1、 第 1 页 共 42 页 北师大版七年级下册数学期末总复习知识清单北师大版七年级下册数学期末总复习知识清单 目录目录 第一章第一章 整式的乘除整式的乘除 第二章第二章 相交线与平行线相交线与平行线 第三章第三章 变量之间的关系变量之间的关系 第四章第四章 三角形三角形 第五章第五章 生活中的轴对称生活中的轴对称 第六章第六章 概率初步概率初步 第 2 页 共 42 页 第一章第一章 整式的乘除整式的乘除 【1】单项式单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项 式。单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。 如：bca 2 2的系数为
2、2，次数为 4，单独的一个非零数的单项式次数是 0。 【2】多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫 多项式的次数。 如：12 2 xaba，项有 2 a、ab2、x、1，二次项为 2 a、ab2，一次项为x，常数项为 1，各 项次数分别为 2，2，1，0，系数分别为 1，-2，1，1，叫二次四项式。 【3】整式：单项式和多项式统称整式。 注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。 【4】同底数幂的乘法法则同底数幂的乘法法则： nmnm aaa （nm,都是正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 注意：底数可以是多项式或单项式
3、。如： 532 )()()(bababa 【例题例题】若43 x ，53 y ，则_3 yx 【解析过程】 【答案】20 【变式练习】若 6 22222 nnnn ，则_n 【解析过程】 62 222242222 nnnnnn 4n 【答案】4 第 3 页 共 42 页 【5】幂的乘方法则幂的乘方法则： mnnm aa)(（nm,都是正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘。如： 1025 3)3( 幂的乘方法则可以逆用：即 mnnmmn aaa)()(；如： 23326 )4()4(4 【6】积的乘方法则积的乘方法则： nnn baab)(（n是正整数） 积的乘方，等于各因数乘方的积。 如：（
4、 523 )2zyx= 51015552535 32)()()2(zyxzyx 【例题例题】下列计算正确的是（ ） A、 532 aaa B、 532 aaa C、 832) (aa D、 22 )(abab 【解析过程】 【答案】B 【变式练习】已知x m 4，y n 8，其中nm，为正整数，则_2 62 nm 【解析过程】 【答案】 2 xy 第 4 页 共 42 页 【7】同底数幂的除法法则： nmnm aaa （nma, 0都是正整数，且)nm 同底数幂相除，底数不变，指数相减。如： 3334 )()()(baababab 【8】零指数和负指数零指数和负指数； 1 0 a，即任何不等于
5、零的数的零次方等于 1。 p p a a 1 （pa, 0是正整数），即一个不等于零的数的p次方等于这个数的p次方的倒数。如： 8 1 ) 2 1 (2 33 【例题例题】下列计算正确的有（ ） 、33 1 ； 、 8 1 )2( 3 ； 、 9 16 ) 4 3 ( 2 ； 、1)2020( 0 A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 【解析过程】 、 3 1 3 1 ； 、 8 1 )2( 3 ； 、 9 16 16 9 1 ) 4 3 ( 1 ) 4 3 ( 2 2 【答案】B 【9】科学记数法科学记数法 较大数的科学记数法：如：12090000 = 7 10209. 1 （保留
6、一位数） 较小数的科学记数法：如：0.00000721=7.21 6 10（第一个非零数字前零的个数） 【例题】 2020年1月24日，中国疾控中心成功分离我国首株新型冠状病毒毒种，该毒种直径大约为90纳米 （1纳米=0.000001毫米），数据“90纳米”用科学记数法表示为 毫米。 【解析过程】解：90纳米=9010-6毫米=910-5毫米， 第 5 页 共 42 页 【答案】 5 109 【变式练习】新冠病毒的直径最小大约为0.00000008米，这个数用科学记数法表示为 【解析过程】解：0.00000008=810-8 【答案】 8 108 【10】单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，
