2020年4月江西省新余市中考数学模拟试卷(含答案解析)

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资源描述

1、2020 年江西省新余市中考数学模拟试卷(年江西省新余市中考数学模拟试卷(4 月份)月份) 一选择题(共一选择题(共 6 小题)小题) 1在数 3,0,3 中,与3 的差为 0 的数是( ) A3 B C0 D3 2下列计算正确的是( ) Ax5+(x)2x3 B (a+b)2a2+b2 C ()01 D3 3一根单线从钮扣的 4 个孔中穿过(每个孔只穿过一次) ,其正面情形如图所示,下面 4 个图形中可能是其背面情形的是( ) A B C D 4若一组数据 3,4,3,1,0,3,3,a 的众数为 3,则这组数据的平均数与中位数分 别是( ) A3,1 B1,2 C2,0 D0, 5如图是某

2、个几何体的三视图,该几何体是( ) A长方体 B正方体 C圆柱 D三棱柱 6如图,RtAOBRtDOC,AOBCOD90,M 为 OA 的中点,OA5,OB 12, 将COD 绕 O 点旋转, 连接 AD, CB 交于 P 点, 连接 MP, 则 MP 的最大值为 ( ) A10 B11 C12 D12.5 二填空题二填空题 72 的倒数是 8 国家发改委 1 月 27 日紧急下拨中央预算内资金 3 亿人民币, 专项补助收治新型冠状病毒 感染者的武汉火神山医院和武汉雷神山医院项目建设,其中数据“3 亿”用科学记数法表 示为 9 孙子算经是中国传统数学的重要著作之一,其中记载的“荡杯问题”很有趣

3、 孙子 算经记载“今有妇人河上荡杯津吏问曰: 杯何以多?妇人曰: 家有客 津吏曰: 客几何? 妇人曰: 二人共饭, 三人共羹, 四人共肉, 凡用杯六十五 不知客几何?” 译文: “2 人同吃一碗饭,3 人同吃一碗羹,4 人同吃一碗肉,共用 65 个碗,问有多少客 人?”设共有客人 x 人,可列方程为 10已知一元二次方程 3x2x10 的两根分别为 和 ,则 32+2+3 11如图是由 6 个边长为 1 的正方形拼成的图形,将该图形沿着过点 P 的某条直线裁剪, 使剪成的两部分面积相等,则剪痕的长度是 12如图,抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴的一个交点是 A(1,0) ,与 y 轴的交

4、点在(0,2) , (0,3)之间(包含端点) ,对称轴为 x1给出下列结论,写出所有正确结论的序号 为 abc0;3a+b0;1a;对于任意的实数 x,a+bax2+bx 总成立 三解答题三解答题 13 (1)计算:|1|2sin45+2 1 (2)已知:如图,在ABCD 中,AC 为对角线,BACDAC求证:ABCD 为菱 形 14先化简,再求值:,其中实数 m 可使关于 x 的一元二次方程 x24x m0 有两个相等的实数根 15为弘扬中国传统文化,某校举办了中小学生“国学经典大赛” ,比赛项目为:A唐诗, B宋词,C论语,D三字经比赛形式为“单人组”和“双人组” (1)小颖参加“单人组

5、” ,她从中随机抽取一个比赛项目,恰好抽中“论语”的概率 为 ; (2)若“双人组”比赛规则是:同一小组的两名成员的比赛项目不能相同,且每人只能 随机抽取一次,则小明和小峰组成的“双人组”恰好有一人是唐诗,另一人是宋词的概 率是多少?请用画树状图或列表的方法进行说明 16如图,正六边形 ABCDEF 在正三角形网格内,点 O 为正六边形的中心,仅用无刻度的 直尺完成以下作图 (1)在图 1 中,过点 O 作 AC 的平行线; (2)在图 2 中,过点 E 作 AC 的平行线 17.为全力抗战疫情,响应政府“停课不停学”的号召,某市教育局发布关于疫情防控期间 开展在线课程教学的通知:从 2 月

