1、2020 年湖北省十堰市竹溪实验中学中考数学模拟试卷（年湖北省十堰市竹溪实验中学中考数学模拟试卷（6 月份）月份） 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分）分） 1 （3 分）的倒数是（ ） A B C D 2 （3 分）如图是校园一角，学校预留了一个矩形草坪但被学生踩踏出了一条由 A 到 B 的 小路不走预留的人行道而横穿草坪，解释这一现象用到的数学知识是（ ） A两点之间线段最短 B两点确定一条直线 C垂线段最短 D两平行线间的距离处处相等 3 （3 分）如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是（ ） A B C D 4 （3 分）下列运算正确的是（
2、） A （a+b）2a2+b2 B （3x3）26x6 Ca2+a22a4 D （a4）3a12 5 （3 分）下列性质中，矩形具有但平行四边形不一定具有的是（ ） A对边相等 B对角相等 C对角线相等 D对边平行 6 （3 分）北京海淀区某中学经过食堂装修后重新营业，同学们很高兴品尝各种美食菜品， 某同学想要得到本校食堂最受同学欢迎的菜品，以下是排乱的统计步骤： 从扇形图中分析出最受学生欢迎的菜品； 去食堂收集同学吃饭时选择的菜品名称和人数； 绘制扇形图来表示各个种类产品所占的百分比； 整理所收集的数据，并绘制频数分布表； 正确统计步骤的顺序是（ ） A B C D 7 （3 分）某中学八年
3、级学生去距学校 10 千米的景点参观，一部分学生骑自行车先走，过 了 30 分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速 度的 2 倍设骑车学生的速度为 x 千米/小时，则所列方程正确的是（ ） A B C D 8 （3 分）如图，O 的半径为 2，点 A 为O 上一点，半径 OD弦 BC 于 D，如果BAC 60，那么 OD 的长是（ ） A2 B C D1 9 （3 分）将正偶数按如图排成 5 列：根据上面的排列规律，则 2020 应在（ ） A第 253 行，第 2 列 B第 252 行，第 2 列 C第 253 行，第 3 列 D第 252 行，第 3 列
4、10 （3 分）如图，反比例函数 y（x0）的图象经过点 A（2，2） ，过点 A 作 ABy 轴，垂足为 B，在 y 轴的正半轴上取一点 P（0，t） ，过点 P 作直线 OA 的垂线 l，以直线 l 为对称轴， 点 B 经轴对称变换得到的点 B在此反比例函数的图象上， 则 t 的值是 （ ） A1+ B4+ C4 D1+ 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 18 分）分） 11 （3 分）已知 x2+3x+5 的值为 3，则代数式 3x2+9x1 的值为 12 （3 分）某校为了解本校九年级学生足球训练情况，随机抽查该年级若干名学生进行测 试，然后把测试结果分为 4 个等级
5、：A、B、C、D，并将统计结果绘制成两幅不完整的统 计图该年级共有 700 人，估计该年级足球测试成绩为 D 等的人数为 人 13 （3 分）如图，正五边形 ABCDE 内接于O，点 F 为 BC 上一点，连接 AF，若AFC 126，则BAF 的度数为 14 （3 分）对于实数 a、b，定义新运算“ ” ：aba2ab，如 4242428若 x5 6，则实数 x 的值是 15 （3 分）用一个圆心角为 120，半径为 6 的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆 的半径是 16 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，AB，BD6，M、N 分别是 BC，CD 的中点，P 是对角线 BD 上的一
