1、1第 21 讲 平行四边形命题点 平行四边形的性质与判定1(2012河北 T93 分)如图，在ABCD 中，A70，将ABCD 折叠，使点 D，C 分别落在点 F，E 处(点 F，E都在 AB 所在的直线上)，折痕为 MN，则AMF 等于(B)A70 B40 C30 D202(2016河北 T132 分)如图，将ABCD 沿对角线 AC 折叠，使点 B 落在点 B处若1244，则B 为(C)A66 B104 C114 D1243(2015河北 T2210 分)嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图 1 的四边形 ABCD，并写出了如下不完整的已
2、知和求证已知：如图 1，在四边形 ABCD 中，BCAD，ABCD求证：四边形 ABCD 是平行四边形图 1 图 2(1)在横线上填空，以补全已知和求证；(2)按嘉淇的想法写出证明；(3)用文字叙述所证命题的逆命题为平行四边形的对边相等证明：连接 BD.在ABD 和CDB 中，AB CD，AD CB，BD DB， )ABDCDB(SSS)ABDCDB，ADBCBD.ABDC，ADBC.四边形 ABCD 是平行四边形.重难点 平行四边形的性质与判定如图，在ABCD 中，E，F 在对角线 AC 上2(1)若 BE，DF 分别是ABO，CDO 的中线，求证：四边形 BEDF 是平行四边形；(2)若
3、BE，DF 分别是ABO，CDO 的角平分线，四边形 BEDF 还是平行四边形吗？若 BE，DF 分别是ABO，CDO的高线时，四边形 BEDF 还是平行四边形吗？【思路点拨】(1)可从对角线互相平分上证明四边形 BEDF 是平行四边形；(2)BE，DF 分别是ABO，CDO 的角平分线和高线时，可得到BOEDOF，仍有 OEOF，则有四边形 BEDF 是平行四边形【自主解答】解：(1)证明：四边形 ABCD 是平行四边形，OAOC，OBOD.BE，DF 分别是ABO，CDO 的中线，OEOF.四边形 BEDF 是平行四边形(2)四边形 ABCD 是平行四边形，OBOD，ABCD.ABOCDO
4、.BE，DF 分别是ABO，CDO 的角平分线，OBEODF.又BOEDOF，BOEDOF(ASA)OEOF.四边形 BEDF 是平行四边形同理可证得 BE，DF 分别是ABO，CDO 的高线时，仍有四边形 BEDF 是平行四边形【变式训练】如图，在ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 的直线分别交 AD，BC 于 E，F.求证：四边形AECF 是平行四边形证明：四边形 ABCD 是平行四边形，OAOC, ADBC.AEOCFO.又AOECOF，AOECOF(AAS)OEOF.四边形 AECF 是平行四边形方 法 指 导1在平行四边形一条对角线(所在直线上)上任取两个关于对
5、角线交点对称的点，与另一条对角线的两个端点，这四个点围成一个平行四边形2过平行四边形对角线交点任画一直线，在直线上取两点关于交点对称，则两个对称点与一条对角线的两个端点围成一个平行四边形3在一个四边形中证明其对边相等或平行，通常要证明这个四边形是平行四边形4判定平行四边形的基本思路：(1)若已知一组对边平行，可以证明这一组对边相等，或另一组对边平行；(2)若已知一组对边相等，可以证明这一组对边平行，或另一组对边相等；(3)若已知条件与对角线相关，可考虑证明对角线互相平分；(4)若已知一组对角相等，可以证明另一组对角相等.31(2018黔南)如图，在ABCD 中，已知 AC4 cm，若ACD 的
6、周长为 13 cm，则ABCD 的周长为(D)A26 cm B24 cm C20 cm D18 cm2如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O.下列条件不能判定四边形 ABCD 为平行四边形的是(D)AABCD，ADBC BOAOC，OBODCABCD，ADBC DABCD，ADBC3(2018宜宾)在ABCD 中，若BAD 与CDA 的平分线交于点 E，则AED 的形状是(B)A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不能确定4(2018海南)如图，ABCD 的周长为 36，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E 是 CD 的中点，BD12，则DOE 的周长为(A)A
7、15B18C21D245(2018台州)如图，在ABCD 中，AB2，BC3.以点 C 为圆心，适当长为半径画弧，交 BC 于点 P，交 CD 于点Q，再分别以点 P，Q 为圆心，大于 PQ 的长为半径画弧，两弧相交于点 N，射线 CN 交 BA 的延长线于点 E，则 AE12的长是(B)A. B1 C. D.12 65 326(2017广州)如图，E，F 分别是ABCD 的边 AD，BC 上的点，EF6，DEF60，将四边形 EFCD 沿 EF 翻折，得到 EFCD，ED交 BC 于点 G，则GEF 的周长为(C)A6 B12 C18 D2447(2018常州)如图，在ABCD 中，A70，
