1、 1 湖南师大二附中湖南师大二附中 20212021 届届高三高三第一次阶段性考试第一次阶段性考试数学数学试试卷卷 时量：120 分钟 满分：150 分 注意事项：注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。 2作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。 3 非选择题必须用黑色字迹签字笔作答， 答案必须写在答题卡各题指定的位置上， 写在本试卷上无效。 一、一、单项单项选择题选择题：本题共本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5
2、分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的目要求的. 1设集合 1,2,3,4A ，1,0,2,3B ，| 12CxRx ，则()ABC A 1,1 B0,1 C 1,0,1 D2,3,4 2若a，b，c，满足23 a ， 2 log 5b ，3 2 c ，则（ ） Acab Bbca Cabc Dcba 3设函数 1 ( )ln 1 x f xx x ，则函数的图像可能为（ ） A B C D 4已知ABC的面积为 3 2 2,1,cos 23 A AB ,则BC （ ） A 37 B39 C 41 D43 2 5如
3、图所示的三棱柱 111 ABCABC，其中ACBC，若 1 2AAAB，当四棱锥 11 BA ACC体积最大 时，三棱柱 111 ABCABC外接球的体积为（ ） A. 16 3 B 4 2 3 C 8 2 3 D 4 3 6. 在Rt ABC中,已知 90 ,3,4,CCACBP为线段 AB 上的一点,且 CACB CPxy CACB ，则 11 xy 的最小值为（ ） A 7 6 B 7 12 C 73 123 D 73 63 7已知定义在R上的偶函数 f x满足 11fxfx，且当02x时， 3 f xxx，则在区 间0,6上函数 yf x的图象与x轴的交点的个数为（ ） A6 B7 C
4、8 D9 8若函数 f（x）axlnx 在1，2上单调递增，则 a 的取值范围是（ ） A （，1 B1，+） C 1 2 ， D （， 1 2 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全全 部选对的得部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9给出下列选项中，能成为 xy 充分条件的是（ ） 3 Axt2yt2 B （x，y）是曲线 x3y3x21 上的点 C 11 xy 0 D （x，y）
5、是双曲线 x2y21 上的点 10如图 1，点E为正方形ABCD边BC上异于点 ,B C的动点，将 ABE沿AE翻折，得到如图 2 所示的 四棱锥BAECD，且平面BAE 平面AECD，点F为线段BD上异于点,B D的动点，则在四棱锥 BAECD中，下列说法正确的有( ) A直线BE与直线CF必不在同一平面上 B存在点E使得直线BE 平面DCE C存在点F使得直线CF与平面BAE平行 D存在点E使得直线BE与直线CD垂直 11关于函数( )sinsinf xxx有下述四个结论，其中正确的结论是（ ） Af(x)是偶函数 Bf(x)在区间（ 2 ,）单调递增 Cf(x)在 , 有 4 个零点 D
6、f(x)的最大值为 2 12椭圆 2 2 :1 4 x Cy的左右焦点分别为 12 ,F F，O为坐标原点，以下说法正确的是（ ） A过点 2 F的直线与椭圆C交于A，B两点，则 1 ABF的周长为8. B椭圆C上存在点P，使得 12 0PF PF. 4 C椭圆C的离心率为 1 2 DP为椭圆 2 2 1 4 x y上一点，Q为圆 22 1xy上一点，则点P，Q的最大距离为3. 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13294izz （i为虚数单位） ，则|z _ 14.设函数 f x在0,内可导，其导函数为 fx，且ln2lnxf
7、xx，则 1 f _. 15已知数列 n a的前n项和 2 n Sn，1 n nn ba 则数列 n b的前n项 n T=_ . 16.已知椭圆 22 1 106 xy ，倾斜角为 60 的直线与椭圆分别交于 A、B 两点且 8 30 9 AB ，点 C 是椭圆上 不同于 A、B 一点，则 ABC 面积的最大值为_ 四、解答题：共四、解答题：共 70 分。解答应写出分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。文字说明、证明过程或演算步骤。 18 （本题满分 12 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S，数列 n b为正项等比数列，且 1 3a ， 1 1b ， 32 12bS， 532
8、2aab （1）求数列 n a和 n b的通项公式； （2）若 2 n n n n S c bn 为奇数 为偶数 ，设 n c的前n项和为 n T，求 2n T 5 19 （本题满分 12 分）已知函数 f(x)lg xa x2 ，其中 a 是大于 0 的常数 (1)求函数 f(x)的定义域； (2)当 a(1,4)时，求函数 f(x)在2，)上的最小值； (3)若对任意 x2，)恒有 f(x)0，试确定 a 的取值范围 6 22.（本小题满分 12 分）已知函数 1 ( )lnf xx x ，( )g xaxb (1)若函数( )( )( )h xf xg x在(0,)上单调递增，求实数a的
