1、湖南省邵阳市湖南省邵阳市 2020 年中考数学试题年中考数学试题 一、选择题（本大题有一、选择题（本大题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的） 1.2020 的倒数是（ ） A. 2020 B. 2020 C. 1 2020 D. 1 2020 【答案】C 【解析】 【分析】 根据倒数的定义解答. 【详解】2020的倒数是 1 2020 ， 故选：C. 【点睛】此题考查倒数的定义，熟记倒数的定义是解题的关键. 2.下列四个立体图形中，它们各自的三视图都相同的
2、是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形解答即可 【详解】A、球的三视图都是圆，故本选项正确； B、圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是带有圆心的圆，故本选项错误； C、圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，故本选项错误； D、三棱柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是三角形，故本选项错误 故选 A 【点睛】本题考查的是几何体的三视图，理解主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看 所得到的图形是解题的关键 3.2020 年 6月 23 日，中国第 55 颗北斗号航卫星成功发射，标志着拥有
3、全部知识产权的北斗导航系统全面建 成据统计：2019 年，我国北斗卫星导航与位置服务产业总体产值达 3450 亿元，较 2018年增长 14.4%其 中，3450亿元用科学记数法表示为（ ） A. 10 3.45 10元 B. 9 3.45 10元 C. 8 3.45 10元 D. 11 3.45 10元 【答案】D 【解析】 【分析】 根据科学计数法的表示形式为10na，其中110a，n 为整数，即可做出选择 【详解】解：根据科学计数法的表示形式为10na，其中110a，n 为整数，则 3450 亿 =345000000000=3.451011元 故选：D 【点睛】本题主要考查利用科学计数法
4、表示较大的数的方法，掌握科学计数法的表示方法是解答本题的关 键，这里还需要注意 n 的取值 4.设方程 2 320 xx的两根分别是1 2 ,x x，则 12 xx的值为（ ） A. 3 B. 3 2 C. 3 2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】 本题可利用韦达定理，求出该一元二次方程的二次项系数以及一次项系数的值，代入公式求解即可 【详解】由 2 320 xx可知，其二次项系数 1a ，一次项系数3b， 由韦达定理： 12 xx ( 3) 3 1 b a ， 故选：A 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，求解时可利用常规思路求解一元二次方程，也可以通过 韦达定理提升解题效率
5、 5.已知正比例函数(0)ykx k的图象过点 2,3，把正比例函数(0)ykx k的图象平移，使它过点 1, 1，则平移后的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先求出正比例函数解析式，再根据平移和经过点1, 1求出一次函数解析式，即可求解 【详解】解：把点2,3代入(0)ykx k得23k 解得 3 2 k =， 正比例函数解析式为 3 2 yx， 设正比例函数平移后函数解析式为 3 2 yxb， 把点1, 1代入 3 2 yxb得 3 =1 2 b， 5 = 2 b， 平移后函数解析式为 35 22 yx， 故函数图象大致 故选：D 【点睛】本题考
6、查了求正比例函数，一次函数解析式，一次函数图象与性质，根据正比例函数求出平移后 一次函数解析式是解题关键 6.下列计算正确的是（ ） A. 5 3 188 3 B. 3 223 26a ba b C. 222 ()abab D. 2 4 2 2 aab a aba 【答案】D 【解析】 【分析】 分别运用二次根式、整式的运算、分式的运算法则逐项排除即可 【详解】解：A. 5 3 183 25 3 ，故 A选项错误； B. 33 3 22363 228a baba b ，故 B 选项错误； C. 222 ()2abaabb，故 C 选项错误； D. 2 224 2 22 aaaabab a ab
