2020年甘肃省天水市秦州区高三第二次模拟考试数学理科试题(含答案解析)

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1、2020 年年甘肃省天水市秦州区甘肃省天水市秦州区高考数学二模试卷(理科)高考数学二模试卷(理科) 一、选择题(共 12 小题). 1已知集合 Mx|x23x100,Nx|y,且 M,N 都是全集 R 的子集,则如图所示韦恩图 中阴影部分所表示的集合为( ) Ax|3x5 Bx|x3 或 x5 Cx|3x2 Dx|3x5 2演讲比赛共有 10 位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从 10 个原始评分中去掉 1 个最高分、 1个最低分, 得到8个有效评分 8个有效评分与10个原始评分相比, 不变的数字特征是 ( ) A中位数 B平均数 C方差 D极差 3已知 A(1,2),B(3

2、,4),C(2,2),D(3,5),则向量在向量上的投影为( ) A B C D 4(x+2y)(x+y)5的展开式中 x3y3的系数为( ) A10 B20 C30 D40 5已知实数 ab0,mR,则下列不等式中成立的是( ) A B C Da2b2 6已知双曲线的一条渐近线倾斜角为,则 a( ) A3 B C D3 7甲乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为 a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字 记为 b,其中 a,b1,2,3,4,5,6,7,若|ab|1,就称甲乙“心有灵犀”现任意找两人玩这 个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为( ) A B C D 8已知 m,n 是不

3、同的直线, 是不同的平面,则下列条件能使 n 成立的是( ) A,m B,n C,n Dm,nm 9已知函数 f(x)下列命题: 函数 f(x)的图象关于原点对称; 函数 f(x)是周期函数; 当 x时,函数 f(x)取最大值; 函数 f(x)的图象与函数 y的图象没有公共点 其中正确命题的序号是( ) A B C D 10设函数 f(x)ln(1+|x|),则使得 f(x)f(1)成立的 x 的取值范围是( ) A(1,+) B(,1)(1,+) C(1,1) D(1,0)(0,1) 11在ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,若,则的最大值为 ( ) A B C D 12已

4、知椭圆 C:的左,右焦点分别为 F1,F2,过 F1的直线交椭圆 C 于 A,B 两点, 若ABF290,且ABF2的三边长|BF2|,|AB|,|AF2|成等差数列,则 C 的离心率为( ) A B C D 二、填空题 13如图,在复平面内,复数 z1,z2对应的向量分别是,则 14在平面直角坐标系中,已知一个角 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边经过点 P (5,12),则 sin2 15以(a1,0),(a2,0)为圆心的两圆均过(1,0),与 y 轴正半轴分别交于(0,y1),(0,y2), 且满足 lny1+lny20,则点(a1,a2)的轨迹方程为 16直三棱柱

5、ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上,若 ABACAA12,BAC120,则此球的表 面积等于 三、解答题: 17如图所示,四棱锥 PABCD 中,PC底面 ABCD,PCCD2,E 为 AB 的中点,底面四边形 ABCD 满足ADCDCB90,AD1,BC3 ()求证:平面 PDE平面 PAC; ()求直线 PC 与平面 PDE 所成角的正弦值; ()求二面角 DPEB 的余弦值 18某市调研机构对该市工薪阶层对“楼市限购令”态度进行调查,抽调了 50 名市民,他们月收入频数分 布表和对“楼市限购令”赞成人数如表: 月收入(单位:百元) 15,25) 25,35) 35,45) 45,5

6、5) 55,65) 65,75) 频数 5 c 10 5 5 频率 0.1 a b 0.2 0.1 0.1 赞成人数 4 8 12 5 2 1 (1)若所抽调的 50 名市民中,收入在35,45)的有 15 名,求 a,b,c 的值,并完成频率分布直方图 (2)若从收入(单位:百元)在55,65)的被调查者中随机选取 2 人进行追踪调查,选中的 2 人中恰 有 X 人赞成“楼市限购令”,求 X 的分布列与数学期望 (3)从月收入频率分布表的 6 组市民中分别随机抽取 3 名市民,恰有一组的 3 名市民都不赞成“楼市限 购令”,根据表格数据,判断这 3 名市民来自哪组的可能性最大?请直接写出你的