6、10 日开始,全市中小学按照教学计划,开展在线课程 教学和答疑某校九年级想了解该年级学生对“在线课程教学和答疑”的满意程度,随 机抽取了部分学生进行问卷,问卷有以下四个选项:A十分满意,B满意,C比较 满意,D不满意(要求每名学生选且只能选一项) ,现将调查的结果统计如下,根据图 表信息解决下列问题 (1)本次一共抽取了 名学生,并补全条形图; (2)扇形图中, “十分满意”对应扇形的圆心角为 ; (3)若该年级共有 2000 名学生,请问该年级共有多少学生对这次教学是“满意”和“十 分满意”的 18.如图,PA 是O 的切线,点 A 为切点,O 与线段 OP 相交于点 B,点 C 是线段 A

7、P 上 一点,连接 OC,CB (1)当 OC 是OAP 的 时,CB 是O 的切线(请填下列序号,并加以证明) ; 中线,角平分线,高线 (2)在(1)的条件下,若 OA6,AP8,求切线 CB 的长 19.在抗击新型冠状病毒期间,科学合理调运各种防控物资是重要任务之一在某市的甲、 乙、丙、丁四地中,已知某种消毒液甲地需要 10 吨,乙地需要 8 吨,正好丙地储备有 12 吨,丁地储备有 6 吨该市新冠肺炎疫情防控应急指挥部决定将这 18 吨消毒液全部调往 甲、乙两地已知消毒液的运费价格如下表(单位:元/吨) 又知从丙地调运 2 吨到甲 地、3 吨到乙地共需 420 元;从丙地调运 4 吨到

8、甲地、2 吨到乙地共需 440 元如果设从 丙地调运 x 吨到甲地 (1)确定表中 a,b 的值; (2)求调运 18 吨消毒液的总运费 y 关于 x 的函数关系式; (3)求出总运费最低的调运方案,并求出最低运费是多少 起点/终点 甲地 乙地 丙地 a b 丁地 35 70 20.如图,直角ABC 中,C90,AC2,BC4,AC 平行于 x 轴,A、B 两点在反比 例函数 y(x0)的图象上延长 CA 交 y 轴于点 D,AD1 (1)求反比例函数的解析式; (2)在 y 轴上是否存在点 P,使PAB 的周长最小,若存在,求出点 P 的坐标并直接写 出此时PAB 的周长;若不存在,说明理由

9、 21.如图是一种电脑桌,其实物图如图 1 所示,此电脑桌的桌面可调节,图 2 和图 3 是其可 调节桌面的侧面示意图,在点 C 处固定安装了一根长度一定的支撑臂 CB点 B 可在 AD 上滑动,AC25cm (其中(2) , (3)两问结果保留小数点后一位) (1)在图 2 中,当 BCAC 时,测得BAC45,求支撑臂 CB 的长; (2)在图 3 中,当 BC 与 AC 不垂直时,测得BAC22,求此时 AB 的长; (3)从图 2 到图 3 过程中,求点 C 在此运动过程中的路径长 (参考数据:sin220.37,cos220.93,tan220.40,3.14) 22.定义: 如果三

10、角形的一个内角是另一个内角的 2 倍, 那么称这个三角形为 “倍角三角形” 如图,在ABC 中,A80,B40,那么ABC 就是一个“倍角三角形” 定义应用 (1)已知ABC 是倍角三角形,A60则这个三角形其余两个内角的度数分别 为 性质探究 (2)在ABC 中,A,B,C 所对边的边长分别为 a,b,c若A2B,且 A60,如图,易得到 a2b(b+c) 那么在任意的ABC 中,满足A2B,如 图,关系式 a2b(b+c)是否仍然成立?若成立,请加以证明;若不成立,请说明理 由 拓展应用 (3)若一等腰三角形恰好是一个倍角三角形,求它的腰与底边之比 23.已知抛物线 C1:yax2+bx+

11、(a0)经过点 A(1,0)和 B(3,0) (1)求抛物线 C1的解析式,并写出其顶点 C 的坐标; (2)如图 1,把抛物线 C1沿着直线 AC 方向平移到某处时得到抛物线 C2,此时点 A,C 分别平移到点 D,E 处设点 F 在抛物线 C1上且在 x 轴的下方,若DEF 是以 EF 为底 的等腰直角三角形,求点 F 的坐标; (3)如图 2,在(2)的条件下,设点 M 是线段 BC 上一动点,ENEM 交直线 BF 于点 N, 点 P 为线段 MN 的中点, 当点 M 从点 B 向点 C 运动时: tanENM 的值如何变化? 请说明理由;点 M 到达点 C 时,直接写出点 P 经过的

