1、 第第 14 章勾股定理检测卷章勾股定理检测卷 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1下列各组数据中，不是勾股数的是（ ） A3，4，5 B7，24，25 C8，15，17 D5，6，9 2如图，分别以直角ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用 S1、S2、S3表示， 若 S27，S32，那么 S1（ ） A9 B5 C53 D45 3如图所示，在 RtABC 中，A90，BD 平分ABC，交 AC 于点 D，且 AB4，BD 5，则点 D 到 BC 的距离是（ ） A3 B4 C5 D6 4观察图形，可以验证（ ） Aa2+
2、b2c2 B （ab）2a22ab+b2 Ca2b2（a+b） （ab） D （a+b）2a2+2ab+b2 5满足下列关系的三条线段 a，b，c 组成的三角形一定是直角三角形的是（ ） Aab+c Babc Cabc Da2b2c2 6直角三角形中，有两边的长分别为 3 和 4，那么第三边的长的平方为（ ） A25 B14 C7 D7 或 25 7 如图， 在 RtABC 中， ACB90， AC4， BC3， CDAB 于 D， 则 CD 的长是 （ ） A5 B7 C D 8如图，在水塔 O 的东北方向 5m 处有一抽水站 A，在水塔的东南方 12m 处有一建筑工地 B，在 AB 间建一
3、条直水管，则水管的长为（ ） A10m B13m C14m D8m 9如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为 16cm，在容器内壁离容器底 部 4cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿 4cm 的点 A 处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为 20cm，则该圆柱底面周长为（ ） A12cm B14cm C20cm D24cm 10 在北京召开的国际数学家大会会标如图所示， 它是由四个相同的直角三角形与中间的小 正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是 13，小正方形的面积是 1，直角三角 形的较长直角边为 a，较短直角边为 b，则 a4+b4的
4、值为（ ） A35 B43 C89 D97 二填空题（共二填空题（共 7 小题小题，满分，满分 28 分，每小题分，每小题 4 分）分） 115、12、m 是一组勾股数，则 m 12若 RtABC 中，ABC90，AB6，BC8，则 AC 13命题： “三角形中至多有两个角大于 60 度” ，用反证法第一步需要假设 14在 RtABC 中，斜边 BC10，则 BC2+AB2+AC2 15a，b，c 是ABC 的三边长，满足关系式|ab|+0，则ABC 的形状 为 16已知一个三角形工件尺寸（单位 dm）如图所示，则高 h dm 17如图，一架 2.5m 长的梯子斜靠在垂直的墙 AO 上，这时
5、AO 为 2m如果梯子的顶端 A 沿墙下滑 0.5m，那么梯子的底端 B 向外移动 m 三解答题（共三解答题（共 8 小题，满分小题，满分 62 分）分） 18 （6 分）根据三角形的三边 a，b，c 的长，判断三角形是不是直角三角形： （1）a11，b60，c61 （2）a，b1，c 19 （7 分）已知 a，b，c 为ABC 的三边，且满足 a2c2b2c2a4b4，试判断ABC 的形 状，解题过程如下： a2c2b2c2a4b4 c2（a2b2）（a2b2） （a2+b2） c2a2+b2 ABC 是直角三角形 上述解题过程有误，请指出错误在的哪一步，并作改正 20 （7 分）如图，铁路
6、 MN 和公路 PQ 在点 O 处交汇，QON30公路 PQ 上 A 处距 O 点 240 米如果火车行驶时，周围 200 米以内会受到噪音的影响那么火车在铁路 MN 上沿 ON 方向以 72 千米/时的速度行驶时，A 处受噪音影响的时间为多少？ 21 （8 分）如图，在四边形 ABFC 中，ABC90，CDAD，AD22AB2CD2求证： ABBC 22 （8 分）如图，在四边形 ABCD 中，AB3，BC4，CD12，AD13，B90 （1）连接 AC，求证：ACD 是直角三角形； （2）求ACD 中 AD 边上的高 23 （8 分）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 C，河边原有两个
7、取水点 A，B，其 中 ABAC，由于某种原因，由 C 到 A 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在 河边新建一个取水点 H（A、H、B 在同一条直线上） ，并新修一条路 CH，测得 CB1.5 千米，CH1.2 千米，HB0.9 千米 （1）问 CH 是否为从村庄 C 到河边的最近路？请通过计算加以说明； （2）求新路 CH 比原路 CA 少多少千米？ 24 （9 分）定义：如图，点 M、N 把线段 AB 分割成 AM、MN、NB，若以 AM、MN、NB 为边的三角形是一个直角三角形，则称点 M、N 是线段 AB 的勾股分割点 （1）已知 M、N 把线段 AB 分割成 AM、MN、NB
8、，若 AM2，MN4，BN2，则 点 M、N 是线段 AB 的勾股分割点吗？请说明理由 （2）已知点 M、N 是线段 AB 的勾股分割点，且 AM 为直角边，若 AB12，AM5，求 BN 的长 25 （9 分）如图，在ABC 中，ABAC，ADBC 于点 D，CBE45，BE 分别交 AC， AD 于点 E、F （1）如图 1，若 AB13，BC10，求 AF 的长度； （2）如图 2，若 AFBC，求证：BF2+EF2AE2 参考答案参考答案 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1解：A、32+4252，是勾股数； B、72+24
