1、1 14.24.2 用空间向量研究距离用空间向量研究距离、夹角问题夹角问题 第第 1 1 课时课时 距离问题距离问题 1 已知平面 的一个法向量 n(2， 2,1)， 点 A(1,3,0)在 内， 则平面外一点 P(2,1,4) 到 的距离为( ) A10 B3 C.8 3 D. 10 3 答案 D 解析 PA (1,2，4)， 则点 P 到 的距离 d|PA n| |n| |244| 441 10 3 . 2正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 a，则点 C1到平面 A1BD 的距离是( ) A. 2 2 a B. 3 3 a C. 3a D.2 3 3 a 答案 D 解析 以 A 为原
2、点，AB，AD，AA1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 如图 则AC1 (a，a，a)，BC 1 (0，a，a)， 由于 AC1平面 A1BD，所以点 C1到平面 A1BD 的距离 d|AC1 BC 1 | |AC1 | 2a2 3a 2 3 3 a. 3已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，点 E 是 A1B1的中点，则点 A 到直线 BE 的距离 是( ) A.6 5 5 B.4 5 5 C.2 5 5 D. 5 5 答案 B 解析 建立空间直角坐标系如图所示， 则BA (0,2,0)，BE(0,1,2)， 设ABE，则 cos |BA BE| |BA
3、 |BE| 2 2 5 5 5 ， sin 1cos22 5 5 . 故 A 到直线 BE 的距离 d|AB |sin 22 5 5 4 5 5 . 4.如图，已知长方体 ABCDA1B1C1D1，A1A5，AB12，则直线 B1C1到平面 A1BCD1的距 离是( ) A5 B8 C.60 13 D. 13 3 答案 C 解析 以 D 为坐标原点，DA ，DC ，DD1 的方向分别为 x，y，z 轴的正方向建立如图所示的空 间直角坐标系， 则 C(0,12,0)，D1(0,0,5) 设 B(x，12,0)，B1(x，12,5)(x0) 设平面 A1BCD1的法向量为 n(a，b，c)， 由
4、nBC ，nCD 1 ， 得 n BC (a，b，c) (x，0,0)ax0， n CD1 (a，b，c) (0，12,5)12b5c0， 所以 a0，b 5 12c，所以可取 n(0,5,12) 又B1B (0,0，5)，所以点 B 1到平面 A1BCD1的距离为|B 1B n| |n| 60 13. 因为 B1C1平面 A1BCD1，所以 B1C1到平面 A1BCD1的距离为60 13. 5 正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1， O是A1C1的中点， 则O到平面ABC1D1的距离为( ) A. 3 2 B. 2 4 C.1 2 D. 3 3 答案 B 解析 以DA ，DC ，DD1
5、为正交基底建立空间直角坐标系， 则 A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，C1O 1 2C1A1 1 2， 1 2，0 ， 平面 ABC1D1的一个法向量为DA1 (1,0,1)，点 O 到平面 ABC 1D1的距离 d|DA1 C1O | |DA1 | 1 2 2 2 4 .故选 B. 6 在空间直角坐标系 Oxyz 中， 平面 OAB 的一个法向量为 n(2， 2,1) 已知点 P(1,3,2)， 则点 P 到平面 OAB 的距离 d_. 答案 2 解析 d|n OP | |n| |262| 441 2. 7.如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AA1AB2，AD1，点 F，G
6、分别是 AB，CC1的 中点，则点 D1到直线 GF 的距离为_ 答案 42 3 解析 如图，以 D 为坐标原点，分别以 DA，DC，DD1所在的直线为坐标轴建立如图所示的 空间直角坐标系， 则 D1(0,0,2)，F(1,1,0)，G(0,2,1)，于是有GF (1，1，1)，GD1 (0，2,1)， 所以|GF GD1 | |GF | 21 3 1 3，|GD1 | 5， 所以点 D1到直线 GF 的距离为51 3 42 3 . 8如图所示，在直二面角 DABE 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，AEB 是等 腰直角三角形，其中AEB90 ，则点 D 到平面 ACE 的距离为_
7、 答案 2 3 3 解析 以 AB 的中点 O 为坐标原点，分别以 OE，OB 所在的直线为 x 轴、y 轴，建立如图所 示的空间直角坐标系， 则 A(0，1,0)，E(1,0,0)，D(0，1,2)，C(0,1,2).AD (0,0,2)，AE (1,1,0)，AC(0,2,2)， 设平面 ACE 的法向量 n(x，y，z)，则 n AE 0， n AC 0. 即 xy0， 2y2z0. 令 y1，n(1,1，1) 故点 D 到平面 ACE 的距离 d|AD n| |n| 2 3 2 3 3 . 9在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABACAA12，BAC90 ，M 为 BB1的中点，N 为
8、 BC 的中点 (1)求点 M 到直线 AC1的距离； (2)求点 N 到平面 MA1C1的距离 解 (1)建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A(0,0,0)，A1(0,0,2)，M(2,0,1)，C1(0,2,2)， 直线 AC1的一个单位方向向量为 s0 0， 2 2 ， 2 2 ，AM (2,0,1)， 故点 M 到直线 AC1的距离 d|AM |2|AM s0|2 51 2 3 2 2 . (2)设平面 MA1C1的法向量为 n(x，y，z)， 则 n A1C1 0， n A1M 0， 即 2y0， 2xz0， 取 x1，得 z2，故 n(1,0,2)为平面 MA1C1的一个法向量，
9、 因为 N(1,1,0)，所以MN (1,1，1)， 故 N 到平面 MA1C1的距离 d|MN n| |n| 3 5 3 5 5 . 10四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，AD2AB4，且 PD 与底 面 ABCD 所成的角为 45 .求点 B 到直线 PD 的距离 解 PA平面 ABCD，PDA 即为 PD 与平面 ABCD 所成的角， PDA45 ，PAAD4，AB2. 以 A 为原点， AB， AD， AP 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系， 如图所示 A(0,0,0)，B(2,0,0)，P(0,0,4)，D(0,4,0)，
