1、 1 华师大版八年级下册数学知识点总结华师大版八年级下册数学知识点总结 第 16 章 分式 16.1 分式及基本性质 一、分式的概念一、分式的概念 1.分式的定义：如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式。整式和分式统称有理式。 对于分式的概念的理解重点把握三点： （1）分式 B A 中的 A、B 是整式； （2）分母 B 中必须含有字母，这是区分整式与分式的主要依据； （3）整式 B0。 2.分式有意义、无意义的条件 （1）分式有意义的条件：分式的分母不等于 0； （2）分式无意义的条件：分式的分母等于 0。 3.分式的值为 0 的条件： 当分式的分子等于
2、 0，而分母不等于 0 时，分式的值为 0。即，使 B A =0 的条 件是：A=0，B0。 4.分式的值为正或负的条件： 值为正：分子和分母同为正或同为负。值为负：分子和分母异号。 二、分式的基本性质二、分式的基本性质 1.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或都除以）同一个不等于零 的整式，分式的值不变。 2.约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分 式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。 2 确定公因式的方法： （1）如果分子、分母都是单项式：先找分子、分母系数 的最大公约数，再找相同字母的最低次幂； （2）如果分子、分母中至少有一个多 项式就应先分解因式，然
3、后找出它们的公因式再约分； 注意：约分一定要把公因式约完，化为最简分式。 3.最简分式：约分后，分子与分母不再有公因式，分子与分母没有公因式的 分式称为最简分式。 通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式 的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。 通分的关键是： 确定几个分式的最简公分母。 确定最简公分母的一般方法是： （1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同 字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。 （2）如果各分母中有多项式，就先 把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同 因
4、式、不同因式三个方面去确定。 三、分式的符号法则：三、分式的符号法则： B A B A B A B A ）（ 1； B A B A B A B A ）（2 16.2 分式的运算 一、分式的乘除法一、分式的乘除法 1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为 积的分母，如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简。 即：).0, 0(db bd ac d c b a 2.分式的除法法则 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 即：).0, 0, 0(dcb bc ad c d b a d c b a 3 应用法则时要注意： （1）分式中的符号法则与有理
5、数乘除法中的符号法则相 同，即“同号得正，异号得负，多个负号出现看个数，奇负偶正” ； （2）当分子 分母是多项式时，应先进行因式分解，以便约分； （3）分式乘除法的结果要化简 到最简的形式。 3.分式的乘方 分式的乘方等于把分子和分母分别乘方，用式子表示为： )., 0(为正整数nb b a b a n n n 提示：负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数。 二、分式的加减法二、分式的加减法 （一）同分母分式的加减法 1.法则：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减。 用式子表示： 2.注意事项： （1） “分子相加减”是所有的“分子的整体”相加减，各个分子 都应有括号；当分子是单项式时括号可以
6、省略，但分母是多项式时，括号不能省 略； （2）分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式。 （二）异分母分式的加减法 1.法则：异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式后，再加减。用式 子表示： bd bcad bd bc bd ad d c b a 。 2.注意事项： （1）在异分母分式加减法中，要先通分，这是关键，把异分母 分式的加减法变成同分母分式的加减法。 （2）若分式加减运算中含有整式，应视 其分母为 1，然后进行通分。 （3）当分子的次数高于或等于分母的次数时，应将 其分离为整式与真分式之和的形式参与运算，可使运算简便。 四、分式的混合运算四、分式的混合运算 b ca b c b
