1、 20202020- -20212021 学年度广东省惠州市惠城区三校九年级数学上册第一次月考试卷学年度广东省惠州市惠城区三校九年级数学上册第一次月考试卷 （考试时间：（考试时间：9090 分钟分钟 总分：总分：120120 分）分） 一、选择题（共一、选择题（共 1010 题；共题；共 3030 分）分） 1.若关于 的方程 没有实数根，则 m 的值可以为（ ） A. -1 B. C. 0 D. 1 2.方程 x（x5）x5 的根是（ ） A. x5 B. x0 C. x15，x20 D. x15，x21 3.将抛物线 向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，所得抛物线解析式为（ ）
2、A. B. C. D. 4.对于二次函数 ，下列说法正确的是（ ） A. 当 ， 随 的增大而增大 B. 当 时， 有最大值 C. 图象的顶点坐标为 ， D. 图象与 轴有一个交点 5.如图所示的是抛物线型拱桥， 当拱顶离水面 2m 时， 水面宽 4m， 若水面下降 2m， 则水面宽度增加 （ ） A. B. C. D. 6.关于 x 的方程（a1）x2+2ax+a10，下列说法正确的是（ ） A. 一定是一个一元二次方程 B. a1 时，方程的两根 x1和 x2满足 x1+x21 C. a3 时，方程的两根 x1和 x2满足 x1x21 D. a1 时，方程无实数根 7.如图的六边形是由甲、
3、 乙两个长方形和丙、 丁两个等腰直角三角形所组成， 其中甲、 乙的面积和等于丙、 丁的面积和若丙的一股长为 2，且丁的面积比丙的面积小，则丁的一股长为何？（ ） A. B. C. 2 D. 42 8.甲公司前年缴税 a 万元，去年和今年缴税的年平均增长率均为 b，则今年该公司应缴税（ ）万元 A. a（1+b%）2 B. a（1+b）2 C. a（ab%）2 D. a（1b%）2 9.如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点 A（1，0），对称轴为直线 x1，当 y0 时，x 的取值范围是（ ） A. 1x1 B. 3x1 C. x1 D. 3x1 10.已知二次函数 y=ax
4、2+bx+c(a0) 的图象如图所示，给出以下结论： b2 4ac； abc0 ； 2a+b=0 ； 8a+c0 ；9a+3b+c0，其中正确结论是（ ）. A. B. C. D. 二、填空题（共二、填空题（共 7 7 题；共题；共 2828 分）分） 11.已知关于 x 的一元二次方程 x2+（a1）x+a0 有一个根是2，则 a 的值为_. 12.抛物线 y=3(x-1)2+8 的顶点坐标为 _。 13.设 m、n 是方程 x2+x10010 的两个实数根，则 m2+2m+n 的值为_. 14.已知 ， 是关于 的方程 的两个实数根，则 的最大值为_ 15.二次函数 y=ax2+bx+c（
5、a0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下： x 3 2 1 0 1 y 3 2 3 6 11 则该函数图象的对称轴是_ 16.已知抛物线 y=-x2+2x+3 与 x 轴交于 A、 B 两点， 与 y 轴交于点 C， P 是抛物线对称轴 l 上的一个动点， 则 PA+PC 的最小值是_ 17.如图,抛物线y1的顶点在y轴上,y2由y1平移得到,它们与x轴的交点为A、 B、 C,且2BC=3AB=4OD=6, 若过原点的直线被抛物线 y1、y2所截得的线段长相等,则这条直线的解析式为_ 三、解答题一（共三、解答题一（共 3 3 题；共题；共 1818 分）分） 18.解方程： （1）x2
6、2x40； （2）2x27x40 19.如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，点 ， 分别位于原点的左、右两 侧， ，过点 的直线与 轴正半轴和抛物线的交点分别为 ， ， . （1）求 ， 的值； （2）求直线 的函数解析式； 20.如图，一个二次函数的图象经过点 A（0，1），它的顶点为 B（1，3）. （1）求这个二次函数的表达式； （2）过点 A 作 ACAB 交抛物线于点 C，点 P 是直线 AC 上方抛物线上的一点，当APC 面积最大时， 求点 P 的坐标和APC 的面积最大值. 四、解答题二（共四、解答题二（共 3 3 题；共题；共 2828 分）分） 21.已知关于 x 的方程 ，
