1、永泰一中永泰一中 2020-2021 学年第一学年第一学期高三数学学期高三数学第一次月考试卷第一次月考试卷 林志敏 2020.9.28 一、单选题一、单选题 1已知集合 10 ,1AxR xBxZ x ，则AB （） A 01xx B11xx C0,1 D 1 2条件 :1p x ，且 p 是q的充分不必要条件，则q可以是（ ） A1x B0 x C2x D1 0 x 3函数 2 2 4 1 log x y x 的定义域为（ ） A0,2 B 11 0,2 22 C2,2 D2 2 , 4已知直线y ax 是曲线lnyx的切线，则实数a（ ） A 1 2 B 1 2e C 1 e D 2 1
2、e 5若2233 xyxy ，则（ ） Aln( 1)0yx Bln(1)0yx Cln| 0 xy Dln| 0 xy 6已知函数 2 4cosf xx，则下列说法中正确的是（ ） A f x为奇函数 B f x的最小正周期为 2 C f x的图象关于直线 4 x 对称 D f x的值域为0,4 7已知数列 n a满足 1 1a ， 1 1 nn aan （ * nN） ，则 232020 111 aaa （ ） A 2019 1010 B1009 1010 C 4040 2021 D 2019 2021 8在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 sinsinsin 34 ABC
3、 k （k为非零实数） ，则下列结论错 误的是（ ） A当5k 时，ABC是直角三角形 B当3k 时，ABC是锐角三角形 C当2k 时，ABC是钝角三角形 D当1k 时，ABC是钝角三角形 二、多选题二、多选题 9 将函数( )3sin2cos2f xxx的图像向左平移 6 个单位后， 得到函数( )g x的图像， 则下列结论正确的是 （ ） A ( )2sin2g xx B( )g x最小正周期为 C( )g x的图象关于 3 x 对称 D( )g x在区间, 6 6 上单调递增 10 已知 f x是定义域为 R的函数， 满足 4f xf x，22f xfx， 当02x时， 2 f xxx，
4、 则下列说法正确的是（ ） A函数 f x是偶函数 B函数 f x的最小正周期为 4 C当04x时，函数 f x的最小值为 1 2 D方程 3 logf xx有 10 个根 11点 O 在ABC所在的平面内,则以下说法正确的有( ) A若0 OA OB OC ,则点 O为ABC的重心 B若 0 ACABBCBA OAOB ACABBCBA ,则点 O为ABC的垂心 C若()( )0OAOBABOBOCBC,则点 O为ABC的外心 D若OA OB OB OCOC OA ,则点 O为ABC的内心 12 斐波那契数列， 又称黄金分割数列、 兔子数列， 是数学家列昂多 斐波那契于 1202年提出的数列
5、.斐波那契数列为 1， 1，2，3，5，8，13，21，此数列从第 3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为 F n，则 F n的 通项公式为（ ） A ( 1)1 ( ) 2 nn F n B 1 1 ,2F nF nF nn且 11,21FF C 11515 225 nn F n D 11515 225 nn F n 三、填空题三、填空题 13已知(2, 1)a ，(1, )bt，若(2)aba ，则b=_ 14若 2 2 3cossin 3 ，则cos2 3 _. 15 已知函数 ( )f x是定义在R的偶函数， 且在区间0,) 上单调递减， 若实数a满足 31 3 (log)log
6、2 (1)fafaf ， 则实数a的取值范围是_ 16若对任意正实数 , x y，不等式 2lnln1 x xyyx a 恒成立，则实数a的取值范围a为_. 四、解答题四、解答题 17在ABC中，a，b，c分别为内角 , ,A B C所对的边，已知 cosaAR，其中R为ABC外接圆的半径， 222 4 3 3 acbS，其中S为ABC的面积 （1）求sinC； （2）若23ab，求ABC的周长 18已知各项均为正数的数列 n a前n项和为 n S，且 111 1, nnn aaSS ()n N. （）求数列 n a的通项公式； （）设 2 1 2 1 3 1 n n n a b a ，求数列
7、 n b的前n项和 n T. 19已知数列 n a的首项 1 3 5 a ， 1 3 21 n n n a a a ，1n 、2、 （1）求证：数列 1 1 n a 为等比数列； （2）记 12 111 n n S aaa ，若100 n S ，求最大正整数n； （3）是否存在互不相等的正整数m、s、n，使m、s、n成等差数列且1 m a 、1 s a 、1 n a 成等比数列，如果存 在，请给出证明；如果不存在，请说明理由 20如图为某野生动物园的一角，KOM内区域为陆地生物活动区，NOK内区域为水上动物活动区域.为了满足 游客游览需要， 现欲在 ,OM ON， 上分别选一处,A B， 修建