7、判断结果 19已知数列an的前 n 项和为 Sn,满足 an+1Sn1(nN+),a12, (1)求证:数列Sn1为等比数列; (2)记 bnnSn,求数列bn的前 n 项和 Tn 20已知 f(x)exmx ()若曲线 ylnx 在点(e2,2)处的切线也与曲线 yf(x)相切,求实数 m 的值; ()试讨论函数 f(x)零点的个数 21如图,设抛物线方程为 x22py(p0),M 为直线 y2p 上任意一点,过 M 引抛物线的切线,切点 分别为 A,B ()设线段 AB 的中点为 N; ()求证:MN 平行于 y 轴; ()已知当 M 点的坐标为(2,2p)时,求此时抛物线的方程; ()是

8、否存在点 M,使得点 C 关于直线 AB 的对称点 D 在抛物线 x22py(p0)上,其中,点 C 满 足(O 为坐标原点)若存在,求出所有适合题意的点 M 的坐标;若不存在,请说明理由 22心形线是由一个圆上的一个定点,当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时,这个 定点的轨迹,因其形状像心形而得名在极坐标系 Ox 中,方程 a(1sin(a0)表示的曲线 C1 就是一条心形线,如图,以极轴 Ox 所在的直线为 x 轴,极点 O 为坐标原点的直角坐标系 xOy 中,已知 曲线 C2的参数方程为 (t 为参数) (1)求曲线 C2的极坐标方程; (2)若曲线 C1与 C2相交于

9、A、O、B 三点,求线段 AB 的长 23设 x,y,zR,且 x+y+z1 (1)求(x1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值; (2)若(x2)2+(y1)2+(za)2成立,证明:a3 或 a1 参考答案参考答案 一、选择题(共 12 小题). 1已知集合 Mx|x23x100,Nx|y,且 M,N 都是全集 R 的子集,则如图所示韦恩图 中阴影部分所表示的集合为( ) Ax|3x5 Bx|x3 或 x5 Cx|3x2 Dx|3x5 【分析】图中阴影部分对应的集合为 N(RM ),然后根据集合的基本运算即可得到结论 解:由图象可知阴影部分对应的集合为 N(RM ), Mx|x23x1

10、00 x|2x5, Nx|yx|9x20 x|7x3, 故选:C 2演讲比赛共有 10 位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从 10 个原始评分中去掉 1 个最高分、 1个最低分, 得到8个有效评分 8个有效评分与10个原始评分相比, 不变的数字特征是 ( ) A中位数 B平均数 C方差 D极差 【分析】根据题意,由中位数、平均数、方差、极差的定义,判断即可 解:根据题意,将 10 个数据从小到大排列, 从 10 个原始评分中去掉 1 个最高分、1 个最低分,得到 8 个有效评分 即不变的数字特征是中位数; 故选:A 3已知 A(1,2),B(3,4),C(2,2),D(3,5

11、),则向量在向量上的投影为( ) A B C D 【分析】由题意可得向量与的坐标,可得投影为cos,代入数值可求 解:由题意可知:(2,2),(1,3), 设 为向量与的夹角, 又由夹角公式可得 cos, 故选:B 4(x+2y)(x+y)5的展开式中 x3y3的系数为( ) A10 B20 C30 D40 【分析】把(x+y)5按照二项式定理展开,可得(x+2y)(x+y)5的展开式中 x3y3的系数 解:(x+2y)(x+y)5(x+2y) ( x5+ x6y+ y5 ), 故它的展开式中 x3y3的系数为+230, 故选:C 5已知实数 ab0,mR,则下列不等式中成立的是( ) A B

12、 C Da2b2 【分析】此题要结合指数函数的图象,利用指数函数的单调性解决 解:由指数函数 y()x图象与性质得,此指数函数在 R 是减函数, ab0, 故选:B 6已知双曲线的一条渐近线倾斜角为,则 a( ) A3 B C D3 【分析】由双曲线方程求得渐近线方程,结合题意可得tan,则 a 的值可求 解:由双曲线,得其渐近线方程为 yx, 又双曲线的一条渐近线倾斜角为 , 得 a5 故选:D 7甲乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为 a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字 记为 b,其中 a,b1,2,3,4,5,6,7,若|ab|1,就称甲乙“心有灵犀”现任意找两人玩这

13、个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为( ) A B C D 【分析】基本事件总数 n7749,|ab|1,就称甲乙“心有灵犀”现任意找两人玩这个游戏, 利用列举法求出他们“心有灵犀“包含的基本事件个数,由此能求出他们“心有灵犀”的概率 解:甲乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为 a, 再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为 b,其中 a,b1,2,3,4,3,6,7, |ab|1,就称甲乙“心有灵犀” (8,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(8,3),(3,4),(4,3), (6,4),(4,5),(5,4), 现任意找两人玩这个游戏,则他们“心