12、路线长 2020 年江西省新余市中考数学模拟试卷(年江西省新余市中考数学模拟试卷(4 月份)月份) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题(共一选择题(共 6 小题)小题) 1在数 3,0,3 中,与3 的差为 0 的数是( ) A3 B C0 D3 【分析】与3 的差为 0 的数就是 0+(3) ,据此即可求解 【解答】解:根据题意得:0+(3)3, 则与3 的差为 0 的数是3, 故选:D 2下列计算正确的是( ) Ax5+(x)2x3 B (a+b)2a2+b2 C ()01 D3 【分析】分别根据合并同类项法则,完全平方公式,任何非 0 数的 0 次幂等于 1 以及算 术平方根

13、的定义逐一判断即可 【解答】解:Ax5与 x2不是同类项,所以不能合并,故本选项不合题意; B (a+b)2a2+2ab+b2,故本选项不合题意; C ()01,正确; D.,故本选项不合题意 故选:C 3一根单线从钮扣的 4 个孔中穿过(每个孔只穿过一次) ,其正面情形如图所示,下面 4 个图形中可能是其背面情形的是( ) A B C D 【分析】从正面即可看到背面将出现两条平行线,线头在相对的两个端点处 【解答】解:观察易得背面将有两条平行线,并且线头从正方形的对角线处出来, 故选:A 4若一组数据 3,4,3,1,0,3,3,a 的众数为 3,则这组数据的平均数与中位数分 别是( ) A

14、3,1 B1,2 C2,0 D0, 【分析】根据平均数和中位数的概念求解 【解答】解:这组数据的众数为 3, a3, 这组数据按照从小到大的顺序排列为:3,3,0,1,3,3,3,4, 则平均数为:1, 中位数为:2 故选:A 5如图是某个几何体的三视图,该几何体是( ) A长方体 B正方体 C圆柱 D三棱柱 【分析】由主视图和左视图确定是柱体,锥体还是球体,再由俯视图确定具体形状 【解答】解:根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体,根据俯视图是三角形可判断出 这个几何体应该是三棱柱 故选:D 6如图,RtAOBRtDOC,AOBCOD90,M 为 OA 的中点,OA5,OB 12, 将COD

15、绕 O 点旋转, 连接 AD, CB 交于 P 点, 连接 MP, 则 MP 的最大值为 ( ) A10 B11 C12 D12.5 【分析】根据相似三角形的判定定理证明COBDOA,得到OBCOAD,得到 O、B、P、A 共圆,求出 MS 和 PS,根据三角形三边关系解答即可 【解答】解:取 AB 的中点 S,连接 MS、PS, 则 PMMS+PS, AOB90,OA5,OB12, AB13, AOBCOD90, COBDOA, AOBDOC, , COBDOA, OBCOAD, O、B、P、A 共圆, APBAOB90, 又 S 是 AB 的中点, PSAB, M 为 OA 的中点,S 是

16、 AB 的中点, MSOB6, MP 的最大值是 6+12.5, 故选:D 二填空题(共二填空题(共 6 小题)小题) 72 的倒数是 【分析】根据倒数定义可知,2 的倒数是 【解答】解:2 的倒数是 8 国家发改委 1 月 27 日紧急下拨中央预算内资金 3 亿人民币, 专项补助收治新型冠状病毒 感染者的武汉火神山医院和武汉雷神山医院项目建设,其中数据“3 亿”用科学记数法表 示为 3108 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式,其中 1|a|10,n 为整数确定 n 的值时,要看把原数变成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值10 时,n

17、是正数;当原数的绝对值1 时,n 是负数 【解答】解:3 亿3000000003108, 故答案为:3108 9 孙子算经是中国传统数学的重要著作之一,其中记载的“荡杯问题”很有趣 孙子 算经记载“今有妇人河上荡杯津吏问曰: 杯何以多?妇人曰: 家有客 津吏曰: 客几何? 妇人曰: 二人共饭, 三人共羹, 四人共肉, 凡用杯六十五 不知客几何?” 译文: “2 人同吃一碗饭,3 人同吃一碗羹,4 人同吃一碗肉,共用 65 个碗,问有多少客 人?”设共有客人 x 人,可列方程为 x+x+x65 【分析】设共有客人 x 人,根据“2 人同吃一碗饭,3 人同吃一碗羹,4 人同吃一碗肉, 共用 65