7、 a 4 注意事项： （1）有理数的运算顺序和运算规律对分式运算同样适用，要灵活 运用交换律、结合律和分配律； （2）分式运算结果必须化到最简，能约分的要约 分，保证运算结果是最简分式或整式。 16.3 可化为一元一次方程的分式方程 一、分式方程基本概念一、分式方程基本概念 1.定义：方程中含有分式，并且分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 二、分式方程的解法二、分式方程的解法 1.解分式方程的基本思想：化分式方程为整式方程。 方法是：方程两边都乘以各分式的最简公分母，约去分母，化为整式方程求 解。 2.解分式方程的一般步骤： （1）去分母。即在方程两边都乘以各分式的最简公分母，约去分母，把原
8、 分式方程化为整式方程； （2）解这个整式方程； （3）验根。验根方法：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不 等于 0 的根是原分式方程的根，使最简公分母为 0 的根是原分式方程的增根，必 须舍去。 3.分式方程的增根。意义是：把分式方程化为整式方程后，解出的整式方程 的根有时只是这个整式的方程的根而不是原分式方程的根，这种根就是增根，因 此，解分式方程必须验根。 注意：分式方程的增根必须同时满足两个条件： （1）增根使最简公分母为 0； （2）增根使分式方程化为整式方程的跟。 4.利用增根的概念解题的步骤：先将分式方程化为整式方程，再由最简公分 母为 0 求出增根，最后将增根代入所化
9、的整式方程求解。 5 5.分式方程无解，应考虑两个方面： （1）由分式方程化成整式方程后，此整式方程无解； （2）原分式方程有增 根，方法同上。注意分式方程有增根与分式方程无解既有区别又有联系。 三、分式方程的应用三、分式方程的应用 1.列分式方程解应用题的一般步骤如下： （1）审题。理解题意，弄清已知条件和未知量； （2）设未知数。合理的设未知数表示某一个未知量，有直接设法和间接设 法两种； （3）列方程。找出能够表示题目全部含义的等量关系，列出分式方程； （4）解方程。求出未知数的值； （5）检验。不仅要检验所求未知数的值是否为原方程的根，还要检验未知 数的值是否符合题目的实际意。 “双重
10、验根” 。 （6）写出答案。 可以简单地说成：审、设、列、解、验、答。 16.4 零指数幂与负整数指数幂 一、零指数幂一、零指数幂 1.定义：任何不等于零的实数的零次幂都等于 1，即 a0=1（a0） 。 2.特别注意：零的零次幂无意义。即 00无意义。若问当 x=_时，(x-2)0 有意义。答案是：x2。 二、负整数指数幂二、负整数指数幂 1.定义：任何不等于的数的-n（n 为正整数）次幂，都等于这个数的 n 次幂 的倒数，即 a-n= n a 1 （a0，n 为正整数） 2.注意事项： 6 （1）负整数指数幂成立的条件是底数不为 0； （2）正整数指数幂的所有运算法则均适用于负整式指数幂，
11、即指数幂的运 算可以扩大到整数指数幂范围； 包括：同底数幂的乘法（除法） 、幂的乘方、积的乘方 三、用科学计数法表示绝对值小于三、用科学计数法表示绝对值小于 1 的数的数 1.规则：绝对值小于 1 的数，利用 10 的负整式指数幂，把它表示成 a10-n （n 为正整数） ，其中 1|a|10。 2.注意事项： （1） n 为该数左边第一个非零数字前所有 0 的个数 （包括小数点前的那个零） 。 如-0.00021=-2.110-4 （2）注意数的符号的变化，在数前面有负号的，其结果也要写符号。 （3）写科学记数法的关键的是确定 10n的指数 n 的值。 第 17 章 函数及其图象 17.1
12、变量与函数 一、函数概念一、函数概念 1.常量和变量 在某一变化过程中，取值始终保持不变的量叫做常量，可以取不同数值的量 叫做变量。 2.定义：在某个变化过程中，如果有两个变量 x 和 y，对于 x 的每一个确定 的值，y 都有唯一的值与其对应，那么，我们就说 y 是 x 的函数，其中 x 叫做自 变量，y 叫做因变量。 3.对函数概念的理解，主要抓住三点： （1）有两个变量； 7 （2）一个变量的数值随另一个变量的数值的变化而变化； （3）自变量每确定一个值，因变量就有一个并且只有一个值与其对应。 二、函数的表示法：二、函数的表示法： （1）列表法； （2）图象法； （3）解析法。 三、求函
13、数自变量的取值范围三、求函数自变量的取值范围 1实际问题中的自变量取值范围，按照实际问题是否有意义的要求来求。 2用数学式子表示的函数的自变量取值范围 （1）解析式为整式的，自变量的取值范围是全体实数； （2）解析式为分式的，自变量的取值范围是使分母不等于 0 的实数； （3）解析式为二次根式时（算术平方根） ，自变量的取值范围是使被开方 数为非负数的实数；解析式是立方根的，自变量的取值范围是全体实数。 （4）解析式同时出现分式和算术平方根，必须同时满足其有意义。 四、函数关系式：四、函数关系式： 用来表示函数关系的等式叫做函数关系式（也叫解析式） 。 五、函数值：五、函数值： 指自变量取一个
14、数值代入解析式求出的数值，称为函数值；实际上就是以前学的 求代数式的值。 17.2 函数的图象 一、平面直角坐标系一、平面直角坐标系 1、定义：平面内画两条原点重合、互相垂直且有相同单位长度的的数轴， 就组成了平面直角坐标系。通常把其中水平的数轴叫 x 轴或横轴，取向右的方向 为正方向；铅直的数轴叫 y 轴或纵轴，取向上的方向为正方向；两数轴的交点 O 叫做坐标原点。 8 2、平面直角坐标系中的点与有序实数对一一对应。注意：横纵坐标不能颠 倒。 3、平面直角坐标系中坐标的特征： （1）象限内点的坐标特征：第一象限（+，+） ，第二象限（-，+） ，第三象 限（-，-） ，第四象限（+，-） 。
