1、2020 年江西省新余市中考数学模拟试卷（年江西省新余市中考数学模拟试卷（4 月份）月份） 一选择题（共一选择题（共 6 小题）小题） 1在数 3，0，3 中，与3 的差为 0 的数是（ ） A3 B C0 D3 2下列计算正确的是（ ） Ax5+（x）2x3 B （a+b）2a2+b2 C （）01 D3 3一根单线从钮扣的 4 个孔中穿过（每个孔只穿过一次） ，其正面情形如图所示，下面 4 个图形中可能是其背面情形的是（ ） A B C D 4若一组数据 3，4，3，1，0，3，3，a 的众数为 3，则这组数据的平均数与中位数分 别是（ ） A3，1 B1，2 C2，0 D0， 5如图是某
2、个几何体的三视图，该几何体是（ ） A长方体 B正方体 C圆柱 D三棱柱 6如图，RtAOBRtDOC，AOBCOD90，M 为 OA 的中点，OA5，OB 12， 将COD 绕 O 点旋转， 连接 AD， CB 交于 P 点， 连接 MP， 则 MP 的最大值为 （ ） A10 B11 C12 D12.5 二填空题二填空题 72 的倒数是 8 国家发改委 1 月 27 日紧急下拨中央预算内资金 3 亿人民币， 专项补助收治新型冠状病毒 感染者的武汉火神山医院和武汉雷神山医院项目建设，其中数据“3 亿”用科学记数法表 示为 9 孙子算经是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣
3、 孙子 算经记载“今有妇人河上荡杯津吏问曰： 杯何以多？妇人曰： 家有客 津吏曰： 客几何？ 妇人曰： 二人共饭， 三人共羹， 四人共肉， 凡用杯六十五 不知客几何？” 译文： “2 人同吃一碗饭，3 人同吃一碗羹，4 人同吃一碗肉，共用 65 个碗，问有多少客 人？”设共有客人 x 人，可列方程为 10已知一元二次方程 3x2x10 的两根分别为 和 ，则 32+2+3 11如图是由 6 个边长为 1 的正方形拼成的图形，将该图形沿着过点 P 的某条直线裁剪， 使剪成的两部分面积相等，则剪痕的长度是 12如图，抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴的一个交点是 A（1，0） ，与 y 轴的交
4、点在（0，2） ， （0，3）之间（包含端点） ，对称轴为 x1给出下列结论，写出所有正确结论的序号 为 abc0；3a+b0；1a；对于任意的实数 x，a+bax2+bx 总成立 三解答题三解答题 13 （1）计算：|1|2sin45+2 1 （2）已知：如图，在ABCD 中，AC 为对角线，BACDAC求证：ABCD 为菱 形 14先化简，再求值：，其中实数 m 可使关于 x 的一元二次方程 x24x m0 有两个相等的实数根 15为弘扬中国传统文化，某校举办了中小学生“国学经典大赛” ，比赛项目为：A唐诗， B宋词，C论语，D三字经比赛形式为“单人组”和“双人组” （1）小颖参加“单人组
5、” ，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“论语”的概率 为 ； （2）若“双人组”比赛规则是：同一小组的两名成员的比赛项目不能相同，且每人只能 随机抽取一次，则小明和小峰组成的“双人组”恰好有一人是唐诗，另一人是宋词的概 率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明 16如图，正六边形 ABCDEF 在正三角形网格内，点 O 为正六边形的中心，仅用无刻度的 直尺完成以下作图 （1）在图 1 中，过点 O 作 AC 的平行线； （2）在图 2 中，过点 E 作 AC 的平行线 17.为全力抗战疫情，响应政府“停课不停学”的号召，某市教育局发布关于疫情防控期间 开展在线课程教学的通知：从 2 月
6、10 日开始，全市中小学按照教学计划，开展在线课程 教学和答疑某校九年级想了解该年级学生对“在线课程教学和答疑”的满意程度，随 机抽取了部分学生进行问卷，问卷有以下四个选项：A十分满意，B满意，C比较 满意，D不满意（要求每名学生选且只能选一项） ，现将调查的结果统计如下，根据图 表信息解决下列问题 （1）本次一共抽取了 名学生，并补全条形图； （2）扇形图中， “十分满意”对应扇形的圆心角为 ； （3）若该年级共有 2000 名学生，请问该年级共有多少学生对这次教学是“满意”和“十 分满意”的 18.如图，PA 是O 的切线，点 A 为切点，O 与线段 OP 相交于点 B，点 C 是线段 A