9、取值范围； (2)当0b时， 若( )f x与( )g x的图象有两个交点 1122 ( ,), (,)A x yB xy， 试比较 12 x x与 2 2e的大小 （取 e为2.8，取ln2为0.7，取2为1.4） 20212021 届高三第一次阶段性数学考试答案届高三第一次阶段性数学考试答案 1.【答案】C 2【答案】A 【解析】因为 2 23(2,2 ) a ，所以12a， 因为32(1,3) c ，所以01c， 又 22 log 5log 42b ，所以cab 3.【答案】B 【解析】 1 ( )ln 1 x f xx x 定义域为：( 1,1) 11 ()lnln( ) 11 xx
10、fxxxf x xx ，函数为偶函数，排除,A C 11 ( ) 22 ln30f ，排除D 故选：B 7 4【答案】C 【解析】因为 2 31 cos,cos2cos1 2323 AA A , 2 2 2 sin1 cos, 3 AAABC 的面积为 1 sin2 2 2 AB ACA ,又1AB ,所以6AC ,由余弦定理,得, 222 2cos41BCABACAB ACA , 41BC 故选：C 5【答案】C 【解析】 1 1 11 1 1 1 3 B A B CABC A B C VV ， 11 1 11 2 3 ABCB A ACCA B C VV ， 只要三棱柱 111 ABCAB
11、C体积取最大值， 则四棱锥 11 BA ACC体积最大，三棱柱 111 ABCABC的高h最大值为 1 2AA ， 此时 1 1 1 ABCA B C V 1 1 2 ACBCAAACBC， 222 42ACBCABACBC，当且仅当 ACBC时等号成立，ACBC的最大值为 2（此时 2ACBC ） ， max 2V连接 1 AB交 1 AB 于点O，设,E F分别是 11, AB AB的中点，则OEF，且EFAB，从而EF 平面ABC，由ACBC 知F是ABC的外心，O是三棱柱 111 ABCABC外接球的球心，在正方形 11 ABB A中， 2OA ， 33 448 2 ( 2) 333
12、VOA 故选：C 6【 【答案】C 【解析】以,CA CB所在的直线分别为 , x y轴建立直角坐标系, 8 则(0,0),(3,0),(0,4),| 3,| 4CABCAAB, CACB CPxy CACB =(1,0)(0,1)( , )xyx y P点坐标为 ( , )P x y,线段AB方程为1(0,0) 34 xy xy, 11773 () () 341243123 11xyyx xxyyxy , 7【答案】B 【解析】因为 f x是R上偶函数，且满足11fxfx， 满足1 11fxfxf x， 令1xt+ =，则1xt ， 2f tf t； f x是最小正周期为 2 的周期函数，
13、当02x时， 3 0f xxx解得0 x或1x ， 故 0f x 在区间0,6上解的个数为 6， 又因为 600ff，故 0f x 在区间0,6上解的个数为 7， 即函数 yf x的图象在区间0,6上与 x 轴的交点的个数为 7. 8【答案】B 【解析】 1 ( )fxa x ， 因为 ( )f x在1,2内单调递增， 所以( ) 0fx对 1,2x恒成立， 即 1 a x 对 1,2x 恒成立，所以 1 ( )1 max a x ； 9 即1,a 故选：B 9【答案】ABC 【解析】由题意，对于 A 中，由 22 xtyt1 时，0. 当 0a1 时，方程 x22xa0 两根为 x1 1a，
14、 且 01 1a1 1a，0 x1 1a或 x1 1a. 综上：当 a1 时，函数的定义域为x|x0； 当 0a1 时，函数的定义域为x|0 x1 1a或 x1 1a (2)当 1a0lg(xa x2)0 x a x21 ax23x. 16 设 h(x)x23x(x2)， h(x)(x3 2) 29 4 h(x)maxh(2)2. 故当 a2 时，原命题成立 17 21.【解析解析】 18 22. （1） ( )( )( )h xf xg x 1 ln xaxb x ,则 2 11 ( )h xa xx ，1 分 ( )( )( )h xf xg x在(0,)上单调递增，对0 x ，都有 2
15、11 ( )0h xa xx ，2 分 即对0 x ，都有 2 11 a xx ， 2 11 0 xx ，0a ， 故实数a的取值范围是(,0 4 分 （2）由题意知 11 1 1 lnxax x ， 22 2 1 ln xax x ， 两式相加得 12 1212 12 ln() xx x xa xx x x ，两式相减得 212 21 112 ln() xxx a xx xx x ，8 分 即 2 1 2112 ln 1 x x a xxx x ， 2 121 1212 122112 ln 1 ln()() x xxx x xxx x xxxx x ， 即 12122 12 12211 2(
16、) lnln xxxxx x x x xxxx ， 7 分 不妨令 12 0 xx，记 2 1 1 x t x ，令 2(1) ( )ln(1) 1 t F ttt t ，则 2 (1) ( )0 (1) t F t t t ，分 2(1) ( )ln 1 t F tt t 在(1,)上单调递增，则 2(1) ( )ln(1)0 1 t F ttF t ， 19 2(1) ln 1 t t t ，则 221 112 2() ln xxx xxx ， 12122 12 12211 2() lnln2 xxxxx x x x xxxx ， 又 12 12 12121212 1212 1212 42()44 lnlnln2ln x xxx x xx xx xx x x xx xx xx x ， 12 12 4 2ln2x x x x ，即12 12 2 ln1x x x x ，9 分 令 2 ( )lnG xx x ，则0 x 时， 2 12 ( )0G x xx ，( )G x在(0,)上单调递增， 又 212 ln2ln2 10.851 22 e ee ， 1212 12 22 ()ln1ln2 2 Gx xx xe x xe ，则 12 2x xe ，即 2 12 2x xe 12 分
