1、 菱形的性质与判定 第1讲 适用学科 初中数学 适用年级 初三 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 菱形的性质 菱形的轴对称性（最值问题）和面积 菱形的判定 菱形的性质与判定 教学目标 1、掌握菱形的性质与判定. 2、学会应用菱形的性质解决最值问题. 教学重点 能熟练掌握菱形的性质与判定. 教学难点 菱形综合题. 【教学建议教学建议】 菱形这种图形在生活中也比较常见，在教学过程中，结合现实生活中的菱形物体给学生讲解，必能收 到事半功倍的效果. 【知识导图】【知识导图】 概 述 【教学建议】【教学建议】 在这一部分知识的学习中，要重视学生灵活运用所学知识点的能力培养. 在七八
2、年级的学习中我们已经学习过了平行四边形的性质和判定，在本讲中我们将会学习平行四边形 中的特殊图形之一菱形，它在初中数学四边形题型中占据了非常重要的位置. 定义：一组邻边对应相等的平行四边形叫做菱形 性质：除具备一般平行四边形的性质外，还具备四条边相等，对角线互相垂直，并且每条对角线平分 一组对角 让学生拿出准备好的长方形纸片，剪出一个四边都相等的四边形，根据这个条件首先证它是平行四边 形，再由一组邻边相等，依定义即知为菱形 菱形判定定理 1：四边都相等的四边形是菱形 1、已知：如图，在 ABCD 中，BDAC，O 为垂足 求证：ABCD 是菱形. 启发：在已知是平行四边形的情况下，要证明是菱形
3、，只要 教学过程 考点 1 菱形的定义和性质 二、知识讲解 一、导入 考点 2 菱形的判定 证明一组邻边相等 证明：四边形 ABCD 是平行四边形， AOCO（平行四边形的对角线互相平分） BDAC， ADCD ABCD 是菱形（菱形的定义） 结论：菱形判定定理 2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 2、猜想：对角线互相垂直平分的四边形是不是菱形？ 启发：通过四个直角三角形的全等得到四条边相等 结论：对角线互相垂直平分的四边形是菱形 类型一 菱形的定义与性质 如图，菱形 ABCD 的周长为 24cm，对角线 AC、BD 相交于 O 点，E 是 AD 的中点，连接 OE，则线段 OE 的长等 于
4、【 】 A.3cm B.4cm C.2.5cm D.2cm 【解析】A. 菱形 ABCD 的周长为 24cm，边长 AB=244=6cm. 对角线 AC、BD 相交于 O 点，BO=DO. 又E 是 AD 的中点，OE 是ABD 的中位线.OE= 1 2 AB= 1 2 6=3（cm）.故选 A. 【总结与反思】此题运用了菱形的定义与性质：四边相等、对角线相互平分. 类型二 菱形的轴对称性（最值问题）和面积菱形的轴对称性（最值问题）和面积 三 、例题精析 例题 1 例题 1 如图，已知菱形 ABCD 中，ABC=60，AB=8，过线段 BD 上的一个动点 P（不与 B、D 重合）分别向直线 A
5、B、AD 作垂线，垂足分别为 E、F （1）BD 的长是_ （2）连接 PC，当 PE+PF+PC 取得最小值时，此时 PB 的长是_ 【解析】 38；34 （1）连接 AC，交 BD 与点 O， 四边形 ABCD 是菱形，ABC=60， ABC 为等边三角形，AC=AB=8， 根据菱形性质得：AO=CO= 2 1 AC=4，OB=OD，ACBD， 根据勾股定理得：BD=2OB=2 22 4-8=83； （2）延长 FP 交 BC 于点 M，则 FMBC PM=PE， PE+PF=PF+PM=FM， 又S菱形 ABCD=ACBD=BCFM， 2 1 883=8FM，即 FM=43， 要使 PE
6、+PF+PC 取最小值，只要 PC 取最小值 当 CPBD，即点 P 与点 O 重合时，PE+PF+PC 的值最小 此时 PB=BO=DO= 2 1 BD=43 故答案为：83；43 【总结与反思总结与反思】 此题是对菱形定义和性质的灵活运用，通过菱形性质求出了最值. 类型三 菱形的判定菱形的判定 如图，将ABC 沿 BC 方向平移得到DCE，连接 AD，下列条件能够判定四边形 ABCD 为菱形的是（ ） A、AB=BC B、AC=BC C、B=60 D、ACB=60 例题 1 【解析】A 首先根据平移的性质得出 AB 平行且等于 CD，得出四边形 ABCD 为平行四边形，根据邻边相等的平行四