7、把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母 连同它的指数不变，作为积的因式。 注意： 、积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。 、相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。 、只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 、单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。 、单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。 如：zyxzyxxyzyx 33131232 6632 【11】单项式乘以多项式，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加， 即mcmbmacbam)(cbam,都是单项式) 注意： 积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。 运算时要注
8、意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。 在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。 如： 2222 3943364)(3)32(2yxyxyxyxyxyxyyxx 【12】多项式与多项式相乘相乘的法则； 第 6 页 共 42 页 多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。 如： 303056)6)(5( 6293)3)(23( 22 22 xxxxxxx bababababa 【例题例题】已知多项式ax与122 2 xx的乘积中不含 2 x项，则常数a的值是 【解析过程】解：（x-a）（2x2-2x+1）=2x3+（-2-2a）x2
9、+（2a+1）x-a， 不含x2项， 022a， 解得1a 【答案】1a 【变式练习】已知5ba，4ab，化简)2)(2(ba的结果是 【解析过程】24)(2)2)(2(baabba 【答案】2 【13】单项式的除法法则： 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它 的指数一起作为商的一个因式。 注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则 连同它的指数作为商的一个因式 如：mbmbabamba 31422242 7 1 49 7 497 【14】多项式除以单项式的法则： 多项式除以单项式，先把这个多项式
10、的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。 即：cbamcmmbmmammcmbmam)( 【例题】计算：)5 . 0()2)( 4 1 ( 54222 baabba 【解析过程】2)5 . 0()2)( 4 1 ( 54222 baabba 第 7 页 共 42 页 【变形练习】先化简，再求值：xyyxyxyxyx2)42()2)(2( 222 ，其中3x，5 . 0y 【解析过程】原式=x2-4y2-x2+2xy=-4y2+2xy 当3x，5 . 0y，原式=-1-3=4 【15】A、平方差公式： 22 )(bababa B、平方差公式常见变形平方差公式常见变形： 、位置变化：)73)(7
11、3()73)(37(xyxyxyyx； 、符号变化：)72)(72()72)(72(nmnmnmnm； 、数字变化：)2200)(2200(202198； 、系数变化：) 4 2)( 2 2(2) 4 2)( 2 4( n m n m n m n m； 、项数变化：3)2(3)2()23)(23(yzxyzxzyxzyx； 、递推变化：)4)(4()4)(2)(2( 222 mmmmm； 【16】A、完全平方公式： 222 2)(bababa B、完全平方公式常见变形完全平方公式常见变形： 、位置变化：)()( 2222 yxyxxyyx； 、符号方向变化： 22 )32()23(abba；
12、22 )23()23(aa 、数字变化： 22 ) 12020(2019； 、项数变化： 22 1)() 1(yxyx； 、递推变化： 22 )32()32)(64()32(yxyxyxyx； 【17】完全平方公式完全平方公式abbaba、 22 )( )(、 22 ba 之间的关系之间的关系 、abbaba4)()( 22 ；abbaba2)( 222 、abbaba4)()( 22 ；abbaba2)( 222 第 8 页 共 42 页 、 4 )()( 22 baba ab 【例题】若代数式 242 9)3(xyyxM，那么代数式M为（ ） A、 2 3yx B、 2 3yx C、 2
13、3yx D、 2 3yx 【解析过程】 )3)(3()3)(3()3()(9 222222224 yxxyxyxyxyxy Mxyxy3)3( 22 【答案】A 【变式练习】已知1)( 2 yx，49)( 2 yx，则_ 22 yx；_xy。 【解析过程】_25_ 2 )()( 22 22 yxyx yx ； 12 2 )()( 222 yxyx xy 【答案】_25_ 22 yx；_12_xy。 第二章第二章 相交线与平行线相交线与平行线 一、两直线的位置关系一、两直线的位置关系 1、两条直线的位置关系、两条直线的位置关系 在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交；平行（表示符号“”）