14、有灵犀”的概率为 P 故选:C 8已知 m,n 是不同的直线, 是不同的平面,则下列条件能使 n 成立的是( ) A,m B,n C,n Dm,nm 【分析】n 必有 n 平行 的垂线,或者 n 垂直 的平行平面,依次判定选项即可 解:,m,不能说明 n 与 的关系,A 错误; ,n 能够推出 n,正确; m,nm 则 n 与平面 可能平行,所以不正确 故选:B 9已知函数 f(x)下列命题: 函数 f(x)的图象关于原点对称; 函数 f(x)是周期函数; 当 x时,函数 f(x)取最大值; 函数 f(x)的图象与函数 y的图象没有公共点 其中正确命题的序号是( ) A B C D 【分析】研

15、究函数相应性质,逐一判断 解:函数定义域为 R,且 f(x)f(x),即函数为奇函数,故正确; ysinx 是周期函数,而 yx2+1 不是周期函数,故 f(x)不是周期函数,即错误; 因为,当 x0 时,故,f(x)0; 故选:C 10设函数 f(x)ln(1+|x|),则使得 f(x)f(1)成立的 x 的取值范围是( ) A(1,+) B(,1)(1,+) C(1,1) D(1,0)(0,1) 【分析】根据题意,分析可得 f(x)为偶函数且在0,+)上为增函数,据此可得 f(x)f(1)f (|x|)f(1)|x|1,解可得 x 的取值范围,即可得答案 解:根据题意,函数 f(x)ln(

16、1+|x|),其定义域为 R, 有 f(x)ln(4+|x|)f(x),即函数 f(x)为偶函数, f(x)f(1)f(|x|)f(1)|x|1,解可得 x6 或 x1, 故选:B 11在ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,若,则的最大值为 ( ) A B C D 【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式化简可得 tanA2tanB,然后对所求式子进行化简,结合基本 不等式即可求解 解:因为, 由正弦定理可得,sinAcosBsinBcosAsinC(sinAcosB+sinBcosA), 则,当且仅当 时取等号, 故选:B 12已知椭圆 C:的左,右焦点分别为 F1,F2,过

17、 F1的直线交椭圆 C 于 A,B 两点, 若ABF290,且ABF2的三边长|BF2|,|AB|,|AF2|成等差数列,则 C 的离心率为( ) A B C D 【分析】设|BF2|x,|AB|x+d,|AF2|x+2d,利用勾股定理,结合椭圆的定义,转化求解椭圆的离心率 即可 解:由已知,设|BF2|x,|AB|x+d,|AF2|x+2d, 据勾股定理有 x3d;由椭圆定义知ABF2的周长为 4a, 在直角BF2F1中,由勾股定理,2a24c2, 故选:C 二、填空题 13如图,在复平面内,复数 z1,z2对应的向量分别是,则 1+2i 【分析】由图形得到复数 z12i,z2i,代入,再利

18、用复数代数形式的乘除运算化简得答案 解:由图可知,z12i,z6i, 故答案为:1+2i 14在平面直角坐标系中,已知一个角 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边经过点 P (5,12),则 sin2 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义,进而根据二倍角的正弦函数公式即可求解 解:一个角 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边经过点 P(5,12), sin,cos, 故答案为: 15以(a1,0),(a2,0)为圆心的两圆均过(1,0),与 y 轴正半轴分别交于(0,y1),(0,y2), 且满足 lny1+lny20,则点(a1,a2)的轨迹方程为 y(x

19、) 【分析】由 lny1+lny20,得 y1y21写出(1,0),(0,y1)的中点坐标为( ,),结合(a1, 0)在线段 AB 的垂直平分线上,可得同理得到结合 y1y21,可得 从而得到点(a1,a2)的轨迹方程为 y 解:lny1+lny2ln(y1y2)0, y6y21 (a1,0)在线段 AB 的垂直平分线上, A(2,0)和 C(0,y2)的中点坐标为(,), ,得 (12a1)(15a2)1,即 点(a1,a2)的轨迹方程为 y (x) 故答案为:y(x) 16直三棱柱 ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上,若 ABACAA12,BAC120,则此球的表 面积等于 20

