1、湛江市第二十一中学湛江市第二十一中学 2021 届高三届高三 9 月月考数学月月考数学试卷试卷 时间：120 分钟 满分：150 分 命题：Green winter 校对： 审核： 参考公式：球的表面积公式： 2 4SR 一一、单项选择题（本大题共单项选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的把答案填涂在答题卡上 ）目要求的把答案填涂在答题卡上 ） 1、已知集合1,3,4,5,ABx xm，若3,4,5AB，则 m 的取值范围是（ ） A(,3 B(1,3 C(1,3)
2、D1,3 2、已知复数 z 满足：(12 )32i zi（其中 i 为虚数单位） ，则|z （ ） A1 B5 C 5 5 D5 3、某中学新招聘了 3 位物理老师，他们将有两人被安排到高一级任教 6 个不同的班别，其中每位老师教 3 个班，另一人被安排到高二年级，任教 3 个不同的班别，则不同的安排方法有（ ） A6 种 B60 种 C120 种 D1200 种 4、某中学为推进智能校园建设，拟在新校区每个教室安装“超短距”投影仪，如图：投影仪安装在距离墙 面20cm处，其发射的光线可以近似的看作由一个点 S 发出，光线投影在墙面上的屏幕AB上，已知AB高 度为120cm，光线上界SA的俯角
3、为45，则投影仪的垂直视角的余弦值cos ASB（ ） A 2 10 B 7 2 10 C 3 5 D 4 5 5、2021 年高考实行选择性考试，其中物理和历史中选考 1 科（必须选 1 科而且只能选 1 科） ，再在化学、 生物、政治、地理中选考 2 科（必须选 2 科而且只能选 2 科） 某中学选考物理的考生 199 人，选考历史的 考生 251 人，未选化学的考生 310 人，既选物理又选化学的考生 80 人，则既选历史又选化学的考生人数为 （ ） A40 B50 C60 D80 6、新型冠状病毒肺炎的潜伏期 X（单位：日）近似服从正态分布： 2 7,XN，若(3)0.872P X ，
4、 则可以估计潜伏期大于等于 11 天的概率为（ ） A0.372 B0.256 C0.128 D0.744 7、 在ABC中， E、 F 分别为AB、AC的中点， P 是直线EF上一个动点， 若APABAC， 则 （ ） A 1 2 B 1 3 C1 D 1 4 8、已知函数 2 sin ( )2 1 Ax f x x 的最大值为 M，最小值为 m，则Mm（ ） A2 B4 C1 D0 二、多项选择题（本大题共二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分在每小题给出的四个选项中，有两项及以上是在每小题给出的四个选项中，有两项及以上是 符合题目要求的，全部
5、选对得符合题目要求的，全部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 3 分，有错选的不得分分，有错选的不得分把答案填涂在答题卡上把答案填涂在答题卡上 ） 9、已知双曲线 E 的一条渐近线方程为2yx，则该双曲线的标准方程可以是（ ） A 22 1 24 xy B 22 1 24 yx C 2 2 1 2 y x D 2 2 1 2 y x 10、已知函数( )sin()f xAxb0,0,| 2 A 的部分图像如图所示，则下列判断正确的 是（ ） A4A B1b C2 D 6 11、已知实数0m，0n，则下列判断必然成立的是（ ） A 4 mn nm 的最小值为 1 B 4 sin sin m
6、 m 的最小值为 4 C若1mn，则m n的最大值为 1 4 D 2 ()mn mn 的最大值为 4 12、已知定义在 R 上的奇函数( )f x满足以下条件：(2)(2)fxfx，( )f x在区间(0,2内单调 递增，(1)0f，则以下判断正确的是（ ） A( )f x是周期函数，最小正周期是 8 B( )f x的图象关于直线2x 对称 C( )f x在区间( 5,5)上有 9 个零点 D当( 3, 1)x 时( )0f x 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分把答案写在答题卡上把答案写在答题卡上 ） 13、已知 n S是等差
7、数列 n a的前 n 项和，若 237 9aaa，则 7 S _ 14、曲线lnyxx上点(1,0)处的切线方程为_ 15、斜率为 1 的直线经过双曲线 2 2 1 3 y x 的一个焦点并与双曲线交于,A B两点，则|AB _ 16、三棱锥PABC的底面ABC是一个边长为3的等边三角形，若1,2PAPBPC，则三棱锥 PABC外接球的表面积为_ 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 80 分分答案写在答题卡上答案写在答题卡上 ） 17、 （10 分）ABC中，角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，已知 22 ()abcbc （1）求角 A； （2）若1,