7、aaba ，故 D选项正确 故答案为 D 【点睛】本题考查了二次根式、整式的运算、分式的运算，掌握相关运算法则是解答本题的关键 7.如图， 四边形ABCD是平行四边形， 点 E， B， D， F 在同一条直线上， 请添加一个条件使得 ABECDF， 下列不正确 的是（ ） A. AECF B. AEBCFD C. EABFCD D. BEDF 【答案】A 【解析】 【分析】 根据平行四边形的性质结合全等三角形的判定，逐项进行判断即可. 【详解】解：四边形 ABCD 是平行四边形， AB=CD，ABCD， ABD=BDC， ABE+ABD=BDC+CDF， ABE=CDF， A.若添加AECF，
8、则无法证明ABECDF ，故 A 错误； B.若添加AEBCFD ，运用 AAS可以证明ABE CDF，故选项 B正确； C.若添加EABFCD，运用 ASA 可以证明 ABECDF，故选项 C正确； D.若添加BEDF，运用 SAS 可以证明ABE CDF，故选项 D正确 故选：A 【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角 形解决问题，属于中考常考题型 8.已知 0,0abab ，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ） A. , a b B. , a b C. , ab D. , ab 【答案】B 【解析】 【分析】
9、 根据0,0abab，得出0,0ab，判断选项中的点所在的象限，即可得出答案 【详解】0,0abab 0,0ab 选项：, a b在第一象限 选项：, a b在第二象限 选项：, ab在第三象限 选项：, ab在第四象限 小手盖住的点位于第二象限 故选：B 【点睛】本题考查了点的象限的判断，熟练进行, a b正负的判断是解题的关键 9.如图所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分） ，小明想了解该图案的面积是多少，他采 取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方 形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域
10、外不计实验结果） ，他将 若干次有效实验的结果绘制成了所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ） A. 2 6m B. 2 7m C. 2 8m D. 2 9m 【答案】B 【解析】 【分析】 本题分两部分求解， 首先假设不规则图案面积为 x， 根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小； 继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解 【详解】假设不规则图案面积为 x， 由已知得：长方形面积为 20， 根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为： 20 x ， 当事件 A 实验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件 A发生的概率估计值，故由折线图可知， 小球落在不
11、规则图案的概率大约为 0.35， 综上有：0.35 20 x ，解得7x 故选：B 【点睛】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解 题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高 10.将一张矩形纸片ABCD按如图所示操作： （1）将DA沿DP向内折叠，使点 A 落在点 1 A处， （2）将DP沿 1 DA向内继续折叠，使点 P落在点 1 P处，折痕与边AB交于点 M 若 1 PMAB，则 1 DPM的大小是（ ） A. 135 B. 120 C. 112.5 D. 115 【答案】C 【解析】 【分析】 由折叠前后对应角