20、【分析】通过正弦定理求出底面外接圆的半径,设此圆圆心为 O,球心为 O,在 RTOBO中,求出球 的半径,然后求出球的表面积 解:在ABC 中 ABAC2,BAC120, 可得 设此圆圆心为 O,球心为 O,在 RTOBO中, 故此球的表面积为 4R220 故答案为:20 三、解答题: 17如图所示,四棱锥 PABCD 中,PC底面 ABCD,PCCD2,E 为 AB 的中点,底面四边形 ABCD 满足ADCDCB90,AD1,BC3 ()求证:平面 PDE平面 PAC; ()求直线 PC 与平面 PDE 所成角的正弦值; ()求二面角 DPEB 的余弦值 【分析】()以点 C 为坐标原点,直

21、线 CD、CB、CP 分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,利用 向量法能证明平面 PDE平面 PAC ()求出平面 PDE 的一个法向量,利用向量法能求出直线 PC 与平面 PDE 所成角的正弦值 ()求出平面 PDE 的法向量和平面 PDE 的法向量,利用向量法能求出二面角 DPEB 的余弦值 【解答】证明:()如图所示,以点 C 为坐标原点, 直线 CD、CB、CP 分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系, P(0,0,2),D(2,4,0),E(1,2,0), 4,0, CPCAC,DE平面 PAC, 解:()设 (x,y,z)是平面 PDE 的一个法向量, 则,取 x2,得

22、 (2,1,2), (3,0,2), 直线 PC 与平面 PDE 所成角的正弦值为 (1,4,0),(0,3,2), 平面 PDE 的法向量 (8,1,2), 由图形得二面角 DPEB 的平面角是钝角, 二面角 DPEB 的余弦值为 18某市调研机构对该市工薪阶层对“楼市限购令”态度进行调查,抽调了 50 名市民,他们月收入频数分 布表和对“楼市限购令”赞成人数如表: 月收入(单位:百元) 15,25) 25,35) 35,45) 45,55) 55,65) 65,75) 频数 5 c 10 5 5 频率 0.1 a b 0.2 0.1 0.1 赞成人数 4 8 12 5 2 1 (1)若所抽

23、调的 50 名市民中,收入在35,45)的有 15 名,求 a,b,c 的值,并完成频率分布直方图 (2)若从收入(单位:百元)在55,65)的被调查者中随机选取 2 人进行追踪调查,选中的 2 人中恰 有 X 人赞成“楼市限购令”,求 X 的分布列与数学期望 (3)从月收入频率分布表的 6 组市民中分别随机抽取 3 名市民,恰有一组的 3 名市民都不赞成“楼市限 购令”,根据表格数据,判断这 3 名市民来自哪组的可能性最大?请直接写出你的判断结果 【分析】(1)先根据频率和为 1,得到 a+b0.5,若所抽调的 50 名市民中,收入在35,45)的有 15 名, 则, 所以 a0.2, c1

24、0, 最后求出每组数据对应的频率/组距即可画出频率分布直方图; (2)由表中数据可知,收入在55,65)中赞成人数为 2,不赞成人数为 3,所以 X 的可能取值为 0,1, 2,然后根据超几何分布求概率的方式逐一求出每个 X 的取值所对应的概率即可得分布列,进而求得数 学期望; (3)表中赞成人数最少的那组可能性更大 解:(1)由频率分布表得,0.1+a+b+0.2+3.1+0.11,a+b0.4, 所抽调的 50 名市民中,收入在35,45)的有 15 名, 故 a0.2,b0.3,c10 X 的可能取值为 0,6,2, X 的分布列为: (3)来自65,75)的可能性更大 19已知数列an

25、的前 n 项和为 Sn,满足 an+1Sn1(nN+),a12, (1)求证:数列Sn1为等比数列; (2)记 bnnSn,求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】(1)利用递推关系式求出数列的通项公式 (2)乘公比错位相减法求出数列的和 解:(1)由 an+1Sn1Sn+12Sn1, 由 a12,故 S111, 故数列Sn7是首项为 1,公比为 2 的等比数列 故, 两式相减得, 故 20已知 f(x)exmx ()若曲线 ylnx 在点(e2,2)处的切线也与曲线 yf(x)相切,求实数 m 的值; ()试讨论函数 f(x)零点的个数 【分析】()求得 ylnx 的导数,可得切线的斜率和方