7、P 上 一点，连接 OC，CB （1）当 OC 是OAP 的 时，CB 是O 的切线（请填下列序号，并加以证明） ； 中线，角平分线，高线 （2）在（1）的条件下，若 OA6，AP8，求切线 CB 的长 19.在抗击新型冠状病毒期间，科学合理调运各种防控物资是重要任务之一在某市的甲、 乙、丙、丁四地中，已知某种消毒液甲地需要 10 吨，乙地需要 8 吨，正好丙地储备有 12 吨，丁地储备有 6 吨该市新冠肺炎疫情防控应急指挥部决定将这 18 吨消毒液全部调往 甲、乙两地已知消毒液的运费价格如下表（单位：元/吨） 又知从丙地调运 2 吨到甲 地、3 吨到乙地共需 420 元；从丙地调运 4 吨到
8、甲地、2 吨到乙地共需 440 元如果设从 丙地调运 x 吨到甲地 （1）确定表中 a，b 的值； （2）求调运 18 吨消毒液的总运费 y 关于 x 的函数关系式； （3）求出总运费最低的调运方案，并求出最低运费是多少 起点/终点 甲地 乙地 丙地 a b 丁地 35 70 20.如图，直角ABC 中，C90，AC2，BC4，AC 平行于 x 轴，A、B 两点在反比 例函数 y（x0）的图象上延长 CA 交 y 轴于点 D，AD1 （1）求反比例函数的解析式； （2）在 y 轴上是否存在点 P，使PAB 的周长最小，若存在，求出点 P 的坐标并直接写 出此时PAB 的周长；若不存在，说明理由
9、 21.如图是一种电脑桌，其实物图如图 1 所示，此电脑桌的桌面可调节，图 2 和图 3 是其可 调节桌面的侧面示意图，在点 C 处固定安装了一根长度一定的支撑臂 CB点 B 可在 AD 上滑动，AC25cm （其中（2） ， （3）两问结果保留小数点后一位） （1）在图 2 中，当 BCAC 时，测得BAC45，求支撑臂 CB 的长； （2）在图 3 中，当 BC 与 AC 不垂直时，测得BAC22，求此时 AB 的长； （3）从图 2 到图 3 过程中，求点 C 在此运动过程中的路径长 （参考数据：sin220.37，cos220.93，tan220.40，3.14） 22.定义： 如果三
10、角形的一个内角是另一个内角的 2 倍， 那么称这个三角形为 “倍角三角形” 如图，在ABC 中，A80，B40，那么ABC 就是一个“倍角三角形” 定义应用 （1）已知ABC 是倍角三角形，A60则这个三角形其余两个内角的度数分别 为 性质探究 （2）在ABC 中，A，B，C 所对边的边长分别为 a，b，c若A2B，且 A60，如图，易得到 a2b（b+c） 那么在任意的ABC 中，满足A2B，如 图，关系式 a2b（b+c）是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理 由 拓展应用 （3）若一等腰三角形恰好是一个倍角三角形，求它的腰与底边之比 23.已知抛物线 C1：yax2+bx+
11、（a0）经过点 A（1，0）和 B（3，0） （1）求抛物线 C1的解析式，并写出其顶点 C 的坐标； （2）如图 1，把抛物线 C1沿着直线 AC 方向平移到某处时得到抛物线 C2，此时点 A，C 分别平移到点 D，E 处设点 F 在抛物线 C1上且在 x 轴的下方，若DEF 是以 EF 为底 的等腰直角三角形，求点 F 的坐标； （3）如图 2，在（2）的条件下，设点 M 是线段 BC 上一动点，ENEM 交直线 BF 于点 N， 点 P 为线段 MN 的中点， 当点 M 从点 B 向点 C 运动时： tanENM 的值如何变化？ 请说明理由；点 M 到达点 C 时，直接写出点 P 经过的
12、路线长 2020 年江西省新余市中考数学模拟试卷（年江西省新余市中考数学模拟试卷（4 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 6 小题）小题） 1在数 3，0，3 中，与3 的差为 0 的数是（ ） A3 B C0 D3 【分析】与3 的差为 0 的数就是 0+（3） ，据此即可求解 【解答】解：根据题意得：0+（3）3， 则与3 的差为 0 的数是3， 故选：D 2下列计算正确的是（ ） Ax5+（x）2x3 B （a+b）2a2+b2 C （）01 D3 【分析】分别根据合并同类项法则，完全平方公式，任何非 0 数的 0 次幂等于 1 以及算 术平方根
