湖南省邵阳市2020年中考数学试题(解析版)

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资源描述

1、湖南省邵阳市湖南省邵阳市 2020 年中考数学试题年中考数学试题 一、选择题(本大题有一、选择题(本大题有 10 个小题,每小题个小题,每小题 3 分,共分,共 30分,在每小题给出的四个选项中,只有分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的)一项是符合题目要求的) 1.2020 的倒数是( ) A. 2020 B. 2020 C. 1 2020 D. 1 2020 【答案】C 【解析】 【分析】 根据倒数的定义解答. 【详解】2020的倒数是 1 2020 , 故选:C. 【点睛】此题考查倒数的定义,熟记倒数的定义是解题的关键. 2.下列四个立体图形中,它们各自的三视图都相同的

2、是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看,所得到的图形解答即可 【详解】A、球的三视图都是圆,故本选项正确; B、圆锥的主视图和左视图是三角形,俯视图是带有圆心的圆,故本选项错误; C、圆柱的主视图和左视图是矩形,俯视图是圆,故本选项错误; D、三棱柱的主视图和左视图是矩形,俯视图是三角形,故本选项错误 故选 A 【点睛】本题考查的是几何体的三视图,理解主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看 所得到的图形是解题的关键 3.2020 年 6月 23 日,中国第 55 颗北斗号航卫星成功发射,标志着拥有

3、全部知识产权的北斗导航系统全面建 成据统计:2019 年,我国北斗卫星导航与位置服务产业总体产值达 3450 亿元,较 2018年增长 14.4%其 中,3450亿元用科学记数法表示为( ) A. 10 3.45 10元 B. 9 3.45 10元 C. 8 3.45 10元 D. 11 3.45 10元 【答案】D 【解析】 【分析】 根据科学计数法的表示形式为10na,其中110a,n 为整数,即可做出选择 【详解】解:根据科学计数法的表示形式为10na,其中110a,n 为整数,则 3450 亿 =345000000000=3.451011元 故选:D 【点睛】本题主要考查利用科学计数法

4、表示较大的数的方法,掌握科学计数法的表示方法是解答本题的关 键,这里还需要注意 n 的取值 4.设方程 2 320 xx的两根分别是1 2 ,x x,则 12 xx的值为( ) A. 3 B. 3 2 C. 3 2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】 本题可利用韦达定理,求出该一元二次方程的二次项系数以及一次项系数的值,代入公式求解即可 【详解】由 2 320 xx可知,其二次项系数 1a ,一次项系数3b, 由韦达定理: 12 xx ( 3) 3 1 b a , 故选:A 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系,求解时可利用常规思路求解一元二次方程,也可以通过 韦达定理提升解题效率

5、 5.已知正比例函数(0)ykx k的图象过点 2,3,把正比例函数(0)ykx k的图象平移,使它过点 1, 1,则平移后的函数图象大致是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先求出正比例函数解析式,再根据平移和经过点1, 1求出一次函数解析式,即可求解 【详解】解:把点2,3代入(0)ykx k得23k 解得 3 2 k =, 正比例函数解析式为 3 2 yx, 设正比例函数平移后函数解析式为 3 2 yxb, 把点1, 1代入 3 2 yxb得 3 =1 2 b, 5 = 2 b, 平移后函数解析式为 35 22 yx, 故函数图象大致 故选:D 【点睛】本题考

6、查了求正比例函数,一次函数解析式,一次函数图象与性质,根据正比例函数求出平移后 一次函数解析式是解题关键 6.下列计算正确的是( ) A. 5 3 188 3 B. 3 223 26a ba b C. 222 ()abab D. 2 4 2 2 aab a aba 【答案】D 【解析】 【分析】 分别运用二次根式、整式的运算、分式的运算法则逐项排除即可 【详解】解:A. 5 3 183 25 3 ,故 A选项错误; B. 33 3 22363 228a baba b ,故 B 选项错误; C. 222 ()2abaabb,故 C 选项错误; D. 2 224 2 22 aaaabab a ab

