1、北师大版数学 （八年级上册）知识点总结北师大版数学 （八年级上册）知识点总结 第一章第一章 勾股定理勾股定理 1 1、勾股定理、勾股定理 （1）直角三角形两直角边 a，b 的平方和等于斜边 c 的平方，即 222 cba （2）勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱出入图、五巧 板、玄图、总统证法（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法等面积法或 等积法）等积法） （3）勾股定理的适用范围：仅限于直角三角形仅限于直角三角形 例题：例题：在 RtACB 中，A=90，AC=6，AB=8，求 BC 的长。 解：在 RtABC 中，BC2=AC2+AB2=62+82=100 BC
2、=10 利用勾股定理求直角三角形边长的方法：利用勾股定理求直角三角形边长的方法： 一般都要经过“一分二代三化简一分二代三化简”这“三步曲” ： 一分一分：分清哪条边是斜边、哪些边是直角边； 二代二代：代入 a2b2c2；三化简三化简 2 2、勾股定理的逆定理、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a，b，c 有关系 222 cba，那么这个三角形是直角三角 形。 例题：例题：在ACB 中， AC=6，AB=8，BC=10，ACB 是什么三角形？ 解：在ABC 中， AC2+AB2=62+82=100=BC2 ACB 是直角三角形，A=90 利用边的关系判定直角三角形的步骤：利用边的关系判定直角
3、三角形的步骤： (1)比较三边长 a，b，c 的大小，找出最长边 (2)计算计算两短边的平方和，看它是否与最长边的平方相等；若相等，则是直角三角 形，且最长边所对的角是直角；若不相等，则此三角形不是直角三角形 3、勾股数、勾股数：满足 222 cba 的三个正整数正整数 a，b，c，称为勾股数。 常见的勾股数有常见的勾股数有：（3,4,5） （5,12,13） （6,8,10） （7,24,25） （8,15,17） （9,12,15） （9,40,41） （12,16,20） 规律规律：（1） ，短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边 之和是短直角边的平方。即当 a 为奇
4、数且 ab 时，如果 b+c=a 2那么 a,b,c 就是 一组勾股数.如（3,4,5） （5,12，,13） （7,24,25） （9,40,41） （2）大于 2 的任意偶数，2n(n1)都可构成一组勾股数分别是：2n,n 2-1,n2+1 如： （6,8,10） （8,15,17） （10,24,26） 4、求几何体两点间的最短路线长的方法：、求几何体两点间的最短路线长的方法： 先将几何体的侧面展开，确定两点的位置，两点连接的线段即为最短路线，再在 直角三角形中，利用勾股定理求其长度即可 但要注意注意：长方体的表面展成平面图形，展开时一般要考虑各种可能各种可能的情况在 各种可能的情况中，
5、分别确定两点的位置并连接成线段，再利用勾股定理分别求 其长度，长度最短的路线为最短路线 5、常见题型应用：、常见题型应用： （1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积 （2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度/斜边上 的高线/周长/面积 （3）判定三角形形状： a 2 +b2c2锐角，a2 +b2=c2直角，a2 +b2c2钝角 判定直角三角形 a.找最长边；b.比较长边的平方与另外两条较短边的平 方和之间的大小关系；c.确定形状 （4）构建直角三角形解题 例 1. 已知直角三角形的两直角边之比为 3：4，斜边为 10。求直角三角形的两直 角边。 解
6、：解：设两直角边为 3x，4x，由题意知： x=2，则 3x=6，4x=8，故两直角边为 6，8。 中考突破中考突破 （1）中考典题 例. 如图（1）所示，一个梯子 AB 长 2.5 米，顶端 A 靠在墙 AC 上，这时梯 子下端 B 与墙角 C 距离为 1.5 米，梯子滑动后停在 DE 位置上，如图（2）所示， 测得得 BD=0.5 米，求梯子顶端 A 下落了多少米？ 思维入门指导：思维入门指导：梯子顶端 A 下落的距离为 AE，即求 AE 的长。已知 AB 和 BC，根据勾股定理可求 AC，只要求出 EC 即可。 解：解：在 RtACB 中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4，
