1、2020 年年甘肃省天水市秦州区甘肃省天水市秦州区高考数学二模试卷（理科）高考数学二模试卷（理科） 一、选择题（共 12 小题）. 1已知集合 Mx|x23x100，Nx|y，且 M，N 都是全集 R 的子集，则如图所示韦恩图 中阴影部分所表示的集合为（ ） Ax|3x5 Bx|x3 或 x5 Cx|3x2 Dx|3x5 2演讲比赛共有 10 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从 10 个原始评分中去掉 1 个最高分、 1个最低分， 得到8个有效评分 8个有效评分与10个原始评分相比， 不变的数字特征是 （ ） A中位数 B平均数 C方差 D极差 3已知 A（1，2），B（3
2、，4），C（2，2），D（3，5），则向量在向量上的投影为（ ） A B C D 4（x+2y）（x+y）5的展开式中 x3y3的系数为（ ） A10 B20 C30 D40 5已知实数 ab0，mR，则下列不等式中成立的是（ ） A B C Da2b2 6已知双曲线的一条渐近线倾斜角为，则 a（ ） A3 B C D3 7甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为 a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字 记为 b，其中 a，b1，2，3，4，5，6，7，若|ab|1，就称甲乙“心有灵犀”现任意找两人玩这 个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ） A B C D 8已知 m，n 是不
3、同的直线， 是不同的平面，则下列条件能使 n 成立的是（ ） A，m B，n C，n Dm，nm 9已知函数 f（x）下列命题： 函数 f（x）的图象关于原点对称； 函数 f（x）是周期函数； 当 x时，函数 f（x）取最大值； 函数 f（x）的图象与函数 y的图象没有公共点 其中正确命题的序号是（ ） A B C D 10设函数 f（x）ln（1+|x|），则使得 f（x）f（1）成立的 x 的取值范围是（ ） A（1，+） B（，1）（1，+） C（1，1） D（1，0）（0，1） 11在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，若，则的最大值为 （ ） A B C D 12已
4、知椭圆 C：的左，右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线交椭圆 C 于 A，B 两点， 若ABF290，且ABF2的三边长|BF2|，|AB|，|AF2|成等差数列，则 C 的离心率为（ ） A B C D 二、填空题 13如图，在复平面内，复数 z1，z2对应的向量分别是，则 14在平面直角坐标系中，已知一个角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点 P （5，12），则 sin2 15以（a1，0），（a2，0）为圆心的两圆均过（1，0），与 y 轴正半轴分别交于（0，y1），（0，y2）， 且满足 lny1+lny20，则点（a1，a2）的轨迹方程为 16直三棱柱
5、ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上，若 ABACAA12，BAC120，则此球的表 面积等于 三、解答题： 17如图所示，四棱锥 PABCD 中，PC底面 ABCD，PCCD2，E 为 AB 的中点，底面四边形 ABCD 满足ADCDCB90，AD1，BC3 （）求证：平面 PDE平面 PAC； （）求直线 PC 与平面 PDE 所成角的正弦值； （）求二面角 DPEB 的余弦值 18某市调研机构对该市工薪阶层对“楼市限购令”态度进行调查，抽调了 50 名市民，他们月收入频数分 布表和对“楼市限购令”赞成人数如表： 月收入（单位：百元） 15，25） 25，35） 35，45） 45，5
6、5） 55，65） 65，75） 频数 5 c 10 5 5 频率 0.1 a b 0.2 0.1 0.1 赞成人数 4 8 12 5 2 1 （1）若所抽调的 50 名市民中，收入在35，45）的有 15 名，求 a，b，c 的值，并完成频率分布直方图 （2）若从收入（单位：百元）在55，65）的被调查者中随机选取 2 人进行追踪调查，选中的 2 人中恰 有 X 人赞成“楼市限购令”，求 X 的分布列与数学期望 （3）从月收入频率分布表的 6 组市民中分别随机抽取 3 名市民，恰有一组的 3 名市民都不赞成“楼市限 购令”，根据表格数据，判断这 3 名市民来自哪组的可能性最大？请直接写出你的