7、aaba ,故 D选项正确 故答案为 D 【点睛】本题考查了二次根式、整式的运算、分式的运算,掌握相关运算法则是解答本题的关键 7.如图, 四边形ABCD是平行四边形, 点 E, B, D, F 在同一条直线上, 请添加一个条件使得 ABECDF, 下列不正确 的是( ) A. AECF B. AEBCFD C. EABFCD D. BEDF 【答案】A 【解析】 【分析】 根据平行四边形的性质结合全等三角形的判定,逐项进行判断即可. 【详解】解:四边形 ABCD 是平行四边形, AB=CD,ABCD, ABD=BDC, ABE+ABD=BDC+CDF, ABE=CDF, A.若添加AECF,

8、则无法证明ABECDF ,故 A 错误; B.若添加AEBCFD ,运用 AAS可以证明ABE CDF,故选项 B正确; C.若添加EABFCD,运用 ASA 可以证明 ABECDF,故选项 C正确; D.若添加BEDF,运用 SAS 可以证明ABE CDF,故选项 D正确 故选:A 【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是准确寻找全等三角 形解决问题,属于中考常考题型 8.已知 0,0abab ,则在如图所示的平面直角坐标系中,小手盖住的点的坐标可能是( ) A. , a b B. , a b C. , ab D. , ab 【答案】B 【解析】 【分析】

9、 根据0,0abab,得出0,0ab,判断选项中的点所在的象限,即可得出答案 【详解】0,0abab 0,0ab 选项:, a b在第一象限 选项:, a b在第二象限 选项:, ab在第三象限 选项:, ab在第四象限 小手盖住的点位于第二象限 故选:B 【点睛】本题考查了点的象限的判断,熟练进行, a b正负的判断是解题的关键 9.如图所示,平整的地面上有一个不规则图案(图中阴影部分) ,小明想了解该图案的面积是多少,他采 取了以下办法:用一个长为5m,宽为4m的长方形,将不规则图案围起来,然后在适当位置随机地朝长方 形区域扔小球,并记录小球落在不规则图案上的次数(球扔在界线上或长方形区域

10、外不计实验结果) ,他将 若干次有效实验的结果绘制成了所示的折线统计图,由此他估计不规则图案的面积大约为( ) A. 2 6m B. 2 7m C. 2 8m D. 2 9m 【答案】B 【解析】 【分析】 本题分两部分求解, 首先假设不规则图案面积为 x, 根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小; 继而根据折线图用频率估计概率,综合以上列方程求解 【详解】假设不规则图案面积为 x, 由已知得:长方形面积为 20, 根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为: 20 x , 当事件 A 实验次数足够多,即样本足够大时,其频率可作为事件 A发生的概率估计值,故由折线图可知, 小球落在不

11、规则图案的概率大约为 0.35, 综上有:0.35 20 x ,解得7x 故选:B 【点睛】本题考查几何概率以及用频率估计概率,并在此基础上进行了题目创新,解题关键在于清晰理解 题意,能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简,创新题目对基础知识要求极高 10.将一张矩形纸片ABCD按如图所示操作: (1)将DA沿DP向内折叠,使点 A 落在点 1 A处, (2)将DP沿 1 DA向内继续折叠,使点 P落在点 1 P处,折痕与边AB交于点 M 若 1 PMAB,则 1 DPM的大小是( ) A. 135 B. 120 C. 112.5 D. 115 【答案】C 【解析】 【分析】 由折叠前后对应角

12、相等且 1 90PMA可先求出 1 45 DMPDMA,进一步求出 45ADM,再 由折叠可求出 1 22.5 MDPADPPDM,最后在 1 DPM中由三角形内角和定理即可求解 【详解】解:折叠,且 1 90PMA, 1 45 DMPDMA,即 45ADM, 折叠, 1 1 22.5 2 MDPADPPDMADM, 在 1 DPM中, 1 =1804522.5112.5DPM, 故选:C 【点睛】本题借助矩形的性质考查了折叠问题、三角形内角和定理等,记牢折叠问题的特点:折叠前后对 应边相等,对应角相等即可解题 二、填空题(本大题有二、填空题(本大题有 8 个小题,每小题个小题,每小题 3分,