14、 因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把 重合的两直线看成一条直线）判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来 确定： 、有且只有一个公共点，两直线相交； 、无公共点，则两直线平行； 、 两个或两个以上公共点， 则两直线重合 （因为两点确定一条直线） 2、对顶角：、对顶角：我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且角的两边互为反向延长线的两个角 叫做对顶角。 第 9 页 共 42 页 对顶角的性质：对顶角相等对顶角的性质：对顶角相等。 3、余角：、余角：定义：如果两个角的和是 900，那么称这两个角互为余角。 性质：同
15、角或等角的余角相等同角或等角的余角相等。 4、补角：、补角：定义：如果两个角的和是 1800，那么称这两个角互为补角。 性质：同角或等角的补角相等。同角或等角的补角相等。（了解邻补角） 5、垂线、垂线 定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一 条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足表示符号“”。 符号语言记作：如图所示：ABCD，垂足为 O: 性质 1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 性质 2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简 称：垂线段最短。垂线段最短。 6、垂线的画法：、垂
16、线的画法： 过直线上一点画已知直线的垂线；过直线外一点画已知直线的垂线。 注意：画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；过一点作线段的垂线，垂足可在 线段上，也可以在线段的延长线上。 垂线的画法（以线段外过一点做线段的垂线，垂足不在线段上为例） 用直角三角板画垂线，可简单地说成：“一落”、“二过”、“三画”、“四标” 如图，线段BC，过点A作线段BC的垂线，垂足为点D. A B C D O P A B O 第 10 页 共 42 页 7、点到直线的距离、点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离点到直线的距离 如图，POAB，同 P 到直线 AB 的距离是
17、 PO 的长。PO 是垂线段。PO 是点 P 到直线 AB 所有线段中最短的一条。 注意：距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等 同。现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。 【例题例题】下列说法中，正确的是( ) A、不相交的两条直线是平行线 B、过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C、在同一平面内，从直线外一点作这条直线的垂线段叫做点到这条直线的距离 D、在同一平面内，一条直线与两条平行线中的一条垂直，则与另一条也垂直 【解析过程】在同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故 A 选择错误；过直线外任意一点有且只 有一条直线与已知直线平行，故 B 选项
18、错误；从直线外一点作这条直线的垂线段的长度的长度叫做点到这条 直线的距离，故 C 选项错误。 【答案】D 【变式练习】下列结论：、平面内有 3 条直线两两相交，共有 3 个交点；、在平面内，若AOB 40，AOCBOC，则AOC 的度数为 20；、若线段 AB3，BC2，则线段 AC 的长为 1 或 5；、若180，且，则的余角为)( 2 1 ，其中正确的结论的 个数是（ ） A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 【解析过程】 P A B O 第 11 页 共 42 页 【答案】A 二、两条直线平行的条件二、两条直线平行的条件 1、同位角、内错角、同旁内角：、同位角、内错角、同旁内角
19、：同位角是“A”型；内错角是“Z”型；同旁内角是“U”型 两条直线被第三条直线所截，形成了两条直线被第三条直线所截，形成了 8 个角个角。（三线八角） 同位角同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同位角。 内错角内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角叫做内错角。 同旁内角：同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫同旁内角。 2、平行线的判定：、平行线的判定：注意：几何中，图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着内在的联系 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，