7、判断结果 19已知数列an的前 n 项和为 Sn，满足 an+1Sn1（nN+），a12， （1）求证：数列Sn1为等比数列； （2）记 bnnSn，求数列bn的前 n 项和 Tn 20已知 f（x）exmx （）若曲线 ylnx 在点（e2，2）处的切线也与曲线 yf（x）相切，求实数 m 的值； （）试讨论函数 f（x）零点的个数 21如图，设抛物线方程为 x22py（p0），M 为直线 y2p 上任意一点，过 M 引抛物线的切线，切点 分别为 A，B （）设线段 AB 的中点为 N； （）求证：MN 平行于 y 轴； （）已知当 M 点的坐标为（2，2p）时，求此时抛物线的方程； （）是
8、否存在点 M，使得点 C 关于直线 AB 的对称点 D 在抛物线 x22py（p0）上，其中，点 C 满 足（O 为坐标原点）若存在，求出所有适合题意的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 22心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个 定点的轨迹，因其形状像心形而得名在极坐标系 Ox 中，方程 a（1sin（a0）表示的曲线 C1 就是一条心形线，如图，以极轴 Ox 所在的直线为 x 轴，极点 O 为坐标原点的直角坐标系 xOy 中，已知 曲线 C2的参数方程为 （t 为参数） （1）求曲线 C2的极坐标方程； （2）若曲线 C1与 C2相交于
9、A、O、B 三点，求线段 AB 的长 23设 x，y，zR，且 x+y+z1 （1）求（x1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值； （2）若（x2）2+（y1）2+（za）2成立，证明：a3 或 a1 参考答案参考答案 一、选择题（共 12 小题）. 1已知集合 Mx|x23x100，Nx|y，且 M，N 都是全集 R 的子集，则如图所示韦恩图 中阴影部分所表示的集合为（ ） Ax|3x5 Bx|x3 或 x5 Cx|3x2 Dx|3x5 【分析】图中阴影部分对应的集合为 N（RM ），然后根据集合的基本运算即可得到结论 解：由图象可知阴影部分对应的集合为 N（RM ）， Mx|x23x1
10、00 x|2x5， Nx|yx|9x20 x|7x3， 故选：C 2演讲比赛共有 10 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从 10 个原始评分中去掉 1 个最高分、 1个最低分， 得到8个有效评分 8个有效评分与10个原始评分相比， 不变的数字特征是 （ ） A中位数 B平均数 C方差 D极差 【分析】根据题意，由中位数、平均数、方差、极差的定义，判断即可 解：根据题意，将 10 个数据从小到大排列， 从 10 个原始评分中去掉 1 个最高分、1 个最低分，得到 8 个有效评分 即不变的数字特征是中位数； 故选：A 3已知 A（1，2），B（3，4），C（2，2），D（3，5
11、），则向量在向量上的投影为（ ） A B C D 【分析】由题意可得向量与的坐标，可得投影为cos，代入数值可求 解：由题意可知：（2，2），（1，3）， 设 为向量与的夹角， 又由夹角公式可得 cos， 故选：B 4（x+2y）（x+y）5的展开式中 x3y3的系数为（ ） A10 B20 C30 D40 【分析】把（x+y）5按照二项式定理展开，可得（x+2y）（x+y）5的展开式中 x3y3的系数 解：（x+2y）（x+y）5（x+2y） （ x5+ x6y+ y5 ）， 故它的展开式中 x3y3的系数为+230， 故选：C 5已知实数 ab0，mR，则下列不等式中成立的是（ ） A B
12、 C Da2b2 【分析】此题要结合指数函数的图象，利用指数函数的单调性解决 解：由指数函数 y（）x图象与性质得，此指数函数在 R 是减函数， ab0， 故选：B 6已知双曲线的一条渐近线倾斜角为，则 a（ ） A3 B C D3 【分析】由双曲线方程求得渐近线方程，结合题意可得tan，则 a 的值可求 解：由双曲线，得其渐近线方程为 yx， 又双曲线的一条渐近线倾斜角为 ， 得 a5 故选：D 7甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为 a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字 记为 b，其中 a，b1，2，3，4，5，6，7，若|ab|1，就称甲乙“心有灵犀”现任意找两人玩这