13、的定义逐一判断即可 【解答】解：Ax5与 x2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； B （a+b）2a2+2ab+b2，故本选项不合题意； C （）01，正确； D.，故本选项不合题意 故选：C 3一根单线从钮扣的 4 个孔中穿过（每个孔只穿过一次） ，其正面情形如图所示，下面 4 个图形中可能是其背面情形的是（ ） A B C D 【分析】从正面即可看到背面将出现两条平行线，线头在相对的两个端点处 【解答】解：观察易得背面将有两条平行线，并且线头从正方形的对角线处出来， 故选：A 4若一组数据 3，4，3，1，0，3，3，a 的众数为 3，则这组数据的平均数与中位数分 别是（ ） A
14、3，1 B1，2 C2，0 D0， 【分析】根据平均数和中位数的概念求解 【解答】解：这组数据的众数为 3， a3， 这组数据按照从小到大的顺序排列为：3，3，0，1，3，3，3，4， 则平均数为：1， 中位数为：2 故选：A 5如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ） A长方体 B正方体 C圆柱 D三棱柱 【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状 【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出 这个几何体应该是三棱柱 故选：D 6如图，RtAOBRtDOC，AOBCOD90，M 为 OA 的中点，OA5，OB 12， 将COD
15、绕 O 点旋转， 连接 AD， CB 交于 P 点， 连接 MP， 则 MP 的最大值为 （ ） A10 B11 C12 D12.5 【分析】根据相似三角形的判定定理证明COBDOA，得到OBCOAD，得到 O、B、P、A 共圆，求出 MS 和 PS，根据三角形三边关系解答即可 【解答】解：取 AB 的中点 S，连接 MS、PS， 则 PMMS+PS， AOB90，OA5，OB12， AB13， AOBCOD90， COBDOA， AOBDOC， ， COBDOA， OBCOAD， O、B、P、A 共圆， APBAOB90， 又 S 是 AB 的中点， PSAB， M 为 OA 的中点，S 是
16、 AB 的中点， MSOB6， MP 的最大值是 6+12.5， 故选：D 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 72 的倒数是 【分析】根据倒数定义可知，2 的倒数是 【解答】解：2 的倒数是 8 国家发改委 1 月 27 日紧急下拨中央预算内资金 3 亿人民币， 专项补助收治新型冠状病毒 感染者的武汉火神山医院和武汉雷神山医院项目建设，其中数据“3 亿”用科学记数法表 示为 3108 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值10 时，n
17、是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：3 亿3000000003108， 故答案为：3108 9 孙子算经是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣 孙子 算经记载“今有妇人河上荡杯津吏问曰： 杯何以多？妇人曰： 家有客 津吏曰： 客几何？ 妇人曰： 二人共饭， 三人共羹， 四人共肉， 凡用杯六十五 不知客几何？” 译文： “2 人同吃一碗饭，3 人同吃一碗羹，4 人同吃一碗肉，共用 65 个碗，问有多少客 人？”设共有客人 x 人，可列方程为 x+x+x65 【分析】设共有客人 x 人，根据“2 人同吃一碗饭，3 人同吃一碗羹，4 人同吃一碗肉， 共用 65
18、个碗”列出方程即可 【解答】解：设共有客人 x 人，根据题意得 x+x+x65 故答案为x+x+x65 10已知一元二次方程 3x2x10 的两根分别为 和 ，则 32+2+3 2 【分析】 由已知一元二次方程的根的情况， 则由根与系数的关系得到 +， ， 再由 是方程的根，可得 32+1，再将所求式子化简为 32+2+3（+1）+2+3 3（+）+1 即可求解 【解答】解：一元二次方程 3x2x10 的两根分别为 和 ， +，3210， 32+1， 32+2+3（+1）+2+33（+）+13+12， 故答案为 2 11如图是由 6 个边长为 1 的正方形拼成的图形，将该图形沿着过点 P 的某