7、 AC=2 BD=0.5，CD=2 EC=1.5 ()()34100916100251004 222222 xxxxxx， A A E C B C B D （1） （2） 在中，Rt ECDECEDCD 22222 252225. 答：梯子顶端下滑了 0.5 米。 点拨：点拨：要考虑梯子的长度不变。 例 5. 如图所示的一块地， AD=12m， CD=9m， ADC=90， AB=39m， BC=36m， 求这块地的面积。 思维入门指导：思维入门指导： 求面积时一般要把不规则图形分割成规则图形， 若连结 BD， 似乎不 解：解：连结 AC，在 RtADC 中， 在ABC 中，AB2=1521
8、答：这块地的面积是 216 平方米。 点拨：点拨：此题综合地应用了勾股定理和直角三角形判定条件。 AEACEC21505. A D C B 得要领，连结，求出即可。ACSS ABCACD A D C B ACCDAD 22222 129225 AC15 ACBC 2222 15361521 ABACBCACB 222 90， SSAC BCAD CD ABCACD 1 2 1 2 1 2 1536 1 2 12927054216 2 ()m 第二章第二章 实数实数 一、实数的概念及分类一、实数的概念及分类 1、实数的分类、实数的分类 2 0 2 00 00 2 2 3 3 . . 无理数的表示
9、 算术平方根定义如果一个非负数 的平方等于 ，即 那么这个非负数 就叫做 的算术平方根，记为， 算术平方根为非负数 平方根 正数的平方根有个，它们互为相反数 的平方根是 负数没有平方根 定义：如果一个数的平方等于 ，即，那么这个数就 叫做 的平方根，记为 立方根 正数的立方根是正数 负数的立方根是负数 的立方根是 定义：如果一个数 的立方等于 ，即，那么这个数 就叫做 的立方根，记为 xaxa xaa a axa aa xaxax aa 3 0 . 实数及其相关概念 概念有理数和无理数统称实数 分类 有理数 无理数 或 正数 负数 绝对值、相反数、倒数的意义同有理数 实数与数轴上的点是一一对应
10、 实数的运算法则、运算规律与有理数的运算法则 运算规律相同。 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数：、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如 3 2,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率 ，或化简后含有 的数，如 /3+8 等； （3）有一定规律，但并不循环的数，如 0.1010010001等； （4）某些三角函数值，如 sin60o等 二、实数的倒数、相反数和绝对值二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时
11、一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的 相反数是零） ，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如 果 a 与 b 互为相反数，则有 a+b=0，a=b，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。 （|a|0） 。 零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则 a0；若|a|= -a，则 a0。 3、倒数 如果 a 与 b 互为倒数， 则有 ab=1， 反之亦成立。 倒数等于本身的数是 1 和-1。 零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规 定的三要素缺一不可） 。
12、解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并 能灵活运用。 5、估算 从两边确定范围，再一点点加强限制，使其所处的范围越来越小，从而达到 要精确的程度 例题例题：估算的近似值 （精确到 0.01） 解： 121，224 1 2 1.722.89，1.823.24 1.7 1.8 1.7322.992 9，1.7423.027 6 1.73 1.74 1.73222.999 824，1.73323.003 289 1.732 1.733 1.73 利用非负数解题的常见类型利用非负数解题的常见类型 例 1. 解：解： 已知，求的值。xyxy5302 2 | xyxy 5030
13、530，且| 点拨：点拨：利用算术平方根，绝对值非负性解题。 三、平方根、算数平方根和立方根三、平方根、算数平方根和立方根 1、算术平方根：算术平方根：一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根。特别地，0 的算术平方根是 0。 表示方法：记作“a” ，读作根号 a。 性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 2、平方根：平方根：一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根（或二次方根） 。 表示方法：正数 a 的平方根记做“a” ，读作“正、负根号 a” 。 性质：一个正数