8、DCDB，则CDB408(2018临沂)如图，在ABCD 中，AB10，AD6，ACBC，则 BD4 139 【分类讨论思想】已知平面直角坐标系中有四个点 O(0，0)，A(3，0)，B(1，1)，C(x，1)，若以 O，A，B，C 为顶点的四边形是平行四边形，则 x4 或210(2018无锡)如图，在ABCD 中，E，F 分别是边 BC，AD 的中点，求证：ABFCDE.证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，ADBC，AC.E，F 分别是边 BC，AD 的中点，AF AD，CE BC.AFCE.12 12在ABF 和CDE 中， AF CE， A C，AB CD， )ABFCDE(
9、SAS)ABFCDE.11(2018河北模拟)如图，已知AD，ABDC，AC，BD 相交于点 O.(1)求证：AOBDOC；(2)作BDC 关于直线 BC 的对称图形BEC，求证：四边形 ABEC 是平行四边形证明：(1)在AOB 和DOC 中， A D， AOB DOC，AB DC， )AOBDOC(AAS)(2)由(1)知AOBDOC，OBOC，AODO.BOODCOOA，即 BDAC.BDC、BEC 关于直线 BC 对称，DCCE，BDBE.ACBE.又ABDC，ABCE.四边形 ABEC 是平行四边形12如图，在ABCD 中，ABC，ADC 的平分线分别交 AD，BC 于点 E，F.(
10、1)求证：四边形 EBFD 是平行四边形；5(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索连接 AF，CE，分别交 BE，FD 于点 G，H，得到四边形 EGFH.此时，他猜想四边形 EGFH 是平行四边形，请补全他的证明思路小明的证明思路由(1)可知，BEDF.要证四边形 EGFH 是平行四边形，只要证 FGEH由(1)可证 EDBF，则 AEFC，又由 AEFC，故四边形 AFCE 是平行四边形，从而可证得 FGEH，则四边形EGFH 是平行四边形证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，ABCADC.BE，DF 分别平分ABC，ADC，EBFEDF ABC ADC.12 12ADBC
11、，EDFDFC.DFCEBF.BEDF.四边形 EBFD 是平行四边形13(2018安徽)在ABCD 中，E，F 为对角线 BD 上不同的两点下列条件中，不能得出四边形 AECF 一定为平行四边形的是(B)ABEDF BAECFCAFCE DBAEDCF14(2018眉山)如图，在ABCD 中，CD2AD，BEAD 于点 E，F 为 DC 的中点，连接 EF，BF，下列结论：ABC2ABF；EFBF；S 四边形 DEBC2S EFB ；CFE3DEF，其中正确结论的个数共有(D)A1 个 B2 个 C3 个 D4 个提示：正确的是.15(2018株洲)如图，在ABCD 中，连接 BD，且 BD
12、CD，过点 A 作 AMBD 于点 M，过点 D 作 DNAB 于点 N，且DN3 ，在 DB 的延长线上取一点 P，满足ABDMAPPAB，则 AP6216(2018无锡)如图，已知XOY60，点 A 在边 OX 上，OA2.过点 A 作 ACOY 于点 C，以 AC 为一边在XOY 内作等边三角形 ABC，点 P 是ABC 围成的区域(包括各边)内的一点，过点 P 作 PDOY 交 OX 于点 D，作PEOX 交 OY 于点 E.设 ODa，OEb，则 a2b 的取值范围是 2a2b5617(2018永州)如图，在ABC 中，ACB90，CAB30，以线段 AB 为边向外作等边ABD，点
13、E 是线段AB 的中点，连接 CE 并延长交线段 AD 于点 F.(1)求证：四边形 BCFD 为平行四边形；(2)若 AB6，求BCFD 的面积解：(1)证明：在ABC 中，ACB90，CAB30，ABC60.ABD 为等边三角形，BADD60.BADABC60.BCAD.CAD180ACB90.在 RtABC 中，ACB90，E 为 AB 的中点，CE ABBE.12BCEABC60.又BCAD，AFCBCE60.DAFC.BDCF.四边形 BCFD 是平行四边形(2)在 RtABC 中，BAC30，AB6，BC AB3，AC 3 .12 AB2 BC2 3S BCFD33 9 .3 31
14、8正方形 ABCD 的边长是 5，点 M 是直线 AD 上一点，连接 BM，将线段 BM 绕点 M 逆时针旋转 90得到线段 ME，在直线 AB 上取点 F，使 AFAM，且点 F 与点 E 在 AD 同侧，连接 EF，DF.(1)如图 1，当点 M 在 DA 延长线上时，求证：ADFABM；(2)如图 2，当点 M 在线段 AD 上时，求证：四边形 DFEM 是平行四边形；(3)在(2)的条件下，线段 AM 与线段 AD 有什么数量关系时，四边形 EFDM 的面积最大？并求出这个面积的最大值7图 1 图 2解：(1)证明：四边形 ABCD 是正方形，DAFBAM90，ADAB.在ADF 和ABM 中，AF AM， DAF BAM，AD AB， )ADFABM(SAS)(2)证明：延长 BM 交 DF 于 K.ADFABM，DFBM，ABMADF.EMBM，EMDF.ABMAMB90，AMBDMK，ADFDMK90.BKD90.EMB90，EMBBKF90.EMDF.四边形 EFDM 是平行四边形(3)设 DMx，则 AMAF5x，SEFDMDMAFx(5x)(x )2 .52 25410，x 时，EFDM 的面积最大，最大面积为 ，52 254即当 AM AD 时，EFDM 的面积最大，最大面积为 .12 254