19、条直线裁剪， 使剪成的两部分面积相等，则剪痕的长度是 【分析】取中点 Q，过 P，Q 作线段 CE，则 CE 两侧的面积相等，依据相似三角形的对 应边成比例，即可得到 CE 的长 【解答】解：如图所示，取中点 Q，过 P，Q 作线段 CE，则 CE 两侧的面积相等， 由勾股定理可得，RtAPQ 中，PQ， EDQPAQCBP90，DQEAQPBPC， EDQPAQCBP， ，即， 解得 EQ，CP， CEEQ+QP+PC+， 故答案为： 12如图，抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴的一个交点是 A（1，0） ，与 y 轴的交点在（0，2） ， （0，3）之间（包含端点） ，对称轴为 x1给
20、出下列结论，写出所有正确结论的序号为 abc0；3a+b0；1a；对于任意的实数 x，a+bax2+bx 总成立 【分析】利用抛物线开口方向、和 y 轴交点的位置以及对称轴的位置可对进行判断； 再由抛物线的对称轴方程得到 b2a，则 3a+ba，于是可对进行判断；利用 2c 3 和 c3a 可对进行判断；利用二次函数的性质可对进行判断 【解答】解：抛物线开口向下， a0， 抛物线和 y 轴正半轴相交， c0， 对称轴和 x 正半轴相交， b0， abc0，故错误 而抛物线的对称轴为直线 x1，即 b2a， 3a+b3a2aa0，故正确； 2c3， 把 x1，y0 带入 yax2+bx+c， 得
21、 ab+c0， c3a， 23a3， 1a，故正确； 抛物线的顶点坐标（1，n） ， x1 时，二次函数值有最大值 n， a+b+cam2+bm+c， 即 a+bam2+bm，故正确； 所有正确结论的序号为 故答案为： 三解答题三解答题 13 （1）计算：|1|2sin45+2 1 （2）已知：如图，在ABCD 中，AC 为对角线，BACDAC求证：ABCD 为菱 形 【分析】 （1）根据绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂可以解答本题； （1）由平行四边形的性质得出DACBCA，再由已知条件得出BACBCA，即 可得出 ABBC，进而证明是菱形即可 【解答】 （1）解：|1|2sin45
22、+2 1 12+； （2）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， DACBCA， BACDAC， BACBCA， ABBC， 平行四边形 ABCD 是菱形； 14先化简，再求值：，其中实数 m 可使关于 x 的一元二次方程 x24x m0 有两个相等的实数根 【分析】首先把分式的分子、分母分解因式，然后约分化简，再根据根的判别式确定 m 的值，然后代入化简后的分式求值即可 【解答】解：原式， ， 一元二次方程 x24xm0 有两个相等的实数根， b24ac16+4m0， 解得：m4， 当 m4 时，原式 15为弘扬中国传统文化，某校举办了中小学生“国学经典大赛” ，比赛项目为：A唐
23、诗， B宋词，C论语，D三字经比赛形式为“单人组”和“双人组” （1）小颖参加“单人组” ，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“论语”的概率为 ； （2）若“双人组”比赛规则是：同一小组的两名成员的比赛项目不能相同，且每人只能 随机抽取一次，则小明和小峰组成的“双人组”恰好有一人是唐诗，另一人是宋词的概 率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明 【分析】 （1）直接利用概率公式求解； （2）先画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，再找出恰好小明和小峰组成的“双人 组”恰好有一人是唐诗，另一人是宋词的结果数，然后根据概率公式求解 【解答】解： （1）她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“
24、论语”的概率 故答案为：； （2）画树状图为： ， 共有 12 种等可能的结果数； 其中恰好小明和小峰组成的“双人组”恰好有一人是唐诗，另一人是宋词的结果数为 2； 所以恰好小明和小峰组成的“双人组”恰好有一人是唐诗，另一人是宋词的概率 16如图，正六边形 ABCDEF 在正三角形网格内，点 O 为正六边形的中心，仅用无刻度的 直尺完成以下作图 （1）在图 1 中，过点 O 作 AC 的平行线； （2）在图 2 中，过点 E 作 AC 的平行线 【分析】 （1）连接 FB、AE，FB 交 AE 于 K，直线 OK 即为所求； （2）连接 DF 交 OE 于 M，连接 OP 交 CD 于 N，作
