1、1.5.2 二项式系数的性质及应用二项式系数的性质及应用 学习目标 1.了解二项式系数的性质.2.理解二项式系数性质的应用.3.掌握应用“赋值法” 知识点 二项式系数的性质 (ab)n的展开式的二项式系数，当 n 取正整数时可以表示成如下形式： 思考 1 从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？ 答案 在同一行中， 每行两端都是 1， 与这两个 1 等距离的项的系数相等； 在相邻的两行中， 除 1 以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 思考 2 计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？ 答案 2,4,8,16,32,64，其系数和为 2n. 思考 3 二项式系数的最大值有何规律？ 答案 当 n
2、2,4,6，时，中间一项最大，当 n3,5，时，中间两项最大 梳理 (1)二项式系数表的特点 在同一行中，每行两端都是 1，与这两个 1 等距离的项的系数相等 每行两端都是 1，而且除 1 以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 (2)二项式系数的性质 一般地，(ab)n展开式的二项式系数 C0n，C1n，Cnn有如下性质： Cm nC nm n ； Cm nC m1 n Cm n1； 当 rn1 2 时，CrnCr 1 n ； 当 rn1 2 时，Cr 1 n Crn； C0nC1nC2nCnn2n. 1杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列( ) 2二项式展开式的二项式系数和为 C1nC2
3、nCnn.( ) 3二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同( ) 类型一 与二项式系数表有关的问题 例 1 如图所示，在“杨辉三角”中，从 1 开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列： 1,2,3,3,6,4,10,5，记其前 n 项和为 Sn，求 S16的值 解 由题意及杨辉三角的特点可得 S16(12)(33)(64)(105)(369) (C02C12)(C23C13)(C24C14)(C29C19) (C22C23C24C29)(239) C310829 2 164. 反思与感悟 对杨辉三角形的规律注意观察，找出规律并用数学式正确表达出来，对数学式 进行运算，得出正确结论 跟踪训练
4、 1 请观察下图，并根据数表中前五行的数字所反映的规律，推算出第九行正中间 的数应是_ 考点 题点 答案 70 类型二 “赋值法”的应用 例 2 设(2 3x)100a0a1xa2x2a100 x100，求下列各式的值 (1)a0； (2)a1a2a3a4a100； (3)a1a3a5a99； (4)(a0a2a100)2(a1a3a99)2； (5)|a0|a1|a100|. 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 解 (1)令 x0，则展开式为 a02100. (2)令 x1，可得 a0a1a2a100(2 3)100， a1a2a100(2 3)1002100. (3
5、)令 x1，可得 a0a1a2a3a100(2 3)100. 与联立相减，得 a1a3a992 3 1002 3100 2 . (4)原式(a0a2a100)(a1a3a99) (a0a2a100)(a1a3a99) (a0a1a2a100) (a0a1a2a3a98a99a100)(2 3)(2 3)10011001. (5)Tr1(1)rCr1002100 r( 3)rxr， a2k10(kN*) |a0|a1|a2|a100|a0a1a2a3a100(2 3)100. 反思与感悟 二项展开式中系数和的求法 (1)对形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cR，m，nN*)的式子求其
6、展开式的各项系数之 和，常用赋值法，只需令 x1 即可；对(axby)n(a，bR，nN*)的式子求其展开式各项系 数之和，只需令 xy1 即可 (2)一般地，若 f(x)a0a1xa2x2anxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1)， 奇数项系数之和为 a0a2a4f1f1 2 ， 偶数项系数之和为 a1a3a5f1f1 2 . 跟踪训练 2 在二项式(2x3y)9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 解 设(2x3y)9a0 x9a1x8ya2x7y2a9y9. (1)
7、二项式系数之和为 C09C19C29C9929. (2)各项系数之和为 a0a1a2a9， 令 x1，y1， 所以 a0a1a2a9(23)91. (3)令 x1，y1，可得 a0a1a2a959， 又 a0a1a2a91， 将两式相加可得 a0a2a4a6a85 91 2 ， 即所有奇数项系数之和为5 91 2 . 类型三 求二项式系数或系数最大的项 例 3 已知 f(x)(3x23x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大 992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项 考点 展开式中系数最大(小)的项问题 题点 求展开式中系数最大(小)的项 解 令
8、x1，则二项式各项系数的和为 f(1)(13)n4n，又展开式中各项的二项式系数之 和为 2n.由题意知，4n2n992. (2n)22n9920， (2n31)(2n32)0， 2n31(舍去)或 2n32，n5. (1)由于 n5 为奇数，展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，它们分别为 T3C25 ( 3 2 x)3 (3x2)290 x6，T4C35( 3 2 x)2 (3x2)3270 22 3 x. (2)展开式的通项公式为 Tr1Cr5 3r 2(5 2 ) 3 r x ， 假设 Tr1项系数最大， 则有 Cr53rCr 1 5 3r 1， Cr53rCr 1 5 3r 1，