8、3bc，D 为BC中点，求中线AD的长 18、 （12 分）已知等比数列 n a中 1 1a ， 123 ,1a a a 成等差数列 （1）求 n a的通项公式； （2）设 2 ( 1)log n nn ba ，试求数列 n b的前 n 项和 n S 19、 （12 分）某高校为了解玩手杋游戏对个人心理健康的影响，用随机抽样的形式对在校学生 100 人进行了 抽样调查，结果显示被抽查的 100 人中，日均玩游戏 3 小时以上人数为 20 人，其中出现心理问题人数为 14 人，日均玩游戏 3 小时以下的学生中，出现心理问题的人数是未出现心理问题人数的 1 4 （1）经过计算完成以下22列联表 出
9、现心理问题 未出现心理问题 合计 日均游戏 3 小时以上 日均游戏 3 小时以下 合计 （2）据上表，判断是否有 99.9%的把握认为“日均游戏 3 小时以上”和“出现心理问题”有关？ 附：参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ， 附表： 2 P Kk 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 （3）以本次调查得到的频率为概率，在校园里随机调查 3 人，设日均玩游戏 3 小时以上人数为 X，求 X 的 分布列和数学期望 20、 （12 分）如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD是一个边长为 2 的菱形，且 3
10、 ABC ，PA 平面ABCD，| 2PA ，Q 是线段AP上一点，且|AQm （1）若1m ，求证：/ /PC平面QBD； （2）设直线QD与平面PAB所成角为，求sin的取值范围 21、 （12 分）已知函数( ), ( )ln() x f xx eg xxa （1）讨论( )f x单调性，若有极值，求出极值及相应的 x 的值； （2）已知( )( )f xg x对任意(,)xa 成立，求 a 的取值范围 22、 （12 分）已知椭圆 22 22 :1 (0) xy Eab ab 的左右焦点分别为： 12 ( 2,0),(2,0)FF，P 为椭圆 E 上除长轴端点外任意一点， 12 PFF
11、周长为 12 （1）求椭圆 E 的方程； （2）作 12 FPF的角平分线，与 x 轴交于点( ,0)Q m，求实数 m 的取值范围 湛江市第二十一中学湛江市第二十一中学 2021 届高三届高三 9 月月考月月考数学详解数学详解 一一、单项选择题（本大题共单项选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的把答案填涂在答题卡上 ）目要求的把答案填涂在答题卡上 ） 1、答案：B 详解：画数轴辅助解题，显然13m 考点：集合集合的运算 2、答案：A 详解：法一：由(12 )32i
12、zi得： 32( 32 )(12 )32 2(2 32)32 22 32 12(12 )(12 )555 iiii zi iii 22 32 22 32384 61224 6 |1 552525 z 法二： 32|32 |5 ,|1 12|12 |5 ii zz ii 考点：复数复数的概念，几何意义及运算 3、答案：B 详解：首先从 3 位老师中选出一位 1 3 3C 任教高二，余下两个老师中，指定其中一个从 6 个班选 3 个来任 教 3 6 20C ，所以不同的安排方法有：3 2060种 考点：概率与统计排列组合 4、答案：D 详解：法一：QAS为等腰直角三角形，20cmQA，140cmQ
13、B ，100 2SB 1407 2202 sin,cos 1010100 2100 2 QSBQSB 24 24 coscos45coscos45sinsin45 255 ASBQSBQSBQSB 法二：依题意得：20 2,120,100 2SAABSB，由余弦定理可得： 222 (20 2)(100 2)1204 cos 5220 2100 2 ASB 法三：从图上过点 A 作AQSB，用刻度尺量出SQ和SA的长度则cos SQ ASB SA ，易得 cos0.8ASB 考点：解三角形解三角形的实际应用 5、答案：C 详解：显然总人数为 450 人，选化学的人数：450 310140，所以既