26、程,求 yf(x)的导数,设切点为(s,t), 求得切线的斜率,可得 m 的方程,解方程,结合构造函数,即可得到所求值; ()求得 f(x)的导数,讨论 m0,m0,me,0me,me,判断 f(x)的单调性和函数值 的变化,以及最值的符号,可得所求零点个数 解:()ylnx 的导数为 y, 可得曲线 ylnx 在点(e2,2)处的切线斜率为 e7, f(x)exmx 的导数为 f(x)exm, 则 esme2,tesms2+se21, 当 x0 时函数 y 递减,x0 时函数 y 递增,可得 x0 处函数 y 取得最大值 1, ()f(x)exmx 的导数为 f(x)exm, 当 m0 时,

27、f(x)ex无零点; 当 m0 时,由 xlnm,f(x)2,f(x)递增, 当 mmlnm0,即 0me 时,f(x)无零点; 当 mmlnm0 即 me 时,f(x)有两个零点 m0 或 me 时,f(x)有一个零点; me 时,f(x)有两个零点 21如图,设抛物线方程为 x22py(p0),M 为直线 y2p 上任意一点,过 M 引抛物线的切线,切点 分别为 A,B ()设线段 AB 的中点为 N; ()求证:MN 平行于 y 轴; ()已知当 M 点的坐标为(2,2p)时,求此时抛物线的方程; ()是否存在点 M,使得点 C 关于直线 AB 的对称点 D 在抛物线 x22py(p0)

28、上,其中,点 C 满 足(O 为坐标原点)若存在,求出所有适合题意的点 M 的坐标;若不存在,请说明理由 【分析】()()设,x1x2,N(x3,y3),M(x0,2p)化抛 物线方程为函数,利用函数的导数求解切线方程,转化推出中点横坐标,判断结果即可 ()由()知,当 x02 时,将其代入、并整理,说明 x1,x2是方程 x24x4p20 的两根, 通过韦达定理,通过弦长公式,求解 p,得到抛物线方程 ()设 D(x3,y3),由题意得 C(x1+x2,y1+y2),求出中点坐标,设直线 AB 的方程,点 Q 在直线 AB 上,并注意到点也在直线 AB 上,通过 D(x3,y3)在抛物线上,

29、求出 D 的坐 标,通过斜率,转化求解即可 【解答】()()证明:由题意设,x1x2,N(x6,y3),M(x0, 2p) 由 x22py 得 ,则,所以, 直线 MB 的方程为 由、得,因此,即 2x2x1+x22x3 ()解:由()知,当 x02 时,将其代入、并整理得: 所以 x3,x2是方程 x24x4p20 的两根, 所以 又,所以 p1 或 p6, ()解:设 D(x3,y3),由题意得 C(x1+x2,y1+y2), 设直线 AB 的方程为, 代入得 因此 x60 或 x36x0 (1)当 x00 时,则 x1+x25x00,此时,点 M(0,5p)适合题意 又,ABCD,所以,

30、 对于,因为,此时直线 CD 平行于 y 轴, 所以直线 AB 与直线 CD 不垂直,与题设矛盾, 综上所述,仅存在一点 M(5,2p)适合题意 22心形线是由一个圆上的一个定点,当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时,这个 定点的轨迹,因其形状像心形而得名在极坐标系 Ox 中,方程 a(1sin(a0)表示的曲线 C1 就是一条心形线,如图,以极轴 Ox 所在的直线为 x 轴,极点 O 为坐标原点的直角坐标系 xOy 中,已知 曲线 C2的参数方程为 (t 为参数) (1)求曲线 C2的极坐标方程; (2)若曲线 C1与 C2相交于 A、O、B 三点,求线段 AB 的长 【分析

31、】(1)直接利用转换关系的应用,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 (2)利用极径的应用求出结果 解:已知曲线 C2的参数方程为(t 为参数)转换为直角坐标方程为 ,转换为极 坐标方程为(R) (5)由,解得 由,解得,解得 B() 所以|AB| 23设 x,y,zR,且 x+y+z1 (1)求(x1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值; (2)若(x2)2+(y1)2+(za)2成立,证明:a3 或 a1 【分析】(1)运用柯西不等式可得(12+12+12)(x1)2+(y+1)2+(z+1)2(x1+y+1+z+1)2 4,可得所求最小值; (2)运用柯西不等式求得(x2)2+(y1)2+(za)2的最小值,由题意可得不大于最小值,解不 等式可得所求范围 解:(1)x,y,zR,且 x+y+z1, 由柯西不等式可得 可得(x1)2+(y+1)2+(z+1)2, (8)证明:由 x+y+z1,柯西不等式可得 可得(x2)2+(y1)2+(za)2, 由题意可得, 解得 a1 或 a3

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