9、2252，是勾股数； C、82+152172，是勾股数； D、52+6292，不是勾股数 故选：D 2解：在 RtABC 中，AB2BC2+AC2， S1AB2，S2BC2，S3AC2， S1S2+S3 S27，S32， S17+29 故选：A 3解：过 D 点作 DEBC 于 E A90，AB4，BD5， AD3， BD 平分ABC，A90， 点 D 到 BC 的距离AD3 故选：A 4解：梯形面积， 三个三角形面积之和， 可得： （a+b）2a2+2ab+b2， 故选：D 5解：当 a2b2c2，可得：a2+c2b2， 所以三条线段 a，b，c 组成的三角形一定是直角三角形， 故选：D 6
10、解：分两种情况： 当 3 和 4 为两条直角边长时， 由勾股定理得：第三边长的平方斜边长的平方32+4225； 当 4 为斜边长时， 第三边长的平方42327； 综上所述：第三边长的平方是 7 或 25 故选：D 7解：在 RtABC 中，ACB90，AC4，BC3， AB5， ACBCCDAB， 345CD， 解得 CD 故选：C 8解：已知东北方向和东南方向刚好是一直角， AOB90， 又OA5m，OB12m， AB（m） 故选：B 9解：如图：将圆柱展开，EG 为上底面圆周长的一半， 作A关于E的对称点A， 连接AB交EG于F， 则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF 的长，即 AF
11、+BFAB20cm， 延长 BG，过 A作 ADBG 于 D， AEAEDG4cm， BD16cm， RtADB 中，由勾股定理得：AD12cm， 则该圆柱底面周长为 24cm 故选：D 10解：依题意有： a2+b2大正方形的面积13， 2ab四个直角三角形的面积和13112， ab6， 则 a4+b4 （a2+b2）22a2b2 （a2+b2）22（ab）2 132262 16972 97 故选：D 二填空题（共二填空题（共 7 小题，满分小题，满分 28 分，每小题分，每小题 4 分）分） 11解：当 12 是最长边时，52+m2122，m（舍去） 当 m 是最长边时，m252+122，
12、m13 故答案是：13 12解：RtABC 中，ABC90，AB6，BC8， AC， 故答案为：10 13解：用反证法证明命题“三角形中至多有两个角大于 60 度” ，应先假设三个内角都大于 60 度 故答案为：三个内角都大于 60 度 14解：在 RtABC 中，斜边 BC10， AB2+AC2BC2100， BC2+AB2+AC22BC2200 故答案是：200 15解：|ab|+0， c2a2b20，ab0， a2+b2c2，ab， ABC 的形状为等腰直角三角形 故答案为：等腰直角三角形 16解： 过点 A 作 ADBC 于点 D，则 ADh， ABAC5dm，BC6dm， AD 是
13、BC 的垂直平分线， BDBC3dm 在 RtABD 中， ADdm，即 h4（dm） 答：h 的长为 4dm 故答案为：4 17解：RtOAB 中，AB2.5m，AO2m， OBm； 同理，RtOCD 中， CD2.5m，OC20.51.5m， ODm， BDODOB21.50.5（m） 答：梯子底端 B 向外移了 0.5 米， 故答案为：0.5 三解答题（共三解答题（共 8 小题，满分小题，满分 62 分）分） 18解： （1）112+602612，故是直角三角形； （2） （）2+12（）2，故不是直角三角形 19解：错误在第步，应改为 c2a2+b2或 a2b2ab， ABC 是直角三
14、角形或等腰三角形或等腰直角三角形 20解：如图：过点 A 作 ACON，ABAD200 米， QON30，OA240 米， AC120 米， 当火车到 B 点时对 A 处产生噪音影响，此时 AB200 米， AB200 米，AC120 米， 由勾股定理得：BC160 米，CD160 米，即 BD320 米， 72 千米/小时20 米/秒， 影响时间应是：3202016 秒 答：A 处受噪音影响的时间为 16 秒 21证明：在ABC 中，ABC90， AB2+BC2AC2 在ACD 中，CDAD， AD2+CD2AC2， AB2+BC2AD2+CD2， 又 AD22AB2CD2， AB2+BC2
15、2AB2CD2+CD2， 即 AB2BC2， ABBC 22 （1）证明：在 RtABC 中，AC2AB2+BC232+4225， AC5， CD12，AD13， AC2+CD2AD2， ACD90， ACD 是直角三角形； （2）解：过点 C 作 CHAD 于点 H， 则 SACDADCHACCD， 13CH512， CH 23解： （1）是， 理由是：在CHB 中， CH2+BH2（1.2）2+（0.9）22.25， BC22.25， CH2+BH2BC2， CHAB， 所以 CH 是从村庄 C 到河边的最近路； （2）设 ACx 千米， 在 RtACH 中，由已知得 ACx，AHx0.9
16、，CH1.2， 由勾股定理得：AC2AH2+CH2 x2（x0.9）2+（1.2）2， 解这个方程，得 x1.25， 1.251.20.05（千米） 答：新路 CH 比原路 CA 少 0.05 千米 24解： （1）是 理由：AM2+BN222+（2）216，MN24216， AM2+NB2MN2， AM、MN、NB 为边的三角形是一个直角三角形 故答案为是 （2）设 BNx，则 MN12AMBN7x， 当 MN 为最大线段时，依题意 MN2AM2+NB2， 即（7x）2x2+25，解得 x； 当 BN 为最大线段时，依题意 BN2AM2+MN2 即 x225+（7x）2，解得 x 综上所述 BN 的长为或 25 （1）解：如图 1，ABAC，ADBC， BDCD， BC10， BD5， RtABD 中，AB13， AD12， RtBDF 中，CBE45， BDF 是等腰直角三角形， DFBD5， AFADDF1257； （2）证明：如图 2，在 BF 上取一点 H，使 BHEF，连接 CH， 在CHB 和AEF 中， ， CHBAEF（SAS） ， AECH，AEFBHC， CEFCHE， CECH， BDCD，FDBC， CFBF， CFDBFD45， CFB90， EFFH， RtCFH 中，由勾股定理得：CF2+FH2CH2， BF2+EF2AE2
