1、第第 22 章章 二次函数二次函数 综合训练综合训练 一、选择题一、选择题 1. 如图，利用一面墙，其他三边用 80 米长的篱笆围成一块矩形场地，墙长为 30 米，则围成矩 形场地的最大面积为( ) A800 平方米 B750 平方米 C600 平方米 D2400 平方米 2. 如果抛物线的顶点坐标是(3，1)，与 y 轴的交点坐标是(0，4)，那么这条抛物线的解析 式是( ) Ay1 3x 22x4 By1 3x 22x4 Cy1 3(x3) 21 Dyx26x12 3. 若抛物线 yx22x3 不动，将平面直角坐标系 xOy 先沿水平方向向右平移 1 个单位，再 沿铅直方向向上平移 3 个
2、单位，则原抛物线图象的解析式应变为( ) A. y(x2)23 B. y(x2)25 C. yx21 D. yx24 4. (2019咸宁)已知点1,1,2,0AmBm Cmnn在同一个函数的图象上，这个函数可 能是 Ay x B 2 y x C 2 yx D 2 yx 5. (2019雅安)在平面直角坐标系中，对于二次函数 2 2()1yx，下列说法中错误的是 Ay的最小值为 1 B图象顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线2x C当2x时，y的值随x值的增大而增大，当 2x时，y的值随x值的增大而减小 D它的图象可以由 2 yx=的图象向右平移 2 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度得到
3、6. 若 A(1，0)为抛物线 y3(x1)2c 上一点，则当 y0 时，x 的取值范围是( ) A1x3 Bx1 或 x3 C1x3 Dx1 或 x3 7. 设直线 x1 是函数 yax2bxc(a，b，c 是实数，且 a1，则(m1)ab0 B. 若 m1，则(m1)ab0 C. 若 m0 D. 若 m1，则(m1)ab0 8. 已知二次函数 yax2bxc 的图象如图所示， OAOC， 由抛物线的特征写出如下含有 a， b，c 三个字母的等式或不等式：4acb 2 4a 1；acb10；abc0；abc0. 其中正确的个数是( ) A4 B3 C2 D1 9. 王芳将如图所示的三条水平直
4、线 m1，m2，m3中的一条记为 x 轴(向右为正方向)，三条竖直 直线 m4，m5，m6中的一条记为 y 轴(向上为正方向)，并在此坐标平面内画出了抛物线 yax2 6ax3，则她所选择的 x 轴和 y 轴分别为( ) Am1，m4 Bm2，m5 Cm3，m6 Dm4，m5 10. 如图，两条抛物线 y11 2x 21，y21 2x 21 与分别经过点(2，0)，(2，0)且平行于 y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为( ) A8 B6 C10 D4 二、填空题二、填空题 11. 如果二次函数 ya(xh)2k 的图象的顶点坐标为(1，3)，那么它的对称轴为直线 x _，k 的值为_ 1
5、2. (2019荆州)二次函数 2 245yxx 的最大值是_ 13. 已知二次函数 ykx26x9 的图象与 x 轴有两个不同的交点，则 k 的取值范围为 _ 14. 若二次函数y2x24x1的图象与x轴交于A(x1， 0)、 B(x2， 0)两点， 则 1 x1 1 x2的值为_ 15. 二次函数 yax2bxc 的图象如图 2222 所示，若方程 ax2bxck 有两个不相等 的实数根，则 k 的取值范围为_ 16. (2019天水)二次函数 2 yaxbxc的图象如图所示， 若42Mab，Na b 则M、N 的大小关系为M_N(填“”、“”或“”) 三、解答题三、解答题 17. 已知，
6、抛物线 yax2bxc(a0)经过原点，顶点为 A(h，k)(h0) (1)当 h1，k2 时，求抛物线的解析式； (2)若抛物线 ytx2(t0)也经过 A 点，求 a 与 t 之间的关系式； (3)当点 A 在抛物线 yx2x 上，且2h1 时，求 a 的取值范围 18. 已知抛物线 l：y(xh)24(h 为常数) (1)如图 22B2(a)，当抛物线 l 恰好经过点 P(1，4)时，l 与 x 轴从左到右的交点为 A，B， 与 y 轴交于点 C. 求 l 的解析式，并写出 l 的对称轴及顶点坐标 在 l 上是否存在点 D(与点 C 不重合)，使 SABDSABC？若存在，请求出点 D
