第3章 数系的扩充与复数的引入 章末复习学案(苏教版高中数学选修2-2)

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1、第第 3 章章 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 章末复习章末复习 学习目标 1.掌握复数的有关概念及复数相等的充要条件.2.理解复数的几何意义.3.掌握复 数的相关运算 1复数的有关概念 (1)复数的概念:形如 abi(a,bR)的数叫做复数,其中 a,b 分别是它的实部和虚部若 b0,则 abi 为实数,若 b0,则 abi 为虚数,若 a0 且 b0,则 abi 为纯虚数 (2)复数相等:abicdiac 且 bd(a,b,c,dR) (3)共轭复数:abi 与 cdi 共轭ac,bd0(a,b,c,dR) (4)复平面: 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 x 轴叫做

2、实轴, y 轴叫做虚轴 实 轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数;各象限内的点都表示非纯虚 数 (5)复数的模:向量OZ 的模叫做复数 zabi 的模,记作|z|或|abi|,即|z|abi| a2b2 (a,bR) 2复数的几何意义 (1)复数 zabi 一一对应 复平面内的点 Z(a,b)(a,bR) (2)复数 zabi(a,bR) 一一对应 平面向量OZ . 3复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1abi,z2cdi(a,b,c,dR),则 加法:z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i; 减法:z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i;

3、 乘法:z1 z2(abi) (cdi)(acbd)(adbc)i; 除法:z1 z2 abi cdi abicdi cdicdi acbd c2d2 bcad c2d2 i(cdi0) (2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律,即对任意 z1,z2,z3C,有 z1z2z2z1,(z1z2)z3 z1(z2z3). 类型一 复数的概念 例 1 已知复数 za2a6a 22a15 a24 i,分别求出满足下列条件的实数 a 的值: (1)z 是实数;(2)z 是虚数;(3)z 是 0. 解 由 a2a60,解得 a2 或 a3. 由 a22a150,解得 a5 或 a3. 由 a

4、240,解得 a 2. (1)由 a22a150 且 a240, 得 a5 或 a3, 当 a5 或 a3 时,z 为实数 (2)由 a22a150 且 a240, 得 a5 且 a3 且 a 2, 当 a5 且 a3 且 a 2 时,z 是虚数 (3)由 a2a60,且 a22a150,且 a240,得 a3, 当 a3 时,z0. 引申探究 本例中条件不变,若 z 为纯虚数,是否存在这样的实数 a,若存在,求出 a,若不存在,请 说明理由 解 由 a2a60,且 a22a150, 且 a240,得 a 无解, 不存在实数 a,使 z 为纯虚数 反思与感悟 (1)正确确定复数的实、虚部是准确

5、理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚 数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提 (2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据 跟踪训练 1 (1)已知 i 是虚数单位,若(mi)234i,则实数 m 的值为_ (2)下列说法: 复数 z 是实数的充要条件是 z z ; 若(x24)(x23x2)i 是纯虚数,则实数 x 2; 实数集是复数集的真子集 其中正确说法的个数是_ 考点 复数的概念 题点 复数的概念及分类 答案 (1)2 (2)2 解析 (1)(mi)2(m21)2mi34i, 由复数相等得 m213, 2m4, 解得 m2. (2)设 zabi,a,bR,则 z abi

6、,z z 时,得 b0,z 为实数;z 为实数则 b0, 有 z z 成立,所以正确对于,若 x2,则 x240,x23x20,此时(x24) (x23x2)i0,不是纯虚数,故错误显然,正确 类型二 复数的运算 例 2 已知 z 是复数,z3i 为实数,z5i 2i 为纯虚数(i 为虚数单位) (1)求复数 z; (2)求 z 1i的模 解 (1)设 zabi(a,bR), z3ia(b3)i 为实数,可得 b3. 又a2i 2i 2a2a4i 5 为纯虚数, a1,即 z13i. (2) z 1i 13i 1i 13i1i 1i1i 42i 2 2i, z 1i |2i|2212 5. 反

