1、 求解二元一次方程组 第 12 讲 适用学科 初中数学 适用年级 初二 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 二元一次方程组 二元一次方程组的解 解二元一次方程组 教学目标 1、了解二元一次方程组的概念和二元一次方程组解的含义. 2、了解代入法的概念,掌握代入法的基本步骤. 3、了解加减消元法解二元一次方程组的一般步骤. 4、掌握用代入法、加减法解二元一次方程组. 教学重点 加减法解二元一次方程组. 教学难点 在解题过程中进一步体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想. 【教学建议教学建议】 二元一次方程组是一个全新的概念，注意从已有知识引导并理解掌握，对于求解二元一次方
2、程组，重 点在划二元为一元，要注重理解过程从而更好的掌握求解 【知识导图】【知识导图】 概 述 在一望无际呼伦贝尔大草原上，一头老牛和一匹小马驮着包裹吃力地行走着，老牛喘着气吃力地说：“累 死我了”，小马说：“你还累，这么大的个，才比我多驮 2 个”老牛气不过地说：“哼，我从你背上拿 来一个，我的包裹就是你的 2 倍！”，小马天真而不信地说：“真的？！”同学们，你们能否用数学知 识帮助小马解决问题呢？ 上面的问题由于涉及到老牛和小马的驮包裹的两个未知数，我们设老牛驮 x 个包裹，小马驮 y 个包裹，老 牛的包裹数比小马多 2 个，由此得方程 x-y=2，若老牛从小马背上拿来 1 个包裹，这时老
3、牛的包裹是小马 的 2 倍， 得方程：x+1=2(y-1) 师：同学们能用方程的方法来发现、解决问题这很好，上面所列方程有几个未知数？含未知数的项的次数 求解二元一次方程组求解二元一次方程组 二元一次方程组的概念二元一次方程组的概念 二元一次方程的解二元一次方程的解 解二元一次方程组解二元一次方程组 代入法解二元一次方程组代入法解二元一次方程组 加减消元法解二元一次方程加减消元法解二元一次方程 组组 二、知识讲解 一、导入 考点 1 二元一次方程（组）及其解 教学过程 是多少？ （含有两个未知数，并且所含未知数项的次数是 1） 师：含有两个未知数，并且含未知数项的次数都是 1 的方程叫做二元一
4、次方程 注意：这个定义有两个地方要注意 、含有两个未知数， 、含未知数的次数是一次 练习：下列方程有哪些是二元一次方程 x 1 +2y=1 xy+x=1 3x- 2 y =5 xx32 2 xy=1 2x(y+1)=c 2x-y=1 x+y=0 议一议、 师：上面的方程中 x-y=2，x+1=2(y-1)的 x 含义相同吗？y 呢？ （两个方程中 x 的表示老牛驮的包裹数，y 表示小马的包裹数，x、y 的含义分别相同。） 师：由于 x、y 的含义分别相同，因而必同时满足 x-y=2 和 x+1=2(y-1)，我们把这两个方程用大括号联立起 来，写成 ) 1(21 2 yx yx 像这样含有两个
5、未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 如： 03 332 yx yx 8 835- yx yx 做一做、 x=6,y=2 适合方程 x+y=8 吗？x=5,y=3 呢？x=4,y=4 呢？你还能找到其他 x,y 值适合 x+y=8 方程吗？ X=5,y=3 适合方程 5x+3y=34 吗？x=2,y=8 呢？ 你能找到一组值 x,y 同时适合方程 x+y=8 和 5x+3y=34 吗？各小组合作完成，各同学分别代入验算，教师巡 回参与小组活动，并帮助找到 3 题的结论. 由学生回答上面 3 个问题，老师作出结论 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的
6、解 x=6,y=2 是方程 x+y=8 的一个解，记作 2 6 y x 同样， 3 5 y x 也是方程 x+y=8 的一个解，同时 3 5 y x 又是方程 5x+3y=34 的一个解， 二元一次方程各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。 让学生谈谈如何求二元一次方程组的解. 【例 1】解方程组 132 1 xy yx 先让学生讨论:如何用代入法解方程组? 教师归纳:关键是把“二元”“一元”,用 y-1 代替 x 代入式中的 x(可以动画演示 y-1 代替 x 的过程). 【答案】把代入,得 2y-3(y-1)=1, 即 2y-3y+3=1, 解得 y=2. (求得 y 后,让学生讨论:
7、如何求 x,代入还是代入简便?) 把 y=2 代入,得 x=2-1=1 方程组的解是 注意:把 2y-3(y-1)=1 中的(y-1),x=2-1=1 中的 2 用彩色粉笔处理. 问:是不是原方程组的解,应如何体验? 生:把解代入方程组. 师:解方程组与解方程一样,要养成口头检验的良好习惯. 归纳:用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤是 (1)将方程组中的一个方程变形,使得一个未知数能用含有另一个未知数的代数式表示; (2)用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数,得到一个一元一次方程,求得一个未知数的值; (3)把这个未知数的值代入代数式,求得另一个未知数的值; (4)写出方程组的解. .