8、一条贯穿两区域的直路AB，AB与KO相交于点P.若PA 段，PB段每百米修路费用分别为 1 万元和 2万元，已知 6 NOK ，OMOK，2OP 百米，设PAO. (1)试将修路总费用S表示为的函数 S； (2)求修路总费用 S的最小值. 21已知 n a为等差数列， n b为等比数列， 11543543 1,5,4abaaabbb （）求 n a和 n b的通项公式； （）记 n a的前n项和为 n S，求证： 2* 21nnn S SSn N； （）对任意的正整数n，设 2 1 1 32 , ,. nn nn n n n ab n a a c a n b 为奇数 为偶数 求数列 n c的前
9、2n项和 22已知函数 211 1()R , axx f xx ea ag xex . （1）求函数 f x的单调区间； （2）对a(0，1)，是否存在实数 ，1,1,nmaaaa ，使 2 ( )0fgnm 成立，若存在，求 的取值范围；若不存在，请说明理由. 永泰一中永泰一中 2020-2021 学年第一学年第一学期高三数学校本作业（六）学期高三数学校本作业（六） 参考答案参考答案 1C 2B 3B 4C 5A 6D 7D 8D 9BCD 10ABD 11AC 12BC 12 解：斐波那契数列为 1，1，2，3，5，8，13，21， 显然 11,21FF， 3122FFF， 4233FFF
10、， 11 ,2F nF nF nn，所以 11 ,2F nF nF nn且 11,21FF，即 B满足条件； 由 11 ,2F nF nF nn， 所以 151515 11 222 F nF nF nF n 所以数列 15 1 2 F nF n 是以1 5 2 为首项，1 5 2 为公比的等比数列， 所以 1515 1 22 n F nF n 所以 1 15 1 2 1 151515 ()() 222 nn FF nn ， 令 1 15 2 n n n F b ，则 1 53 1 2 nn bb ，所以 1 555355 () 10210 nn bb ， 所以 55 10 n b 以 55 1
11、0 为首项， 53 2 为公比的等比数列，所以 1 555553 ()() 10102 n n b ， 所以 11 5555531551515 101022522 nnnn F n ； 即 C 满足条件；故选：BC 1365 14 5 9 15 1 ,3 3 160,1 17 （1）由正弦定理得cos 2sin a aA A ，sin21A，又022A， 2 2 A ，则 4 A . 由 222 4 3 1 csin 32 acbaB，由余弦定理可得 2 3 2cossin 3 acBacB， tan3B ，又0B，= 3 B ， 26 sinsinsin 434 CAB . （2）由正弦定理
12、得 sin2 sin3 aA bB ， 又23ab， 2 3 a b ， 又 26 sin 4 C 22626 422 2 c 3 26 3 22 abc . 18 （）因为 11nnn SSa 且 11nnn aSS ， 所以 11nnnn SSSS ， 即 111 ()() nnnnnn SSSSSS ， 又因为各项均为正数的数列 n a前n项和为 n S，所以0 n S ， 所以 1 1 nn SS ， 又由 1 1a ，所以 1 1S ， 所以数列 n S表示首项为 1，公差为 1的等差数列， 所以1(1) 1 n Snn ，所以 2 n Sn，当2n时， 22 1 (1)21 nnn
13、 aSSnnn ， 当1n 时也满足， 综上可得，数列 n a的通项公式为21 n an. （）由（）可得 222 1 2222 1 3(21)31111 11 () 1(21)11 n n n annn b annnnnnn ， 所以数列 n b的前n项和 2 11111112 (1)()()() 2233411 n nn Tn nnn . 19 （1） 1 3 21 n n n a a a ， 1 211111 111 333 nn nnnn aa aaaa ， 1 1 10 a ， * 1 10 n nN a ，数列 1 1 n a 为等比数列； （2） 1 12 1 3a ，由（1）可
14、求得 1 121 1 2 333 n n n a ， 12 1 3n n a . 2 12 21 1 111111133 21 1 3333 1 3 n n nn n Snnn aaa ， 由于 1 1 1 0 nn n SS a ，所以，数列 n S单调递增， 99 99 1 100 3 S， 100 100 1 101 3 S，且 99100 100SS，因此， max 99n； （3）假设存在，则2mns， 2 111 mns aaa， 3 32 n n n a Q， 2 333 111 323232 nms nms 化简得：332 3 mns ， 由基本不等式可得3 3232 3 mn