10、DP (0，4,4) 方法一 设存在点 E，使DE DP ，且 BEDP， 设 E(x，y，z)，(x，y4，z)(0，4,4)， x0，y44，z4， 点 E(0,44，4)，BE (2,44，4) BEDP， BE DP 4(44)440，解得 1 2. BE (2,2,2)，|BE| 4442 3， 故点 B 到直线 PD 的距离为 2 3. 方法二 BP (2,0,4)，DP (0，4,4)， BP DP 16， BP 在DP 上的投影的长度为|BP DP | |DP | 16 16162 2. 所以点 B 到直线 PD 的距离为 d|BP |22 22 2082 3. 11.如图，A
11、BCDEFGH 是棱长为 1 的正方体，若 P 在正方体内部且满足AP 3 4AB 1 2AD 2 3 AE ，则 P 到 AB 的距离为( ) A.3 4 B.4 5 C.5 6 D.3 5 答案 C 解析 如图，分别以 AB，AD，AE 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，AB ，AD ，AE 可作为 x，y，z 轴方向上的单位向量， 因为AP 3 4AB 1 2AD 2 3AE ， 所以AP 3 4， 1 2， 2 3 ，AB (1,0,0)，AP AB |AB | 3 4， 所以 P 点到 AB 的距离 d|AP |2 AP AB |AB | 2 181 144 9 16 5
12、 6. 12在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面边长为 2，侧棱长为 4，则点 B1到平面 AD1C 的 距离为( ) A.8 3 B. 2 2 3 C.4 2 3 D.4 3 答案 A 解析 如图，以 D 为原点，DA，DC，DD1分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A(2,0,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,4)，B1(2,2,4)， AC (2,2,0)，AD 1 (2,0,4)，B 1D1 (2，2,0) 设平面 AD1C 的法向量为 n(x，y，z)， 则 n AC 0， n AD1 0， 即 2x2y0， 2x4z0， 取 z1，则 xy2，所以
13、 n(2,2,1)， 所以点 B1到平面 AD1C 的距离为|n B1D1 | |n| 8 3，故选 A. 13 在底面是直角梯形的四棱锥 PABCD 中， 侧棱 PA底面 ABCD， BCAD， ABC90 ， PAABBC2，AD1，则 AD 到平面 PBC 的距离为_ 答案 2 解析 AD 到平面 PBC 的距离等于点 A 到平面 PBC 的距离由已知可得 AB，AD，AP 两两 垂直以 A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标 系(图略)， 则 A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)， 则PB (2,
14、0，2)，BC(0,2,0) 设平面 PBC 的法向量为 n(a，b，c)， 则 nPB 0， nBC 0， 即 2a2c0， b0， 取 a1，得 n(1,0,1)，又AB (2,0,0)， 所以 d|AB n| |n| 2. 14.如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，所有棱长均为 1，且 AA1底面 ABC，则点 B1到平面 ABC1的距离为_ 答案 21 7 解析 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A 3 2 ，1 2，0 ，B(0,1,0)，B1(0,1,1)，C1(0,0,1)， 则C1A 3 2 ，1 2，1 ， C1B1 (0,1,0)，C1B (0,1，1) 设平面 ABC
15、1的一个法向量为 n(x，y，1)， 则有 C1A n3 2 x1 2y10， C1B ny10， 解得 n 3 3 ，1，1 ， 则所求距离为|C1B1 n| |n| 1 1 311 21 7 . 15.如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，若 BB1 2AB2 2，则点 C 到直线 AB1的距离为 _ 答案 33 3 解析 取 AC 的中点 D，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A(0，1,0)，B1( 3，0,2 2)，C(0,1,0)， 所以AB1 ( 3，1,2 2)， CA (0，2,0) CA AB 1 2， CA 在AB 1 上的投影的长度为|CA AB 1 | |AB1
16、| 2 2 3 3 3 ， 所以点 C 到直线 AB1的距离 d|CA |2 3 3 2 41 3 11 3 33 3 . 16.如图，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 4，点 M，N，E，F 分别为 A1D1，A1B1，C1D1， B1C1的中点， (1)证明：平面 AMN平面 EFBD； (2)求平面 AMN 与平面 EFBD 间的距离 (1)证明 如图所示，建立空间直角坐标系， 则 A(4,0,0)，M(2,0,4)，D(0,0,0)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(2,4,4)，N(4,2,4) 从而EF (2,2,0)，MN (2,2,0)，AM (2,0,4)，BF (2,0,4)， 所以EF MN ，AM BF ，所以 EFMN，AMBF. 因为 EFBFF，MNAMM， 所以平面 AMN平面 EFBD， (2)解 设 n(x，y，z)是平面 AMN 的法向量， 从而 n MN 2x2y0， n AM 2x4z0， 解得 x2z， y2z， 取 z1，得 n(2，2,1)， 由于AB (0,4,0)， 所以AB 在 n 上的投影为n AB |n| 8 441 8 3， 所以两平行平面间的距离 d|n AB | |n| 8 3.