12、相等且 1 90PMA可先求出 1 45 DMPDMA，进一步求出 45ADM，再 由折叠可求出 1 22.5 MDPADPPDM，最后在 1 DPM中由三角形内角和定理即可求解 【详解】解：折叠，且 1 90PMA， 1 45 DMPDMA，即 45ADM， 折叠， 1 1 22.5 2 MDPADPPDMADM， 在 1 DPM中， 1 =1804522.5112.5DPM， 故选：C 【点睛】本题借助矩形的性质考查了折叠问题、三角形内角和定理等，记牢折叠问题的特点：折叠前后对 应边相等，对应角相等即可解题 二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 8 个小题，每小题个小题，每小题 3分，
13、共分，共 24 分）分） 11.因式分解： 2 218x =_ 【答案】2（x+3） （x3） 【解析】 试题分析：先提公因式 2 后，再利用平方差公式分解即可，即 2 218x =2（x2-9）=2（x+3） （x-3）. 考点：因式分解. 12.如图， 已知点 A 在反比例函数(0) k yk x 的图象上， 过点 A 作ABy轴于点 B，OAB的面积是 2 则 k 的值是_ 【答案】4 【解析】 【分析】 根据 OAB的面积等于 2 即可得到线段 OB 与线段 AB 的乘积，进而得到 A点横坐标与纵坐标的乘积，进 而求出 k值 【详解】解：设点 A的坐标为(, AA xy)，ABy， 由
14、题意可知： 11 =2 22 OABAA SOB AByx， 4 AA yx， 又点 A在反比例函数图像上， 故有4 AA kxy 故答案为：4 【点睛】本题考查了反比例函数系数 k的几何意义，三角形的面积公式等，熟练掌握反比例函数的图形和 性质是解决此类题的关键 13.据统计： 2019 年， 邵阳市在教育扶贫方面， 共资助学生 91.3 万人次， 全市没有一名学生因贫失学， 其中， 某校老师承担了对甲，乙两名学生每周“送教上门”的任务，以下是甲、乙两名学生某十周每周接受“送 教上门”的时间（单位：小时） ： 甲：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9； 乙：6，8，7，7，8，9，10，7
15、，9，9 从接受“送教上门”的时间波动大小来看，_学生每周接受送教的时间更稳定 （填“甲”或 “乙”） 【答案】甲 【解析】 【分析】 先算出甲、乙送教上门时间的平均数，进而求出方差，方差越小，则接受送教的时间更稳定 【详解】解：甲的“送教上门”时间的平均数为： 7889788979 =8 10 ， 乙的“送教上门”时间的平均数为： 687789 10799 =8 10 ， 甲的方差： 222 2 37848 83983 = 105 S 甲 ， 乙的方差： 22222 2 6837828 83981087 = 105 S 乙 ， 37 55 ， 所以甲的方差小，故甲学生每周接受送教的时间更稳定
16、 故答案为：甲 【点睛】本题主要考查方差，熟练掌握方差的意义：方差越小，数据的密集度越高，波动幅度越小是解题 的关键 14.如图，线段10cmAB，用尺规作图法按如下步骤作图 （1）过点 B作AB的垂线，并在垂线上取 1 2 BCAB； （2）连接AC，以点 C 为圆心，CB为半径画弧，交AC于点 E； （3）以点 A为圆心，AE为半径画弧，交AB于点 D即点 D为线段AB的黄金分割点 则线段AD的长度约为_cm（结果保留两位小数，参考数据： 21.414, 31.732, 52.236 ） 【答案】6.18 【解析】 【分析】 根据作图得ABC为直角三角形， 1 5cm 2 CEBCAB，A
17、E=AD, 根据勾股定理求出 AC，再求出 AE，即可求出 AD 【详解】解：由作图得ABC 为直角三角形， 1 5cm 2 CEBCAB，AE=AD, 2222 1055 5ACABBC cm， 5 55551AEACCEcm， 5516.18ADAEcm 故答案为：6.18 【点睛】本题考查了尺规作图，勾股定理等知识，根据作图步骤得到相关已知条件是解题关键 15.在如图方格中，若要使横、竖、斜对角的 3 个实数相乘都得到同样的结果，则 2 个空格的实数之积为 _ 3 2 2 3 1 6 3 2 【答案】6 2 【解析】 【分析】 先将表格中最上一行的 3 个数相乘得到6 6，然后中间一行的