18、个碗”列出方程即可 【解答】解:设共有客人 x 人,根据题意得 x+x+x65 故答案为x+x+x65 10已知一元二次方程 3x2x10 的两根分别为 和 ,则 32+2+3 2 【分析】 由已知一元二次方程的根的情况, 则由根与系数的关系得到 +, , 再由 是方程的根,可得 32+1,再将所求式子化简为 32+2+3(+1)+2+3 3(+)+1 即可求解 【解答】解:一元二次方程 3x2x10 的两根分别为 和 , +,3210, 32+1, 32+2+3(+1)+2+33(+)+13+12, 故答案为 2 11如图是由 6 个边长为 1 的正方形拼成的图形,将该图形沿着过点 P 的某

19、条直线裁剪, 使剪成的两部分面积相等,则剪痕的长度是 【分析】取中点 Q,过 P,Q 作线段 CE,则 CE 两侧的面积相等,依据相似三角形的对 应边成比例,即可得到 CE 的长 【解答】解:如图所示,取中点 Q,过 P,Q 作线段 CE,则 CE 两侧的面积相等, 由勾股定理可得,RtAPQ 中,PQ, EDQPAQCBP90,DQEAQPBPC, EDQPAQCBP, ,即, 解得 EQ,CP, CEEQ+QP+PC+, 故答案为: 12如图,抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴的一个交点是 A(1,0) ,与 y 轴的交点在(0,2) , (0,3)之间(包含端点) ,对称轴为 x1给

20、出下列结论,写出所有正确结论的序号为 abc0;3a+b0;1a;对于任意的实数 x,a+bax2+bx 总成立 【分析】利用抛物线开口方向、和 y 轴交点的位置以及对称轴的位置可对进行判断; 再由抛物线的对称轴方程得到 b2a,则 3a+ba,于是可对进行判断;利用 2c 3 和 c3a 可对进行判断;利用二次函数的性质可对进行判断 【解答】解:抛物线开口向下, a0, 抛物线和 y 轴正半轴相交, c0, 对称轴和 x 正半轴相交, b0, abc0,故错误 而抛物线的对称轴为直线 x1,即 b2a, 3a+b3a2aa0,故正确; 2c3, 把 x1,y0 带入 yax2+bx+c, 得

21、 ab+c0, c3a, 23a3, 1a,故正确; 抛物线的顶点坐标(1,n) , x1 时,二次函数值有最大值 n, a+b+cam2+bm+c, 即 a+bam2+bm,故正确; 所有正确结论的序号为 故答案为: 三解答题三解答题 13 (1)计算:|1|2sin45+2 1 (2)已知:如图,在ABCD 中,AC 为对角线,BACDAC求证:ABCD 为菱 形 【分析】 (1)根据绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂可以解答本题; (1)由平行四边形的性质得出DACBCA,再由已知条件得出BACBCA,即 可得出 ABBC,进而证明是菱形即可 【解答】 (1)解:|1|2sin45

22、+2 1 12+; (2)证明:四边形 ABCD 是平行四边形, ADBC, DACBCA, BACDAC, BACBCA, ABBC, 平行四边形 ABCD 是菱形; 14先化简,再求值:,其中实数 m 可使关于 x 的一元二次方程 x24x m0 有两个相等的实数根 【分析】首先把分式的分子、分母分解因式,然后约分化简,再根据根的判别式确定 m 的值,然后代入化简后的分式求值即可 【解答】解:原式, , 一元二次方程 x24xm0 有两个相等的实数根, b24ac16+4m0, 解得:m4, 当 m4 时,原式 15为弘扬中国传统文化,某校举办了中小学生“国学经典大赛” ,比赛项目为:A唐

23、诗, B宋词,C论语,D三字经比赛形式为“单人组”和“双人组” (1)小颖参加“单人组” ,她从中随机抽取一个比赛项目,恰好抽中“论语”的概率为 ; (2)若“双人组”比赛规则是:同一小组的两名成员的比赛项目不能相同,且每人只能 随机抽取一次,则小明和小峰组成的“双人组”恰好有一人是唐诗,另一人是宋词的概 率是多少?请用画树状图或列表的方法进行说明 【分析】 (1)直接利用概率公式求解; (2)先画树状图展示所有 12 种等可能的结果数,再找出恰好小明和小峰组成的“双人 组”恰好有一人是唐诗,另一人是宋词的结果数,然后根据概率公式求解 【解答】解: (1)她从中随机抽取一个比赛项目,恰好抽中“