13、个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ） A B C D 【分析】基本事件总数 n7749，|ab|1，就称甲乙“心有灵犀”现任意找两人玩这个游戏， 利用列举法求出他们“心有灵犀“包含的基本事件个数，由此能求出他们“心有灵犀”的概率 解：甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为 a， 再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为 b，其中 a，b1，2，3，4，3，6，7， |ab|1，就称甲乙“心有灵犀” （8，1），（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（3，2），（8，3），（3，4），（4，3）， （6，4），（4，5），（5，4）， 现任意找两人玩这个游戏，则他们“心
14、有灵犀”的概率为 P 故选：C 8已知 m，n 是不同的直线， 是不同的平面，则下列条件能使 n 成立的是（ ） A，m B，n C，n Dm，nm 【分析】n 必有 n 平行 的垂线，或者 n 垂直 的平行平面，依次判定选项即可 解：，m，不能说明 n 与 的关系，A 错误； ，n 能够推出 n，正确； m，nm 则 n 与平面 可能平行，所以不正确 故选：B 9已知函数 f（x）下列命题： 函数 f（x）的图象关于原点对称； 函数 f（x）是周期函数； 当 x时，函数 f（x）取最大值； 函数 f（x）的图象与函数 y的图象没有公共点 其中正确命题的序号是（ ） A B C D 【分析】研
15、究函数相应性质，逐一判断 解：函数定义域为 R，且 f（x）f（x），即函数为奇函数，故正确； ysinx 是周期函数，而 yx2+1 不是周期函数，故 f（x）不是周期函数，即错误； 因为，当 x0 时，故，f（x）0； 故选：C 10设函数 f（x）ln（1+|x|），则使得 f（x）f（1）成立的 x 的取值范围是（ ） A（1，+） B（，1）（1，+） C（1，1） D（1，0）（0，1） 【分析】根据题意，分析可得 f（x）为偶函数且在0，+）上为增函数，据此可得 f（x）f（1）f （|x|）f（1）|x|1，解可得 x 的取值范围，即可得答案 解：根据题意，函数 f（x）ln（
16、1+|x|），其定义域为 R， 有 f（x）ln（4+|x|）f（x），即函数 f（x）为偶函数， f（x）f（1）f（|x|）f（1）|x|1，解可得 x6 或 x1， 故选：B 11在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，若，则的最大值为 （ ） A B C D 【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式化简可得 tanA2tanB，然后对所求式子进行化简，结合基本 不等式即可求解 解：因为， 由正弦定理可得，sinAcosBsinBcosAsinC（sinAcosB+sinBcosA）， 则，当且仅当 时取等号， 故选：B 12已知椭圆 C：的左，右焦点分别为 F1，F2，过
17、 F1的直线交椭圆 C 于 A，B 两点， 若ABF290，且ABF2的三边长|BF2|，|AB|，|AF2|成等差数列，则 C 的离心率为（ ） A B C D 【分析】设|BF2|x，|AB|x+d，|AF2|x+2d，利用勾股定理，结合椭圆的定义，转化求解椭圆的离心率 即可 解：由已知，设|BF2|x，|AB|x+d，|AF2|x+2d， 据勾股定理有 x3d；由椭圆定义知ABF2的周长为 4a， 在直角BF2F1中，由勾股定理，2a24c2， 故选：C 二、填空题 13如图，在复平面内，复数 z1，z2对应的向量分别是，则 1+2i 【分析】由图形得到复数 z12i，z2i，代入，再利
18、用复数代数形式的乘除运算化简得答案 解：由图可知，z12i，z6i， 故答案为：1+2i 14在平面直角坐标系中，已知一个角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点 P （5，12），则 sin2 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，进而根据二倍角的正弦函数公式即可求解 解：一个角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点 P（5，12）， sin，cos， 故答案为： 15以（a1，0），（a2，0）为圆心的两圆均过（1，0），与 y 轴正半轴分别交于（0，y1），（0，y2）， 且满足 lny1+lny20，则点（a1，a2）的轨迹方程为 y（x
19、） 【分析】由 lny1+lny20，得 y1y21写出（1，0），（0，y1）的中点坐标为（ ，），结合（a1， 0）在线段 AB 的垂直平分线上，可得同理得到结合 y1y21，可得 从而得到点（a1，a2）的轨迹方程为 y 解：lny1+lny2ln（y1y2）0， y6y21 （a1，0）在线段 AB 的垂直平分线上， A（2，0）和 C（0，y2）的中点坐标为（，）， ，得 （12a1）（15a2）1，即 点（a1，a2）的轨迹方程为 y （x） 故答案为：y（x） 16直三棱柱 ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上，若 ABACAA12，BAC120，则此球的表 面积等于 20