18、三个数相乘以及最后一行的三个数相等都是 6 6，即可求解 【详解】解：由题意可知，第一行三个数的乘积为：3 2236 6 ， 设第二行中间数为 x，则166 6 x，解得6x ， 设第三行第一个数为 y，则326 6 y，解得2 3y ， 2个空格的实数之积为2 186 2xy 故答案为：6 2 【点睛】本题考查了二次根数的乘法运算法则，熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则是解决此类题的关 键 16.中国古代数学家杨辉的 田亩比数乘除减法 中记载： “直田积八百六十四步， 只云阔不及长一十二步， 问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为 864 平方步，它的宽比长少 12步，问它的
19、长 与宽各多少步？利用方程思想，设宽为 x 步，则依题意列方程为_ 【答案】x(x+12)=864 【解析】 【分析】 本题理清题意后，可利用矩形面积公式，根据假设未知数表示长与宽，按要求列方程即可 【详解】因为宽为 x，且宽比长少 12，所以长为 x+12， 故根据矩形面积公式列方程：x(x+12)=864， 故答案：x(x+12)=864 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，此类型题目去除复杂题目背景后，按照常规公式，假设未知 数，列方程求解即可 17.如图是山东舰航徽的构图，采用航母 45度破浪而出的角度，展现山东舰作为中国首艘国产舰母橫空出 世的气势，将舰徽中第一条波浪抽象成几何图
20、形，则是一条长为10的弧，若该弧所在的扇形是高为 12 的 圆锥侧面展开图（如图） ，则该圆锥的母线长AB为_ 【答案】13. 【解析】 【分析】 由扇形弧长求出底面半径，由勾股定理即可求出母线 AB的长 【详解】解：圆锥底面周长=侧面展开后扇形的弧长=10 OB= 10 5 2 ， RtAOB中，AB= 2222 12513AOBO ， 所以，该圆锥的母线长AB为 13. 故答案为：13 【点睛】本题考查圆锥弧长公式的应用，解题的关键是牢记有关的公式 18.如图，在Rt ABC中，90ACB，斜边2AB ，过点 C 作/CF AB，以AB为边作菱形ABEF， 若30F，则Rt ABC的面积为
21、_ 【答案】 1 2 【解析】 【分析】 如下图，先利用直角三角形中 30角的性质求出 HE的长度，然后利用平行线间的距离处处相等，可得 CG 的长度，即可求出直角三角形 ABC 面积 【详解】 如图，分别过点 E、C 作 EH、CG垂直 AB，垂足为点 H、G， 根据题意四边形 ABEF为菱形， AB=BE= 2， 又ABE=30 在 RTBHE中，EH= 2 2 ， 根据题意，ABCF， 根据平行线间的距离处处相等， HE=CG= 2 2 ， Rt ABC的面积为 121 2= 222 【点睛】本题的辅助线是解答本题的关键，通过辅助线，利用直角三角形中的 30角所对直角边是斜边一 半的性质
22、， 求出 HE， 再利用平行线间的距离处处相等这一知识点得到 HE=CG， 最终求出直角三角形面积 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 8 个小题，第个小题，第 1925 题每题题每题 8 分，第分，第 26 是是 10 分，共分，共 66分解答应写分解答应写 出必要的文字说明，演算步骤或证明过程）出必要的文字说明，演算步骤或证明过程） 19.计算： 1 2020 1 ( 1)| 13 | 2sin60 2 【答案】2 【解析】 【分析】 分别利用零指数幂、负指数幂的性质，绝对值的性质和特殊角的三角函数值分别化简即可 【详解】解：原式 3 12312 2 1 23 13 2 【点睛】此题