20、那么两直线平行。 简称：同位角相等，两直线平行。同位角相等，两直线平行。 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。 简称：内错角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行。 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。 简称：同旁内角互补，两直线平行。同旁内角互补，两直线平行。 补充平行线的判定方法： （1）平行线的定义：如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行（2）平行于同一条直线的 两直线平行。 几何符号语言： 32 ABCD（同位角相等，两直线平行） 12 ABCD（内错角相等，两直线平行） 42180 ABCD（同旁内角互补，两直线平行） 请同学们注
21、意书写的顺序以及前因后果，平行线的判定是由角相等，然后得出平行。平行线的判 定是写角相等，然后写平行。 A B C D E F 1 2 3 4 第 12 页 共 42 页 3、平行线的画法：、平行线的画法： 利用三角板的平移画平行线，其画法可以总结为：“一落”、“二靠”、“三移”、“四画”. 一落：三角板的一边落在已知直线； 二靠：靠紧三角板的另一边放上另一块三角板； 三移：使第一块三角板沿着第二块三角板移动，使其经过原直线的一边经过已知点； 四画：沿三角板过已知点的一边画出直线.这时所画直线就一定与已知直线平行. 4、平行公理、平行公理平行线的存在性与惟一性平行线的存在性与惟一性 经过直线外
22、一点，有且只有一条直线与这条直线平行经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行(与垂直公理相比较记) 5、平行线的性质：、平行线的性质： （1）两直线平行，同位角相等。 （2）两直线平行，内错角相等。 （3）两直线平行，同旁内角互补。 6、平行公理的推论：、平行公理的推论： 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 如右图所示，ba，ca bc 注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会有结论：这两条直线都平行。 7、用尺规作角（利用尺规作图比较角的大小）、用尺规作角（利用尺规作图比较角的大小） 尺规作图：尺规作图：在几何里，只用没有刻度的直尺没有刻度的直尺
23、和圆规作图称为尺规作图。 尺规作图是最基本、最常见的作图方法，通常叫基本作图。 即：1、作一条线段等于已知线段。2、作一个角等于已知角 如上如图所示，求作一个角等于已知角AOB作法： （1）作射线 OA； （2）以 O 为圆心，以任意长为半径作弧，交 OA 于点 C，交 OB 于点 D； （3）以 O为圆心，以 OC 为半径作弧，交 OB于点 D； （4）以点 D为圆心，以 CD 为半径作弧，交前面的弧于点 C； （5）过 C作射线 OAAOB就是所求作的角 【例题 1】如图，下列说法错误的是（ ） 第 13 页 共 42 页 A、A与C是同旁内角 B、1与3是同位角 C、2与3是内错角 D、
24、3与B是同旁内角 【答案】B 1与3是同旁内角 【例题 2】如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解 释这一实际应用的数学知识的是 【答案】两点确定一条直线 【例题 3】 在同一平面内，直线AB与直线CD相交于点O，BOC：BOD=4：5，射线OECD，则BO E的度数为 【答案】170 或10 【例题 4】如图，已知 DEBC，B = 80，C = 56，求ADE 和DEC 的度数。 【解析过程】 解：DEBC ADE=B（两直线平行同位角相等）， B=80 （已知）， ADE=80 ； 又DEC+C=180 （两直线平行同旁内角互补），C=56 ，
25、DEC=180 -56 =124 【例题 5】如图，把长方形纸片沿 EF 折叠，使得 D，C 分别落在CD ， 的位置，若EFB = 65，则 DAE 的角度为_。 【解析过程】 解： DEFEFB65 DAE 180 506565 【答案】50 第 14 页 共 42 页 【例题 6】已知：如图，C = 1，2 和D 互余，BEFD 于点 G，求证：ABCD. 证明： 1 = C（ ） _ _（ ，两直线平行） _= _（两直线平行，同位角相等） 2 和D 互余（已知） B 和D 互余（ ） _ = 90（ ） BE_（ ） EGD = _（ ） 在EGD 中，根据三角形内角和定理，得 _
26、= 180 1 D = _ 1 = B（ ） _（内错角相等，_） 三、平行线常考模型三、平行线常考模型 基础模型图例及其证明 第 15 页 共 42 页 上述 8 个图，依次记为图、图、图 3、.、图 8。 图结论：21+3； 图结论：21+3； 图结论：1=23； 图结论：1=23； 图结论：123360 图结论：1=23； 图结论：1)23(180 图结论：180312 图结论：180321 【例题 1】如图，点C，B分别在直线MN，PQ上，点A在直线MN，PQ之间，MNPQ （1）如图1，求证：A=MCA+PBA； （2）如图2，过点C作CDAB，点E在PQ上，ECM=ACD，求证：A