20、【分析】通过正弦定理求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为 O，球心为 O，在 RTOBO中，求出球 的半径，然后求出球的表面积 解：在ABC 中 ABAC2，BAC120， 可得 设此圆圆心为 O，球心为 O，在 RTOBO中， 故此球的表面积为 4R220 故答案为：20 三、解答题： 17如图所示，四棱锥 PABCD 中，PC底面 ABCD，PCCD2，E 为 AB 的中点，底面四边形 ABCD 满足ADCDCB90，AD1，BC3 （）求证：平面 PDE平面 PAC； （）求直线 PC 与平面 PDE 所成角的正弦值； （）求二面角 DPEB 的余弦值 【分析】（）以点 C 为坐标原点，直
21、线 CD、CB、CP 分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用 向量法能证明平面 PDE平面 PAC （）求出平面 PDE 的一个法向量，利用向量法能求出直线 PC 与平面 PDE 所成角的正弦值 （）求出平面 PDE 的法向量和平面 PDE 的法向量，利用向量法能求出二面角 DPEB 的余弦值 【解答】证明：（）如图所示，以点 C 为坐标原点， 直线 CD、CB、CP 分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， P（0，0，2），D（2，4，0），E（1，2，0）， 4，0， CPCAC，DE平面 PAC， 解：（）设 （x，y，z）是平面 PDE 的一个法向量， 则，取 x2，得
22、 （2，1，2）， （3，0，2）， 直线 PC 与平面 PDE 所成角的正弦值为 （1，4，0），（0，3，2）， 平面 PDE 的法向量 （8，1，2）， 由图形得二面角 DPEB 的平面角是钝角， 二面角 DPEB 的余弦值为 18某市调研机构对该市工薪阶层对“楼市限购令”态度进行调查，抽调了 50 名市民，他们月收入频数分 布表和对“楼市限购令”赞成人数如表： 月收入（单位：百元） 15，25） 25，35） 35，45） 45，55） 55，65） 65，75） 频数 5 c 10 5 5 频率 0.1 a b 0.2 0.1 0.1 赞成人数 4 8 12 5 2 1 （1）若所抽
23、调的 50 名市民中，收入在35，45）的有 15 名，求 a，b，c 的值，并完成频率分布直方图 （2）若从收入（单位：百元）在55，65）的被调查者中随机选取 2 人进行追踪调查，选中的 2 人中恰 有 X 人赞成“楼市限购令”，求 X 的分布列与数学期望 （3）从月收入频率分布表的 6 组市民中分别随机抽取 3 名市民，恰有一组的 3 名市民都不赞成“楼市限 购令”，根据表格数据，判断这 3 名市民来自哪组的可能性最大？请直接写出你的判断结果 【分析】（1）先根据频率和为 1，得到 a+b0.5，若所抽调的 50 名市民中，收入在35，45）的有 15 名， 则， 所以 a0.2， c1
24、0， 最后求出每组数据对应的频率/组距即可画出频率分布直方图； （2）由表中数据可知，收入在55，65）中赞成人数为 2，不赞成人数为 3，所以 X 的可能取值为 0，1， 2，然后根据超几何分布求概率的方式逐一求出每个 X 的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数 学期望； （3）表中赞成人数最少的那组可能性更大 解：（1）由频率分布表得，0.1+a+b+0.2+3.1+0.11，a+b0.4， 所抽调的 50 名市民中，收入在35，45）的有 15 名， 故 a0.2，b0.3，c10 X 的可能取值为 0，6，2， X 的分布列为： （3）来自65，75）的可能性更大 19已知数列an
25、的前 n 项和为 Sn，满足 an+1Sn1（nN+），a12， （1）求证：数列Sn1为等比数列； （2）记 bnnSn，求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】（1）利用递推关系式求出数列的通项公式 （2）乘公比错位相减法求出数列的和 解：（1）由 an+1Sn1Sn+12Sn1， 由 a12，故 S111， 故数列Sn7是首项为 1，公比为 2 的等比数列 故， 两式相减得， 故 20已知 f（x）exmx （）若曲线 ylnx 在点（e2，2）处的切线也与曲线 yf（x）相切，求实数 m 的值； （）试讨论函数 f（x）零点的个数 【分析】（）求得 ylnx 的导数，可得切线的斜率和方