7、边形 是菱形可得添加条件 AB=BC 即可即可 试题解析：将ABC 沿 BC 方向平移得到DCE， AB 平行且等于 CD， 四边形 ABCD 为平行四边形， 当 AB=BC 时，平行四边形 ACED 是菱形 故选 A 【总结与反思】先证明四边形是平行四边形，再由邻边相等证明四边形是菱形. 1.在菱形 ABCD 中，若ADC=120，对角线 AC=6，则菱形的周长是（ ） A43 B24 C83 D243 2.如图，菱形 ABCD 中，P 为对角线 AC 上一动点，E,F 分别为 AB、BC 中点，若 AC=8，BD=6，则 PE+PF 的最 小值为_. 答案与解析答案与解析 1.【答案】C
8、【解析】试题分析：先根据菱形的性质求得BAD=60，AO=3，即可得到ABD 为等边三角形，根据等边三 角形可得 AB 的长，从而求得结果. 菱形 ABCD，ADC=120，AC=6， 四 、课堂运用 基础 AB=AD，BAD=60，AO=3，AOB=90 ABD 为等边三角形，BAO=30， AB=2BO， 222 BOAOAB，解得32AB， 菱形的周长是38， 故选 C. 2.【答案】1、5 【解析】设 AC 交 BD 于 O，作 E 关于 AC 的对称点 N，连接 NF，交 AC 于 P，则此时 EP+FP 的值最小，根据菱 形的性质推出 N 是 AD 中点，P 与 O 重合，推出 P
9、E+PF=NF=AB，根据勾股定理求出 AB 的长即可 设 AC 交 BD 于 O，作 E 关于 AC 的对称点 N，连接 NF，交 AC 于 P，则此时 EP+FP 的值最小， PN=PE， 四边形 ABCD 是菱形， DAB=BCD，AD=AB=BC=CD，OA=OC，OB=OD，ADBC， E 为 AB 的中点， N 在 AD 上，且 N 为 AD 的中点， ADCB， ANP=CFP，NAP=FCP， AD=BC，N 为 AD 中点，F 为 BC 中点， AN=CF， 在ANP 和CFP 中 ANP=CFP，AN=CF，NAP=CFP， ANPCFP（ASA）， AP=CP， 即 P
10、为 AC 中点， O 为 AC 中点， P、O 重合， 即 NF 过 O 点， ANBF，AN=BF， 四边形 ANFB 是平行四边形， NF=AB， 菱形 ABCD，AC=8，BD=6， ACBD，OA=4，OB=3， 5 22 OBOAAB， 则 PE+PF 的最小值为 5. 1.如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AC=12，BD=16，E 为 AD 中点，点 P 在 x 轴上移动.小 明同学写出了两个使POE 为等腰三角形的 P 点坐标（-5,0）和（5,0）.请你写出其余所有符合这个条件的 P 点坐标 . 2.如图所示，在 RtABC 中，AD 平分BAC，
11、交 BC 于 D，CHAB 于 H，交 AD 于 F，DEAB 垂足为 E，求证： 四边形 CFDE 是菱形. 答案与解析答案与解析 1.【答案】（8，0）和（ 8 25 ，0） 【解析】由在菱形 ABCD 中，AC=12，BD=16，E 为 AD 中点，根据菱形的性质与直角三角形的性质，易求得 OE 的长，然后分别从当 OP= OE 时，当 OE=PE 时，当 OP=EP 时去分析求解即可求得答案 四边形 ABCD 是菱形，AC=12，BD=16， ACBD，OA= 2 1 AC=6，OD= 2 1 BD=8， 巩固 在 RtAOD 中，10 22 ODOAAD E 为 AD 中点， OE=
12、 2 1 AD=5， 当 OP=OE 时，P 点坐标（-5，0）和（5，0）； 当 OE=PE 时，此时点 P 与 D 点重合，即 P 点坐标为（8，0）； 如图，当 OP=EP 时，过点 E 作 EKBD 于 K，作 OE 的垂直平分线 PF，交 OE 于点 F，交 x 轴于点 P， EKOA， EK：OA=ED：AD=1：2， EK= 2 1 OA=3， 4 22 EKOEOK PFO=EKO=90，POF=EOK， POFEOK， OP：OE=OF：OK， 即 OP：5= 2 5 ：4， 解得 8 25 OP， P 点坐标为（ 8 25 ，0） 其余所有符合这个条件的 P 点坐标为：（8