27、=ECN； 第 16 页 共 42 页 【变式练习】如图，如果 ABCD，则角，之间的关系为（ ） A、360 B、180 C、180 D、180 【答案】C 第三章第三章 变量之间的关系变量之间的关系 1、变量、自变量、因变量、常量、变量、自变量、因变量、常量 变量：变量：在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。 自变量、因变量：自变量、因变量：如果一个变量 y 随另一个变量 x 的变化而变化，则把 x 叫做自变量，y 叫做因变量。 注意：变量：在某一过程中发生变化的量，其中包括自变量与因变量。自变量是最初变动的量，它在 研究对象反应形式、特征、目的上是独立的；因变量是由于自变量变动而引起变
28、动的量，它“依赖于” 自变量的改变。 常量常量：一个变化过程中数值始终保持不变的量叫做常量. 2、函数的三种表示方法：、函数的三种表示方法： （1）列表法（）列表法（用表格）用表格）上自下因上自下因 采用数表相结合的形式，运用表格可以表示两个变量之间的关系。列表时要选取能代表自变量的一些 数据，并按从小到大的顺序列出，再分别求出因变量的对应值。列表法最大的特点是直观，可以直接 从表中找出自变量与因变量的对应值，但缺点是具有局限性，只能表示因变量的一部分。 （2）解析法（关系式）解析法（关系式）后自前因后自前因 关系式是利用数学式子来表示变量之间关系的等式，利用关系式，可以根据任何一个自变量的值
29、求出 第 17 页 共 42 页 相应的因变量的值，也可以已知因变量的值求出相应的自变量的值 （3）图像法（用图象）图像法（用图象）横自纵因横自纵因 对于在某一变化过程中的两个变量，把自变量x与因变量y的每对对应值分别作为点的横坐标与 纵坐标，在坐标平面内描出这些点，这些点所组成的图形就是它们的图象（这个图象就叫做平面直角 坐标系）。它是我们所表示两个变量之间关系的另一种方法，它的显著特点是非常直观。不足之处是 所画的图象是近似的、局部的，通过观察或由图象所确定的因变量的值往往是不准确的。表示的步骤 是：列表：列表给出自变量与因变量的一些特殊的对应值。一般给出的数越多，画出的图象越精确。 描点
30、：在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（横轴或x轴）上的点来表示自变 量，用竖直方向的数轴（纵轴或y轴）上的点来表示因变量。连线： 按照自变量从小到大的顺序，用平滑的曲线把所描的各点连结起来。 3、理解图像：、理解图像：a.认真理解图象的含义，注意选择一个能反映题意的图象；b.从横轴和纵轴的实际意 义理解图象上特殊点的含义（坐标），特别是图像的起点、拐点、交点 4、事物变化趋势的描述、事物变化趋势的描述 对事物变化趋势的描述一般有两种： (1)随着自变量x的逐渐增加（大），因变量y逐渐增加（大） （或者用函数语言函数语言描述也可：因变量y随 着自变量x的增加（大）而增加（大）；
31、(2)随着自变量x的逐渐增加（大），因变量y逐渐减小（或者用函数语言函数语言描述也可：因变量y随着自 变量x的增加（大）而减小）. 注意： 如果在整个过程中事物的变化趋势不一样， 可以采用分段描述.例如在什么范围内随着自变量x的 逐渐增加（大），因变量y逐渐增加（大）等等. 5、估计（或者估算）、估计（或者估算） 对事物的估计（或者估算）有三种： 、利用事物的变化规律进行估计（或者估算）.例如：自变量x每增加一定量，因变量y的变化情况； 平均每次（年）的变化情况（平均每次的变化量=（尾数首数）/次数或相差年数）等等； 、利用图象：首先根据若干个对应组值，作出相应的图象，再在图象上找到对应的点对
32、应的因变量y 的值； 第 18 页 共 42 页 、利用关系式：首先求出关系式，然后直接代入求值即可. 一、单个速度变化图象分析： A、tV 图（速度与时间） 图象分析：线段 OA 表示汽车正在加速行驶，线段 AB 表示汽车正在匀速行驶（速度v不变），线段 BC 表示汽车正在减速行驶，线段 CD 表示汽车停止了)0( v。 B、tS图（路程与时间） 图象分析： 线段 OA 表示汽车正在离开出发地， 并匀速行驶； 线段 AB 表示汽车停止了 （v=0， S 不变） ； 线段 BC 表示汽车正在返回出发地，依旧是匀速行驶；线段 CD 表示已经回到了出发地了（v=0，S=0） 二、多个速度变化图象分
33、析： 三种变量之间关系的表示方法优缺点分析三种变量之间关系的表示方法优缺点分析： 优优 点点 缺缺 点点 备备 注注 列表法列表法 对于表中自变量的每一个值可 以不通过计算,直接把因变量 的值找到,查询时很方便 只能列出部分自变量与因变量 的对应值,难以反映变量间的变 化全貌,而且从表中看不出变量 通常自变量表示在表格的上 方，因变量表示在表格的下方 第 19 页 共 42 页 间的对应规律 解析法解析法 简明扼要,规范准确 有些变量之间的关系很难或不 能用关系式表示,求对应值也需 要逐个计算,比较麻烦 通常自变量表示在式子的右 边，因变量表示在式子的左边 图象法图象法 形象直观,可以很形象地