7、 （1）当 取何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）给 选取一个合适的整数，使方程有两个有理根，并求出这两个根. 22.商店销售某上市新品，期间共销售该产品 天，设销售时间为 天，第一天销售单价定为 元/ 千克， 售出 千克.从第 天至第 天， 该产品成本价为 元/千克， 销售单价每天降低 元， 销售量每天增加 千克.从第 天开始，成本价降为 元/千克，销售单价稳定在 元/千克，每天 销售量 （千克）与第 天满足一次函数关系 ，设第 天销售利润为 元 （1）直接写出 与 的函数关系式； （2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ （3）该商品在这 天的销售过程中，共有多
8、少天每天销售利润不低于 元？ 23.定义：若关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的两个实数根为 x1 ， x2（x1x2），分别 以 x1 ， x2为横坐标和纵坐标得到点 M（x1 ， x2），则称点 M 为该一元二次方程的衍生点 （1）若方程为 x22x0，写出该方程的衍生点 M 的坐标 （2）若关于 x 的一元二次方程 x2（2m+1）x+2m0（m0）的衍生点为 M，过点 M 向 x 轴和 y 轴 作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求 m 的值 （3）是否存在 b，c，使得不论 k（k0）为何值，关于 x 的方程 x2+bx+c0 的衍生点 M 始终在直线 y
9、kx2（k2）的图象上，若有请直接写出 b，c 的值，若没有说明理由 五、解答题三（共五、解答题三（共 2 2 题；共题；共 2020 分）分） 24.已知抛物线 ya（x1）（x3）（a0）的顶点为 A，交 y 轴交于点 C，过 C 作 CBx 轴交抛物 线于点，过点 B 作直线 lx 轴，连结 OA 并延长，交 l 于点 D，连结 OB. （1）当 a1 时，求线段 OB 的长. （2）是否存在特定的 a 值，使得OBD 为等腰三角形？若存在，请写出 a 值的计算过程；若不存在，请 说明理由. （3）设OBD 的外心 M 的坐标为（m，n），求 m 与 n 的数量关系式. 25.如图，在平
10、面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于 、 两点（点 在点 的左侧） ， 经过点 的直线 与 轴负半轴交于点 与抛物线的另一个交点为 ， 且 点的横坐标为 （1）直接写出点 的坐标，并求直线 的函数表达式（其中 、 用含 的式子表示）； （2）点 是直线 上方的抛物线上的动点，若 的面积的最大值为 ，求抛物线 的解析式； （3）在（2）的条件下，求四边形 的面积 答案答案 一、选择题 1.解：关于 的方程 没有实数根， = 0， 解得： ， 中只有 A 选项满足， 故答案为：A. 2.解：x（x5）（x5）0， （x5）（x1）0， 则 x50 或 x10， 解得 x5 或 x1， 故答案为：D
11、. 3.解：抛物线 的顶点坐标为（-1,3） 将（-1,3）向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位后为（2,1） 即平移后的抛物线的顶点坐标为（2,1） 平移后的抛物线解析式为 故答案为：B 4.解： 图象的顶点坐标为 ， ，选项 C 错误； 二次函数图象开口向下，当 时， 有最大值 ，选项 B 正确； 当 ， 随 的增大而减小，当 ， 随 的增大而增大，选项 A 错误； 关于 x 的方程 ， ，有两个不相等的实数根， 二次函数 ，图象与 轴有两个交点，选项 D 错误； 故答案为：B. 5. 解：以 AB 所在的直线为 x 轴，向右为正方向，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，向上为正方