13、，0）或（ 8 25 ，0） 2.【答案】证明：AD 平分BAC， 1=2， 在 RtABC 中，CHAB 于 H， 1+AFH=90，2+4=90， 3=AFH，1=2， 3=4， FC=CD， DEAB 垂足为 E，ACD=90，1=2， CD=DE，FC=DE， CHAB，DEAB， FCDE， 四边形 CFED 是平行四边形， FC=CD， 四边形 CFED 是菱形 1.如图，边长为 4 的菱形 ABCD 中，DAB=60，E 是 AD 上的动点（与 A，D 不重合），F 是 CD 上的动点， 且 AE+CF=4 （1）求证：不论点 E，F 的位置如何变化，BEF 是正三角形； （2）
14、设 AE=x，BEF 的面积是 S，求 S 与 x 的函数关系式 2.已知 AC 是菱形 ABCD 的对角线，BAC=60，点 E 是直线 BC 上的一个动点，连接 AE，以 AE 为边作菱形 AEFG，并且使EAG=60，连接 CG，当点 E 在线段 BC 上时（如图 1）易证：AB=CG+CE当点在 E 线段 BC 的延长线上时（如图 2），猜想 AB、CG、CE 之间的关系并证明；当点在 E 线段 CB 的延长线上时（如图 3）， 猜想 AB、CG、CE 之间的关系 答案与解析答案与解析 1.【答案】见解析 【解析】（1）证明：连接 BD， 四边形 ABCD 是菱形，DAB=60，ADC
15、=120， ABD 是正三角形 ABD=ADB=60，AB=BD， 又因 AE+CF=4，DF+CF=4， AE=DF， 而FDB=ADC-ADB=60=DAB， AEBDBF， BE=BF，ABE=DBF， 拔高 EBF=EBD+DBF=EBD+ABE=ABD=60 BEF 是正三角形 （2）解：过 E 作 EGAB 于点 G， AE=x，DAB=60， EG= 2 3 x，AG= 2 1 x， BG=4- 2 1 x， BE 2=EG2+BG2=2 2 3 ）（x+ 2 2 1 -4）（x=164 2 xx 作FH EB 垂足为点 H， SBEF= 2 1 BEFH= 2 1 BE 2 3
16、 BE= 2 4 3 BE= 4 3 （164 2 xx） 2.【答案】见解析 【解析】（1）AB=CG-CE 证明：AC 是菱形 ABCD 的对角线且BAC=60， AC=AD 四边形 AEFG 菱形， DAC=GAE=60， DAG=CAE 在ACE 和ADG 中 ACEADG（SAS）， CE=DG AB=CD=CG-DG=CG-CE； （2）AB=CE-CG 同理可证ACGABE， BE=CG AB=CB=CE-BE=CE-CG 本节的重要内容：菱形的性质与判定. 四边都相等的四边形是菱形； 在已知是平行四边形的情况下，要证明是菱形，只要证明一组邻边相等； 对角线互相垂直平分的四边形是
17、菱形 1.如图所示，在菱形 ABCD 中，对角线 AC=10，BD=24，AEBC 于 E，则 AE 的长是（ ） A120 60240 . 131313 BC D8 2.如图，四边形 ABCD 是对角线互相垂直的四边形，且 OB=OD，请你添加一个适当的条件 ， 使四边形 ABCD 成为菱形.（只需添加一个条件即可） 3.如图，在菱形 ABCD 中，B=60，点 E、F 分别在边 AB、AD 上，且 AE=DF （1）试猜想ECF 的形状，并说明理由 （2）若 AB=10，那么ECF 的周长是否存在最小值？如果存在，请求出来；如果不存在，请说明理由 答案与解析答案与解析 五 、课堂小结 六
18、、课后作业 基础 1.【答案】A 【解析】根据菱形的性质得出 BO、CO 的长，在 RTBOC 中求出 BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半， 也等于 BCAE，可得出 AE 的长度 四边形 ABCD 是菱形，AC=10，BD=24， CO= 2 1 AC=5，BO= 2 1 BD=12，AOBO， 13 22 COBOBC ， AEBCBDACS ABCD 2 1 菱形 ， AE132410 2 1 ，解得 13 120 AE， 故选 A. 2.【答案】OA=OC（答案不唯一） 【解析】根据菱形的判定，平行的性质，全等三角形的判定和性质，由已知，添加 OA=OC 或 AD=BC 或 AD/