23、主要考查了根式运算，指数计算，绝对值，三角函数值等知识点，正确应用记住它们的化简 规则是解题关键 20.已知：|1|20mn， （1）求 m，n 的值； （2）先化简，再求值： 22 (3 )(2 )4m mnmnn 【答案】 （1）1,2mn ； （2） 2 2mmn，0 【解析】 【分析】 （1）分别根据绝对值的非负数、二次根式的非负数列出 m、n的方程，解之即可求出 m、n的值； （2）先利用整式的运算法则化简，再代入 m、n 值计算即可求解 【详解】 （1）根据非负数得：m-1=0 且 n+2=0， 解得：1,2mn ， （2）原式= 2222 3444mmnmmnnn = 2 2mm
24、n， 当1,2mn ，原式=2 1 1 ( 2)0 【点睛】本题考查了绝对值与二次根式的非负性、整式的化简求值，还涉及去括号法则、完全平方公式、 合并同类项法则等知识，熟练掌握非负数的性质以及运算法则是解答的关键 21.如图，在等腰ABC中，ABAC，点 D是BC上一点，以BD为直径的 O过点 A，连接AD， CADC （1）求证：AC是O的切线； （2）若4,2ACCD，求O的半径 【答案】 （1）证明见解析； （2）试题错误 【解析】 【分析】 （1）连接 OA，由圆的性质可得 OA=OB，即OBA=OAB；再由 AB=AC，即OBA=C，再结合 CADC，可得OAB=CAD,然后由BAD
25、=90说明OAC=90 即可完成证明； （2）试题错误 【详解】 （1）证明：如图：连接 OA OA=OB OBA=OAB AB=AC OBA=C OAB=C CADC OAB=CAD BD是直径 BAD=90 OAC=BAD-OAB+CAD=90 AC是O的切线； （2）试题错误 【点睛】本题考查了圆的切线的判定，证得OAC=90 是解答本题的关键 22.2019年 12 月 23日，湖南省政府批准，全国“十三五”规划重大水利工程一邵阳资水犬木塘水库，将于 2020年开工建设施工测绘中，饮水干渠需经过一座险峻的石山，如图所示，,AB BC表示需铺设的干渠引 水管道，经测量，A，B，C所处位置
26、的海拔 111 ,AA BB CC分别为62m，100m，200m若管道AB与水 平线 2 AA的夹角为 30， 管道BC与水平线 2 BB夹角为 45， 求管道AB和BC的总长度 （结果保留根号） 【答案】(76 100 2)m 【解析】 【分析】 先根据题意得到 BO，CB2长，在 RtABO中，由三角函数可得 AB 的长度，在 RtBCB2中，由三角函 数可得 BC的长度，再相加即可得到答案 【详解】解：根据题意知，四边形 11 AABO和四边形 112 BBC B均为矩形， 11 62mOBAA， 211 100mB CBB， 11 1006238mBOBBOB， 2121 200 1
27、00100mCBCCB C， 在Rt AOB 中，90AOB，30BAO，38mBO， 22 3876mABBO ； 在 2 Rt CBB中， 2 90CB B， 2 54CBB， 2 100mCB ， 2 2CB100 2mBC， (76 100 2)mABBC， 即管道 AB和 BC 的总长度为：(76 100 2)m 【点睛】考查了解直角三角形的应用，关键是根据三角函数得到 AB和 BC的长度 23.“新冠病毒”疫情防控期间，我市积极开展“停课不停学”网络教学活动，了了解和指导学生有效进 行网络学习，某校对学生每天在家网络学习时间进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示） ，并用调查结 果
28、绘制了图，图两幅统计图（均不完整） ，请根据统计图解答以下问题： XX 学校“停课不停学”网络学习时间 调查表 亲爱的同学，你好！ 为了了解和更好地指导你进行“停课不停学”网络学习，请在表格中选择一项符合你学习时间的选项，在 其后的空格内打“” 平均每天利用网络学习时间问卷调查表 选项 学习时间（小时） A 01t B 13t C 35t D 5t （1）本次接受问卷调查的学生共有_人； （2）请补全图中的条形统计图； （3）图中，D选项所对应的扇形圆心角为_度； （4）若该校共有 1500名学生，请你估计该校学生“停课不停学”期间平均每天利用网络学习时间在 C选 项的有多少人？ 【答案】 （