6、个动点，则PMN 周长的最小值为 三解答题（共三解答题（共 9 小题，满分小题，满分 72 分）分） 17 （5 分）计算：+|1| 18 （6 分）先化简，再求值： （2），其中 x2 19 （7 分）如图武汉绿地中心，投资 160 亿元人民币，总建筑面积达 98 万平方米，中心主 楼 BC 高 636m，是目前湖北省第二高楼，大楼顶部有一发射塔 AB，已知和 BC 处于同一 水平面上有一高楼 DE，在楼 DE 底端 D 点测得 A 的仰角为 ，tan，在顶端 E 点 测得 A 的仰角为 45，AE140m （1）求两楼之间的距离 CD； （2）求发射塔 AB 的高度 20 （7 分）现有甲
7、、乙、丙三人组成的篮球训练小组，他们三人之间进行互相传球练习， 篮球从一个人手中随机传到另外一个人手中记作传球一次，共连续传球三次 （1） 若开始时篮球在甲手中， 则经过第一次传球后， 篮球落在丙的手中的概率是 ； （2）若开始时篮球在甲手中，求经过连续三次传球后，篮球传到乙的手中的概率 （请 用画树状图或列表等方法求解） 21 （7 分）已知关于 x 的方程 x2+（2m+1）x+m20 有两个根 x1，x2 （1）求 m 的取值范围； （2）当 x12+x1x20 时，求 m 的值 22 （8 分）如图，ABC 中，BCAC10，以 BC 为直径作O 交 AB 于点 D，交 AC 于 点
8、G；DFAC 于点 F，交 CB 的延长线于点 E （1）求证：直线 EF 是O 的切线； （2）若，求 CF 的值 23 （10 分）小明投资销售一种进价为每件 20 元的护眼台灯销售过程中发现，每月销售 量 y（件）与销售单价 x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y10 x+500，在销 售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的 60% （1）设小明每月获得利润为 w（元） ，求每月获得利润 w（元）与销售单价 x（元）之间 的函数关系式，并确定自变量 x 的取值范围 （2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？ （3）如果小明想要每月获得的
9、利润不低于 2000 元，那么小明每月的成本最少需要多少 元？（成本进价销售量） 24 （10 分）如图，四边形 ABCD 与四边形 AEFG 是共一个顶点的两个大小不同的正方 形 （1）操作发现，如图，正方形 AEFG 绕顶点 A 逆时针旋转，使点 E 落在边 AD 上时， 填空： 线段 BE 与 DG 的数量关系是 ； ABE 与ADG 的关系是 （2）猜想与证明：如图正方形 AEFG 绕顶点 A 逆时针旋转某一角度 （090） 时，猜想（1）中的结论是否成立？并证明你的结论； （3）拓展应用：如图，正方形 AEFG 绕点 A 逆时针旋转，使点 F 落在边 AD 上时， 若 AB，AE1，
10、则 BE 25 （12 分）已知抛物线 yx2+bx+c 经过点 A（4，3） ，顶点为 B，对称轴是直线 x2 （1）求抛物线的函数表达式和顶点 B 的坐标； （2）如图 1，抛物线与 y 轴交于点 C，连接 AC，过 A 作 ADx 轴于点 D，E 是线段 AC 上的动点（点 E 不与 A，C 两点重合） ； （i）若直线 BE 将四边形 ACOD 分成面积比为 1：3 的两部分，求点 E 的坐标； （ii）如图 2，连接 DE，作矩形 DEFG，在点 E 的运动过程中，是否存在点 G 落在 y 轴 上的同时点 F 恰好落在抛物线上？若存在，求出此时 AE 的长； 若不存在，请说明理由 2
11、020 年湖北省十堰市竹溪实验中学中考数学模拟试卷（年湖北省十堰市竹溪实验中学中考数学模拟试卷（6 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分）分） 1 （3 分）的倒数是（ ） A B C D 【分析】依据倒数的定义求解即可 【解答】解：的倒数是； 故选：A 2 （3 分）如图是校园一角，学校预留了一个矩形草坪但被学生踩踏出了一条由 A 到 B 的 小路不走预留的人行道而横穿草坪，解释这一现象用到的数学知识是（ ） A两点之间线段最短 B两点确定一条直线 C垂线段最短 D两平行线间的距离处处相等 【分析】根据线段的性质，