26、程，求 yf（x）的导数，设切点为（s，t）， 求得切线的斜率，可得 m 的方程，解方程，结合构造函数，即可得到所求值； （）求得 f（x）的导数，讨论 m0，m0，me，0me，me，判断 f（x）的单调性和函数值 的变化，以及最值的符号，可得所求零点个数 解：（）ylnx 的导数为 y， 可得曲线 ylnx 在点（e2，2）处的切线斜率为 e7， f（x）exmx 的导数为 f（x）exm， 则 esme2，tesms2+se21， 当 x0 时函数 y 递减，x0 时函数 y 递增，可得 x0 处函数 y 取得最大值 1， （）f（x）exmx 的导数为 f（x）exm， 当 m0 时，
27、f（x）ex无零点； 当 m0 时，由 xlnm，f（x）2，f（x）递增， 当 mmlnm0，即 0me 时，f（x）无零点； 当 mmlnm0 即 me 时，f（x）有两个零点 m0 或 me 时，f（x）有一个零点； me 时，f（x）有两个零点 21如图，设抛物线方程为 x22py（p0），M 为直线 y2p 上任意一点，过 M 引抛物线的切线，切点 分别为 A，B （）设线段 AB 的中点为 N； （）求证：MN 平行于 y 轴； （）已知当 M 点的坐标为（2，2p）时，求此时抛物线的方程； （）是否存在点 M，使得点 C 关于直线 AB 的对称点 D 在抛物线 x22py（p0）
28、上，其中，点 C 满 足（O 为坐标原点）若存在，求出所有适合题意的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】（）（）设，x1x2，N（x3，y3），M（x0，2p）化抛 物线方程为函数，利用函数的导数求解切线方程，转化推出中点横坐标，判断结果即可 （）由（）知，当 x02 时，将其代入、并整理，说明 x1，x2是方程 x24x4p20 的两根， 通过韦达定理，通过弦长公式，求解 p，得到抛物线方程 （）设 D（x3，y3），由题意得 C（x1+x2，y1+y2），求出中点坐标，设直线 AB 的方程，点 Q 在直线 AB 上，并注意到点也在直线 AB 上，通过 D（x3，y3）在抛物线上，
29、求出 D 的坐 标，通过斜率，转化求解即可 【解答】（）（）证明：由题意设，x1x2，N（x6，y3），M（x0， 2p） 由 x22py 得 ，则，所以， 直线 MB 的方程为 由、得，因此，即 2x2x1+x22x3 （）解：由（）知，当 x02 时，将其代入、并整理得： 所以 x3，x2是方程 x24x4p20 的两根， 所以 又，所以 p1 或 p6， （）解：设 D（x3，y3），由题意得 C（x1+x2，y1+y2）， 设直线 AB 的方程为， 代入得 因此 x60 或 x36x0 （1）当 x00 时，则 x1+x25x00，此时，点 M（0，5p）适合题意 又，ABCD，所以，
30、 对于，因为，此时直线 CD 平行于 y 轴， 所以直线 AB 与直线 CD 不垂直，与题设矛盾， 综上所述，仅存在一点 M（5，2p）适合题意 22心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个 定点的轨迹，因其形状像心形而得名在极坐标系 Ox 中，方程 a（1sin（a0）表示的曲线 C1 就是一条心形线，如图，以极轴 Ox 所在的直线为 x 轴，极点 O 为坐标原点的直角坐标系 xOy 中，已知 曲线 C2的参数方程为 （t 为参数） （1）求曲线 C2的极坐标方程； （2）若曲线 C1与 C2相交于 A、O、B 三点，求线段 AB 的长 【分析
31、】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2）利用极径的应用求出结果 解：已知曲线 C2的参数方程为（t 为参数）转换为直角坐标方程为 ，转换为极 坐标方程为（R） （5）由，解得 由，解得，解得 B（） 所以|AB| 23设 x，y，zR，且 x+y+z1 （1）求（x1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值； （2）若（x2）2+（y1）2+（za）2成立，证明：a3 或 a1 【分析】（1）运用柯西不等式可得（12+12+12）（x1）2+（y+1）2+（z+1）2（x1+y+1+z+1）2 4，可得所求最小值； （2）运用柯西不等式求得（x2）2+（y1）2+（za）2的最小值，由题意可得不大于最小值，解不 等式可得所求范围 解：（1）x，y，zR，且 x+y+z1， 由柯西不等式可得 可得（x1）2+（y+1）2+（z+1）2， （8）证明：由 x+y+z1，柯西不等式可得 可得（x2）2+（y1）2+（za）2， 由题意可得， 解得 a1 或 a3
