1、13.3 频率与概率频率与概率 学习目标 1.了解随机事件发生的不确定性和概率的稳定性.2.正确理解概率的含义，理解频 率与概率的区别与联系 知识链接 有人说，既然抛掷一枚硬币出现正面的概率为 0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币， 一定是一次正面朝上，一次反向朝上你认为这种说法正确吗？ 预习导引 1频率：设 是某个试验的全集，A 是 的事件在相同的条件下将该试验独立地重复 N 次，我们称 fNN次试验中A发生的次数 N 是 N 次独立重复试验中事件 A 发生的频率 2概率 (1)对概率的理解 在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件 A 发生的频率会逐渐稳定在区间0,1中的某 一个常
2、数上，这个常数可以用来度量事件 A 发生的可能性的大小 (2)概率的定义 在相同的条件下，将一试验独立重复 N 次， 用 fN表示事件 A 在这 N 次试验中发生的频率当 N 增加时，fN将在一个固定的数值 p 附近波动，这个 p 就是事件 A 的概率 P(A)fN是 P(A)的 估计. 题型一 频率与概率的关系及求法 例 1 某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示： 射击次数 n 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数 m 8 19 44 92 178 455 击中靶心的频率m n (1)填写表中击中靶心的频率； (2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？ 解 (1
3、)表中依次填入的数据为：0.80,0.95,0.88,0.92，0.89，0.91. (2)由于频率稳定在常数 0.89 附近，所以这个射手射击一次，击中靶心的概率约是 0.89. 规律方法 1.频率是事件 A 发生的次数 m 与试验总次数 n 的比值，利用此公式可求出它们的 频率频率本身是随机变量，当 n 很大时，频率总是在一个稳定值附近左右摆动，这个稳定 值就是概率 2解此类题目的步骤是：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率 跟踪演练 1 下列说法： 频率反映事件发生的频繁程度， 概率反映事件发生的可能性大小； 做 n 次随机试验，事件 A 发生 m 次，则事件 A 发生的
4、频率m n就是事件的概率；百分率是 频率，不是概率；频率是不能脱离具体的 n 次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依 赖于试验次数的理论值；频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值其中正确的是 _ 答案 解析 由频率与概率的意义知，正确；由频率与概率之间的关系知，不正确，正 确；百分率通常是指概率 题型二 对概率含义的正确理解 例 2 下列说法正确的是( ) A由生物学知道生男生女的概率均约为 0.5，一对夫妇先后生两小孩，则一定为一男一女 B一次摸奖活动中，中奖概率为 0.2，则摸 5 张票，一定有一张中奖 C10 张票中有 1 张奖票，10 人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大 D10 张
5、票中有 1 张奖票，10 人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是 0.1 答案 D 解析 一对夫妇生两小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以 A 不正确； 中奖概率为 0.2 是说中奖的可能性为 0.2， 当摸 5 张票时， 可能都中奖， 也可能中一张、 两张、 三张、四张，或者都不中奖，所以 B 不正确；10 张票中有 1 张奖票，10 人去摸，每人摸到 的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是 0.1，所以 C 不正确；D 正确 规律方法 1.概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件 A 的本质属性，随机事件 A 发生的概率是大量重复试验中事件 A
6、发生的频率的近似值 2由概率的定义我们可以知道随机事件 A 在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有 规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映 3正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系对具体的问题要从全局和整体上 去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件 跟踪演练 2 某种疾病治愈的概率是 30%，有 10 个人来就诊，如果前 7 个人没有治愈，那么 后 3 个人一定能治愈吗？如何理解治愈的概率是 30%? 解 不一定如果把治疗一个病人当作一次试验，治愈的概率是 30%，是指随着试验次数的 增加，大约有 30%的病人能治愈，对于一次试验来说，其结果是随机的因此，前 7 个病