12、可得答案 【解答】解：从 A 地到 B 地有几条路可走，为了尽快到达，人们通常选择其中的直路， 理由是两点之间线段最短， 故选：A 3 （3 分）如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是（ ） A B C D 【分析】正视图和左视图可以得到 A，俯视图可以得到 B 和 D，结合三视图的定义和作 法解答本题正确答案 D 【解答】解：正视图和左视图相同，说明组合体上面是锥体，下面是正四棱柱或圆柱， 俯视图可知下面是圆柱故选 D 4 （3 分）下列运算正确的是（ ） A （a+b）2a2+b2 B （3x3）26x6 Ca2+a22a4 D （a4）3a12 【分析】分别根据完全平方公
13、式，积的乘方运算法则，合并同类项法则以及幂的乘方运 算法则逐一判断即可 【解答】解：A （a+b）2a2+2ab+b2，故本选项不合题意； B （3x3）29x6 ，故本选项不合题意； Ca2+a22a2，故本选项不合题意； D （a4）3a12，正确 故选：D 5 （3 分）下列性质中，矩形具有但平行四边形不一定具有的是（ ） A对边相等 B对角相等 C对角线相等 D对边平行 【分析】根据矩形的性质以及平行四边形的性质进行做题 【解答】解：矩形的特性是：四角相等，对角线相等 故选：C 6 （3 分）北京海淀区某中学经过食堂装修后重新营业，同学们很高兴品尝各种美食菜品， 某同学想要得到本校食堂
14、最受同学欢迎的菜品，以下是排乱的统计步骤： 从扇形图中分析出最受学生欢迎的菜品； 去食堂收集同学吃饭时选择的菜品名称和人数； 绘制扇形图来表示各个种类产品所占的百分比； 整理所收集的数据，并绘制频数分布表； 正确统计步骤的顺序是（ ） A B C D 【分析】统计的一般步骤为，收集数据，整理数据，绘制统计图表，通过统计图表分析 得出结论或做出预测，达到预定的目的 【解答】解：统计的一般步骤为：收集数据，整理数据，绘制统计图表，分析图表得出 结论，从正确的步骤为， 故选：D 7 （3 分）某中学八年级学生去距学校 10 千米的景点参观，一部分学生骑自行车先走，过 了 30 分钟后，其余学生乘汽车
15、出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速 度的 2 倍设骑车学生的速度为 x 千米/小时，则所列方程正确的是（ ） A B C D 【分析】根据八年级学生去距学校 10 千米的景点参观，一部分学生骑自行车先走，过了 30 分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，可以列出相应的方程，从而可以 得到哪个选项是正确的 【解答】解：由题意可得， ， 故选：A 8 （3 分）如图，O 的半径为 2，点 A 为O 上一点，半径 OD弦 BC 于 D，如果BAC 60，那么 OD 的长是（ ） A2 B C D1 【分析】由于BAC60，根据圆周角定理可求BOC120，又 ODBC，根据垂
16、径定理可知COD60，在 RtCOD 中，利用直角三角形 30 度的性质易求 OD 【解答】解：BAC60， BOC2BAC120， OD弦 BC，OBOC， ODC90，CODBOD60， OCD30， ODOC1， 故选：D 9 （3 分）将正偶数按如图排成 5 列：根据上面的排列规律，则 2020 应在（ ） A第 253 行，第 2 列 B第 252 行，第 2 列 C第 253 行，第 3 列 D第 252 行，第 3 列 【分析】根据题意得到每一行是 4 个偶数，奇数行从小到大排列，从第二列开始到第五 列结束，有四个数；偶数行从大到小排列，从第一列开始到第四列结束，有四个数；从 而
17、可以得到偶数 2020 应在第几列 【解答】解：由已知， 奇数行从小到大排列，从第二列开始到第五列结束，有四个数， 偶数行从大到小排列，从第一列开始到第四列结束，有四个数； 202021010，101042522， 2020 是第 1010 个偶数，在第 253 行， 2020 在第 253 行第 3 列， 故选：C 10 （3 分）如图，反比例函数 y（x0）的图象经过点 A（2，2） ，过点 A 作 ABy 轴，垂足为 B，在 y 轴的正半轴上取一点 P（0，t） ，过点 P 作直线 OA 的垂线 l，以直线 l 为对称轴， 点 B 经轴对称变换得到的点 B在此反比例函数的图象上， 则 t