19、BC 或 AB=BC 等即可判定 ABCD 成为菱形. 3.【答案】见解析. 【解析】ECF 是等边三角形 证明：连接 AC， B=60， AC=AB=CD，D=CAE=60 又AE=FD， CDFCEA（SAS）， CE=EF，ACE=DCF， 而DCF+FCA=60， ACE+FCA=60=ECF， ECF 是等边三角形 （2）存在 很明显当 CEAB 时长度最小， 此时 CE=BCsinB=5， 最小周长=15 1. 如图，在四边形 ABCD 中，AC=BD=6，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点，则 EG 2+FH2= . 2.（2011福州）已知，矩形 ABCD
20、中，AB=4cm，BC=8cm，AC 的垂直平分线 EF 分别交 AD、BC 于点 E、F，垂 足为 O （1）如图 1，连接 AF、CE求证四边形 AFCE 为菱形，并求 AF 的长； （2）如图 2，动点 P、Q 分别从 A、C 两点同时出发，沿AFB 和CDE 各边匀速运动一周即点 P 自 AF BA 停止，点 Q 自 CDEC 停止在运动过程中， 已知点 P 的速度为每秒 5cm，点 Q 的速度为每秒 4cm，运动时间为 t 秒，当 A、C、P、Q 四点为顶点的四 边形是平行四边形时，求 t 的值 若点 P、Q 的运动路程分别为 a、b（单位：cm，ab0），已知 A、C、P、Q 四点
21、为顶点的四边形是平行四 边形，求 a 与 b 满足的数量关系式 答案与解析答案与解析 1.【答案】36. 【解析】如图，连接 EF，FG，GH，EH，EG 与 FH 相交于点 O. E、H 分别是 AB、DA 的中点，EH 是ABD 的中位线. 巩固 EH= 2 1 BD=3. 同理可得 EF=GH= 2 1 AC=3，FG= 2 1 BD=3. EH=EF=GH=FG=3.四边形 EFGH 为菱形. EGHF，且垂足为 O.EG=2OE，FH=2OH. 在 RtOEH 中，根据勾股定理得：OE2+OH2=EH2=9. 等式两边同时乘以 4 得：4OE2+4OH2=94=36. （2OE）2+
22、（2OH）2=36，即 EG2+FH2=36. 2.【答案】见解析. 【解析】（1）证明：四边形 ABCD 是矩形， ADBC， CAD=ACB，AEF=CFE， EF 垂直平分 AC，垂足为 O， OA=OC， AOECOF， OE=OF， 四边形 AFCE 为平行四边形， 又EFAC， 四边形 AFCE 为菱形， 设菱形的边长 AF=CF=xcm，则 BF=（8x）cm， 在 RtABF 中，AB=4cm， 由勾股定理得 42+（8x）2=x2， 解得 x=5， AF=5cm （2）显然当 P 点在 AF 上时，Q 点在 CD 上，此时 A、C、P、Q 四点不可能构成平行四边形； 同理 P
23、 点在 AB 上时，Q 点在 DE 或 CE 上，也不能构成平行四边形 因此只有当 P 点在 BF 上、Q 点在 ED 上时，才能构成平行四边形， 以 A、C、P、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA， 点 P 的速度为每秒 5cm，点 Q 的速度为每秒 4cm，运动时间为 t 秒， PC=5t，QA=124t， 5t=124t， 解得 t= 3 4 ，以 A、C、P、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，t= 3 4 秒 由题意得，以 A、C、P、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，点 P、Q 在互相平行的对应边上 分三种情况： i）如图 1，当 P 点在 AF 上、Q 点在
24、CE 上时，AP=CQ，即 a=12b，得 a+b=12； ii）如图 2，当 P 点在 BF 上、Q 点在 DE 上时，AQ=CP，即 12b=a，得 a+b=12； iii）如图 3，当 P 点在 AB 上、Q 点在 CD 上时，AP=CQ，即 12a=b，得 a+b=12 综上所述，a 与 b 满足的数量关系式是 a+b=12（ab0） 1.在菱形 ABCD 中，ABC=60，E 是对角线 AC 上一点，F 是线段 BC 延长线上一点，且 CF=AE，连接 BE、 EF. （1）若 E 是线段 AC 的中点，如图 1，求证：BE=EF； （2）若 E 是线段 AC 或 AC 延长线上的任