15、 （2）x 轴上点的坐标（x，0） ；y 轴上点的坐标（0，y） 原点坐标（0，0） 4、对称点的坐标特征（最好画图来看） （1）关于 x 轴对称的两点：横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于 y 轴对 称的两点：横坐标互为相反数，纵坐标相同； （2）关于原点对称的两点： 横坐标和纵坐标都互为相反数。 5.平移或平行点的坐标特征 （1）左右平移：纵坐标不变；上下平移：横坐标不变。 （2）平行于 x 轴的直线上的点：横坐标不同，纵坐标相同；平行于 y 轴的 直线上的点：横坐标相同，纵坐标不同 6.象限角平分线上点的特征 （1）一三象限角平分线上的点：横坐标和纵坐标相同。 （2）二四象限角平分线上的点
16、：横坐标和纵坐标互为相反数。 7、距离 （1）点到两坐标轴的距离：点 A（a，b）到 x 轴的距离为|b|，点 A（a，b） 到 y 轴的距离为|a|。 （2）同一坐标轴上两点间的距离：x 轴上两点 A（x1,0）与 B（x2,0）之间的 距离为|x1-x2|；y 轴上两点 A（0,y1）与 B（0,y2）之间的距离为|y1-y2| （3）象限内的点到原点的距离：A（a，b）到原点的距离为 22 ba （4）直角坐标系中任意两点间的距离：A（x1,y1）与 B（x2,y2）之间的距离 为： 9 2 21 2 21 ）（）（yyxx 8.线段的中点坐标为两端点坐标和的一半。 二、函数的图象二、函
17、数的图象 1.作函数图象的方法：描点法。步骤： （1）列表； （2）描点； （3）连线。 在实际问题中画函数图象要注意自变量的取值范围。 2.判断一个点是否在函数图象上：将一个点的坐标代入函数关系式，如果适 合函数关系式，那么这个点就在这个函数的图象上，反之则不在。 17.3 一次函数 一、一次函数的定义 1.形如 y=kx+b(k、b 为常数，k0)的函数，叫做一次函数。特别地，当 b=0 时，一次函数 y=kx（k0）也叫做正比例函数。 注意： （1）k0 这个条件不可忽略，非常重要； （2）自变量的取值范围一般 情况下是任意实数； （3）正比例函数是一次函数的特殊形式。 “正比例函数”与
18、“成正比例”的区别： 正比例函数一定是 y=kx 这种形式，而成正比例则意义要广泛得多，它反映 了两个量之间的固定正比例关系，如 a+3 与 b-2 成正比例，则可表示为：a+3=k （b-2） （k0） 二、一次函数的图象 1.正比例函数和一次函数的图象都是一条直线，因此函数 y=kx+b(k0)和 y=kx（k0）的图象也可分别称为直线 y=kx+b，直线 y=kx。 2.根据“两点确定一条直线” ，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点， 再过两点作直线即可。 3.正比例函数的图象是通过原点的一条直线，因此正比例函数的图象也可以 10 看成是关于原点成中心对称。 一般地， 画一次函数的图
19、象时， 应先取它与两坐标轴的交点 （0， b） 和 （ k b -， 0） ；画正比例函数图象时，通常选取（0,0）和（1，k）. 4.一次函数 y=kx+b(k0)中，k 和 b 的作用： k 决定图象的倾斜方向和倾斜程度，k 为正，向右倾斜，k 为负，向左倾斜； |k|越大，倾斜程度越大；当 k 相同，b 不相同时，两直线平行。 b 决定图象与 y 轴的交点位置，b0 时，与 y 轴正半轴相交；b0 时，把直线 y=kx 向上平移 b 个单位长度得到；当 b0 时，图象经过一、三象限，y 随 x 的增大而增大，这时函数图 象从左到右上升。 （2）当 k0 时，当 b0 时，图象经过一、二、
20、三象限，y 随 x 的增大而 增大，这时函数图象从左到右上升。当 b0 时，图象经过一、三、四象限，y 随 x 的增大而增大，这时函数图象从左到右上升。 （2）当 k0 时，图象经过一、二、四象限，y 随 x 的增大而 11 减小，这时函数图象从左到右下降。当 b0 b=0 第一、三象限 一定经 过一、 三 象限 图象从左 到右上 升，y 随 x 的增大而 增大。 b0 第一、二、三象 限 b0 第一、三、四象 限 k0 第一、二、四象 限 b0 时，图象的两个分支位于一、三象限,在每个象限内，y 随 x 的增大而减小； （2）当 k0， k20 时， 如图 1 所示， 设函数图象交于 N、
21、M， 横坐标分别为 x1、 x2， 则不等式 k1x+b x k2（或 y 1y2） 的解集为 x1xx2； 不等式 k1x+b x k2（或 y1y2）的解集为 xx1或 0xx2 A B C O 14 图 1 图 2 2.当 k10， k2 x k2（或 y 1y2） 的解集为 xx1或 0xx2； 不等式 k1x+b x k2（或 y1y2）的解集为 x1xx2 三、反比例函数的应用。注意联系实际问题和用解决方程应用题的思路 17.5 实践与探索 1.一次函数 y=kx+b(k0)与一元一次方程的联系 求直线 y=kx+b(k0)与 x 轴的交点，令 y=0，得到一元一次方程 kx+b=
22、0，解 得 x= k b -，因此直线与 x 轴的交点坐标为（ k b -，0）. 由此可知，直线 y=kx+b(k0)与 x 轴交点的横坐标就是方程 kx+b=0(k0) 的解。 2.一次函数与一元一次不等式的联系。 （1）一元一次不等式 kx+b0(k0)的解集一次函数 y=kx+b(k0)的函数 15 值 y0 的自变量的取值函数图象在 x 轴上方所有点（射线）的横坐标的集 合。 （2）一元一次不等式 kx+b0(k0)的解集一次函数 y=kx+b(k0)的函数 值 y0 的自变量的取值函数图象在 x 轴下方所有点（射线，不含射线的端 点）的横坐标的集合。 如果不等号含等于关系，这时不等