18、 的值是 （ ） A1+ B4+ C4 D1+ 【分析】由点 A（2，2）在反比例函数 y（x0）的图象上，可求函数关系式，可 知 OB、AB 长度，进而知道AOB 是等腰直角三角形，作直线 lOA，进而知道OPC 是等腰直角三角形，若点 B 对称点 B在反比例函数图象上，得到PBB是等腰直角三 角形，利用坐标进行代换，列出方程解出结果 【解答】解：A（2，2） ， OBAB2，反比例函数的关系式为：y， AOB45， PDOA， OPC45， 如图，当点 B 关于直线 l 的对称点 B落在反比例函数的图象上， 则直线 l 是 BB的垂直平分线，此时PBB是等腰直角三角形，即：PBPB， P（
19、0，t）且在 y 轴的正半轴， OPt，PBPBt2， 点 B在第二象限，且在反比例函数的图象上， B（2t，） ，此时； 解得：t， t0， t， 故选：A 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 18 分）分） 11 （3 分）已知 x2+3x+5 的值为 3，则代数式 3x2+9x1 的值为 7 【分析】把所求的式子化成 3（x2+3x）1 的形式，然后 x2+3x 整体代入求解即可 【解答】解：x2+3x+5 的值为 3， x2+3x+53， x2+3x2， 3x2+9x13（x2+3x）13（2）17， 故答案为：7 12 （3 分）某校为了解本校九年级学生足球训练情况，
20、随机抽查该年级若干名学生进行测 试，然后把测试结果分为 4 个等级：A、B、C、D，并将统计结果绘制成两幅不完整的统 计图该年级共有 700 人，估计该年级足球测试成绩为 D 等的人数为 56 人 【分析】根据 A 等学生人数除以它所占的百分比求得总人数，然后用该年级学生总数乘 以足球测试成绩为 D 等的人数所占百分比即可求解 【解答】解：总人数为 1428%50 人， 该年级足球测试成绩为 D 等的人数为 70056（人） 故答案为 56 13 （3 分）如图，正五边形 ABCDE 内接于O，点 F 为 BC 上一点，连接 AF，若AFC 126，则BAF 的度数为 18 【分析】根据正五边
21、形内角和可以求出ABC 的度数，再根据三角形外角的性质即可求 出BAF 的度数 【解答】解：正五边形 ABCDE 内接于O， ABC108， AFC126， BAFAFCABF12610818 故答案为 18 14 （3 分）对于实数 a、b，定义新运算“ ” ：aba2ab，如 4242428若 x5 6，则实数 x 的值是 x2 或 3 【分析】根据新定义运算以及一元二次方程的解法即可求出答案 【解答】解：由题意可知：x25x6， x25x60， （x6） （x+1）0， x6 或 x1， 故答案为：x6 或1 15 （3 分）用一个圆心角为 120，半径为 6 的扇形作一个圆锥的侧面，这
22、个圆锥的底面圆 的半径是 2 【分析】易得扇形的弧长，除以 2 即为圆锥的底面半径 【解答】解：扇形的弧长4， 圆锥的底面半径为 422 故答案为：2 16 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，AB，BD6，M、N 分别是 BC，CD 的中点，P 是对角线 BD 上的一个动点，则PMN 周长的最小值为 +3 【分析】作 M 关于 BD 的对称点 E，连接 NE，交 BD 于 P，连接 MP，此时 MP+NP 的值 最小此时PMN 的周长最小 【解答】解：如图，作 MEBD 交 AB 于 E，连接 EN，与 BD 交于点 P， 当 P 与 P重合时，则 EN 就是 PM+PN 的最小值， M、