14、选历史又选化学的人数为： 140 8060 考点：统计与概率统计 6、答案：C 详解：根据对称性知，(11)(3)1(3)0.128P XP XP X 考点：统计与概率正态分布 7、答案：A 详解：法一：P 在EF上，若APmAEnAF，则1mn 11 22 APmABnAC，即 11 , 22 mn， 11 () 22 mn 法 2：令角90A ，1ABAC，令 P 为EF中点，以 A 为原点，AB为 y 轴正半轴，AC为 x 正半轴 建立平面直角坐标系则 1 1 ,(0,1),(1,0) 4 4 APABAC ，由APABAC得 1 4 ， 1 2 考点：平面向量 8、答案：B 详解：设
15、2 sin ( ) 1 Ax g x x ，显然( )g x为奇函数，则( )g x的最大值为2M ，最小值为2m，由奇函数对 称性知，两者相加为 0，即2(2)0Mm，4Mm 考点：函数性质奇偶性的应用 二、多项选择题（本大题共二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分在每小题给出的四个选项中，有两项及以上是在每小题给出的四个选项中，有两项及以上是 符合题目要求的，全部选对得符合题目要求的，全部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 3 分，有错选的不得分分，有错选的不得分把答案填涂在答题卡上把答案填涂在答题卡上 ） 9、答案：ACD 详解：A、C
16、、D 的渐近线都是2yx，B 的渐近线是 2 2 yx 考点：圆锥曲线双曲线定义及方程 10、答案：BC 详解：周期 115 : 212122 T T ，解得：T，2，24( 2)6A ， 3,24( 2)2Ab ，1b ，将 5 ,4 12 代入3sin(2)1yx，解得 3 考点：三角函数三角函数的图象与性质 11、答案：AC 详解：21 44 mnmn nmnm 当 4 mn nm 即2nm时取得最小值 1，A 正确， B：当m时 4 sin1( 4)5 sin m m ，B 错误 C当 2 1 24 mn m n ，当 1 2 mn时取得最大值 1 4 ，C 正确 D 2 ()4 4
17、mnmn mnmn ，4 是 2 ()mn mn 的最小值，D 错误 考点：不等式基本不等式 12、答案：AB 详解：由(2)(2)fxfx知函数关于直线2x 对称，B 正确，定义在 R 上的奇函数有(0)0f，有 对称中心(0,0)，由于有对称轴有对称中心，所以函数必为周期函数，周期4 28T ，A 正确，画函数 草图知( )f x在区间( 5,5)零点有 7 个，C 错，当( 3, 1)x 时( )0f x ，D 错 考点：函数函数的图象与性质 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分把答案写在答题卡上把答案写在答题卡上 13、答
18、案：21 详解： 2371 399aaaad， 1 33ad， 711 7217321Sadad 考点：数列等差数列的基本运算 14、答案1yx 详解：ln1,(1)1yxky ，切线方程为1yx 考点：导数导数的运算、导数的几何意义 15、答案：6 详解：双曲线 2 2 1 3 y x 的其中一个焦点为(2,0)，直线 l 方程为2yx代入双曲线方程得： 22 3(2)30 xx得 2 2470 xx， 21 72 3 2 |2 xx a ， 2 21 |16ABkxx 考点：圆锥曲线双曲线与直线的关系 16、答案：5 详解：由PA PBPC、及底面边长知PA垂直底面ABC，等边三角形ABC
19、的外接圆半径为 1 如图所示，球的轴截面中PA垂直小圆直径AQ，PQ为球的直径， 22 2125R 2 45SR 考点：立体几何球的有关计算 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 80 分分答案写在答题卡上答案写在答题卡上 ） 17、详解： （1）由 22 ()abcbc得： 222 bcabc 2 分 由余弦定理得： 222 1 cos 222 bcabc A bcbc 4 分 2 3 A 5 分 （2）取AB中点 E 连结DE，则DE为ABC中位线 在AED中 13 , 223 DEAEDEA 7 分 由余弦定理得 222 1937 2cos 4444 ADDEA
20、EDE AEDEA 9 分 7 2 AD 10 分 （第二问多种解法，请酌情给分） 考点：解三角形正弦定理余弦定理的综合运用 18、解： （1） 123 ,1a a a 成等差数列 1321 12,1aaaa 代入得 32 2aa，即2q 3 分 11 1 2 nn n aa q 5 分 （2） 2 ( 1)log(1)( 1) nn nn ban 6 分 法一： 1231nnn Sbbbbb 1231 0( 1)1 ( 1)2( 1)(2)( 1)(1)( 1) nn n Snn 2341 0( 1)1 ( 1)2( 1)(2)( 1)(1)( 1) nn n Snn 7 分 -得： 231