14、有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有 平方根。 开平方：求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。 注意 a的双重非负性：被开方数与结果均为非负数。即 a0 3、立方根立方根 一般地， 如果一个数 x 的立方等于 a， 即 x3=a 那么这个数 x 就叫做 a 的立方 根（或三次方根） 。 表示方法：记作 3 a 性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方 xy5030，| xy5030， xy53， xy 2 225619 根是零。 注意： 33 aa，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 四、实数大小的比较四、实数大小的比较 1、实数比较大小：
15、正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上 的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。 2、实数大小比较的几种常用方法 （1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 （2）求差比较：设 a、b 是实数， ,0baba ,0baba baba0 （3）求商比较法：设 a、b 是两正实数， ;1;1;1ba b a ba b a ba b a （4）绝对值比较法：设 a、b 是两负实数，则baba。 （5）平方法：设 a、b 是两负实数，则baba 22 。 （6）倒数法：设 a、b 是同正,如果 1/a1/b，则 ab;同负，如果 1/a1/b，
16、 则 ab 五、算术平方根有关计算（二次根式）五、算术平方根有关计算（二次根式） 1、 形如 a (a0)的式子叫做二次根式二次根式。其中 a 为整式或分式，a 叫做被开方 式。 即含有二次根号“” ，被开方数 a 必须是非负数。 2、性质： （1）)0()( 2 aaa （2） aa 2 )0( aa )0( aa （3）)0, 0(babaab （)0, 0(baabba） （4）)0,0(ba b a b a （)0, 0(ba b a b a ） 3、一般地，被开方数不含分母不含分母，也不含能开得尽方开得尽方的因数或因式，这样的二次 根式，叫做最简二次根式最简二次根式 4、分母有理化、
17、分母有理化 (1)定义：化去分母中根号的变形叫做分母有理化分母有理化； (2)方法：将分子和分母都乘分母的有理化因式 二次根式的化简技巧：二次根式的化简技巧： (1)当被开方数是整数时，应先将它分解因数； (2)当被开方数是小数或带分数时， 应先将小数化成分数或带分数化成假分数假分数 的形式； (3)当被开方数是整数或分数的和差时，应先将这个和差的结果求出 六、实数的运算六、实数的运算 （1）六种运算：）六种运算：加、减、乘、除、乘方 、开方 二次根式的加减法则：二次根式加减时，先将二次根式化成最简化成最简二次根式， 再将被开方数相同被开方数相同的二次根式进行合并合并 被开方数相同的最简二次根
18、式， 称 为“同类二次根式” 。 （2）实数的运算顺序 先算乘方和开方， 再算乘除， 最后算加减， 如果有括号， 就先算括号里面的。 （3）运算律）运算律 加法交换律 abba 加法结合律 )()(cbacba 乘法交换律 baab 乘法结合律 )()(bcacab 乘法对加法的分配律 acabcba )( 例. 计算： 通过以上计算，观察规律，写出用 n（n 为正整数）表示上面规律的等式 _。 解：解： 规律： 第三章第三章 位置与坐标位置与坐标 一、 在平面内，确定物体的位置一般需要两个两个数据。 二、平面直角坐标系及有关概念二、平面直角坐标系及有关概念 1、平面直角坐标系、平面直角坐标系
19、 在平面内， 两条互相垂直两条互相垂直且有公共原点公共原点的数轴数轴， 组成平面直角坐标系。 其中， 水平的数轴叫做 x 轴或横轴，取向右右为正方向；铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴，取 （ ）；12121 （ ）；23232 （ ）；323 23 （ ）45252. 211321431541 22222 ； nnnn111 向上上为正方向；x 轴和 y 轴统称坐标轴。它们的公共原点 O 称为直角坐标系的原 点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。 2、为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被 x 轴和 y 轴分割而成 的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意：注意