7、人 没有治愈是有可能的，而对后 3 个病人而言，其结果仍是随机的，即有可能治愈，也有可能 不能治愈 题型三 概率的应用 例 3 为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例 如 2 000 尾，给每尾鱼做上记号，不影响其存活，然后放回水库经过适当的时间，让其和 水库中的其他鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，例如 500 尾，查看其中有记号的 鱼，设有 40 尾，试根据上述数据，估计水库中鱼的尾数 解 设水库中鱼的尾数是 n，现在要估计 n 的值，假定每尾鱼被捕的可能性是相等的，从水 库中任捕一尾鱼，设事件 A带记号的鱼，则 P(A)2000 n . 第二次从
8、水库中捕出 500 尾鱼，其中带记号的有 40 尾，即事件 A 发生的频数为 40，由概率 的统计定义知 P(A) 40 500，即 2000 n 40 500，解得：n25000. 所以估计水库中的鱼有 2 5000 尾 规律方法 1.由于概率反映了随机事件发生的可能性的大小， 概率是频率的近似值与稳定值， 所以可以用样本出现的频率近似地估计总体中该结果出现的概率 2 实际生活与生产中常常用随机事件发生的概率来估计某个生物种群中个别生物种类的数量、 某批次的产品中不合格产品的数量等 跟踪演练 3 某中学为了了解初中部学生的某项行为规范的养成情况，在校门口按系统抽样 的方法：每 2 分钟随机抽
9、取一名学生，登记佩带胸卡的学生的名字结果，150 名 学生中有 60 名佩带胸卡 第二次检查， 调查了初中部的所有学生， 有 500 名学生佩带胸卡 据 此估计该中学初中部一共有多少名学生 解 设初中部有 n 名学生，依题得 60 150 500 n ，解得 n1 250.该中学初中部共有学生大约 1 250 名 课堂达标 1下列说法正确的是( ) A某事件发生的概率为 P(A)1.1 B不可能事件的概率为 0，必然事件的概率为 1 C小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然要发生的事件 D某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的 答案 B 解析 事件发生的概率0P(A)1， A
10、错； 小概率事件是指这个事件发生的可能性很小， 几乎不发生大概率事件发生的可能性较大，但并不是一定发生，C 错；某事件发生的概 率为一个常数，不随试验的次数变化而变化，D 错；B 正确 2某市的天气预报中，有“降水概率预报”，例如预报“明天降水概率为 90%”，这是指 ( ) A明天该地区约 90%的地方会降水，其余地方不降水 B明天该地区约 90%的时间会降水，其余时间不降水 C气象台的专家中，有 90%认为明天会降水，其余的专家认为不降水 D明天该地区降水的可能性为 90% 答案 D 解析 降水概率为 90%，指降水的可能性为 90%，并不是指降水时间、降水地区或认为会降 水的专家占 90
11、%. 3抛掷一枚质地均匀的正方体骰子(六个面上分别写有 1,2,3,4,5,6)，若前 3 次连续抛到“6 点朝上”，则对于第 4 次抛掷结果的预测，下列说法中正确的是( ) A一定出现“6 点朝上” B出现“6 点朝上”的概率大于1 6 C出现“6 点朝上”的概率等于1 6 D无法预测“6 点朝上”的概率 答案 C 解析 随机事件具有不确定性，与前面的试验结果无关由于正方体骰子的质地是均匀的， 所以它出现哪一个面朝上的可能性都是相等的 4给出下列四个命题： 设有一批产品，其次品率为 0.05，则从中任取 200 件，必有 10 件是次品； 做 100 次抛硬币的试验，结果 51 次出现正面朝
12、上，因此，出现正面朝上的概率是 51 100； 随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率； 抛掷骰子 100 次，得点数是 1 的结果 18 次，则出现 1 点的频率是 9 50. 其中正确命题有_ 答案 解析 错，次品率是大量产品的估计值，并不是针对 200 件产品来说的混淆了频率 与概率的区别正确 5公元 1053 年，大元帅狄青奉旨，率兵征讨侬智高，出征前狄青拿出 100 枚“宋元天宝” 铜币，向众将士许愿：“如果钱币扔在地上，有字的一面会全面向上，那么这次出兵一定可 以打败敌人！”在千军万马的注目之下，狄青用力将铜币向空中抛去，奇迹发生了：100 枚 铜币，枚枚有字的一面向上顿时，
13、全军欢呼雀跃，将士个个认为是神灵保佑，战争必胜无 疑事实上铜币有可能是_ 铜币两面均有字；铜币质量不均匀；神灵保佑；铜币质量均匀把你认为正确的填 在横线上 答案 课堂小结 1 随机事件的统计规律表现在： 随机事件的频率即此事件发生的次数与试验总次数的比值具 有稳定性，即总是在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越 小这个常数叫作这个随机事件的概率概率可以看作频率在理论上的期望值，是概率的一 种统计定义 2 概率意义下的“可能性”是大量随机现象的客观规律， 与我们平时所说的“可能”“估计” 是不同的， 也就是说， 单独一次结果的不肯定性与累积结果的规律性， 才是概率意义下的“可 能性”，而日常生活中的“可能”“估计”侧重于某次的偶然性 3概率与频率关系：对于一个事件而言，概率是一个常数，而频率则随着试验次数的变化而 变化，试验次数越多，频率就越接近于事件的概率