23、式的解集包括与 x 轴交点的横坐标。 3.两直线交点问题 把两一次函数看做是两个二元一次方程，联立组成方程组，方程组的解即为 两直线的交点的坐标，x 的值为横坐标，y 的值为纵坐标，反之也成立。 4.利用函数的性质求最值问题。 第 18 章 平行四边形 18.1 平行四边形的性质 （一）平行四边形的有关概念 1、定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2、表示方法：专用符号： “” 。 如图的平行四边形看表示为：ABCD；读作： “平行四边形 ABCD” 3、平行四边形的“对边”是指：互相平行的两边； “对角”是指： “开口” A B C D 16 相对的两角。 4、平行四边形的对角
24、线：指两对角定点的连线。 （二）平行四边形的性质 1、平行四边形的对边相等，对角相等。 2、平行四边形的对角线互相平分。 3、两平行线之间的距离处处相等。 4、平行四边形是中心对称图形。 5、S=底高。 （二）平行线之间的距离 两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行 线之间的距离。两平行线之间的距离处处相等 18.2 平行四边形的判定 （一）判定方法 1、从边看： （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义） ； （2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 2、从角看：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 3
25、、从对角线看：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 第 19 章 矩形、菱形、与正方形 19.1 矩形 一、矩形的性质 1、定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。 17 2、性质：矩形具有平行四边形的所有性质。 （1）矩形的四个角都是直角； （2）矩形的对角线相等且互相平分； （3）矩形既是轴对称图形又是中心对称图形； （4）S矩形=长宽。 3、 直角三角形的一个重要特性： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 二、矩形的判定方法 1、有一个角是直角的平行四边形是矩形； 2、对角线相等的平行四边形是矩形； 3、有三个角是直角的四边形是矩形。 19.2 菱形 一、菱形性质 1、定义：有一
26、组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2、性质：菱形具有平行四边形的所有性质。 （1）菱形的四条边都相等； （2）菱形的对角线互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； （3）菱形既是轴对称图形又是中心对称图形； （4）S菱形=底高= 1 2 对角线对角线。 二、菱形的判定方法 1、一组邻边相等的平行四边形是菱形； 2、四条边都相等的四边形是菱形； 3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 4、对角线互相垂直平分的四边形是菱形。 19.3 正方形 18 一、正方形的性质 1、定义： （1）有一个内角是直角、一组邻边相等的平行四边形叫做正方形； （2）有一个内角是直角的菱形是正方形； （3）有一组邻边
27、相等的矩形是正方形。 2、性质： （1）正方形具有平行四边、矩形和菱形的所有性质； （2）正方形既是轴对称图形又是中心对称图形； （3）S正方形=边长 2= 1 2 对角线 2。 二、正方形的判定方法。用定义也可判定。 1、有一个角是直角的菱形是正方形； 2、有一组邻边相等的矩形是正方形； 3、对角线相等的菱形是正方形； 4、对角线互相垂直的矩形值正方形 三、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系 第 20 章 数据的整理与初步处理 20.1 平均数 19 一、算术平均数的意义 二、加权平均数 三、中位数 1、定义：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列后，处在最 中间位置的的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。 四、众数 1、定义：一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。 五、方差 1、定义：用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的结果表示一组 数据偏离平均值的情况，这个结果通常称为方差。 2、算法：通常用 S 2表示一组数据的方差，用x表示一组数据的平均数，x1、 x2、xn表示各个数据，方差的计算式就是：S2= 22 2 2 1 )()()( 1 xxxxxx n n