25、直线 MN 交 AF 于 K，直线 EK 即为 所求； 【解答】解： （1）直线 m 如图所示 （2）直线 n 如图所示 17.为全力抗战疫情，响应政府“停课不停学”的号召，某市教育局发布关于疫情防控期间 开展在线课程教学的通知：从 2 月 10 日开始，全市中小学按照教学计划，开展在线课程 教学和答疑某校九年级想了解该年级学生对“在线课程教学和答疑”的满意程度，随 机抽取了部分学生进行问卷，问卷有以下四个选项：A十分满意，B满意，C比较 满意，D不满意（要求每名学生选且只能选一项） ，现将调查的结果统计如下，根据图 表信息解决下列问题 （1）本次一共抽取了 100 名学生，并补全条形图； （
26、2）扇形图中， “十分满意”对应扇形的圆心角为 72 ； （3）若该年级共有 2000 名学生，请问该年级共有多少学生对这次教学是“满意”和“十 分满意”的 【考点】VB：扇形统计图；VC：条形统计图 【专题】54：统计与概率；65：数据分析观念 【分析】 （1）根据选 C 的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，然后计算出 选择 B 的人数，即可将条形统计图补充完整； （2）用 360乘以 A 选项人数所占比例即可得； （3）用总人数乘以样本中 A、B 选项人数和所占比例即可得 【解答】解： （1）本次一共抽取了 3030%100 名学生， 故答案为：100， 选择 B 的有：1002
27、0301040（名） ， 补全的条形统计图如右图所示； （2）扇形图中， “十分满意”对应扇形的圆心角为：36072， 故答案为：72； （3）20001200（名） ， 答：该年级共有 1200 名学生对这次教学是“满意”和“十分满意”的 18.如图，PA 是O 的切线，点 A 为切点，O 与线段 OP 相交于点 B，点 C 是线段 AP 上 一点，连接 OC，CB （1）当 OC 是OAP 的 时，CB 是O 的切线（请填下列序号，并加以证明） ； 中线，角平分线，高线 （2）在（1）的条件下，若 OA6，AP8，求切线 CB 的长 【考点】ME：切线的判定与性质 【专题】 553： 图形
28、的全等； 554： 等腰三角形与直角三角形； 55A： 与圆有关的位置关系； 67：推理能力 【分析】 （1）由切线的性质得出OAC90，证OBCOAC（SAS） ，得出OBC OAC90，即可得出结论； （2）由勾股定理得出 OP10，求出 PBOPOB4，设 BCACx，则 PC8x， 在 RtBCP 中，由勾股定理得出方程，解方程即可 【解答】解： （1）当 OC 是OAP 的角平分线时，CB 是O 的切线；理由如下： PA 是O 的切线，点 A 为切点， PAOA， OAC90， OC 是OAP 的角平分线， AOCBOC， 在OBC 和OAC 中， OBCOAC（SAS） ， OBC
29、OAC90， BCOB， CB 是O 的切线； 故答案为：； （2）OAP90， OP10， OBOA6， PBOPOB1064， 由（1）得：OBCOAC（SAS） ， BCAC，OBCOAC90， PBC90， 设 BCACx，则 PC8x， 在 RtBCP 中，由勾股定理得：x2+42（8x）2， 解得：x3， BC3； 即切线 CB 的长为 3 19.在抗击新型冠状病毒期间，科学合理调运各种防控物资是重要任务之一在某市的甲、 乙、丙、丁四地中，已知某种消毒液甲地需要 10 吨，乙地需要 8 吨，正好丙地储备有 12 吨，丁地储备有 6 吨该市新冠肺炎疫情防控应急指挥部决定将这 18 吨
30、消毒液全部调往 甲、乙两地已知消毒液的运费价格如下表（单位：元/吨） 又知从丙地调运 2 吨到甲 地、3 吨到乙地共需 420 元；从丙地调运 4 吨到甲地、2 吨到乙地共需 440 元如果设从 丙地调运 x 吨到甲地 （1）确定表中 a，b 的值； （2）求调运 18 吨消毒液的总运费 y 关于 x 的函数关系式； （3）求出总运费最低的调运方案，并求出最低运费是多少 起点/终点 甲地 乙地 丙地 a b 丁地 35 70 【考点】FH：一次函数的应用 【专题】533：一次函数及其应用；69：应用意识 【分析】 （1）根据题意列出方程组即可求出答案 （2）从丙地调运 x 吨到甲地，则丙地调运
