2020年秋人教版九年级数学上册 第二十二章《二次函数》单元能力提升检测试题(含答案)

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1、二次函数单元能力提升检测试题二次函数单元能力提升检测试题 一选择题 1下列函数的解析式中,一定为二次函数的是( ) Ay(x+1)(x1)x2 Byax2+bx+c Cs2t2+1 Dyx+ 2抛物线yax2+bx+c经过点(3,0)和(2,3),且以直线x1 为对称轴,则它的解析式为( ) Ayx22x3 Byx22x3 Cyx22x+3 Dyx2+2x3 3 根据下表中的二次函数yax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值, 可判断二次函数的解析式为 ( ) x 1 0 1 2 y 1 2 Ayx2x Byx2+x Cyx2x+ Dyx2+x+ 4对于二次函数y3x2+2,下列说法错误的是

2、( ) A最小值为 2 B图象与y轴没有公共点 C当x0 时,y随x的增大而减小 D其图象的对称轴是y轴 5二次函数ymx2(m23m)x+1m的图象关于y轴对称,则m的值( ) Am0 Bm3 Cm1 Dm0 或 3 6将抛物线yx2平移得到抛物线y(x+2)2,则这个平移过程正确的是( ) A向左平移 2 个单位 B向右平移 2 个单位 C向上平移 2 个单位 D向下平移 2 个单位 7某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比,设边长为x厘米当x3 时,y18,那么当 成本为 72 元时,边长为( ) A6 厘米 B12 厘米 C24 厘米 D36 厘米 8二次函数yax2+bx+

3、c(a0)的大致图象如图,与x轴交点为(1,0)和(2,0),关于该二次 函数,下列说法错误的是( ) A函数有最小值 B对称轴是直线x C当x,y随x的增大而减小 D当1x2 时,y0 9如图,抛物线yax2+bx+c与两坐标轴的交点分别为A、B、C,且OAOC1,则下列关系中正确 的是( ) Aa+b1 Bab1 Cb2a Dac0 10如图所示,抛物线yax2+bx+c的顶点为B(1,3),与x轴的交点A在点(3,0)和(2, 0)之间,以下结论: b24ac0;a+b+c0;2ab0;ca3 其中正确的有( )个 A1 B2 C3 D4 二填空题 11二次函数y3x26x+1 的图象的

4、顶点坐标是 12航天飞机从某个时间t秒开始,其飞行高度为h10t2+700t+21000(单位:英尺),对人而言不低 于 31000 英尺时会感觉到失重,则整个过程中能体会到失重感觉的时间为 秒 13将抛物线y2x2向下平移 1 个单位,再向左平移 3 个单位得到的抛物线的解析式是 14已知抛物线y3ax2+2bx+c,若ab1,且当1x1 时,抛物线与x轴有且另有一个公共点, 则c的取值范围为 15在ABC中,A,B所对的边分别为a,b,C30若二次函数y(a+b)x2+(a+b)x (ab)的最小值为,则A 16服装店将进价为每件 100 元的服装按每件x(x100)元出售,每天可销售(2

5、00 x)件,若想获得 最大利润,则x应定为 元 17如图,抛物线yax2+bx+c与x轴相交于A、B两点,点A(在点B左侧,顶点在折线MPN上 移动,它们的坐标分别为M(1,4)、P(3,4)、N(3,1)若在抛物线移动过程中,点A横坐 标的最小值为3,则ab+c的最小值是 三解答题 18已知二次函数yx22bx+c(b,c是常数) (1)当b2,c5 时,求二次函数的最小值; (2)当c3,函数值y6 时,以之对应的自变量x的值只有一个,求b的值; (3)当c3b,自变量 1x5 时,函数有最小值为10,求此时二次函数的表达式 19某商店分别花 20000 元和 30000 元先后两次以相