29、1）100 （2）见详解 （3）18 o （4）600 【解析】 【分析】 根据扇形图和条形图 A 选项的联系可以算出来总人数，进而求出 B选项的人数，D选项圆心角和 1500人中 C选项的人数 【详解】 （1）1515%=100（人） （2）如图选 B 的人数：100-40-15-5=40（人） （3）360 o 5 100 =18 o （4）1500 40 100 =600（人） 【点睛】本题主要考察了，条形统计图，扇形统计图等知识点，准确的找出它们的联系是解题关键 24.2020年 5月，全国“两会”召开以后，应势复苏的“地摊经济”带来了市场新活力，小丹准备购进 A、B 两种类型的便携式
30、风扇到地摊一条街出售已知 2台 A 型风扇和 5台 B 型风扇进价共 100元，3台 A 型风扇 和 2台 B 型风扇进价共 62元 （1）求 A 型风扇、B 型风扇进货的单价各是多少元？ （2）小丹准备购进这两种风扇共 100 台，根据市场调查发现，A型风扇销售情况比 B 型风扇好，小丹准备 多购进 A 型风扇，但数量不超过 B 型风扇数量的 3倍，购进 A、B两种风扇的总金额不超过 1170 元根据 以上信息，小丹共有哪些进货方案？ 【答案】 （1）A 型风扇、B型风扇进货的单价各是 10元和 16元； （2）丹 4种进货方案分别是：进 A型风 扇 72 台，B型风扇 28 台；进 A型风
31、扇 73 台，B型风扇 27台；进 A 型风扇 74 台，B型风扇 26 台； 进 A 型风扇 75台，B型风扇 24 台 【解析】 【分析】 （1）设 A 型风扇、B型风扇进货的单价各是 x 元和 y元，再根据“2 台 A型风扇和 5台 B型风扇进价共 100 元”和“ 3台 A 型风扇和 2台 B 型风扇进价共 62 元”两个等量关系列二元一次方程组解答即可； （2）设购进 A型风扇 a 台、则 B 型风扇购进（100-a）台，再根据 “购进 A、B 两种风扇的总金额不超过 1170 元”和“A 型风扇不超过 B 型风扇数量的 3倍”两个不等关系列不等式组求出 a的整数解的个数即可 【详解
32、】解： （1）设 A 型风扇、B型风扇进货的单价各是 x元和 y元 由题意得： 25100 3262 xy xy ，解得 10 16 x y 答：A 型风扇、B 型风扇进货的单价各是 10元和 16元； （2）设购进 A 型风扇 a台、则 B型风扇购进（100-a）台 有题意得 3 100 1016 1001170 aa aa ，解得： 2 7175 3 a a可以取 72、73、74、75 小丹 4种进货方案分别是：进 A型风扇 72 台，B型风扇 28 台；进 A型风扇 73台，B 型风扇 27 台； 进 A型风扇 74 台，B型风扇 26台；进 A型风扇 75 台，B 型风扇 24台 【
33、点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，根据题意确定等量关系和不等关系是解 答本题的关键 25.已知： 如图， 将一块 45 角的直角三角板DEF与正方形ABCD的一角重合， 连接 ,AF CE， 点 M是CE 的中点，连接DM （1）请你猜想AF与DM的数量关系是_ （2）如图，把正方形ABCD绕着点 D顺时针旋转角（090a） AF与DM的数量关系是否仍成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （温馨提示：延长DM到 点 N，使MNDM，连接CN） 求证：AFDM； 若旋转角45，且2EDMMDC ，求 AD ED 的值 （可不写过程，直接写出结果） 【答案】 （1）A
34、F=2DM（2）成立，理由见解析见解析 62 2 【解析】 【分析】 （1）根据题意合理猜想即可； （2）延长DM到点 N，使MNDM，连接CN，先证明 MNC MDE，再证明 ADF DCN， 得到 AF=DN，故可得到 AF=2DM； 根据全等三角形的性质和直角的换算即可求解； 依题意可得AFD=EDM=30 ，可设 AG=k,得到 DG,AD,FG,ED 的长，故可求解 【详解】 （1）猜想AF与DM的数量关系是 AF=2DM， 故答案为：AF=2DM； （2）AF=2DM仍然成立， 理由如下：延长DM到点 N，使MNDM，连接CN， M是 CE中点， CM=EM 又CMN=EMD， M