13、共分,共 24 分)分) 11.因式分解: 2 218x =_ 【答案】2(x+3) (x3) 【解析】 试题分析:先提公因式 2 后,再利用平方差公式分解即可,即 2 218x =2(x2-9)=2(x+3) (x-3). 考点:因式分解. 12.如图, 已知点 A 在反比例函数(0) k yk x 的图象上, 过点 A 作ABy轴于点 B,OAB的面积是 2 则 k 的值是_ 【答案】4 【解析】 【分析】 根据 OAB的面积等于 2 即可得到线段 OB 与线段 AB 的乘积,进而得到 A点横坐标与纵坐标的乘积,进 而求出 k值 【详解】解:设点 A的坐标为(, AA xy),ABy, 由

14、题意可知: 11 =2 22 OABAA SOB AByx, 4 AA yx, 又点 A在反比例函数图像上, 故有4 AA kxy 故答案为:4 【点睛】本题考查了反比例函数系数 k的几何意义,三角形的面积公式等,熟练掌握反比例函数的图形和 性质是解决此类题的关键 13.据统计: 2019 年, 邵阳市在教育扶贫方面, 共资助学生 91.3 万人次, 全市没有一名学生因贫失学, 其中, 某校老师承担了对甲,乙两名学生每周“送教上门”的任务,以下是甲、乙两名学生某十周每周接受“送 教上门”的时间(单位:小时) : 甲:7,8,8,9,7,8,8,9,7,9; 乙:6,8,7,7,8,9,10,7

15、,9,9 从接受“送教上门”的时间波动大小来看,_学生每周接受送教的时间更稳定 (填“甲”或 “乙”) 【答案】甲 【解析】 【分析】 先算出甲、乙送教上门时间的平均数,进而求出方差,方差越小,则接受送教的时间更稳定 【详解】解:甲的“送教上门”时间的平均数为: 7889788979 =8 10 , 乙的“送教上门”时间的平均数为: 687789 10799 =8 10 , 甲的方差: 222 2 37848 83983 = 105 S 甲 , 乙的方差: 22222 2 6837828 83981087 = 105 S 乙 , 37 55 , 所以甲的方差小,故甲学生每周接受送教的时间更稳定

16、 故答案为:甲 【点睛】本题主要考查方差,熟练掌握方差的意义:方差越小,数据的密集度越高,波动幅度越小是解题 的关键 14.如图,线段10cmAB,用尺规作图法按如下步骤作图 (1)过点 B作AB的垂线,并在垂线上取 1 2 BCAB; (2)连接AC,以点 C 为圆心,CB为半径画弧,交AC于点 E; (3)以点 A为圆心,AE为半径画弧,交AB于点 D即点 D为线段AB的黄金分割点 则线段AD的长度约为_cm(结果保留两位小数,参考数据: 21.414, 31.732, 52.236 ) 【答案】6.18 【解析】 【分析】 根据作图得ABC为直角三角形, 1 5cm 2 CEBCAB,A

17、E=AD, 根据勾股定理求出 AC,再求出 AE,即可求出 AD 【详解】解:由作图得ABC 为直角三角形, 1 5cm 2 CEBCAB,AE=AD, 2222 1055 5ACABBC cm, 5 55551AEACCEcm, 5516.18ADAEcm 故答案为:6.18 【点睛】本题考查了尺规作图,勾股定理等知识,根据作图步骤得到相关已知条件是解题关键 15.在如图方格中,若要使横、竖、斜对角的 3 个实数相乘都得到同样的结果,则 2 个空格的实数之积为 _ 3 2 2 3 1 6 3 2 【答案】6 2 【解析】 【分析】 先将表格中最上一行的 3 个数相乘得到6 6,然后中间一行的

18、三个数相乘以及最后一行的三个数相等都是 6 6,即可求解 【详解】解:由题意可知,第一行三个数的乘积为:3 2236 6 , 设第二行中间数为 x,则166 6 x,解得6x , 设第三行第一个数为 y,则326 6 y,解得2 3y , 2个空格的实数之积为2 186 2xy 故答案为:6 2 【点睛】本题考查了二次根数的乘法运算法则,熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则是解决此类题的关 键 16.中国古代数学家杨辉的 田亩比数乘除减法 中记载: “直田积八百六十四步, 只云阔不及长一十二步, 问阔及长各几步?翻译成数学问题是:一块矩形田地的面积为 864 平方步,它的宽比长少 12步,问它的