6、同的进价购进某种商品,且第二次的数量比第一次多 500 千克 (1)该商店第一次购进多少千克这种商品? (2) 已知该商品每天的销售量y(千克) 与销售单价x(元/千克) 之间的函数关系式为:y10 x+500, 且每千克的利润不低于 10 元且不高于 18 元 请直接写出自变量x的取值范围; 求该商店某天的最大利润 20如图,直线AB和抛物线的交点是A(0,3),B(5,9),已知抛物线的顶点D的横坐标是 2 (1)求抛物线的解析式及顶点坐标; (2)在x轴上是否存在一点C,与A,B组成等腰三角形?若存在,求出点C的坐标,若不在,请说 明理由; 21对于平面中给定的一个图形及一点P,若图形上

7、存在两个点A、B,使得PAB是边长为 2 的等边三角 形,则称点P是该图形的一个“美好点” (1)若将x轴记作直线l,下列函数的图象上存在直线l的“美好点”的是 (只填选项) A正比例函数yx B反比例函数y C二次函数yx2+2 (2)在平面直角坐标系xOy中,若点M(n,0),N (0,n),其中n0,O的半径为r 若r2,O上恰好存在 2 个直线MN的“美好点”,求n的取值范围; 若n4,线段MN上存在O的“美好点”,直接写出r的取值范围 22在平面直角坐标系xOy中,给出如下定义:将一个函数的图象在y轴左侧的部分沿x轴翻折,其余部 分不变,两部分组成的函数图象,称为这个函数的变换图象

8、(1)点A(1,4)在函数yx+m的变换图象上,求m的值; (2)点B(n,2)在函数yx2+4x的变换图象上,求n的值; (3)将点C(,1)向右平移 5 个单位长度得到点D当线段CD与函数yx2+4x+t的变换图 象有两个公共点,直接写出t的取值范围 23如图,抛物线yax2+bx3 与x轴交于A(2,0)和B(4,0)两点,与y轴交于点C (1)求抛物线的解析式; (2) 当点P为直线BC下方抛物线上一动点 (不与点B、C重合) ,PMBC于点M,PDAB于点D, 交直线BC于点N,当P点的坐标为何值时,PM+PN的值最大? (3)点P在第四象限的抛物线上移动,以PC为边作正方形CPEF

9、、当抛物线的对称轴经过点E时,求 出此时点P的坐标 参考答案 一选择题 1解:A、y(x+1)(x1)x2是一次函数,不合题意; B、yax2+bx+c (a0)是二次函数,不合题意; C、s2t2+1 是二次函数,不合题意; D、yx+不是二次函数,不合题意; 故选:C 2解:把(3,0)与(2,3)代入抛物线解析式得:, 由直线x1 为对称轴,得到1,即b2a, 代入方程组得:, 解得:a1,b2,c3, 则抛物线解析式为yx22x3, 故选:B 3解:抛物线过点(0,)和(2,), 抛物线的对称轴为直线x1, 抛物线的顶点坐标为(1,2) 设抛物线解析式为ya(x1)22, 把(1,1)

10、代入得 4a21,解得a, 抛物线解析式为y(x1)22x2x 故选:A 4解:A、开口向上有最小值 2,正确; B、图象与y轴交与点(0,2),错误; 对称轴为y轴,开口向上,所以当x0 时,y随着x的增大而减小,C、D正确, 故选:B 5解:函数图象关于y轴对称, 函数的解析式形式应该是yax2+k型, (m23m)0, 解得:m0 或m3, 二次函数的二次系数不能为 0, m3 故选:B 6解:将抛物线yx2平移得到抛物线y(x+2)2,则这个平移过程正确的是向左平移了 2 个单位, 故选:A 7解:设y与x之间的函数关系式为ykx2,由题意,得 189k, 解得:k2, y2x2, 当

11、y72 时,722x2, x6 故选:A 8解:A、由抛物线的开口向上,可知a0,函数有最小值,正确,故A选项不符合题意; B、由图象可知,对称轴为x,正确,故B选项不符合题意; C、因为a0,所以,当x时,y随x的增大而减小,正确,故C选项不符合题意; D、由图象可知,当1x2 时,y0,错误,故D选项符合题意 故选:D 9解:OAOC1, A(1,0),C(0,1), 把A(1,0),C(0,1)代入yax2+bx+c得ab+c0,c1, ab1,所以A选项错误,B选项正确; 抛物线开口向上, a0, 抛物线与y轴的交点在x轴上方, c0, ac0,所以D选项错误; x1, b2a,所以C