34、反映 事物变化的全过程,变化的趋 势和某些性质(因变量的增减 性,点的对称,最大值或最小值) 等 图象是近似的,局部的,观察或由 图象确定的因变量的值往往是 不准确的 通常自变量用水平方向的数轴 （横轴）上的点来表示，因变 量用竖直方向的数轴（纵轴） 上的点来表示 【例题 1】 根据科学研究表明，在弹簧的承受范围内，弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm） 与所挂的物体的重量x（kg）间有下表的关系：下列说法不正确的是（ ） 【解析过程】 第 20 页 共 42 页 【例题 2】 将长为20cm，宽为8cm的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为3cm，设x 张白纸粘合后
35、的总长度为y cm，y与x的函数关系式为 【解析过程】 【答案】317 xy 【例题 3】 某学校组织团员举行申奥成功宣传活动，从学校骑车出发，先上坡到达A地后，宣传8分钟；然 后下坡到B地宣传8分钟返回，行程情况如图若返回时，上、下坡速度仍保持不变，在A地仍要 宣传8分钟，那么他们从B地返回学校用的时间是（ ） A、45.2 分钟 B、46.8 分钟 C、46 分钟 D、32 分钟 【解析过程】 第 21 页 共 42 页 【答案】A 【变式练习 1】 如图，在ABC中，C=90 ，AC=8，BC=6，D点在AC上运动，设AD长为x，BCD的面积y ，则y与x之间的函数表达式为 【解析过程】
36、 【答案】243 xy（80 x） 【变式练习 2】 第 22 页 共 42 页 如图表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y（千米）随时间x（分）变化的图象下 面几个结论： 比赛开始24分钟时，两人第一次相遇 这次比赛全程是10千米 比赛开始38分钟时，两人第二次相遇 正确的结论为 【解析过程】 第四章第四章 三角形三角形及其证明及其证明 一、三角形及其有关概念一、三角形及其有关概念 1、三角形：、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段 叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角， 简称三角形的
37、角。 2、三角形的表示：、三角形的表示：三角形用符号“”表示，顶点是 A、B、C 的三角形记作“ABC”，读作“三角形 ABC”。 【例题例题】如图，三角形可记作 ，读作 ； 图中线段 是三角形的边；点 是三角形的顶点； 是三角形的内角，简称三角形的角 图中 ABC 的三边，也分别可用_表示 c b C a A B 第 23 页 共 42 页 顶点 A 的对边为 或_，B 对边为 _ 或_； 边 AB、AC 边的夹角为 ，A、B 的夹边为 3、三角形的三边关系：、三角形的三边关系： （1）三角形的两边之和大于第三边。 （2）三角形的两边之差小于第三边。（三角形的第三边大于两边之差小于两边之和）
38、 （3）作用：、判断三条已知线段能否组成三角形；、当已知两边时，可确定第三边的范围。、 证明线段不等关系。 【例题例题】下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A、8 , 4 , 3 B、11 , 6 , 5 C、01 , 6 , 5 D、2 , 1 , 3 【解析过程】【解析过程】 【变式练习】【变式练习】在ABC 中，ABcm 2，ACcm 5，若 BC 的长为整数， 则 BC 的长可能是（ ） A、cm 2 B、cm 3 C、cm 6 D、cm 7 【解析过程】 【答案】C 4、三角形的内角的关系：、三角形的内角的关系： （1）三角形三个内角和等于 180 ；（2）直角三角形的两个锐角
39、互余。 第 24 页 共 42 页 拓展： 、三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角 、外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于和它不 相邻的任何一个内角。 【例题例题】 如图，BP是ABC中ABC的平分线，CP是ACB的外角的平分线，如果ABP=20 ，ACP =50 ，则P= 【解析过程】【解析过程】 【答案】【答案】30 【变式练习】 如图，在ABC中，BI、CI分别平分ABC、ACB，若BIC=125 ，则A= 【解析过程】解：依题意，在BIC中，125 +IBC+ICB=180 IBC+ICB=55 在ABC中，A+