8、(1)用多媒体显示天平的一边拿掉 2 个小立方体和 3 个小球,右边拿掉 100 克的砝码,天平仍显示平衡. (2)合作学习:如何使方程组达到消元的目的. (3)让学生说说在解本题时的体会(方法的不同;比较两种解法哪种更便捷). (4)归纳:通过将方程组中的两个方程相加或相减,消去其中的一个未知数,转化为一元一次方程,这种解二 元一次方程组的方法叫做加减消元法(简称加减法). 考点 2 解二元一次方程组 2.例题讲解. 【例 1】解方程组: 75y2x 132yx 【答案】-,得 8y=-8,y=-1. 将 y=-1 代入,得 2x+5=7,x=1. 所以原方程的解是 -1y 1x 【例】解方
9、程组 163y2x 1123yx 先让学生观察,然后问:本题与上面刚刚所做的两道题有什么区别?应用什么方法解?(如何有学生回答用代 入法来解,可以让学生先动手用代入法来解一解,再问:是否可以用加减法求解?如何使 x 或 y 的系数变为 相等或相反?) 【答案】3,得 9x-6y=33 2,得 4x+6y=32 +,得 13x=65, x=5, 把 x=5 代入,得 35-2y=11, 解得 y=2. 原方程组的解为 2y 5x 归纳:方程变形时,要乘以相同字母的最小公倍数;方程左边乘以某一个数时,不能忘了右边的常数也要 乘. 变式:本题如果消去 x,那么如何将方程变形? 3.学生合作讨论:归纳
10、解二元一次方程组的一般步骤. (1)将其中一个未知数的系数化成相同的(或互为相反数). (2)通过相减(或相加)消去这个未知数,得一个一元一次方程. (3)解这个一元一次方程,得到这个未知数的值. (4)将求得的未知数的值代入原方程组中的任一个方程,求得另一个未知数的值. (5)写出方程组的解. 类型一 二元一次方程组 1.下列方程组中，不是 二元一次方程组的是( ) A. yx yx 14 023 B. 3 5 zy yx C. 20 2 22 yx yxxx D. 0 12 y yx 【解析】C 【总结与反思】本题主要考查二元一次方程组的概念 类型二 二元一次方程组的解二元一次方程组的解
11、1.在 0 0 x y 1 1 x y 2 2 x y 1 1 2 x y 这四对数值中，_是 x-y=0 的解，_是 x+2y=0 的解，因此_是方程组 0 20 xy xy 的解. 【解析】；. 【总结与反思】 本题主要考查二元一次方程（组）的解 类型三 消元法解二元一次方程组消元法解二元一次方程组 1.用代入法解方程组 2x-y=-2;(1) 4x-3y=4;(2) 较简便的解法步骤是:先把方程_变为_，再代入方程 _，求得_的值，然后再求_的值。 【解析】(1); y=2x+2；（2）；x；y 【总结与反思】代入消元法求解方程的特点. 解方程组： 3x5y4， 2x5y1. 【解析】
12、x=1 1 y=- 5 【总结与反思】代入消元法求解方程的特点. 解:+ 得：5x=5,x=1; 三 、例题精析 把 x=1 代入，得 3-5y=4,y= 5 1 原方程组的解是 x=1 1 y=- 5 1.下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A. 1 =2 xy xy B. 5x23 1 3 y y x C. 20 1 3 5 xz xy D. 5 7 23 x xy 2.用代入法解方程组 231 12 43 xy yx 1. 解方程组 3x-2y=1 x+3y=4. ， 答案与解析答案与解析 1.【答案】 1 2 【解析】本题主要考查二元一次方程组的概念. 2. 【答案】原方程组的解
13、为 x=-3 7 y=- 3 【解析】本题主要考查代入消元法解二元一次方程组. 3. 【答案】原方程组的解为 x=1 y=1 【解析】本题主要考查选用合适的消元法解二元一次方程组，这里加减或代入消元均可. 四 、课堂运用 基础 巩固 1. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A. 571 1 25 xy x y B. 533 1 +y3 xy x C. 20 35 xz xy D. 5 7 23 x xy 2.若关于 x，y 的二元一次方程组 0 1 xby xy 的解是 1x y ，其中 y 的值被墨汁盖住了，则 b 的值是 _. 3.下列用代入法解方程组 32;(1) 3112 ;(
14、2) xy xy 的步骤，其中最简单的是（ ） A 由（1）得 2 (3) 3 y x ，把（3）代入（2）得 2 3112 3 y y B 由（1）得 y=3x-2（3），把（3）代入（2）得 3x=11-2（3x-2） C 由(2)得 113 (3) 2 x y ，把（3）代入（2）得 113 32 2 x x D 把（2）代入（1）得 11-2y-y=2（把 3x 看做一个整体） 答案与解析答案与解析 1.【答案】D 【解析】本题主要考查二元一次方程组的概念. 2. 【答案】 2 1 【解析】本题主要考查二元一次方程组的解. 3. 【答案】D 【解析】代入消元法解二元一次方程，整体思想.