19、长 与宽各多少步?利用方程思想,设宽为 x 步,则依题意列方程为_ 【答案】x(x+12)=864 【解析】 【分析】 本题理清题意后,可利用矩形面积公式,根据假设未知数表示长与宽,按要求列方程即可 【详解】因为宽为 x,且宽比长少 12,所以长为 x+12, 故根据矩形面积公式列方程:x(x+12)=864, 故答案:x(x+12)=864 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用,此类型题目去除复杂题目背景后,按照常规公式,假设未知 数,列方程求解即可 17.如图是山东舰航徽的构图,采用航母 45度破浪而出的角度,展现山东舰作为中国首艘国产舰母橫空出 世的气势,将舰徽中第一条波浪抽象成几何图

20、形,则是一条长为10的弧,若该弧所在的扇形是高为 12 的 圆锥侧面展开图(如图) ,则该圆锥的母线长AB为_ 【答案】13. 【解析】 【分析】 由扇形弧长求出底面半径,由勾股定理即可求出母线 AB的长 【详解】解:圆锥底面周长=侧面展开后扇形的弧长=10 OB= 10 5 2 , RtAOB中,AB= 2222 12513AOBO , 所以,该圆锥的母线长AB为 13. 故答案为:13 【点睛】本题考查圆锥弧长公式的应用,解题的关键是牢记有关的公式 18.如图,在Rt ABC中,90ACB,斜边2AB ,过点 C 作/CF AB,以AB为边作菱形ABEF, 若30F,则Rt ABC的面积为

21、_ 【答案】 1 2 【解析】 【分析】 如下图,先利用直角三角形中 30角的性质求出 HE的长度,然后利用平行线间的距离处处相等,可得 CG 的长度,即可求出直角三角形 ABC 面积 【详解】 如图,分别过点 E、C 作 EH、CG垂直 AB,垂足为点 H、G, 根据题意四边形 ABEF为菱形, AB=BE= 2, 又ABE=30 在 RTBHE中,EH= 2 2 , 根据题意,ABCF, 根据平行线间的距离处处相等, HE=CG= 2 2 , Rt ABC的面积为 121 2= 222 【点睛】本题的辅助线是解答本题的关键,通过辅助线,利用直角三角形中的 30角所对直角边是斜边一 半的性质

22、, 求出 HE, 再利用平行线间的距离处处相等这一知识点得到 HE=CG, 最终求出直角三角形面积 三、解答题(本大题有三、解答题(本大题有 8 个小题,第个小题,第 1925 题每题题每题 8 分,第分,第 26 是是 10 分,共分,共 66分解答应写分解答应写 出必要的文字说明,演算步骤或证明过程)出必要的文字说明,演算步骤或证明过程) 19.计算: 1 2020 1 ( 1)| 13 | 2sin60 2 【答案】2 【解析】 【分析】 分别利用零指数幂、负指数幂的性质,绝对值的性质和特殊角的三角函数值分别化简即可 【详解】解:原式 3 12312 2 1 23 13 2 【点睛】此题

23、主要考查了根式运算,指数计算,绝对值,三角函数值等知识点,正确应用记住它们的化简 规则是解题关键 20.已知:|1|20mn, (1)求 m,n 的值; (2)先化简,再求值: 22 (3 )(2 )4m mnmnn 【答案】 (1)1,2mn ; (2) 2 2mmn,0 【解析】 【分析】 (1)分别根据绝对值的非负数、二次根式的非负数列出 m、n的方程,解之即可求出 m、n的值; (2)先利用整式的运算法则化简,再代入 m、n 值计算即可求解 【详解】 (1)根据非负数得:m-1=0 且 n+2=0, 解得:1,2mn , (2)原式= 2222 3444mmnmmnnn = 2 2mm