7、思与感悟 复数的综合运算中会涉及模、共轭及分类等,求 z 时要注意是把 z 看作一个整 体还是设为代数形式应用方程思想当 z 是实数或纯虚数时注意常见结论的应用 跟踪训练 2 已知 z1,z2为复数,(3i)z1为实数,z2 z1 2i,且|z2|5 2,求 z2. 解 z1z2(2i), (3i)z1z2(2i)(3i)z2(55i)R, 因为|z2|5 2,所以|z2(55i)|50, 所以 z2(55i) 50, 所以 z2 50 55i 10 1i (55i) 类型三 复数的几何意义 例 3 (1)已知等腰梯形 OABC 的顶点 A,B 在复平面上对应的复数分别为 12i,26i, O

8、ACB,求顶点 C 所对应的复数 z. (2)已知复数 z1,z2满足|z1|3,|z2|5,|z1z2| 10,求|z1z2|的值 解 (1)设 zxyi,x,yR,则顶点 C 的坐标为(x,y) 如图,因为 OABC, 所以 kOAkBC,OCBA, 所以 2 1 y6 x2, x2y2 3242. 解得 x5, y0 或 x3, y4. 因为 OABC,所以 x3,y4 舍去,故 z5. (2)如图所示,设复数 z1,z2的对应点为 A,B,以OA ,OB 为邻边作OACB, 则OC 对应的复数为 z1z2, 所以|OA |3,|OB |5,|BA | 10. 所以 cosAOB|OA

9、|2|OB |2|BA |2 2|OA |OB | 3 25210 235 4 5. 所以 cosOBC4 5, 又|BC |OA |3, 所以|z1z2|OB |2|BC |22|OB |BC |cosOBC 58. 反思与感悟 (1)任意一个复数都对应着一个点和一个向量,因而复数的加减运算可以转化 为总的坐标运算或向量运算 (2)求复数模可以计算它对应的向量的模,也可以计算它对应的点到原点的距离 跟踪训练 3 已知复平面内点 A,B 对应的复数分别是 z1sin2i,z2cos2icos 2, 其中 (0,),设AB 对应的复数为 z. (1)求复数 z; (2)若复数 z 对应的点 P

10、在直线 y1 2x 上,求 的值 解 (1)由题意得 zz2z1cos2sin2(cos 21)i12sin2 i. (2)由(1)知,点 P 的坐标为(1,2sin2) 由点 P 在直线 y1 2x 上,得2sin 21 2, sin21 4,又 (0,),sin 0, 因此 sin 1 2, 6或 5 6 . 1若复数 zcos 5 13 12 13sin i(i 是虚数单位)是纯虚数,则 tan _. 答案 12 5 解析 复数 zcos 5 13 12 13sin i 是纯虚数, cos 5 130, 12 13sin 0, cos 5 13, sin 12 13, 则 tan sin

11、 cos 12 5 . 2设 z 10i 3i,则 z 的共轭复数为_ 答案 13i 解析 由 z 10i 3i 10i3i 3i3i13i, 得 z 13i. 3若复数 z 满足(34i)z|43i|,则 z 的虚部为_ 答案 4 5 解析 z|43i| 34i 5 34i 3 5 4 5i. 4若 z 是复数,且(3z)i1(i 为虚数单位),则 z_. 答案 3i 解析 z1 i33i. 5 复平面内点A, B, C对应的复数分别为i,1,42i, 由ABCD按逆时针顺序作ABCD, 则|BD |_. 答案 13 解析 如图,设 D(x,y),F 为ABCD 的对角线的交点,则点 F 的坐标为 2,3 2 , 所以 x14, y03, 即 x3, y3. 所以点 D 对应的复数为 z33i. 因为BD OD OB , 所以BD 表示的复数为 33i123i, 所以|BD | 13. 1 复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算, 其中除法运算的关键是将分母实数化 2复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现 3利用两个复数相等可以解决求参数值(或范围)和复数方程等问题

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