12、向，建立如图 所示的平面直角坐标系， 抛物线以 y 轴为对称轴，且经过 A，B 两点，OA 和 OB 可求出为 AB 的一半 2 米，抛物线顶点 C 坐标为 （0，2），设顶点式 y=ax2+2，代入 A 点坐标（-2，0）， 得出：a=-0.5，所以抛物线解析式为 y=-0.5x2+2， 把 y=-2 代入抛物线解析式得出：-2=-0.5x2+2， 解得：x=2 ， 所以水面宽度增加到 4 米，比原先的宽度当然是增加了（4 -4）米， 故答案为：C 6.解：A.当 a1 时，此方程为 2x0，是一元一次方程，此选项错误，不符合题意； B.当 a1 时，方程为2x22x20，即 x2+x+10
13、，此时30，此方程无解，故此选项错 误，不符合题意； C.a3 时，方程为 2x2+6x+20，即 x2+3x+10，方程的两根 x1和 x2满足 x1x21，故此选项正确， 符合题意； D.a1 时，方程为 2x0，此方程有一个实数根，为 x0，此选项错误，不符合题意； 故答案为：C. 7.解：设丁的一股长为 a，且 a2， 甲面积+乙面积=丙面积+丁面积， 2a+2a= 2 2+ a 2 ， 4a=2+ a 2 ， a28a+4=0， a= = =42 ， 4+2 2，不合题意舍， 42 2，符合题意， a=42 故答案为：D 8.解：因为公司前年缴税 a 万元，两年的年平均增长率均为 b
14、， 所以今年缴税数=a（1+b）2万元 故选 B 9.解：抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0），对称轴为直线 x1， 抛物线与 x 轴的另一交点坐标是（3，0）， 当 y0 时，x 的取值范围是3x1. 故答案为：D. 10.图象与 x 轴有两个交点，故符合题意； 由图象得 ab ， C ，故 abc0 不符合题意； 由对称轴为 x=1，得 2a+b=0，故符合题意； 由图象知，当 x=-2 时 y0，即 4a-2b+c0，整理得 8a+c0，故符合题意； 由图象的对称性得 x=3 时 y ，即 9a+3b+c0，故符合题意， 故答案为：D. 二、填空题 11.解：由题意
15、得：（-2）2+（a1）（-2）+a0 ， 4-2a+2+a=0, a=6. 故答案为：6. 12.解： 由顶点式可知：顶点坐标为（1,8）. 故答案为：（1,8）. 13.解：m、n 是方程 - 的两个实数根，该一元二次方程，二次项系数 a=1，一次项系数 b=1，常数项 c=-1001， 根据根与系数的关系，可得到 - - ， 又 - ， ， - ， 故答案为：1000. 14.解：根据根与系数关系得，x1x2=-k， 又方程 有两个实数根， =1+4k0，解得 k- ， x1x2=-k ，即 x1x2的最大值为 故答案为： 15.当 x3 和 x1 时，y3， 点（3，3）和点（1，3）
16、关于对称轴对称， 对称轴为 x 2， 故答案为：直线 x2. 16.解： ， 令 ，解得： 或 3，令 ，则 ， 故点 A、B、C 的坐标分别为： 、 、 ，函数的对称轴为： ， 点 A 关于抛物线对称轴的对称点为点 B，连接 交函数对称轴于点 P，点 P 为所求， 则 的最小值 ， 故答案为： 17.2BC=3AB=4OD=6， BC=3，AB=2，OD= ， A（-1,0），B（1,0），C（4,0），D（0， ） 将 A（-1,0），B（1,0），D（0， ）代入 得， ，解得 ， 是由 平移得到， 设 将 B（1,0），C（4,0）代入 得， ，解得 ， 设过原点的直线解析式为 y=k
17、x，与 交于 F、G，与 交于 H、K，如下图所示， 联立、得： ，整理得 ， ， F、G 两点横坐标之差为 联立、得： ，整理得 ， ， H、K 两点横坐标之差为 FG=HK 解得 ，故直线解析式为 . 三、解答题 18. （1）解：x22x4， x22x+14+1，即（x1）25， x1 ， x1 （2）解：2x27x40， （x4）（2x+1）0， 则 x40 或 2x+10， 解得 x4 或 x0.5 19. （1）解： ， - ， ， ， ， 将 A，B 代入 得 ， 解得 ， - - ， - （2）解：二次函数是 ， ， ， 的横坐标为 ， 代入抛物线解析式得 - ， 设 得解析式