21、 2( 1)( 1)( 1)(1)( 1) nn n Sn 8 分 21 1 ( 1)( 1) 2(1)( 1) 2 n n n Sn 1 11 1( 1)(1)121 ( 1)( 1) 4244 n nn n nn S 12 分 法二：当 n 为偶数时(1) n bn，当 n 为奇数时(1) n bn 7 分 当 n 为偶数时01234(2)(1) 2 n n Snn 9 分 当 n 为奇数时 1 01234(2)(1) 2 n n Snn 11 分 2 1 2 n n n S n n 为偶数 为奇数 12 分 考点：数列等差数列、等比数列、数列求和问题、数列综合运用 19、解： （1）在日
22、均游戏 3 小时以上 20 人中，出现心理问题 14 人，未出现心理问题：20 146（人） 日均玩游戏 3 小时以下 80 人， 其中出现心理问题人数 1 8016 5 （人） ， 未出现心理问题80 1664（人） 完成表格： 出现心理问题 未出现心理问题 合计 日均游戏 3 小时以上 14 6 20 日均游戏 3 小时以下 16 64 80 合计 30 70 100 4 分（无计算过程扣 1 分） （2） 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd 2 100(64 14166) 20 803070 2 100(64 14166) 20 803070 7 分
23、 2 100 800 20 803070 19.05 2 0.001P Kk 有 99.5%的把握认为“日均游戏 3 小时以上”和“出现心理问题”有关 8 分 （3）由题意知日均玩游戏 3 小时以上的概率为： 20 0.2 100 p 9 分 X 可取 0，1，2，3 03 3 (0)(1)0.512P XCp 112 3 (1)(1)0.384P XC pp 221 3 (2)(1)0.096P XC pp 33 3 (3)0.008P XC p 11 分 ()00.5121 0.38420.0963 0.0080.6E X 12 分 考点：统计与概率独立性检验、二项分布、数学期望与方差 2
24、0、证明： （1）连接ACBDM，连接QM 1m Q 为AP中点 在菱形ABCD中，M 为AC中点 MQ为APC的中位线 / /MQPC 3 分 MQ 平面QBD PC 平面QBD / /PC平面QBD 6 分 （2）取CD中点 E 连接AE，在ADE中 2,1, 3 ADEDADE 余弦定理得：3AE AECD 又/CDAB AEAB ABAEAP、两两互相垂直 以 A 为原点，ABAEAP、分别为 x、y、z 正半轴建立空间Rt坐标系如图所示 8 分 则( 1, 3,0),(0,0,),( 1, 3,)DQmQDm 显然平面PAB的法向量为(0,1,0)n 2 3 sin|cos,| 4
25、QD n m 10 分 Q 在线段AP上 02m 63 sin, 42 12 分 考点：立体几何平行类问题、空间向量应用 21、解： （1）( ) x f xx e定义域为 R； ( )(1) x fxxe ，令( )0fx 2 分 得1x 3 分 当(, 1)x 时( )0, ( )fxf x 单调递减 当( 1,)x 时( )0, ( )fxf x 单调递增 5 分 当1x 时 min 1 ( )( 1)f xf e 6 分 （2）设( )( )h xf xx，则( ) x h xx ex ( )(1)1 x h xxe 显然(0)0h，当0 x时( )0h x ，当0 x 时( )0h
26、x min ( )(0)0h xh 即( )f xx，当且仅当0 x 时，( )f xx 8 分 设( )( )H xxg x则( )ln()H xxxa，定义域为(,)a 1 ( )1Hx xa ，令( )0H x 得 1xa 显然：当1xa 时( )0H x ，当1xa 时( )0H x min ( )(1)1H xHaa 即( )1xg xa ，当且仅当1xa 时( )1xg xa 10 分 综合得：( )( )1f xxg xa 即( )( )1f xg xa （当且仅当10 xa 时取等号） 要使( )( )f xg x则需( )1( )g xag x 即1a a 的取值范围是(,1
27、) 12 分 （其它解法酌情给分） 考点：导数导数综合应用 22、解： （1） 12 PFF周长为 12 21248a 4,2 3ab 椭圆 E 的方程为 22 1 1612 xy 4 分 （2）在 12 PFF中 1 (,)PFac ac即 1 (2,6)PF PQ为 12 FPF的角平分线 12 12 QFQF PFPF 由合比性质得 1212 1212 21 22 QFQFQFQFc PFPFPFPFa 6 分 即 11 1 (1,3) 2 QFPF 1 ( 2)2QFmm 2(1,3)m ( 1,1)m 12 分 （多种解法，酌情给分） 考点：圆锥曲线椭圆的定义与方程、直线与椭圆位置关系