24、n, 当1,2mn ,原式=2 1 1 ( 2)0 【点睛】本题考查了绝对值与二次根式的非负性、整式的化简求值,还涉及去括号法则、完全平方公式、 合并同类项法则等知识,熟练掌握非负数的性质以及运算法则是解答的关键 21.如图,在等腰ABC中,ABAC,点 D是BC上一点,以BD为直径的 O过点 A,连接AD, CADC (1)求证:AC是O的切线; (2)若4,2ACCD,求O的半径 【答案】 (1)证明见解析; (2)试题错误 【解析】 【分析】 (1)连接 OA,由圆的性质可得 OA=OB,即OBA=OAB;再由 AB=AC,即OBA=C,再结合 CADC,可得OAB=CAD,然后由BAD

25、=90说明OAC=90 即可完成证明; (2)试题错误 【详解】 (1)证明:如图:连接 OA OA=OB OBA=OAB AB=AC OBA=C OAB=C CADC OAB=CAD BD是直径 BAD=90 OAC=BAD-OAB+CAD=90 AC是O的切线; (2)试题错误 【点睛】本题考查了圆的切线的判定,证得OAC=90 是解答本题的关键 22.2019年 12 月 23日,湖南省政府批准,全国“十三五”规划重大水利工程一邵阳资水犬木塘水库,将于 2020年开工建设施工测绘中,饮水干渠需经过一座险峻的石山,如图所示,,AB BC表示需铺设的干渠引 水管道,经测量,A,B,C所处位置

26、的海拔 111 ,AA BB CC分别为62m,100m,200m若管道AB与水 平线 2 AA的夹角为 30, 管道BC与水平线 2 BB夹角为 45, 求管道AB和BC的总长度 (结果保留根号) 【答案】(76 100 2)m 【解析】 【分析】 先根据题意得到 BO,CB2长,在 RtABO中,由三角函数可得 AB 的长度,在 RtBCB2中,由三角函 数可得 BC的长度,再相加即可得到答案 【详解】解:根据题意知,四边形 11 AABO和四边形 112 BBC B均为矩形, 11 62mOBAA, 211 100mB CBB, 11 1006238mBOBBOB, 2121 200 1

27、00100mCBCCB C, 在Rt AOB 中,90AOB,30BAO,38mBO, 22 3876mABBO ; 在 2 Rt CBB中, 2 90CB B, 2 54CBB, 2 100mCB , 2 2CB100 2mBC, (76 100 2)mABBC, 即管道 AB和 BC 的总长度为:(76 100 2)m 【点睛】考查了解直角三角形的应用,关键是根据三角函数得到 AB和 BC的长度 23.“新冠病毒”疫情防控期间,我市积极开展“停课不停学”网络教学活动,了了解和指导学生有效进 行网络学习,某校对学生每天在家网络学习时间进行了随机问卷调查(问卷调查表如图所示) ,并用调查结 果

28、绘制了图,图两幅统计图(均不完整) ,请根据统计图解答以下问题: XX 学校“停课不停学”网络学习时间 调查表 亲爱的同学,你好! 为了了解和更好地指导你进行“停课不停学”网络学习,请在表格中选择一项符合你学习时间的选项,在 其后的空格内打“” 平均每天利用网络学习时间问卷调查表 选项 学习时间(小时) A 01t B 13t C 35t D 5t (1)本次接受问卷调查的学生共有_人; (2)请补全图中的条形统计图; (3)图中,D选项所对应的扇形圆心角为_度; (4)若该校共有 1500名学生,请你估计该校学生“停课不停学”期间平均每天利用网络学习时间在 C选 项的有多少人? 【答案】 (

29、1)100 (2)见详解 (3)18 o (4)600 【解析】 【分析】 根据扇形图和条形图 A 选项的联系可以算出来总人数,进而求出 B选项的人数,D选项圆心角和 1500人中 C选项的人数 【详解】 (1)1515%=100(人) (2)如图选 B 的人数:100-40-15-5=40(人) (3)360 o 5 100 =18 o (4)1500 40 100 =600(人) 【点睛】本题主要考察了,条形统计图,扇形统计图等知识点,准确的找出它们的联系是解题关键 24.2020年 5月,全国“两会”召开以后,应势复苏的“地摊经济”带来了市场新活力,小丹准备购进 A、B 两种类型的便携式

