答案】10 【解析】因为 2345 5 012345 12aa xa xa xa xa xx 两边同时取导数得 4 234 12345 2310 1524aa xa xaxa xx 再令1x 得 4 12345 234510 1 210aaaaa 故答案为：10 方法总结：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(axb)n、(ax2bxc)m (a、bR)的式 子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x1 即可；对形如(axby)n (a，bR)的式子求其
18、展 开式各项系数之和，只需令 xy1 即可 考点三 二项式定理的综合应用 例 3 (1)190C110902C210903C310(1)k90kCk109010C10 10除以 88 的余数是_ 第 7 页 / 共 11 页 (2)设复数 x 2i 1i(i 是虚数单位)，则 C 1 2019xC 2 2019x 2C3 2019x 3C2019 2019x 2019_ 【答案】 （1）1 （2）i1 【解析】 (1)190C110902C210903C(1)k90kCk109010C10 10(190) 108910(881)10 8810C110889C910881， 前 10 项均能被
19、88 整除，余数是 1. (2)x 2i 1i 2i（1i） （1i）（1i）1i， C12019xC22019x2C32019x3C2019 2019x 2019(1x)20191i20191i1 变式 1、 （2020 江苏省南京师大附中高二）已知 21 221 01221 1 n n n xaa xa xax ，n N记 0 21? n nn k k Tka （1）求 2 T的值； （2）化简 n T的表达式，并证明：对任意n N的，n T都能被42n整除 【答案】 （1）30； （2） 21 2 21 n nn TnC ，证明见解析. 【解析】由二项式定理，得 21 0,1,2,21
20、i in aCin ； （1） 210 2210555 35+3530TaaaCCC； （2）因为 1 21 21 !212! 1! 11 nk n nnn nk nk knknk n n Ck 2 21 n k n nC ， 所以 1 2121 000 212121 nnn n knk nn knn kkk TkakCkC 111 212121 000 21212121 nnn nknknk nnn kkk nknCnk CnC 1221 2212 00 11 2 21212 212212 22 nn n knknnn nnn kk nCnCnCn 2 21 n n nC， 1 221212
21、1 21212 21 nnnn nnnnn TnCnCCnC ， 因为 21 n n CN ，所以 n T能被42n整除. 第 8 页 / 共 11 页 变式 2、 【陕西省黄陵中学高新部 2017-2018 学年高二下学期开学考试】(1)设 . 求； 求； 求； (2)求除以 9 的余数 【答案】 （1）16，256，15； （2）7 【解析】试题分析： （1）利用赋值法，令，求； （2）令 x=-1，与（2）相加求 ； ， ； 令，结合二项式系数和即可求出结果； （2）利用二项式系数和，把 分解为 9 的倍数形式，再求对应的余数 试题解析：(1)令x1，得a0a1a2a3a4(31) 41
22、6. 令x1 得，a0a1a2a3a4(31) 4256， 而由(1)知a0a1a2a3a4(31) 416，两式相加，得 a0a2a4136. 令x0 得a0(01) 41，得 a1a2a3a4a0a1a2a3a4a016115. （2）解 SC C C 2 271 8 91(91)91C 99C 98C 9C 1 9(C 9 8C 97C )2 9(C 9 8C 97C 1)7， 显然上式括号内的数是正整数 故S被 9 除的余数为 7. 方法总结： 整除问题， 解决整除问题要点为： (1)观察除式与被除式间的关系； (2)将被除式拆成二项式； (3)结合二项式定理得出结论此外二项式定理还可
23、应用于不等式的证明 五、优化提升与真题演练 1、 【2019 年高考全国卷理数】（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中 x3的系数为（ ） A12 B16 C20 D24 4 234 01234 31xaa xa xa xa x 01234 aaaaa 024 aaa 1234 aaaa 1227 272727 SCCC 1x 01234 aaaaa 024 aaa 0 x S 第 9 页 / 共 11 页 【答案】A 【解析】由题意得 x3的系数为 31 44 C2C4812，故选 A 2、【2020 年高考北京】在 5 (2)x 的展开式中， 2 x的系数为（ ） A5 B5 C10 D1
24、0 【答案】C 【解析】 5 2x 展开式的通项公式为： 5 5 2 155 C22C r r rr rr r Txx ， 令 5 2 2 r 可得：1r ，则 2 x的系数为： 1 1 5 2C2510 . 故选：C. 3、 【2020 年高考全国卷理数】 2 5 ()()xx y x y的展开式中 x3y3的系数为（ ） A5 B10 C15 D20 【答案】C 【解析】 5 ()xy展开式的通项公式为 5 15 Cr rr r Txy （rN且5r ） 所以 2 y x x 的各项与 5 ()xy展开式的通项的乘积可表示为： 56 155 CC rrrrrr r xTxxyxy 和 54
25、2 5 2 15 2 CC rrrrrr r Txyy yy x x x 在 6 15 Cr rr r xTxy 中，令3r ，可得： 333 45 CxTx y，该项中 33 x y的系数为10， 在 42 15 2 Cr rr r Tx x y y 中，令1r ，可得： 5 2 133 2 C y x Tx y，该项中 33 x y的系数为5 所以 33 x y的系数为10 515 故选：C. 4、 【2018 年高考全国卷理数】 5 2 2 x x 的展开式中 4 x的系数为（ ） A10 B20 C40 D80 第 10 页 / 共 11 页 【答案】C 【解析】 由题可得 5 2 2
26、 x x 的展开式的通式为 5 210 3 155 2 CC2 r r rrrr r Txx x ， 令1 0 34r， 得2r ，所以展开式中 4 x的系数为 22 5 C240故选 C 5、【2020年高考全国II卷理数】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小 区至少安排1名同则不同的安排方法共有_种 【答案】36 【解析】4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1 个小区，每个小区至少安排 1 名同 先取 2 名同学看作一组，选法有： 2 4 C6 . 现在可看成是 3 组同学分配到 3 个小区，分法有： 3 3 A6， 根据分步乘法原理
27、，可得不同的安排方法6 636 种， 故答案为：36. 6、 【2020年高考全国III卷理数】 26 2 ()x x 的展开式中常数项是_（用数字作答） 【答案】240 【解析】 6 2 2 x x 其二项式展开通项： 6 2 61 2 C r r r r x x T 12 2 6 C(2) rrrr xx 12 3 6 C (2) rrr x 当12 30r，解得4r 6 2 2 x x 的展开式中常数项是： 66 442 C2C1615 16240. 故答案为：240. 【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握 n ab的展 第 11 页 / 共 1
28、1 页 开通项公式 1 Cr n rr rn Tab ，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 7、 【2020 年高考天津】在 5 2 2 ()x x 的展开式中， 2 x的系数是_ 【答案】10 【解析】因为 5 2 2 x x 的展开式的通项公式为 55 3 155 2 2 CC20,1,2,3,4,5 r rrrrr r Txxr x ， 令5 32r，解得1r 所以 2 x的系数为 1 5 C210 故答案为：10 【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题 8、 【2020 年高考浙江】 二项展开式 2345 0123 5 45 (2 )1xaa xa xa xa xa x， 则 4 a _， 135 aaa _ 【答案】80；122 【解析】 5 (1 2 ) x的通项为 155 C (2 )2 C rrrrr r Txx ，令4r ，则 4444 55 2 C80Txx，故 5 80a ； 113355 135555 2 C2 C2 C122aaa. 故答案为：80；122.