23、N 分别是 BC、CD 的中点， CNBMCM， MEBD 交 AB 于 E， BEBM， BECN，BECN， 四边形 BCNE 是平行四边形， ENBCAB， DNNC，CMBM， MNBD3， PMN 的周长的最小值为+3 故选答案为+3 三解答题（共三解答题（共 9 小题，满分小题，满分 72 分）分） 17 （5 分）计算：+|1| 【分析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案 【解答】解：原式3+22+1 41 18 （6 分）先化简，再求值： （2），其中 x2 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将 x 的值代入化简后的式 子，即可解答本题
24、【解答】解： （2） ， 当 x2 时，原式 19 （7 分）如图武汉绿地中心，投资 160 亿元人民币，总建筑面积达 98 万平方米，中心主 楼 BC 高 636m，是目前湖北省第二高楼，大楼顶部有一发射塔 AB，已知和 BC 处于同一 水平面上有一高楼 DE，在楼 DE 底端 D 点测得 A 的仰角为 ，tan，在顶端 E 点 测得 A 的仰角为 45，AE140m （1）求两楼之间的距离 CD； （2）求发射塔 AB 的高度 【分析】 （1）作 EFAC，根据等腰直角三角形的性质求出 EF，根据矩形的性质得到 CD EF，得到答案； （2）根据正切的定义求出 AC，结合图形计算即可 【解
25、答】解： （1）作 EFAC 于 F， 在 RtAEF 中，AEF45， EFAFAE140， EFAC，EDDC，FCDC， 四边形 EDCF 为矩形， CDEF140， 答：两楼之间的距离 CD 为 140m； （2）在 RtADC 中，tanADC，即， 解得，AC660， ABACBC66063624， 答：发射塔 AB 的高度为 24m 20 （7 分）现有甲、乙、丙三人组成的篮球训练小组，他们三人之间进行互相传球练习， 篮球从一个人手中随机传到另外一个人手中记作传球一次，共连续传球三次 （1） 若开始时篮球在甲手中， 则经过第一次传球后， 篮球落在丙的手中的概率是 ； （2）若开始
26、时篮球在甲手中，求经过连续三次传球后，篮球传到乙的手中的概率 （请 用画树状图或列表等方法求解） 【分析】 （1）由概率公式即可得出答案； （2）根据题意先画出树状图得出所有等可能的情况数，由树形图可知三次传球有 8 种等 可能结果，三次传球后，篮球传到乙的手中的结果有 3 种，由概率公式即可得出答案 【解答】解： （1）经过第一次传球后，篮球落在丙的手中的概率为； 故答案为：； （2）画树状图如图所示： 由树形图可知三次传球有 8 种等可能结果，三次传球后，篮球传到乙的手中的结果有 3 种， 篮球传到乙的手中的概率为 21 （7 分）已知关于 x 的方程 x2+（2m+1）x+m20 有两个
27、根 x1，x2 （1）求 m 的取值范围； （2）当 x12+x1x20 时，求 m 的值 【分析】 （1）利用判别式的意义得到（2m1）24m24m+10，然后解关于 m 的 不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到 x1+x2（2m+1） ，x1x2m2，再利用 x12+x1x20 得到 x10 或 x1+x20 当 x10 时，x1x2m20；当 x1+x20 时，即（2m+1）0，然后 分别解关于 m 的方程得到满足条件的 m 的值 【解答】解： （1）根据题意得（2m+1）24m24m+10 m； （2）根据题意得 x1+x2（2m+1） ，x1x2m2， x12+x1x20 x1
28、（x1+x2 ）0 x10 或 x1+x20 当 x10 时，x1x2m20，解得 m0， 当 x1+x20 时，即（2m+1）0，解得 m， 又m， m不符合题意，舍去， 综上所述，m 的值为 0 22 （8 分）如图，ABC 中，BCAC10，以 BC 为直径作O 交 AB 于点 D，交 AC 于 点 G；DFAC 于点 F，交 CB 的延长线于点 E （1）求证：直线 EF 是O 的切线； （2）若，求 CF 的值 【分析】 （1）连接 OD，根据等腰三角形的性质得到ABCA，ABCBDO，求 得ABDO，根据平行线的判定定理得到 DOAC，推出 ODEF，于是得到结论； （2）根据三角