7、的坐标；若不 存在，请说明理由 M 是 l 上任意一点， 过点 M 作 MEy 轴于点 E， 交直线 BC 于点 D， 过点 D 作 x 轴的垂线， 垂足为 F，连接 EF，当线段 EF 的长度最短时，求出点 M 的坐标 (2)设 l 与直线 y3 5x 24 5 有个交点的横坐标为 x0， 且满足 3x05， 通过 l 位置随 h 变化的过程， 直接写出 h 的取值范围 19. 春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用 20 天时间，采用每天降低水位以减少捕捞 成本的办法，对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售 九(1)班数学建模兴趣小组根据调查， 整理出第 x 天(1x20 且 x 为整数)的捕
8、捞与销售的相关 信息如下： 鲜鱼销售单价(元/kg) 20 单位捕捞成本(元/kg) 5x 5 捕捞量(kg) 95010 x (1)在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一天的捕捞量相比是如何变化的？ (2)假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失， 且能在当天全部售出 求第 x 天的收入 y(元) 与 x(天)之间的函数关系式；(当天收入日销售额日捕捞成本) (3)试说明(2)中的函数 y 随 x 的变化情况，并指出在第几天 y 取得最大值，最大值是多少？ 20. 2019 鄂尔多斯 某工厂制作 A，B 两种手工艺品，B 每件获利比 A 多 105 元，获利 30 元的 A 与获利 240 元的
9、 B 数量相等 (1)制作一件 A 和一件 B 分别获利多少元？ (2)工厂安排 65 人制作 A，B 两种手工艺品，每人每天制作 2 件 A 或 1 件 B.现在在不增加工人 的情况下，增加制作 C.已知每人每天可制作 1 件 C(每人每天只能制作一种手工艺品)，要求每 天制作 A，C 两种手工艺品的数量相等设每天安排 x 人制作 B，y 人制作 A，写出 y 与 x 之 间的函数关系式(不要求写自变量的取值范围) (3)在(1)(2)的条件下，每天制作 B 不少于 5 件当每天制作 5 件时，每件获利不变若每增加 1 件，则当天平均每件获利减少 2 元已知 C 每件获利 30 元，求每天制
10、作三种手工艺品可获 得的总利润 W(元)的最大值及相应 x 的值 第第 22 章章 二次函数二次函数 综合训练综合训练-答案答案 一、选择题一、选择题 1. 【答案】【答案】B 解析 设矩形场地中平行于墙的边长为 x 米，则垂直于墙的边长为80 x 2 米，围 成矩形场地的面积为 y 平方米， 则 yx （80 x） 2 1 2x 240 x1 2(x40) 2800. a0，x40 时，y 随 x 的增大而增大，由于墙长为 30 米，01 时， 则 m10，(m1)abmaabmaa2aa(m3)，a0，而 m3 的正负性无法 确定，a(m3)的正负性无法确定，所以 A，B 错误；当 m1
11、时，则 m10，(m1)a bmaabmaa2aa(m3)，a0，m30，所以 C 正确，D 错 误 8. 【答案】【答案】A 解析 (1)抛物线的顶点的纵坐标是1，4acb 2 4a 1.故正确 (2)OAOC|c|，A(c，0)，ac2bcc0.又 c0，acb10.故正确 (3)从图象中易知 a0，b0，c0，abc0.故正确 (4)当 x1 时，yabc，由图象知点(1，abc)在第二象限，abc0.故正 确 综上所述，4 个结论均正确，故选 A. 9. 【答案】【答案】A 解析 yax26ax3a(x3)239a， 抛物线的对称轴为直线 x3， 王芳选择的 y 轴为直线 m4. 抛物
12、线 yax26ax3 与 y 轴的交点为(0，3)， 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴的下方， 王芳选择的 x 轴为直线 m1. 10. 【答案】【答案】A 二、填空题二、填空题 11. 【答案】【答案】1 3 12. 【答案】【答案】7 【解析】 22 2452(1)7yxxx ， 即二次函数 2 45yxx 的最大值是 7， 故答案为：7 13. 【答案】【答案】k1 且 k0 14. 【答案】【答案】4 【解析】由题意可知，x1，x2为方程 2x24x10 的两根，所以 x1x22， x1x21 2，则 1 x1 1 x2 x1x2 x1x2 2 1 2 4. 15. 【答案】【答案】k
13、2 【解析】 从图象上来看，当 k2 时，抛物线 yax2bxc 与直线 yk 有两 个不同的交点，此时方程 ax2bxck 有两个不相等的实数根 16. 【答案】【答案】 【解析】当1x时， 0yabc ， 当2x时， 420yabc ， 42MNabab420abcabc ， 即MN， 故答案为： 三、解答题三、解答题 17. 【答案】【答案】 (1)【思路分析】设出抛物线的顶点式，已知顶点坐标和抛物线过原点，即可得抛物线的解析 式； 解：根据题意，设抛物线的解析式为 ya(xh)2k(a0) h1，k2， ya(x1)22，(1 分) 抛物线经过原点， a20， 解得 a2.(2 分)