30、风扇到地摊一条街出售已知 2台 A 型风扇和 5台 B 型风扇进价共 100元,3台 A 型风扇 和 2台 B 型风扇进价共 62元 (1)求 A 型风扇、B 型风扇进货的单价各是多少元? (2)小丹准备购进这两种风扇共 100 台,根据市场调查发现,A型风扇销售情况比 B 型风扇好,小丹准备 多购进 A 型风扇,但数量不超过 B 型风扇数量的 3倍,购进 A、B两种风扇的总金额不超过 1170 元根据 以上信息,小丹共有哪些进货方案? 【答案】 (1)A 型风扇、B型风扇进货的单价各是 10元和 16元; (2)丹 4种进货方案分别是:进 A型风 扇 72 台,B型风扇 28 台;进 A型风

31、扇 73 台,B型风扇 27台;进 A 型风扇 74 台,B型风扇 26 台; 进 A 型风扇 75台,B型风扇 24 台 【解析】 【分析】 (1)设 A 型风扇、B型风扇进货的单价各是 x 元和 y元,再根据“2 台 A型风扇和 5台 B型风扇进价共 100 元”和“ 3台 A 型风扇和 2台 B 型风扇进价共 62 元”两个等量关系列二元一次方程组解答即可; (2)设购进 A型风扇 a 台、则 B 型风扇购进(100-a)台,再根据 “购进 A、B 两种风扇的总金额不超过 1170 元”和“A 型风扇不超过 B 型风扇数量的 3倍”两个不等关系列不等式组求出 a的整数解的个数即可 【详解

32、】解: (1)设 A 型风扇、B型风扇进货的单价各是 x元和 y元 由题意得: 25100 3262 xy xy ,解得 10 16 x y 答:A 型风扇、B 型风扇进货的单价各是 10元和 16元; (2)设购进 A 型风扇 a台、则 B型风扇购进(100-a)台 有题意得 3 100 1016 1001170 aa aa ,解得: 2 7175 3 a a可以取 72、73、74、75 小丹 4种进货方案分别是:进 A型风扇 72 台,B型风扇 28 台;进 A型风扇 73台,B 型风扇 27 台; 进 A型风扇 74 台,B型风扇 26台;进 A型风扇 75 台,B 型风扇 24台 【

33、点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用,根据题意确定等量关系和不等关系是解 答本题的关键 25.已知: 如图, 将一块 45 角的直角三角板DEF与正方形ABCD的一角重合, 连接 ,AF CE, 点 M是CE 的中点,连接DM (1)请你猜想AF与DM的数量关系是_ (2)如图,把正方形ABCD绕着点 D顺时针旋转角(090a) AF与DM的数量关系是否仍成立,若成立,请证明;若不成立,请说明理由; (温馨提示:延长DM到 点 N,使MNDM,连接CN) 求证:AFDM; 若旋转角45,且2EDMMDC ,求 AD ED 的值 (可不写过程,直接写出结果) 【答案】 (1)A

34、F=2DM(2)成立,理由见解析见解析 62 2 【解析】 【分析】 (1)根据题意合理猜想即可; (2)延长DM到点 N,使MNDM,连接CN,先证明 MNC MDE,再证明 ADF DCN, 得到 AF=DN,故可得到 AF=2DM; 根据全等三角形的性质和直角的换算即可求解; 依题意可得AFD=EDM=30 ,可设 AG=k,得到 DG,AD,FG,ED 的长,故可求解 【详解】 (1)猜想AF与DM的数量关系是 AF=2DM, 故答案为:AF=2DM; (2)AF=2DM仍然成立, 理由如下:延长DM到点 N,使MNDM,连接CN, M是 CE中点, CM=EM 又CMN=EMD, M

35、NC MDE CN=DE=DF,MNC=MDE CNDE, 又 ADBC NCB=EDA ADF DCN AF=DN AF=2DM ADF DCN NDC=FAD, CDA=90 , NDC+NDA=90 FAD+NDA=90 AFDM 45, EDC=90 -45 =45 2EDMMDC , EDM= 2 3 EDC=30 , AFD=30 过 A 点作 AGFD 的延长线于 G点,ADG=90 -45 =45 ADG 是等腰直角三角形, 设 AG=k,则 DG=k,AD=AGsin45 = 2k, FG=AG tan30 = 3k, FD=ED= 3k-k 故 AD ED = 262 23