40、ABC+ACB=180 又2IBC=ABC，2ICB=ACB， A=180 -55 2=70 故答案是：70 第 25 页 共 42 页 【答案】【答案】70 5、三角形的稳定性：、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，这个性质叫做三角形的稳定性。四边形具有不稳定性。 【例题例题】如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性这样做的道理是（ ） A、两点之间的所有连线中线段最短 B、三角形具有稳定性 C、经过两点有一条直线，并且只有一条直线拉杆 D、在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短 【答案】B 6、三角形的分类：、三角形的分类： (1)三角形按边分类： 不等边
41、三角形 三角形 底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形 (2)三角形按角分类： 直角三角形（有一个角为直角的三角形） 三角形 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形） 斜三角形 钝角三角形（有一个角为钝角的三角形） 把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三 角形。 【例题例题】等边三角形是（ ） A、直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、等腰直角三角形 【解析过程】等边三角形的每一个角都是 60，所以等边三角形是锐角三角形。 第 26 页 共 42 页 【变式练习】在ABC 中，如果CCB902，那么ABC 是（ ）
42、 A、直角三角形 B、钝角三角形 C、锐角三角形 D、锐角或钝角三角形 【解析过程】解：由CCB902可得：B=C+90 90 ， 三角形是钝角三角形； 故选：B 【答案】B 7、三角形的三种重要线段：、三角形的三种重要线段： （1）三角形的角平分线：）三角形的角平分线： 定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形 的角平分线。性质：三角形的三条角平分线交于一点（内心内心）。交点在三角形的内部。 （2）三角形的中线：）三角形的中线： 定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。 性质：三角形的三条中线交于一点（重心重心），交
43、点在三角形的内部。 （3）三角形的高线：）三角形的高线： 定义：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简 称三角形的高）。 性质：三角形的三条高所在的直线交于一点（垂心垂心）。锐角三角形的三条高线的交点在它的内部；直 角三角形的三条高线的交点是它的斜边的中点；钝角三角形的三条高所在的直线的交点在它的外部； 区别 相同 中线 平分对边 三条中线交于三角形内部 （1）都是线段 （2）都从顶点画出 （3）所在直线相交于一点 角平分线 平分内角 三条角平分线交于三角表内部 高线 垂直于对 边（或其延 长线） 锐角三角形：三条高线都在三角形内部 直角三角形：其中
44、两条恰好是直角边 第 27 页 共 42 页 【例题例题】 如图，已知AD，AE分别是ABC的高和中线，AB=3cm，AC=4cm，BC=5cm，CAB=90 ， 求： （1）AD的长； （2）ACE和ABE的周长的差 【解析过程】【解析过程】 【变式练习】 如图，在ABC中，BAC=90 ，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交B E于点H，下面说法正确的是（ ） 、 ABE的面积= BCE的面积；、AFG=AGF；、FAG=2ACF；、BH=CH 第 28 页 共 42 页 【解析过程】【解析过程】 二、二、图形的全等图形的全等 全等图形：全等图形：定义：能够完全重合的
45、两个图形叫做全等图形。性质：全等图形的形状和大小都相同。 【例题】【例题】下列说法不正确的是（ ） A、如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同 B、面积相等的两个图形是全等图形 C、图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关 D、全等三角形的对应边相等，对应角相等 第 29 页 共 42 页 【解析过程】【解析过程】 解：A、如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同，正确，不合题意； B、面积相等的两个图形是全等图形，错误，符合题意； C、图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关，正确，不合题意； D、全等三角形的对应边相等，对应角相等，正确，不合题意； 故选：B 【答案】B 全等三角形全等三角形 1、全等三角形及有关概念：、全等三角形及有关概念： 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互 相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。 2、全等三角形的表示：、全等三角形的表示： 全等用符号“”表示，读作“全等于”。如 ABCDEF，读作“三角形 ABC 全等于三角形 DEF”。 注意