12、选项错误 故选:B 10解:抛物线与x轴有两个交点, 0, b24ac0,故错误; 由于对称轴为x1, x3 与x1 关于x1 对称, x3 时,y0, x1 时,ya+b+c0,故错误; 对称轴为x1, 2ab0,故正确; 顶点为B(1,3), yab+c3, ya2a+c3, 即ca3,故正确; 故选:B 二填空题(共 7 小题) 11解:二次函数y3x26x+13(x+1)2+4, 该函数图象的顶点坐标为(1,4), 故答案为:(1,4) 12解:依题意,得:10t2+700t+2100031000, 解得:t120,t250, 整个过程中能体会到失重感觉的时间为 502030(秒) 故

13、答案为:30 13解:将抛物线y2x2向下平移 1 个单位得y2x21,再向左平移 3 个单位,得y2(x+3)21; 故所得抛物线的解析式为y2(x+3)21 故答案为:y2(x+3)21 14解:ab1, 解析式为y3x2+2x+c 对称轴x, 当1x1 时,抛物线与x轴有且只有一个公共点, 则此公共点一定是顶点, 412c0, 一个交点的横坐标小于等于1,另一交点的横坐标小于 1 而大于1, 32+c0,3+2+c0, 解得5c1 综上所述,c的取值范围是:c或5c1, 故答案为c或5c1 15解:将二次函数y(a+b)x2+(a+b)x(ab)配方得: y(a+b)a+b, 该二次函数

14、的最小值为, a+b, 整理,得:ab, 在ABC中,C30, 当ab时,AB75, 故答案为:75 16解:设获得的利润为y元,由题意得: y(x100)(200 x) x2+300 x20000 (x150)2+2500 a10 当x150 元时,y取得最大值 2500 元, 故答案为 150 17解:由题意得:当顶点在M处,点A横坐标为3, 则抛物线的表达式为:ya(x+1)2+4, 将点A坐标(3,0)代入上式得:0a(3+1)2+4, 解得:a1, 当x1 时,yab+c, 顶点在N处时,yab+c取得最小值, 顶点在N处,抛物线的表达式为:y(x3)2+1, 当x1 时,yab+c

15、(13)2+115, 故答案为:15 三解答题(共 6 小题) 18解:(1)当b2,c5 时,yx24x+5(x2)2+1, 当x2 时,y 最小1; (2)当c3,函数值y6 时,x22bx+36, x22bx+90, 对应的自变量x的值只有一个, (2b)24190,b3; (3)当c3b时,yx22bx+3b(xb)2+3bb2 抛物线对称轴为:xb b1 时,在自变量x的值满足 1x5 的情况下,y随x的增大而增大,当x1 时,y最小 (1b)2+3bb210,b11; 1b5,当xb时,y最小 (bb)2+3bb210 b15,b22(舍去) b5 时,在自变量x的值满足 1x5

16、的情况下,y随x的增大而 减小, 当x5 时,y最小 (5b)2+3bb210,b5(舍去) 综上可得:b11 或b5 二次函数的表达式:yx2+22x33 或yx210 x+15 19(1)设第一次购进m千克,则, m1000, 经检验,当m1000 时,m(m+500)0,m1000 是原方程的解, 第一次购进 1000 千克 (2)该商品的原价为 20000100020 元/千克, 每千克的利润不低于 10 元且不高于 18 元, 10 x2018, 自变量x的取值范围:30 x38; 设每天的利润为W元,则W(x20) (10 x+500)10(x35) 2+2250,当 x35 时,