29、函数的定义得到，求得，根据相 似三角形的性质即可得到结论 【解答】 （1）证明：连接 OD， BCAC， ABCA， BODO， ABCBDO， ABDO， DOAC， 又EFAC， EDOEFC90， ODEF， OD 是O 半径， EF 是O 的切线； （2）解：BC10， ODOC5 在 RtEDO 中， ， ， ， ODAC， EDOEFC， ， ， FC9 23 （10 分）小明投资销售一种进价为每件 20 元的护眼台灯销售过程中发现，每月销售 量 y（件）与销售单价 x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y10 x+500，在销 售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成
30、本价的 60% （1）设小明每月获得利润为 w（元） ，求每月获得利润 w（元）与销售单价 x（元）之间 的函数关系式，并确定自变量 x 的取值范围 （2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？ （3）如果小明想要每月获得的利润不低于 2000 元，那么小明每月的成本最少需要多少 元？（成本进价销售量） 【分析】 （1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润 （定价进价）销售量，从而列出关系式； （2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可； （3）根据抛物线的性质和图象，求出每月的成本 【解答】解： （1）由题意，得：
31、w（x20） y（x20） （10 x+500）10 x2+700 x 10000，即 w10 x2+700 x10000（20 x32） （2）对于函数 w10 x2+700 x10000 的图象的对称轴是直线 又a100，抛物线开口向下 当 20 x32 时，W 随着 x 的增大而增大， 当 x32 时，W2160 答：当销售单价定为 32 元时，每月可获得最大利润，最大利润是 2160 元 （3）取 W2000 得，10 x2+700 x100002000 解这个方程得：x130，x240 a100，抛物线开口向下 当 30 x40 时，w2000 20 x32 当 30 x32 时，w
32、2000 设每月的成本为 P（元） ，由题意，得：P20（10 x+500）200 x+10000 k2000， P 随 x 的增大而减小 当 x32 时，P 的值最小，P最小值3600 答：想要每月获得的利润不低于 2000 元，小明每月的成本最少为 3600 元 24 （10 分）如图，四边形 ABCD 与四边形 AEFG 是共一个顶点的两个大小不同的正方 形 （1）操作发现，如图，正方形 AEFG 绕顶点 A 逆时针旋转，使点 E 落在边 AD 上时， 填空： 线段 BE 与 DG 的数量关系是 BEDG ； ABE 与ADG 的关系是 ABEADG （2）猜想与证明：如图正方形 AEF
33、G 绕顶点 A 逆时针旋转某一角度 （090） 时，猜想（1）中的结论是否成立？并证明你的结论； （3）拓展应用：如图，正方形 AEFG 绕点 A 逆时针旋转，使点 F 落在边 AD 上时， 若 AB，AE1，则 BE 【分析】 （1）由“SAS”可证ABEADG，可得 BEDG，ABEADG； （2）由“SAS”可证ABEADG，可得 BEDG，ABEADG； （3） 过点 E 作 EHAB 于 H， 由正方形的性质和等腰三角形的性质可求 AHEH， 由勾股定理可求解 【解答】解： （1）四边形 ABCD，四边形 AEFG 都是正方形， AEAG，ABAD，BADGAD90， ABEADG（