9、5！ 5r！r！3 5！ 6r！r1！， 5！ 5r！r！ 5！ 4r！r1！3， 即 3 r 1 6r， 1 5r 3 r1， 7 2r 9 2，rN，r4， 展开式中系数最大的项为 T5C45 2 3 x (3x2)4405 26 3 x. 反思与感悟 (1)二项式系数的最大项的求法 求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(ab)n中的 n 进行讨论 当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大 当 n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大 (2)展开式中系数的最大项的求法 求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化 情况进行分析如求(abx)n(a
10、，bR)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法设 展开式中各项系数分别为 A0，A1，A2，An，且第 k1 项最大，应用 AkAk1， AkAk1， 解出 k， 即得出系数的最大项 跟踪训练 3 已知二项式 1 22x n. (1)若展开式中第 5 项、第 6 项、第 7 项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最 大项的系数； (2)若展开式中前三项的二项式系数和等于 79，求展开式中系数最大的项 解 (1)由题意，得 C4nC6n2C5n， 所以 n221n980， 所以 n7 或 n14. 当 n7 时，展开式中二项式系数最大的项是 T4和 T5，T4的系数为 C37 1 2
11、 42335 2 ，T5的 系数为 C47 1 2 32470. 故展开式中二项式系数最大项的系数分别为35 2 ，70. 当 n14 时，展开式中二项式系数最大的项是 T8， 所以 T8的系数为 C714 1 2 7273 432. 故展开式中二项式系数最大的项的系数为 3 432. (2)由题意知 C0nC1nC2n79， 解得 n12 或 n13(舍去) 设展开式中第 r1 项的系数最大， 由于 1 22x 12 1 2 12 (14x)12， 则 Cr12 4rCr 1 12 4 r1， Cr12 4rCr 1 12 4 r1， 所以 9.4r10.4. 又 r0,1,2，12， 所以
12、 r10， 所以系数最大的项为 T11，且 T11 1 2 12 C10 12(4x) 1016 896x10. 类型四 整除或余数问题 例 4 求证 122225n 1 能被 31 整除(nN*) 证明 122225n 12 5n1 21 25n132n1(311)n1 C0n31nC1n31n 1Cn1 n 31Cnn1 31(C0n31n 1C1 n31 n2Cn1 n ) 显然上式括号内的数为整数， 所以原式能被 31 整除 反思与感悟 在利用二项式定理证明整除问题或求余数问题时，要进行合理的变形，常用的 变形方法是拆数，往往是将幂底数写成两数和或差的形式，其中的一个数是除数或其正整数
13、 倍 跟踪训练 4 如果今天是星期一，那么对于任意的自然数 n，经过(23n 37n5)天后的那一 天是星期几？ 解 因为 23n 37n58n17n5(71)n17n5 7n 1C1 n17 nC2 n17 n1Cn n1 7C n1 n17n5 7(7nC1n17n 1C2 n17 n2Cn n1n)6， 显然上式括号内的数是正整数 所以 23n 37n5 被 7 除所得的余数为 6. 所以对于任意自然数 n，经过(23n 37n5)天后的那一天是星期日. 1在 2x1 x 4的展开式中，各项的二项式系数的和为_ 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 16 解析
14、 各项的二项式系数之和为 2416. 2若(x3y)n的展开式中所有项的系数之和等于(7ab)10的展开式的二项式系数之和，则 n 的值为_ 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 5 解析 令 xy1，得(x3y)n的展开式中所有项的系数和为 4n，(7ab)10的展开式中所有项 的二项式系数之和为 210，故 4n210，即 n5. 3(2x3y)8中的各项二项式系数的最大值是_ 答案 70 解析 因为 8 为偶数，所以展开式共有 9 项，中间一项的二项式系数最大，即第 5 项，C48 8765 432170. 4观察图中的数所成的规律，则 a 所表示的数是_ 考
15、点 二项式系数的性质 题点 与杨辉三角有关的问题 答案 6 解析 由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以 4a10，得 a6. 5设(2x3)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则 a0a1a2a3的值为_ 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 15 解析 令 x1，得 a0a1a2a3a41. 又 Tr1Cr4(2x)4 r(1)r3r， 当 r0 时，x4的系数 a416. 由得 a0a1a2a315. 1用赋值法求多项式系数和 求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所 求的展开式系数和特征来确定 2用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或 差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者前面)一、二项就可以了.