15、m ns ，当且仅当mn时等号成立 又m、n、s互不相等，因此，不存在m、s、n满足题意. 20(1)在Rt POA中，2OP ，PAO ，所以 2 sin PA . 在POB中， 6 POB ，所以 3 PBO ， 由正弦定理得： sinsin OPPB PBOPOB 即 2 sinsin 63 PB ，所以 1 sin 3 PB . 所以 22 sin sin 3 S ，0, 3 . (2) 22 sin sin 3 S 2 8sin 2 sin3cos 3 3cossinsin 2sin 21 6 令sin 3 t ，0, 3 ， 3 ,1 2 t sin 2sin 2cos 6323
16、2 2sin1 3 2 21t 记 2 8 43 t Sf t t 2 2 2 8 43 0 43 t ft t ，即 ( ) f t在 3 ,1 2 上为单调减函数， 当1t 即 6 时， min 18Sf 所以修路费用的最小值为 8 万元. 21()设等差数列 n a的公差为d，等比数列 n b的公比为 q. 由 1 1a ， 543 5aaa，可得 d=1.从而 n a的通项公式为 n an. 由 1543 1,4bbbb，又 q0，可得 2 440qq，解得 q=2， 从而 n b的通项公式为 1 2n n b . ()证明：由()可得 (1) 2 n n n S ， 故 2 1 (1
17、)(2)(3) 4 nn S Sn nnn ， 22 2 1 1 12 4 n Snn ， 从而 2 21 1 (1)(2)0 2 nnn S SSnn ， 所以 2 21nnn S SS . ()当 n为奇数时， 111 2 32(32)222 (2)2 nnn nn n nn abn c a an nnn ， 当 n为偶数时， 1 1 1 2 n n n n an c b ， 对任意的正整数 n，有 2222 21 11 222 1 212121 kkn nn k kk c kkn ， 和 2 231 11 211352321 444444 nn k knn kk knn c 由得 2 2
18、314 1 11352321 444444 n k nn k nn c 由得 2 211 1 21 1 31222112144 1 4444444 1 4 nn k nnn k nn c ， 由于 11 21 1 121221121156544 1 44334444123 4 1 4 n nnnn nnn ， 从而得： 2 1 565 99 4 n k n k n c . 因此， 2 212 111 4654 219 49 n nnn kkk n kkk n ccc n . 所以，数列 n c的前 2n项和为 4654 219 49 n n n n . 22 （1） 21 1 ax f xx
19、ea (R)a的定义域为(,) ， 1 ( )(2) ax fxx axe ， 当 a=0 时，0,( )0,0,( )0 xfxxfx ， 所以函数 ( )f x的单调递增区间为(0,)，单调递减区间为(,0) . 当 a0 时， 22 ,( )0,0 ,( )0,(0,)xfxxfxx aa ， ( )0fx ， 所以函数 ( )f x的单调递增区间为 2 ,(0,) a ，单调递减区间为 2 ,0 a . 当 a0 时， 22 (,0),( )0,0,( )0,xfxxfxx aa ， ( )0fx 所以函数 ( )f x的单调递减区间为 2 (,0), a ，单调递增区间为 2 0,
20、a . （2）由 1 ( ) x g xex ，得 1 ( )1 x g xe ，当1x 时，( )0,1 g xx 时，( )0g x ， 故( )g x在(,1)上单调递减，在(1,)上单调递增， 所以 min ( )(1)0g xg，故当1, maa时， 1 min ( )( )0 a g mg aea 当(0,1)a时， 2 1a a ，由（1）知，当1, naa时， min ( )(0)10f nfa 所以 min 22 ( )(1)f na， 若对1, ,1, maanaa 使 2 ( )( )0f ng m成立，即 2 ( )( )f ng m 则0且 2 minmin ( )(
21、 )f ng m. 所以 21 (1)eaaa ，所以 2 1 (1) a a ea . 设 2 1 (1) ( ),0,1) x x h xx ex ，则 11 2 1 (1) 31 ( ) xx x xexex h x ex ， 令 11 ( )3ee1,0,1 xx r xxxx 则 1 ( )(2)e1 x r xx ， 当0,1)x时，由1 x ex，故 1 e2 x x ， 所以 1 (2)1 x x e ，故( )0r x ， 所以( )r x在0,1上单调递减， 所以0,1)x时，( )(1)0r xr，即( )0r x , 又0,1)x时, 10 x , 所以当0,1)x时，( )0, ( )h xh x 单调递减， 所以当(0,1)x时，( )(0)h xhe， 即(0,1)a时， 2 1 (1) a a e ea ，故e. 所以当e时，对(0.1),1, ,1, amaanaa 使 2 ( )( )0f ng m成立.