34、SAS） BEDG，ABEADG， 故答案为：BEDG，ABEADG； （2）结论仍然成立， 理由如下：四边形 ABCD，四边形 AEFG 都是正方形， AEAG，ABAD，BADGAE90， GADBAE， ABEADG（SAS） BEDG，ABEADG； （3）如图，过点 E 作 EHAB 于 H， F 落在边 AD 上， FAE45， BAE45，且 EHAB， AEHEAH45， AHHEAE， BHABAH2， BE， 故答案为： 25 （12 分）已知抛物线 yx2+bx+c 经过点 A（4，3） ，顶点为 B，对称轴是直线 x2 （1）求抛物线的函数表达式和顶点 B 的坐标； （
35、2）如图 1，抛物线与 y 轴交于点 C，连接 AC，过 A 作 ADx 轴于点 D，E 是线段 AC 上的动点（点 E 不与 A，C 两点重合） ； （i）若直线 BE 将四边形 ACOD 分成面积比为 1：3 的两部分，求点 E 的坐标； （ii）如图 2，连接 DE，作矩形 DEFG，在点 E 的运动过程中，是否存在点 G 落在 y 轴 上的同时点 F 恰好落在抛物线上？若存在，求出此时 AE 的长； 若不存在，请说明理由 【分析】（1） 由题意得出， 解得， 得出抛物线的函数表达式为： yx2+x+3（x2）2+4，即可得出顶点 B 的坐标为（2，4） ； （2） （i）求出 C（0，
36、3） ，设点 E 的坐标为（m，3） ，求出直线 BE 的函数表达式为：y x+，则点 M 的坐标为（4m6，0） ，由题意得出 OC3，AC4，OM4m 6，CEm，则 S矩形ACOD12，S梯形ECOM，分两种情况求出 m 的值即可； （ii）过点 F 作 FNAC 于 N，则 NFCG，设点 F 的坐标为： （a，a2+a+3） ，则 NF 3（a2+a+3）a2a，NCa，证EFNDGO（ASA） ，得出 NEOD AC4，则 AENCa，证ENFDAE，得出，求出 a或 0，当 a0 时，点 E 与点 A 重合，舍去，得出 AENCa，即可得出结论 【解答】解： （1）抛物线 yx2
37、+bx+c 经过点 A（4，3） ，对称轴是直线 x2， ， 解得：， 抛物线的函数表达式为：yx2+x+3， yx2+x+3（x2）2+4， 顶点 B 的坐标为（2，4） ； （2） （i）yx2+x+3， x0 时，y3， 则 C 点的坐标为（0，3） ， A（4，3） ， ACOD， ADx， 四边形 ACOD 是矩形， 设点 E 的坐标为（m，3） ，直线 BE 的函数表达式为：ykx+n，直线 BE 交 x 轴于点 M， 如图 1 所示： 则， 解得：， 直线 BE 的函数表达式为：yx+， 令 yx+0，则 x4m6， 点 M 的坐标为（4m6，0） ， 直线 BE 将四边形 AC
38、OD 分成面积比为 1：3 的两部分， 点 M 在线段 OD 上，点 M 不与点 O 重合， C（0，3） ，A（4，3） ，M（4m6，0） ，E（m，3） ， OC3，AC4，OM4m6，CEm， S矩形ACODOCAC3412， S梯形ECOM（OM+EC） OC（4m6+m）3， 分两种情况： ，即， 解得：m， 点 E 的坐标为： （，3） ； ，即， 解得：m， 点 E 的坐标为： （，3） ； 综上所述，点 E 的坐标为： （，3）或（，3） ； （ii）存在点 G 落在 y 轴上的同时点 F 恰好落在抛物线上；理由如下： 由题意得：满足条件的矩形 DEFG 在直线 AC 的下方
39、， 过点 F 作 FNAC 于 N，则 NFCG，如图 2 所示： 设点 F 的坐标为： （a，a2+a+3） ， 则 NF3（a2+a+3）a2a，NCa， 四边形 DEFG 与四边形 ACOD 都是矩形， DAEDEFN90，EFDG，EFDG，ACOD， NEFODG，EMCDGO， NFCG， EMCEFN， EFNDGO， 在EFN 和DGO 中， EFNDGO（ASA） ， NEODAC4， ACCENECE，即 AENCa， DAEDEFN90， NEF+EFN90，NEF+DEA90， EFNDEA， ENFDAE， ，即， 整理得：a2+a0， 解得：a或 0， 当 a0 时，点 E 与点 A 重合， a0 舍去， AENCa， 当点 G 落在 y 轴上的同时点 F 恰好落在抛物线上，此时 AE 的长为
