1、第第 2 课时课时 绝对值不等式的解法绝对值不等式的解法 学习目标 1.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c，|axb|c，|x a|xb|c，|xa|xb|c.2.理解并掌握绝对值不等式的几种解法，并能根据不等式 的结构特征选择适当方法求解 知识点一 |axb|c 和|axb|c 型不等式的解法 思考 1 |x|2 说明实数 x 有什么特征？ 答案 x 在数轴上对应的点 x 到原点的距离大于等于 2. x2 或 x2. 思考 2 若|2x3|5，求 x 的取值范围 答案 x|1x4 梳理 (1)含绝对值不等式|x|a 与|x|a 的解法 |x|a axaa0， a0. |
2、x|a Ra0， xR且x0a0， xa或xaa0. (2)|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法 |axb|ccaxbc， |axb|caxbc 或 axbc. 知识点二 |xa|xb|c 和|xa|xb|c 型不等式的解法 思考 如何去掉|xa|xb|的绝对值符号？ 答案 采用零点分段法即令|xa|xb|0，得 x1a，x2b，(不妨设 ab) |xa|xb| 2xabxa， baaxb， 2xabxb. 梳理 |xa|xb|c 和|xa|xb|c 型不等式的解法 (1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝 对值不等式以准确的几何解
3、释是解题关键 (2)以绝对值的“零点”为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现 分类讨论的思想确定各个绝对值符号内多项式的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关 键 (3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并 画出函数图象(有时需要考查函数的增减性)是解题关键 特别提醒： 解含绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号， 去绝对值符号的关键是“零点分段” 法 类型一 |axb|c 与|axb|c(c0)型的不等式的解法 例 1 解下列不等式： (1)|5x2|8；(2)2|x2|4. 解 (1)由|5x2|8，得 5x28 或 5x28，解得 x
4、2 或 x6 5，原不等式的解集 为 x x2或x6 5 . (2)原不等式等价于 |x2|2， |x2|4， 由得 x22 或 x22，x0 或 x4， 由得4x24，2x6. 原不等式的解集为x|2x0 或 4x6 反思与感悟 |axb|c 和|axb|c 型不等式的解法 (1)当 c0 时，|axb|caxbc 或 axbc， |axb|ccaxbc. (2)当 c0 时，|axb|c 的解集为 R，|axb|c 的解集为. (3)当 c0 时，|axb|c 的解集为 R，|axb|c 的解集为. 跟踪训练 1 解关于 x 的不等式： |x1|4|2. 解 |x1|4|22|x1|42
5、2|x1|6 |x1|2， |x1|6 x12或x12， 6x16 x1或x3， 5x7 5x1 或 3x7. 不等式|x1|4|2 的解集为x|5x1 或 3x7 类型二 |xa|xb|c 和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法 例 2 解关于 x 的不等式：|3x2|x1|3. 解 方法一 分类(零点分段)讨论法 |3x2|0， |x1|0 的根2 3， 1 把实数轴分为三个区间， 在这三个区间上根据绝对值的定义， 代数式|3x2|x1|有不同的解析表达式，因而原不等式的解集为以下三个不等式组解集 的并集 因为当 x2 3时， |3x2|x1|23x1x34x， 所以当 x2 3时，|3
6、x2|x1|334x3x0. 因此，不等式组 x2 3， |3x2|x1|3 的解集为x|x0 因为当2 3x1 时， |3x2|x1|3x21x2x1， 所以当2 3x1 时， |3x2|x1|32x13x2. 因此，不等式组 2 3x1， |3x2|x1|3 的解集为. 因为当 x1 时，|3x2|x1|3x2x14x3， 所以当 x1 时，|3x2|x1|34x33x3 2. 因此，不等式组 x1， |3x2|x1|3 的解集为 x x3 2 . 于是原不等式的解集为以上三个不等式组解集的并集， 即x|x0 x x3 2 x x0或x3 2 . 方法二 构造函数 f(x)|3x2|x1|
7、3，则原不等式的解集为x|f(x)0 f(x) 4x，x2 3， 2x4，2 3x1， 4x6，x1. 作出函数 f(x)的图象，如图 它是分段线性函数，函数的零点是 0 和3 2.从图象可知， 当 x(，0) 3 2， 时，有 f(x)0. 所以原不等式的解集是(，0) 3 2， . 反思与感悟 |xa|xb|c，|xa|xb|c(c0)型不等式的三种解法：分区间(零点 分段)讨论法、图象法和几何法分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象 法直观，但只适用于数据较简单的情况 跟踪训练 2 解不等式|x7|x2|3. 解 方法一 |x7|x2|可以看成数轴上的动点(坐标为x)到对应点