15、 1.已知二元一次方程组 545,(1) 329,(2) xy xy ，下面说法正确的是：（ ） A 同时满足方程（1）和方程（2）的 x，y 的值是方程组的解 B 满足方程（1）的 x，y 的值是方程组的解。 C 满足方程（2）的 x，y 的值是方程组的解 拔高 D 满足方程（1）或方程（2）的 x，y 的值一定是方程组的解 2. 用代入法解方程组 26 344 xy xy 较简便的方法是_。 3.小明和小亮解同一个方程组 ax+by=1 1 bx+ay=-5 2 ， ， ，小明把（1）抄错了，得解为 x=-1 y=3 ，而小亮把（2） 抄错了，得解为 x=3 y=2 ，你能根据上面的结果，
16、正确的求出原方程组的解吗？ 答案与解析答案与解析 1.【答案】A 【解析】本题主要考查二元一次方程组的解. 2. 【答案】将方程（1）变形，求出 y=6-2x 然后代入第二个方程 【解析】选用合适的法求解二元一次方程组. 3. 【答案】.解：由题意得: 1 2 a b ,代入原方程得： -x+2y=1 25xy 解得： 3 1 x y 【解析】本题主要考查二元一次方程组的解,看错（1）得出的是（2）的解；看错（2）得出的是（1）的解 代入求出 a,b,进而求出原方程的解. 本节讲了 3 个重要内容： 1 二元一次方程组的概念. 2 二元一次方程组的解. 3 解二元一次方程组. 1.若 2 1
17、x y 既是方程 2x-y=m 的解，也是方程 x+my=n 的解，求mn的值。 五 、课堂小结 六 、课后作业 基础 2.解下列方程组： （1） （2） 3.已知 1 2 y x 是二元一次方程组 1 8 mynx nymx 的解，则 2mn 的算术平方根为（ ） A.2 B.2 C.2 D4 答案与解析答案与解析 1.【答案】352mn 【解析】本题主要考查二元一次方程组的解，m=3,n=5. 2. 【答案】（1）原方程组的解： x=-3 7 y=- 3 （2）原方程组的解为： 8 x=- 5 6 y=- 5 【解析】选用合适的方法求解二元一次方程组，（1）加减消元，（2）代入消元. 3.
18、 【答案】C 【解析】本题主要考查二元一次方程组的解,m=3,n=2. 1.已知 2 1 x y 是方程组 37 5 axy xby 的解，求 3a+4b-5 的值。 2. 3 3 y x 是方程组 22 1 nyx ymx 的解, 则 m=_,n=_. 3.方程组的解 x 和 y 的值相等， 则 k 的值等于（ ）. A.9 B.10 C.11 D.12 答案与解析答案与解析 1.【答案】3a+4b-5=32+43-5=13. 【解析】本题主要考查二元一次方程组的解 2. 【答案】 48 m=-n= 33 ； 【解析】本题主要考查二元一次方程组的解 132 3 2 4 1 yx xy 4:3
19、: 23 xy yx 3) 1( 134 ykkx yx 巩固 3. 【答案】C 【解析】本题主要考查二元一次方程组的解及解二元一次方程组. 1.已知关于 x，y 的方程组 2 21 xyk xy 的解满足 x+y=3，求 k 的值。 2.在解方程组 ax+y=10 x+by=7 ， ， 时，甲由于粗心看错了方程组中的 a，求得方程组的解为 x=1 y=6 ，乙看错了方 程组中的 b， 求得方程组的解为 x=-1 y=12 ， 甲把 a 看成了什么？乙把 b 看成了什么？求出原方程组的正确解。 答案与解析答案与解析 1.【答案】K=8 【解析】本题主要考查二元一次方程组的解及解二元一次方程组. 2. 【答案】甲把 a 看成了 4，乙把 b 看成了 2 3 ；元方程组的解为 3 4 x y 【解析】本题主要考查二元一次方程组的解, 错了方程组中的 a，求得方程组的解代入含 a 的式子，可求得 错误的 a，同法求 b;看错 a 得出的是含 b 的解；看错 b 得出的含 a 是的解代入求出 a,b,进而求出原方程的 解. 七 、教学反思 拔高