20、：x 轴和 y 轴上的点（坐标轴上的点） ，不属于不属于任何一个象限。 3、点的坐标的概念、点的坐标的概念 对于平面内任意一点 P,过点 P 分别 x 轴、y 轴向作垂线，垂足在上 x 轴、y 轴对应的数 a，b 分别叫做点 P 的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点 P 的坐标。 点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，” 分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对有序实数对，当时， （a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。 平面内点的与有序实数对是一一对应的。 4、不同位置的点的坐标的特征、不同位置的点的坐标的特征 （1） 、各象限内点的坐
21、标的特征） 、各象限内点的坐标的特征 点 P(x,y)在第一象限 点 P(x,y)在第二象限 点 P(x,y)在第三象限 点 P(x,y)在第四象限 （2） 、坐标轴上的点的特征） 、坐标轴上的点的特征 点 P(x,y)在 x 轴上，x 为任意实数 点 P(x,y)在 y 轴上，y 为任意实数 点 P(x,y)既在 x 轴上，又在 y 轴上x，y 同时为零，即点 P 坐标为（0，0） 即原点 （3） 、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征） 、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点 P(x,y)在第一、三象限夹角平分线（直线 y=x）上x 与 y 相等：x=y 点 P(x,y)在第二、四象限
22、夹角平分线上x 与 y 互为相反数：x= - y （4） 、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征） 、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于 y 轴的直线上的各点的横坐标相同。 （5） 、关于） 、关于 x 轴、轴、y 轴或原点对称的点的坐标的特征轴或原点对称的点的坐标的特征 点 P 与点 p关于 x 轴对称横坐标相等， 纵坐标互为相反数， 即点 P （x， y） 关于 x 轴的对称点为 P（x，-y） 点 P 与点 p关于 y 轴对称纵坐标相等， 横坐标互为相反数， 即点 P （x， y） 关于 y 轴的对称点为 P（-x，y） 点 P
23、与点 p关于原点对称横、纵坐标均互为相反数，即点 P（x，y）关于 原点的对称点为 P（-x，-y） (6)、点到坐标轴及原点的距离、点到坐标轴及原点的距离 点 P(x,y)到坐标轴及原点的距离： （1）点 P(x,y)到 x 轴的距离等于 （2）点 P(x,y)到 y 轴的距离等于 （3）点 P(x,y)到原点的距离等于 三、坐标变化与图形变化的规律：三、坐标变化与图形变化的规律： 坐标（ x ， y ）的变化 图形的变化 x a 或 y a 被横向或纵向拉长（压缩）为原来的 a 倍 x a， y a 放大（缩小）为原来的 a 倍 x （ -1）或 y （ -1） 关于 y 轴或 x 轴对称
24、 x （ -1） ， y （ -1） 关于原点成中心对称 x +a 或 y+ a 沿 x 轴或 y 轴平移 a 个单位 x +a， y+ a 沿 x 轴平移 a 个单位， 再沿 y 轴平移 a 个单 位 第四章第四章 一次函数一次函数 一、函数：一、函数： 一般地，在某一变化过程中有两个变量 x 与 y，如果给定一个 x 值，相应地 就确定了一个 y 值，那么我们称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量，y 是因变量。 二、自变量取值范围二、自变量取值范围 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。一般从整式 （取全体实数） ，分式（分母不为 0） 、二次根式（被开方数为非负数
25、） 、实际意义 几方面考虑。 自变量取值范围的确定方法自变量取值范围的确定方法： (1)当关系式是整式整式时，自变量为全体实数； (2)当关系式是分母含字母分母含字母的式子时，自变量的取值需保证分母不为 0； (3)当关系式是二次根式二次根式时，自变量的取值需使被开方数为非负实数； (4)当关系式有零指数幂(或负整数指数幂)时，自变量的取值需使相应的底数不为 0； (5)当关系式是实际问题的关系式时，自变量的取值需使实际问题有意义； (6)当关系式是复合形式时，自变量的取值需使所有式子同时有意义 三、函数的三种表示法及其优缺点三、函数的三种表示法及其优缺点 （1）关系式（解析）法）关系式（解析