31、（12x）吨到乙地，丁地调运甲地（10 x） 吨，丁地调运乙地（x4）吨，根据题意列出 y 与 x 的函数关系 （3）先根据题意求出 x 的范围，然后根据 y 与 x 的函数关系式即可求出 y 的最小值 【解答】解： （1）由题意可知：， 解得：， 答：a60，b100 （2）从丙地调运 x 吨到甲地，则丙地调运（12x）吨到乙地， 丁地调运甲地（10 x）吨，丁地调运乙地（x4）吨， y60 x+100（12x）+35（10 x）+70（x4）5x+1270 （3）由题意可知：， 解得：4x10， 当 x10 时， y 有最小值，最小值为 y510+12701220 20.如图，直角ABC
32、中，C90，AC2，BC4，AC 平行于 x 轴，A、B 两点在反比 例函数 y（x0）的图象上延长 CA 交 y 轴于点 D，AD1 （1）求反比例函数的解析式； （2）在 y 轴上是否存在点 P，使PAB 的周长最小，若存在，求出点 P 的坐标并直接写 出此时PAB 的周长；若不存在，说明理由 【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；G7：待定系数法求反比例函数解析式； KQ：勾股定理；PA：轴对称最短路线问题 【专题】534：反比例函数及其应用；64：几何直观 【分析】 （1）设 A（1，k） ，则 B（3，k4） ，利用反比例函数图象上点的坐标特征得到 3（k4）k，解得 k6，从
33、而得到反比例函数的解析式； （2）先计算出 AB2，作 A 点关于 y 轴的对称点 A，连接 BA交 y 轴于 P 点，连 接 PA，如图，则 A（1，6） ，PAPA，利用两点之间线段最短可判断此时 PA+PB 的值最小，PAB 的周长最小，然后计算出 BA，从而得到PAB 的周长的最小值 【解答】解： （1）C90，AC 平行于 x 轴， CDy 轴， AD1，AC2，BC4， 设 A（1，k） ，则 B（3，k4） ， B 点在反比例函数 y（x0）的图象上， 3（k4）k，解得 k6， 反比例函数的解析式为 y（x0） ； （2）存在 A（1，6） ，B（3，2） ， AB2， 作 A
34、 点关于 y 轴的对称点 A， 连接 BA交 y 轴于 P 点， 连接 PA， 如图， A （1， 6） ， 则 PAPA， PA+PBPA+PBBA， 此时 PA+PB 的值最小，PAB 的周长最小， BA4 PAB 的周长的最小值AB+BA2+4 21.如图是一种电脑桌，其实物图如图 1 所示，此电脑桌的桌面可调节，图 2 和图 3 是其可 调节桌面的侧面示意图，在点 C 处固定安装了一根长度一定的支撑臂 CB点 B 可在 AD 上滑动，AC25cm （其中（2） ， （3）两问结果保留小数点后一位） （1）在图 2 中，当 BCAC 时，测得BAC45，求支撑臂 CB 的长； （2）在图
35、 3 中，当 BC 与 AC 不垂直时，测得BAC22，求此时 AB 的长； （3）从图 2 到图 3 过程中，求点 C 在此运动过程中的路径长 （参考数据：sin220.37，cos220.93，tan220.40，3.14） 【考点】O4：轨迹；T8：解直角三角形的应用 【专题】25：动点型；55E：解直角三角形及其应用；69：应用意识 【分析】 （1）证明ABC 是等腰直角三角形即可 （2）如图 3 中，过点 C 作 CHAB 于 H利用等腰三角形的性质求解即可 （3）利用弧长公式求解即可 【解答】解： （1）如图 2 中，ACBC，A45， ACB90，CBAA45， BCAC25（c
36、m） （2）如图 3 中，过点 C 作 CHAB 于 H ACCB，CHAB， AHHBACcos2223.25（cm） AB2AH46.5（cm） （3）点 C 在此运动过程中的路径长10.0（cm） 22.定义： 如果三角形的一个内角是另一个内角的 2 倍， 那么称这个三角形为 “倍角三角形” 如图，在ABC 中，A80，B40，那么ABC 就是一个“倍角三角形” 定义应用 （1）已知ABC 是倍角三角形，A60则这个三角形其余两个内角的度数分别为 40、80或 30、90 性质探究 （2）在ABC 中，A，B，C 所对边的边长分别为 a，b，c若A2B，且 A60，如图，易得到 a2b（