25、意一点，其它条件不变， 如图 2、图 3，线段 BE、EF 有怎样的数 量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明. 2.如图，在菱形 ABCD 和菱形 BEFG 中，点 A、B、E 在同一条直线上，P 是线段 DF 的中点，连接 PG，PC若 3 BDGE ACBF （1）请写出线段 PG 与 PC 所满足的关系；并加以证明 （2）若将图中的菱形 BEFG 饶点 B 顺时针旋转，使菱形 BEFG 的对角线 BF 恰好与菱形 ABCD 的边 AB 在同 一条直线上，原问题中的其他条件不变，如图那么你在（1）中得到的结论是否发生变化？若没变化， 拔高 直接写出结论，若有变化，写出变化的结果
26、 （3）若将图中的菱形 BEFG 饶点 B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请猜想（1）中的结 论有没有变化？ 答案与解析答案与解析 1.【答案】见解析 【解析】（1）延长 GP 交 DC 于 H， DCGF， DHP=PGF，DPH=GPF， DP=PF， DHPPGF， HD=GF， 四边形 ABCD 和四边形 GFEB 是菱形， DC=CB，FG=GB， DH=GB DC-DH=CB-GB， CH=CG， CHG 就是等腰三角形且 CP 是底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的特点， 即可得出 CPPG； 线段 PG 与 PC 的位置关系是 PGPC； （2）线段 PG 与
27、PC 的位置关系是 PGPC； 证明：如图，延长 GP 到 H，使 PH=PG， 连接 CH，CG，DH， P 是线段 DF 的中点， FP=DP， GPF=HPD， GFPHDP， GF=HD，GFP=HDP， 3 BF GE AC BD , ADC=ABC=60，GBF=60， 四边形 ABCD 是菱形， CD=CB，ADC=ABC=60，点 A、B、F 又在一条直线上， FBC=120， HDC=CBG=60， 四边形 BEFG 是菱形 GF=GB， HD=GB，即在HDC 与GBC 中， BGDH CBGHDC BCCD ， HDCGBC（SAS）， CH=CG，DCH=BCG， DC
28、H+HCB=BCG+HCB=120， 即HCG=120 CH=CG，PH=PG， PGPC （3）将图中的菱形 BEFG 饶点 B 顺时针旋转任意角度， （1）中的结论没有变化，PGPC 2.【答案】见解析 【解析】（1）图 2：BE=EF.图 3. 图 2 证明如下：过点 E 作 EGBC，交 AB 于点 G， 四边形 ABCD 为菱形，AB=BC. 又ABC=60，ABC 是等边三角形. AB=AC，ACB=60. 又EGBC，AGE=ABC=60. 又BAC=60，AGE 是等边三角形.AG=AE.BG=CE. 又CF=AE，GE=CF. 又BGE=ECF=120，BGEECF（SAS）
29、.BE=EF. （2）图 2，过点 E 作 EGBC，交 AB 于点 G， 根据菱形的性质结合ABC=60可得ABC 是等边三角形， 根据等边三角形的性质得到 AB=AC， ACB=60， 再求出AGE 是等边三角形，根据等边三角形的性质得到 AG=AE，从而可以求出 BG=CE，再根据等角的补角 相等求出BGE=ECF=120，然后利用“边角边”证明BGE 和ECF 全等，根据全等三角形对应边相等 即可得证. 图 3，证明思路与方法与图 2 完全相同， 证明如下： 过点 E 作 EGBC 交 AB 延长线于点 G， 四边形 ABCD 为菱形，AB=BC. 又ABC=60，ABC 是等边三角形. AB=ACACB=60. 又EGBC，AGE=ABC=60. 又BAC=60，AGE 是等边三角形.AG=AE.BG=CE. 又CF=AE，GE=CF. 又BGE=ECF=60，BGEECF（SAS）.BE=EF. 七 、教学反思