18、为： 将 B，D 代入得 ， 解得 ， 直线 的解析式为 - 20. （1）解：抛物线的顶点为 B（1,3） 设这个二次函数的表达式为 ya（x1）2+3 二次函数的图象经过点 A（0,1） a（01）2+3=1 解得：a2 二次函数的表达式为 y-2（x1）2+3，即 y2x2+4x+1 故答案为：y2x2+4x+1 （2）解：直线 AB 与 x 轴交于点 D，直线 AC 与 x 轴交于点 E，如图所示 A（0,1），B（1,3） 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b y=2x+1 令 2x+1=0 解得 x= OD= ， ACAB DAE=90 解得 OE=2 E（2,0） 设直线 AC
19、 的解析式为 ymx+n 直线 AC 经过 A 点，E 点 直线 AC 的解析式为 y x+1 令 x+1=2x 2+4x+1 解得： 或 C（ , ） 过 P 作 PQy 轴交 AC 于 Q 设 P（t,2t2+4t+1），则 Q（t, t+1） PQ（2t2+4t+1）（ t+1）2t 2+ t SAPC PQ|xCxA| （2t 2+ t）（ 0） （t ） 2+ 当 t 时，SAPC有最大值 ，此时，P（ , ） 故答案为：SAPC最大值为 ，此时 P（ , ） 21. （1）解：由题意知：=b2-4ac= （ ） ， 去括号，合并同类项得：8m+120， ， 又 m+10，m1， 且
20、 . （2）解：方程有两个有理根，即=b2-4ac= （ ） ， 解得： ， 又 ， 且 ， 当 m=3 时，原式= ， 解得： ，且都为有理根. 22.（1）解：由题意可得，可列方程, 整理得 （2）解：由（1）得 当 时， 时，有最大值 即当 时，最大利润为 元 当 时， 随着 的增大而减少 时有最大值 即 综上所述，销售该商品第 天时，当天销售利润最大，最大利润是 元. （3）解：当 时， 得 为整数 共计 9 天 当 时，有 解得 时， 共计 17 天 故有 天，每天销售利润不低 于元 23. （1）解：x22x0， x（x2）0， 解得：x10，x22 故方程 x22x0 的衍生点为
21、 M（0，2） （2）解：x2（2m+1）x+2m0（m0） m0 2m0 解得：x12m，x21， 方程 x2（2m+1）x+2m0（m0）的衍生点为 M（2m，1） 点 M 在第二象限内且纵坐标为 1，由于过点 M 向两坐标轴做垂线，两条垂线与 x 轴 y 轴恰好围城一个正 方形， 所以 2m1，解得 （3）解：存在 直线 ykx2（k2）k（x2）+4，过定点 M（2，4）， x2+bx+c0 两个根为 x12，x24， 2+4b，24c， b6，c8 24.（1）解：当 a1 时， y=-（x-1）（x-3）=-x2+4x-3=-（x-2）2+1， 点 C 的坐标为（0，-3）， 当
22、y=-3 时，-x2+4x-3=-3， 解得 x1=0，x2=4， 点 B 的坐标为（4，-3）， OB= . （2）解：OD216+4a2 ， OB216+9a2 ， BD225a2 ， 当 ODOB 时，即 16+4a216+9a2 ， 解得：a0（舍去）； 当 ODBD 时，同理可得：a （正值已舍去）； 当 OBBD 时，同理可得：a1（正值已舍去）； 综上，a1 或 （3）解：线段 OD 的函数表达式为：y ax，直线 OD 的中点为点 A（2，a）， 则线段 OD 的中垂线的表达式为：y x+b， 将点 A 的坐标代入上式并解得： 线段 OD 的中垂线的表达式为：y xa ， 线段
23、 BD 的中垂线的表达式为：y a， 联立并解得：x a 2+2m，y an， 故 m3n2+2. 25. （1）解：当 时， ， 解得： ， A（-1，0），B（3，0）， 直线 ： 经过点 A， ， ， 直线 的解析式为 ， 直线 与抛物线的交点 D 的横坐标为 4，令 ， ， ， 直线 的函数表达式为 （ ） （2）解：如图 1，过点 E 作 EFy 轴，交直线 于点 F， 设 E（ ， ），则 F（ ， ）， SACE=SAFE-SCFE = （ ）（ ）- （ ） = （ ） = （ ） 2 ， 当 时，ACE 的面积的最大值为 ， ACE 的面积的最大值为 ， ，解得 ， 抛物线的解析式为： （3）解：在（2）的条件下可得： 当 时， ， 点 E 的坐标为（ ， ）， 解方程 ，得： ， ， 点 D 的坐标为（ ， ）， S四边形 CDBE=S四边形 ADBE-SACE=SABE+SABD-SACE =