36、 k kk 【点睛】此题主要考查四边形综合,解题的关键是熟知正方形的性质、旋转的特点、全等三角形的判定与 性质及三角函数的运用 26.如图, 在平面直角坐标系中, 矩形ABCD的边BC与 x轴、 y轴的交点分别为8,0 ,0,6 , 5CBCD , 抛物线 2 15 (0) 4 yaxxc a过 B,C两点,动点 M从点 D开始以每秒 5个单位长度的速度沿 DABC的方向运动到达 C 点后停止运动 动点 N从点 O以每秒 4 个单位长度的速度沿OC方向 运动,到达 C点后,立即返回,向CO方向运动,到达 O点后,又立即返回,依此在线段OC上反复运动, 当点 M 停止运动时,点 N也停止运动,设

37、运动时间为t (1)求抛物线的解析式; (2)求点 D的坐标; (3)当点 M,N同时开始运动时,若以点 M,D,C为顶点的三角形与以点 B,O,N 为顶点的三角形相似, 求 t的值; (4)过点 D与 x 轴平行的直线,交抛物线的对称轴于点 Q,将线段BA沿过点 B的直线翻折,点 A的对称 点为 A ,求AQQNDN 的最小值 【答案】 (1) 2 315 6 84 yxx; (2)(11,4)D; (3) 6 2 t 或 23 5 t ; (4) 295 【解析】 【分析】 (1)将8,0 ,0,6CB代入 2 15 4 yaxxc计算即可; (2)作DEx于点 E,证明BOCCED,可得

38、 CE,DE长度,进而得到点 D 的坐标; (3) 分为点在AD, BC上两种情况讨论, 当点M在AD上时, 分为BONCDM和BONMDC 两种情况讨论;当点 M在 BC 上时,分为BONMCD和BONDCM两种情况讨论; (4) 作点 D 关于 x 轴的对称 F, 连接 QF, 可得QNDN的最小值; 连接 BQ减去 BA 可得A Q 的最小值, 综上可得AQQNDN 的最小值 【详解】 (1)将8,0 ,0,6CB代入 2 15 4 yaxxc得 15 6480 4 6 ac c ,解得 3 8 6 a c 抛物线的解析式为: 2 315 6 84 yxx (2)作DEx于点 E 8,0

39、 ,0,6CB 8,6OCOB 10BC BOCBCDDEC BOCCED BCBOOC CDCEDE 3,4CEDE 11OEOCCE (11,4)D (3)若点 M在 DA上运动时,5 ,4DMt ONt 当BONCDM,则 BOON CDDM ,即 64 55 t t 不成立,舍去 当BONMDC,则 BOON MDDC ,即 64 55 t t ,解得: 6 2 t 若点 M 在 BC上运动时,25 5CMt 当BONMCD,则 BOON MCCD ,即 6 2555 ON t 6 5 ON t 当34t 时,16 4ONt 6 164 5 t t ,解得 97 2 t (舍去) 当4

40、5t 时,416ONt 6 416 5 t t ,无解; 当BONDCM,则 BOON DCCM ,即 6 5255 ON t 30 6ONt 当34t 时,16 4ONt 30 616 4tt,解得7t (舍去) 当45t 时,416ONt 30 6416tt,解得 23 5 t 综上所示:当 6 2 t 时,BONMDC; 23 5 t 时BONDCM (4)作点 D关于 x轴的对称点 F,连接 QF交 x 轴于点 N 点 D(11,4), 点(11, 4)F 由 2 315 6 84 yxx得对称轴为5x 点(5,4)Q 22 (5 11)(44)10QF 22 (05)(64)29BQ 295 10295A QQNDNBQBAQF 故AQQNDN 最小值为295 【点睛】本题考查了二次函数与几何图形综合,涉及相似三角形的性质与判定,最短路径问题的计算, 熟知以上知识的应用是解题的关键

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