24、论语”的概率 故答案为:; (2)画树状图为: , 共有 12 种等可能的结果数; 其中恰好小明和小峰组成的“双人组”恰好有一人是唐诗,另一人是宋词的结果数为 2; 所以恰好小明和小峰组成的“双人组”恰好有一人是唐诗,另一人是宋词的概率 16如图,正六边形 ABCDEF 在正三角形网格内,点 O 为正六边形的中心,仅用无刻度的 直尺完成以下作图 (1)在图 1 中,过点 O 作 AC 的平行线; (2)在图 2 中,过点 E 作 AC 的平行线 【分析】 (1)连接 FB、AE,FB 交 AE 于 K,直线 OK 即为所求; (2)连接 DF 交 OE 于 M,连接 OP 交 CD 于 N,作

25、直线 MN 交 AF 于 K,直线 EK 即为 所求; 【解答】解: (1)直线 m 如图所示 (2)直线 n 如图所示 17.为全力抗战疫情,响应政府“停课不停学”的号召,某市教育局发布关于疫情防控期间 开展在线课程教学的通知:从 2 月 10 日开始,全市中小学按照教学计划,开展在线课程 教学和答疑某校九年级想了解该年级学生对“在线课程教学和答疑”的满意程度,随 机抽取了部分学生进行问卷,问卷有以下四个选项:A十分满意,B满意,C比较 满意,D不满意(要求每名学生选且只能选一项) ,现将调查的结果统计如下,根据图 表信息解决下列问题 (1)本次一共抽取了 100 名学生,并补全条形图; (

26、2)扇形图中, “十分满意”对应扇形的圆心角为 72 ; (3)若该年级共有 2000 名学生,请问该年级共有多少学生对这次教学是“满意”和“十 分满意”的 【考点】VB:扇形统计图;VC:条形统计图 【专题】54:统计与概率;65:数据分析观念 【分析】 (1)根据选 C 的人数和所占的百分比,可以求得本次调查的人数,然后计算出 选择 B 的人数,即可将条形统计图补充完整; (2)用 360乘以 A 选项人数所占比例即可得; (3)用总人数乘以样本中 A、B 选项人数和所占比例即可得 【解答】解: (1)本次一共抽取了 3030%100 名学生, 故答案为:100, 选择 B 的有:1002

27、0301040(名) , 补全的条形统计图如右图所示; (2)扇形图中, “十分满意”对应扇形的圆心角为:36072, 故答案为:72; (3)20001200(名) , 答:该年级共有 1200 名学生对这次教学是“满意”和“十分满意”的 18.如图,PA 是O 的切线,点 A 为切点,O 与线段 OP 相交于点 B,点 C 是线段 AP 上 一点,连接 OC,CB (1)当 OC 是OAP 的 时,CB 是O 的切线(请填下列序号,并加以证明) ; 中线,角平分线,高线 (2)在(1)的条件下,若 OA6,AP8,求切线 CB 的长 【考点】ME:切线的判定与性质 【专题】 553: 图形

28、的全等; 554: 等腰三角形与直角三角形; 55A: 与圆有关的位置关系; 67:推理能力 【分析】 (1)由切线的性质得出OAC90,证OBCOAC(SAS) ,得出OBC OAC90,即可得出结论; (2)由勾股定理得出 OP10,求出 PBOPOB4,设 BCACx,则 PC8x, 在 RtBCP 中,由勾股定理得出方程,解方程即可 【解答】解: (1)当 OC 是OAP 的角平分线时,CB 是O 的切线;理由如下: PA 是O 的切线,点 A 为切点, PAOA, OAC90, OC 是OAP 的角平分线, AOCBOC, 在OBC 和OAC 中, OBCOAC(SAS) , OBC