8、7的距离与到对应点 2 的距离的差，先找到这个差等于 3 的点，即 x1.由图易知不等式|x7|x2|3 的解 为 x1，即 x(，1 方法二 令 x70，得 x7，令 x20，得 x2. 当 x7 时，不等式变为x7x23， 93 成立，x7. 当7x2 时，不等式变为 x7x23， 即 2x2，x1，7x1. 当 x2 时，不等式变为 x7x23， 即 93 不成立，x. 原不等式的解集为(，1 方法三 将原不等式转化为|x7|x2|30， 构造函数 y|x7|x2|3， 即 y 12，x7， 2x2，7x2， 6，x2. 作出函数的图象，由图象可知， 当 x1 时，y0， 即|x7|x2
9、|30， 原不等式的解集为(，1 类型三 含绝对值不等式的恒成立问题 例 3 已知函数 f(x)|2x1|2xa|. (1)当 a3 时，求不等式 f(x)6 的解集； (2)若关于 x 的不等式 f(x)a 恒成立，求实数 a 的取值范围 解 (1)当 a3 时，f(x)|2x1|2x3|， f(x)6，等价于|2x1|2x3|60， 令 g(x)|2x1|2x3|6， 令|2x1|0，得 x1 2，令|2x3|0，得 x 3 2. g(x) 4x4，x1 2， 2，1 2x 3 2， 4x8，x3 2. 作 yg(x)的图象，如图， f(x)6 的解集为1,2 (2)f(x)|2x1|2x
10、a|(2x1)(2xa)|a1|， f(x)min|a1|. 要使 f(x)a 恒成立，只需|a1|a 成立即可 由|a1|a，得 a1a 或 a1a， a1 2， a 的取值范围是 ，1 2 . 引申探究 若 f(x)|2x1|2xa|且 f(x)a 恒成立，求 a 的取值范围 解 f(x)|2x1|2xa|(2x1)(2xa)| |a1|，f(x)max|a1|. f(x)a 恒成立，|a1|a，aa1a， a1 2，a 的取值范围是 1 2， . 反思与感悟 不等式解集为 R 或为空集时，都可以转化为不等式恒成立问题f(x)a 恒成 立f(x)maxa，f(x)a 恒成立f(x)mina
11、. 跟踪训练 3 已知不等式|x2|x3|m.根据以下情形分别求出 m 的取值范围 (1)若不等式有解； (2)若不等式的解集为 R； (3)若不等式的解集为. 解 方法一 因为|x2|x3|的几何意义为数轴上任意一点 P(x)与两定点 A(2)，B(3) 距离的差， 即|x2|x3|PA|PB|. 则(|PA|PB|)max1，(|PA|PB|)min1. 即1|x2|x3|1. (1)若不等式有解， m 只要比|x2|x3|的最大值小即可， 即 m1， m 的取值范围为(， 1) (2)若不等式的解集为 R，即不等式恒成立，m 只要比|x2|x3|的最小值还小，即 m 1，m 的取值范围为
12、(，1) (3)若不等式的解集为，m 只要不小于|x2|x3|的最大值即可，即 m1，m 的取值范围 为1，) 方法二 由|x2|x3|(x2)(x3)|1， |x3|x2|(x3)(x2)|1， 可得1|x2|x3|1. (1)若不等式有解，则 m(，1) (2)若不等式的解集为 R，则 m(，1) (3)若不等式的解集为，则 m1，). 1不等式|x1|3 的解集是( ) Ax|x4 或 x2 Bx|4x2 Cx|x4 或 x2 Dx|4x2 答案 A 解析 |x1|3，则 x13 或 x13， 因此 x4 或 x2. 2不等式|2x1|2 |x3| 0 的解集为( ) A. x x3 2
13、或x 1 2 B. x 1 2x 3 2 C. x x3 2或x 1 2且x3 D. x 1x3 2 答案 C 解析 原不等式 |2x1|2， x30 2x12或2x12， x3 x1 2或x 3 2， x3. 3不等式|x1|x2|5 的所有实数解的集合是( ) A(3,2) B(1,3) C(4,1) D. 3 2， 7 2 答案 C 解析 |x1|x2|表示数轴上一点到2，1 两点的距离之和，根据2，1 之间的距 离为 1，可得到与2，1 距离和为 5 的点是4,1.因此|x1|x2|5 解集是(4,1) 4已知 x 为实数，且|x5|x3|m 有解，则 m 的取值范围是( ) Am1
14、Bm1 Cm2 Dm2 答案 C 解析 |x5|x3|(x5)(x3)|2， m2. 5解不等式|2x1|3x2|8. 解 (1)当 x2 3时， |2x1|3x2|812x(3x2)8 5x9x9 5，x 9 5. (2)当2 3x 1 2时， |2x1|3x2|812x3x28x5， x. (3)当 x1 2时， |2x1|3x2|85x185x7x7 5， x7 5. 原不等式的解集为 ，9 5 7 5， . 1解不等式|axb|c，|axb|c (1)当 c0 时， |axb|ccaxbc， 解之即可； |axb|caxbc 或 axbc， 解之即可 (2)当 c0 时，由绝对值的定义知|axb|c 的解集为，|axb|c 的解集为 R. 2解|xa|xb|c，|xa|xb|c 型的不等式的核心步骤是“零点分段”，即 (1)令每个绝对值符号里的一次式为零，求出相应的根； (2)把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间； (3)由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集； (4)这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集