26、）法 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的 等式表示，这种表示法叫做关系式（解析）法。 （2）列表法）列表法 把自变量 x 的一系列值和函数 y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种 表示法叫做列表法。 （3）图象法）图象法 用图象表示函数关系的方法叫做图象法。 四、由函数关系式画其图像的一般步骤四、由函数关系式画其图像的一般步骤 （1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值 （2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点 （3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起 来。 五、正比例函数和一次函数五、正比例函数和一次函数 1
27、、正比例函数和一次函数的概念 一般地，若两个变量 x，y 间的关系可以表示成（k，b 为常数，k 0）的形式，则称 y 是 x 的一次函数（x 为自变量，y 为因变量） 。 特别地，当一次函数中的 b=0 时（即） （k 为常数，k0） ，称 y 是 x 的正比例函数。 2、一次函数的图像: 所有一次函数的图像都是一条直线。特别地，正比例 函数图象是经过原点的一条直线。 直线 y=kx+b 与坐标轴的交点坐标： （1）与 y 轴的交点为(0，b)； （2）与 x 轴的交点为 . 3、一次函数、正比例函数图像的主要特征： 一次函数的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数的图像 是经过原点（0，
28、0）的直线。 k 的 符号 B 的 符号 函数图像 图像特征 k0 b0 图像经过一、 二、 三象限， y 随 x 的增大而增大。 b0 图像经过一、 三、 四象限， y 随 x 的增大而增大。 k0 图像经过一、 二、 四象限， y 随 x 的增大而减小 b0 时，图像经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大； （2）当 k0 时，y 随 x 的增大而增大 （2）当 k0 时，y 随 x 的增大而减小 6、系数相等的一次函数的位置关系、系数相等的一次函数的位置关系 平移法：直线 ykxb 可以看作由直线 ykx 平移得到： 当 b0 时，把直线 ykx 向上平移 b 个单位得到直线 ykx
29、b； 当 b0 时，把直线 ykx 向下平移|b|个单位得到直线 ykxb. 用一句话来表述就是： “上加下减上加下减” ；上、下是“形”的平移，加、减是“数” 的变化。 两条直线平行的规律：两条直线平行的规律： 两条直线平行 k 值相等 7、正比例函数和一次函数解析式的确定、正比例函数和一次函数解析式的确定 确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常 数 k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数 k 和 b。 求一次函数关系式的步骤为：求一次函数关系式的步骤为： 设代求还原设代求还原，即： (1)设设：设出一次函数关系式 y=kx+b； (2)代代：将所
30、给数据代入函数关系式； (3)求求：求出 k 的值； (4)还原还原：写出一次函数关系式. 8、一次函数与一元一次方程的关系：、一次函数与一元一次方程的关系： 任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b 为常数，k0）的形式 而一次函数解析式形式正是 y=kx+b（k、b 为常数，k0） 当函数值为 0 时， 即 kx+b=0 就与一元一次方程完全相同 结论：由于任何一元一次方程都可转化为 kx+b=0（k、b 为常数，k0）的 形式所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为 0 时，求相应的自变量 的值 从图象上看，这相当于已知直线 y=kx+b 确定它与 x 轴交点的横坐标值 利用一次函数图象解一元一次方程的步骤：利用一次函数图象解一元一次方程的步骤： (1)转化转化：将一元一次方程转化为一次函数； (2)画图象画图象：画出一次函数的图象； (3)找交点找交点：找出一次函数图象与 x 轴的交点，得到其横坐标，即为一元一次方 程的解