17、Wmax 2250 20解:(1)抛物线的顶点D的横坐标是 2,则x2, 抛物线过是A(0,3),则函数的表达式为:yax2+bx3, 把B(5,9)代入上式得:925a+5b3, 联立、, 解得:a,b, 抛物线的解析式为:yx2x3, 当x2 时,y,即顶点D的坐标为(2,); ( 2)存在,理由如下: A(0,3),B(5,9),则AB13, 设点C坐标(m,0), 当ABAC时, m2+(3)2132, 解得:m4, 点C坐标为:(4,0)或(4,0); 当ABBC时, (5m)2+92132, 解得:m, 点C坐标为(5+,0)或(52,0), 当ACBC时, (5m)2+92m2+

18、32, 解得:m, 点C坐标为(,0), 存在点C,其坐标为: (4,0)或(4,0)或(5+,0)或(52,0)或(, 0) 21解:(1)x轴是图形l,PAB是边长为 2 的等边三角形, P点纵坐标为, yx上存在点(,)或(,)是x轴的“美好点”, y上存在点(,)或(,)是x轴的“美好点” yx2+2 中y的最小是 2, yx2+2 上不存在x轴的“美好点”, 故选A、B; (2)M(n,0),N(0,n),n0, 设直线MN的解析式为ykx+b, 则有, 解得, yx+n, 如图 1:M(n,0),N (0,n),其中n0, MNO60, ABD与ACB是边长为 2 的等边三角形,

19、BAD60, ADBCy轴, 设过点C与MN平行的直线为yx+c,过点D与MN平行的直线为yx+d, 当直线yx+c与O相切时,c4, n4+26, 此时O上恰好存在 1 个直线MN的“美好点”, 如图 2:当直线yx+d与O相切时,d4, n422, 此时当直线yx+c经过原点O,则c0, 此时O上恰好存在 3 个直线MN的“美好点”, 2n6 时,O上恰好存在 2 个直线MN的“美好点”; 如图 3:n4, M(4,0),N(0,4), OMN60, 设AB2 在圆O上,C与D是MN上的点, 则ABC与ABD是边长为 2 的等边三角形, 当MN与D点所在圆相切时,OD2, r2, 此时线段

20、MN上存在O的“美好点”, 如图 4:当OCOM时,OC4, MH,AH1, OA2, 此时线段MN上存在O的“美好点”, 2r2,线段MN上存在O的“美好点” 22解:(1)点A(1,4)在函数yx+m的变换图象上, 4(1+m), m3, (2)根据题意, 当n0 时,n24n2, 解得:n2,n2+(舍去) 当n0 时,n2+4n2, 解得:n2, 综上所述:n2或n2; (3)将点C(,1)向右平移 5 个单位长度得到点D, 点D(,1) 当t1 时,由题意可得: t, 1t 当1t1 时,线段CD与函数yx2+4x+t的变换图象有三个公共点,(不合题意舍去), 当t1 时,线段CD与

21、y轴左侧图象没有交点,与y轴右侧图象有两个交点,可得:t+41, t3, 3t1, 综上所述:t的取值范围为3t1 或 1t 23解:(1)依题意得: , 解得:, 抛物线的解析式为yx3; (2)设直线BC的解析式为ykx+m, , 解得:, yx3 设P点坐标为(n,n3),N点的坐标为(n,n3), PNn, PMBC,PDAB, PMNPDB, PNMBND, MPNOBC, OB4,OC3, BC5, PMPNcosMPNPNcosOBCPN, PM+PNPNn 即当n2 时,PM+PN的值最大,此时P点坐标为(2,3) (3)过点P作PKy轴于K,交抛物线的对称轴于G,如图, 四边形PEFC为正方形, PEPC,EPC90 PGEPKC90, PEGCPK, PEGCPK(AAS), CKPG, 设P(x,x2x3),抛物线的对称轴为直线x1, 则G(1,x2x3),K(0,x2x3), PG|1x|,CK|x2x3+3|x2x|, |1x|x2x|, 解方程 1xx2x得,x1,x22(舍去); 解方程x1x2x得,x1,x24(舍去); P点坐标为(,)或(,)

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