14、抛物线的解析式为 y2(x1)22，即 y2x24x.(3 分) (2)【思路分析】将 A 点代入抛物线 ytx2中，得到 h 与 k 的关系式，代入抛物线的顶点式化 简，即可得到 a 与 t 的关系式； 解：抛物线 ytx2(t0)经过点 A(h，k)， kth2， ya(xh)2th2，(4 分) 抛物线经过原点， ah2th20，(5 分) h0， at.(6 分) (3)【思路分析】同(2)的方法得到 a 与 h 的关系式，注意自变量的取值范围，可分类讨论 解：点 A(h，k)在抛物线 yx2x 上， kh2h， ya(xh)2h2h， 抛物线经过原点， ah2h2h0， h0， a1
15、 h1.(8 分) 分两类讨论： 当2h0 时，由反比例函数性质可知1 h 1 2， a3 2； 当 0h1， a0. 综上所述，a 的取值范围是 a3 2或 a0.(10 分) 18. 【答案】【答案】 解：(1)将 P(1，4)代入 y(xh)24，得(1h)244，解得 h1， 抛物线 l 的解析式为 y(x1)24， 抛物线 l 的对称轴为直线 x1，顶点坐标为(1，4) 存在 将 x0 代入 y(x1)24，得 y3， 点 C 的坐标为(0，3)， OC3. S ABDS ABC， 点 D 的纵坐标为 3 或3. 当 y3 时，(x1)243，解得 x12，x20(舍去)，点 D 的
16、坐标为(2，3) 当 y3 时，(x1)243， 解得 x11 7，x21 7， 点 D 的坐标为(1 7，3)或(1 7，3) 综上所述，在抛物线 l 上存在点 D(与点 C 不重合)，使 S ABDS ABC，点 D 的坐标为(2，3) 或(1 7，3)或(1 7，3) 如图(a)所示： EOFOEDOFD90 ， 四边形 OEDF 为矩形，ODEF. 依据垂线段的性质可知：当 ODBC 时，OD 有最小值，即 EF 有最小值 把 y0 代入抛物线的解析式，得(x1)240，解得 x11，x23，B(3，0)， OBOC. 又ODBC， CDBD. 点 D 的坐标为(3 2， 3 2) 将
17、 y3 2代入 y(x1) 24，得(x1)243 2， 解得 x1 10 2 1，x2 10 2 1， 点 M 的坐标为( 10 2 1，3 2)或( 10 2 1，3 2) (2)y(xh)24， 抛物线的顶点在直线 y4 上 对于直线 y3 5x 24 5 ， 当 3x05 时，3y09 5， 即抛物线 l 与直线 y3 5x 24 5 在 G(3，3)，H(5，9 5)之间的一段有一个交点 当抛物线经过点 G 时，(3h)243，解得 h2 或 h4. 当抛物线经过点 H 时，(5h)249 5，解得 h5 55 5 或 h5 55 5 . 随 h 的逐渐增加，l 的位置随之向右平移，
18、如图(b)所示 由函数图象可知： 当 2h5 55 5 或 4h5 55 5 时， 抛物线 l 与直线在 3x05 段有一个交点 19. 【答案】【答案】 解：(1)该养殖场每天的捕捞量与前一天的捕捞量相比每天减少了 10 kg. (2)由题意，得 y20(95010 x)(5x 5)(95010 x)2x 240 x14250.(7 分) (3)20，y2x240 x142502(x10)214450，(9 分) 又 1x20，且 x 为整数， 当 1x10 时，y 随 x 的增大而增大； 当 10 x20 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x10 时即在第 10 天，y 取得最大值，最大
19、值为 14450 元 20. 【答案】【答案】 解：(1)设制作一件 A 获利 a 元，则制作一件 B 获利(105a)元，由题意得30 a 240 a105，解得 a 15. 经检验，a15 是原方程的根且符合题意 当 a15 时，a105120. 答：制作一件 A 获利 15 元，制作一件 B 获利 120 元 (2)设每天安排 x 人制作 B，y 人制作 A，则 2y 人制作 C，于是有 yx2y65， y1 3x 65 3 . (3)由题意得： W15 2 y1202(x5)x2y 302x2130 x90y， 又y1 3x 65 3 ， W2x2130 x90y2x2130 x90(1 3x 65 3 )2x2100 x1950， 抛物线的对称轴为直线 x25，而 x25 时，y 的值不是整数， 根据抛物线的对称性和增减性可得：当 x24 或 x26 时，W 最大 当 x24 时，y1 3x 65 3 不是整数，不符合题意； 当 x26 时，y13，此时 W2 262100 2619503198. 答：每天制作三种手工艺品可获得的总利润 W 的最大值为 3198 元，此时 x 的值为 26.