37、b+c） 那么在任意的ABC 中，满足A2B，如 图，关系式 a2b（b+c）是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理 由 拓展应用 （3）若一等腰三角形恰好是一个倍角三角形，求它的腰与底边之比 【考点】KY：三角形综合题 【专题】152：几何综合题；554：等腰三角形与直角三角形；66：运算能力；67：推理 能力 【分析】 （1）根据倍角三角形的定义，用分类讨论的思想解决问题即可； （2）延长 BA 至 D，使 ADACb，连结 CD，证ADCCDB 得，据此可 得答案 （3）分两种情况，由（2）的结论可求出答案 【解答】解： （1）ABC 是倍角三角形，A60 B+C120，
38、如果A 是C 的 2 倍，则C30，B90， 如果B 是C 的 2 倍，即B2C， 2C+C120， C40， B80， 这个三角形其余两个角的度数分别为 40、80或 30、90 故答案为：40、80或 30、90 （2）对于任意的倍角ABC，A2B，关系式 a2b（b+c）仍然成立， 如图 2，延长 BA 至 D，使 ADACb，连结 CD， 则CAB2D， BD，BCCDa， ADCCDB ， 即 a2b（b+c） （3）等腰三角形恰好是一个倍角三角形， 分两种情况考虑， 如图 2，ABAC，A2B， 由（2）的结论可知：a2b（b+c） ，bc， a22b2， ， 如图 3，若 ABB
39、C，A2B， 由（2）知 a2b（b+c） ，ac， a2b（b+a） ， 解得：（负值舍去） 综合可得，等腰三角形恰好是一个倍角三角形时，它的腰与底边之比为或 23.已知抛物线 C1：yax2+bx+（a0）经过点 A（1，0）和 B（3，0） （1）求抛物线 C1的解析式，并写出其顶点 C 的坐标； （2）如图 1，把抛物线 C1沿着直线 AC 方向平移到某处时得到抛物线 C2，此时点 A，C 分别平移到点 D，E 处设点 F 在抛物线 C1上且在 x 轴的下方，若DEF 是以 EF 为底 的等腰直角三角形，求点 F 的坐标； （3）如图 2，在（2）的条件下，设点 M 是线段 BC 上一
40、动点，ENEM 交直线 BF 于点 N， 点 P 为线段 MN 的中点， 当点 M 从点 B 向点 C 运动时： tanENM 的值如何变化？ 请说明理由；点 M 到达点 C 时，直接写出点 P 经过的路线长 【考点】HF：二次函数综合题 【专题】16：压轴题 【分析】 （1） 根据待定系数法即可求得解析式， 把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标； （2）根据 A、C 的坐标求得直线 AC 的解析式为 yx+1，根据题意求得 EF4，求得 EF y 轴，设 F（m，m2+m+） ，则 E（m，m+1） ，从而得出（m+1）（m2+m+） 4，解方程即可求得 F 的坐标； （3） 先求得四边形 D
41、FBC 是矩形， 作 EGAC， 交 BF 于 G， 然后根据EGNEMC， 对应边成比例即可求得 tanENM2； 根据勾股定理和三角形相似求得 EN，然后根据三角形中位线定理即可求得 【解答】解： （1）抛物线 C1：yax2+bx+（a0）经过点 A（1，0）和 B（3，0） ， 解得， 抛物线 C1的解析式为 yx2+x+， yx2+x+（x1）2+2， 顶点 C 的坐标为（1，2） ； （2）如图 1，作 CHx 轴于 H， A（1，0） ，C（1，2） ， AHCH2， CABACH45， 直线 AC 的解析式为 yx+1， DEF 是以 EF 为底的等腰直角三角形， DEF45，
42、 DEFACH， EFy 轴， DEAC2， EF4， 设 F（m，m2+m+） ，则 E（m，m+1） ， （m+1）（m2+m+）4， 解得 m3（舍）或 m3， F（3，6） ； （3）tanENM 的值为定值，不发生变化； 如图 2，DFAC，BCAC， DFBC， DFBCAC， 四边形 DFBC 是矩形， 作 EGAC，交 BF 于 G， EGBCAC2， ENEM， MEN90， CEG90， CEMNEG， ENGEMC， ， F（3，6） ，EF4， E（3，2） ， C（1，2） ， EC4， 2， tanENM2； tanENM 的值为定值，不发生变化； 直角三角形 EMN 中，PEMN，直角三角形 BMN 中，PBMN， PEPB， 点 P 在 EB 的垂直平分线上， 点 P 经过的路径是线段，如图 3， EGNECB， ， EC4，EGBC2， EB2， ， EN， P1P2是BEN 的中位线， P1P2EN； 点 M 到达点 C 时，点 P 经过的路线长为