35、NC MDE CN=DE=DF,MNC=MDE CNDE， 又 ADBC NCB=EDA ADF DCN AF=DN AF=2DM ADF DCN NDC=FAD， CDA=90 ， NDC+NDA=90 FAD+NDA=90 AFDM 45， EDC=90 -45 =45 2EDMMDC ， EDM= 2 3 EDC=30 ， AFD=30 过 A 点作 AGFD 的延长线于 G点，ADG=90 -45 =45 ADG 是等腰直角三角形， 设 AG=k,则 DG=k，AD=AGsin45 = 2k， FG=AG tan30 = 3k， FD=ED= 3k-k 故 AD ED = 262 23
36、 k kk 【点睛】此题主要考查四边形综合，解题的关键是熟知正方形的性质、旋转的特点、全等三角形的判定与 性质及三角函数的运用 26.如图， 在平面直角坐标系中， 矩形ABCD的边BC与 x轴、 y轴的交点分别为8,0 ,0,6 , 5CBCD ， 抛物线 2 15 (0) 4 yaxxc a过 B，C两点，动点 M从点 D开始以每秒 5个单位长度的速度沿 DABC的方向运动到达 C 点后停止运动 动点 N从点 O以每秒 4 个单位长度的速度沿OC方向 运动，到达 C点后，立即返回，向CO方向运动，到达 O点后，又立即返回，依此在线段OC上反复运动， 当点 M 停止运动时，点 N也停止运动，设
37、运动时间为t （1）求抛物线的解析式； （2）求点 D的坐标； （3）当点 M，N同时开始运动时，若以点 M，D，C为顶点的三角形与以点 B，O，N 为顶点的三角形相似， 求 t的值； （4）过点 D与 x 轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点 Q，将线段BA沿过点 B的直线翻折，点 A的对称 点为 A ，求AQQNDN 的最小值 【答案】 （1） 2 315 6 84 yxx； （2）(11,4)D； （3） 6 2 t 或 23 5 t ； （4） 295 【解析】 【分析】 （1）将8,0 ,0,6CB代入 2 15 4 yaxxc计算即可； （2）作DEx于点 E，证明BOCCED，可得
38、 CE，DE长度，进而得到点 D 的坐标； （3） 分为点在AD， BC上两种情况讨论， 当点M在AD上时， 分为BONCDM和BONMDC 两种情况讨论；当点 M在 BC 上时，分为BONMCD和BONDCM两种情况讨论； （4） 作点 D 关于 x 轴的对称 F， 连接 QF， 可得QNDN的最小值； 连接 BQ减去 BA 可得A Q 的最小值， 综上可得AQQNDN 的最小值 【详解】 （1）将8,0 ,0,6CB代入 2 15 4 yaxxc得 15 6480 4 6 ac c ，解得 3 8 6 a c 抛物线的解析式为： 2 315 6 84 yxx （2）作DEx于点 E 8,0
39、 ,0,6CB 8,6OCOB 10BC BOCBCDDEC BOCCED BCBOOC CDCEDE 3,4CEDE 11OEOCCE (11,4)D （3）若点 M在 DA上运动时，5 ,4DMt ONt 当BONCDM，则 BOON CDDM ，即 64 55 t t 不成立，舍去 当BONMDC，则 BOON MDDC ，即 64 55 t t ，解得： 6 2 t 若点 M 在 BC上运动时，25 5CMt 当BONMCD，则 BOON MCCD ，即 6 2555 ON t 6 5 ON t 当34t 时，16 4ONt 6 164 5 t t ，解得 97 2 t （舍去） 当4
40、5t 时，416ONt 6 416 5 t t ，无解； 当BONDCM，则 BOON DCCM ，即 6 5255 ON t 30 6ONt 当34t 时，16 4ONt 30 616 4tt，解得7t （舍去） 当45t 时，416ONt 30 6416tt，解得 23 5 t 综上所示：当 6 2 t 时，BONMDC； 23 5 t 时BONDCM （4）作点 D关于 x轴的对称点 F，连接 QF交 x 轴于点 N 点 D(11,4)， 点(11, 4)F 由 2 315 6 84 yxx得对称轴为5x 点(5,4)Q 22 (5 11)(44)10QF 22 (05)(64)29BQ 295 10295A QQNDNBQBAQF 故AQQNDN 最小值为295 【点睛】本题考查了二次函数与几何图形综合，涉及相似三角形的性质与判定，最短路径问题的计算， 熟知以上知识的应用是解题的关键