29、OAC90, BCOB, CB 是O 的切线; 故答案为:; (2)OAP90, OP10, OBOA6, PBOPOB1064, 由(1)得:OBCOAC(SAS) , BCAC,OBCOAC90, PBC90, 设 BCACx,则 PC8x, 在 RtBCP 中,由勾股定理得:x2+42(8x)2, 解得:x3, BC3; 即切线 CB 的长为 3 19.在抗击新型冠状病毒期间,科学合理调运各种防控物资是重要任务之一在某市的甲、 乙、丙、丁四地中,已知某种消毒液甲地需要 10 吨,乙地需要 8 吨,正好丙地储备有 12 吨,丁地储备有 6 吨该市新冠肺炎疫情防控应急指挥部决定将这 18 吨

30、消毒液全部调往 甲、乙两地已知消毒液的运费价格如下表(单位:元/吨) 又知从丙地调运 2 吨到甲 地、3 吨到乙地共需 420 元;从丙地调运 4 吨到甲地、2 吨到乙地共需 440 元如果设从 丙地调运 x 吨到甲地 (1)确定表中 a,b 的值; (2)求调运 18 吨消毒液的总运费 y 关于 x 的函数关系式; (3)求出总运费最低的调运方案,并求出最低运费是多少 起点/终点 甲地 乙地 丙地 a b 丁地 35 70 【考点】FH:一次函数的应用 【专题】533:一次函数及其应用;69:应用意识 【分析】 (1)根据题意列出方程组即可求出答案 (2)从丙地调运 x 吨到甲地,则丙地调运

31、(12x)吨到乙地,丁地调运甲地(10 x) 吨,丁地调运乙地(x4)吨,根据题意列出 y 与 x 的函数关系 (3)先根据题意求出 x 的范围,然后根据 y 与 x 的函数关系式即可求出 y 的最小值 【解答】解: (1)由题意可知:, 解得:, 答:a60,b100 (2)从丙地调运 x 吨到甲地,则丙地调运(12x)吨到乙地, 丁地调运甲地(10 x)吨,丁地调运乙地(x4)吨, y60 x+100(12x)+35(10 x)+70(x4)5x+1270 (3)由题意可知:, 解得:4x10, 当 x10 时, y 有最小值,最小值为 y510+12701220 20.如图,直角ABC

32、中,C90,AC2,BC4,AC 平行于 x 轴,A、B 两点在反比 例函数 y(x0)的图象上延长 CA 交 y 轴于点 D,AD1 (1)求反比例函数的解析式; (2)在 y 轴上是否存在点 P,使PAB 的周长最小,若存在,求出点 P 的坐标并直接写 出此时PAB 的周长;若不存在,说明理由 【考点】G6:反比例函数图象上点的坐标特征;G7:待定系数法求反比例函数解析式; KQ:勾股定理;PA:轴对称最短路线问题 【专题】534:反比例函数及其应用;64:几何直观 【分析】 (1)设 A(1,k) ,则 B(3,k4) ,利用反比例函数图象上点的坐标特征得到 3(k4)k,解得 k6,从

33、而得到反比例函数的解析式; (2)先计算出 AB2,作 A 点关于 y 轴的对称点 A,连接 BA交 y 轴于 P 点,连 接 PA,如图,则 A(1,6) ,PAPA,利用两点之间线段最短可判断此时 PA+PB 的值最小,PAB 的周长最小,然后计算出 BA,从而得到PAB 的周长的最小值 【解答】解: (1)C90,AC 平行于 x 轴, CDy 轴, AD1,AC2,BC4, 设 A(1,k) ,则 B(3,k4) , B 点在反比例函数 y(x0)的图象上, 3(k4)k,解得 k6, 反比例函数的解析式为 y(x0) ; (2)存在 A(1,6) ,B(3,2) , AB2, 作 A

34、 点关于 y 轴的对称点 A, 连接 BA交 y 轴于 P 点, 连接 PA, 如图, A (1, 6) , 则 PAPA, PA+PBPA+PBBA, 此时 PA+PB 的值最小,PAB 的周长最小, BA4 PAB 的周长的最小值AB+BA2+4 21.如图是一种电脑桌,其实物图如图 1 所示,此电脑桌的桌面可调节,图 2 和图 3 是其可 调节桌面的侧面示意图,在点 C 处固定安装了一根长度一定的支撑臂 CB点 B 可在 AD 上滑动,AC25cm (其中(2) , (3)两问结果保留小数点后一位) (1)在图 2 中,当 BCAC 时,测得BAC45,求支撑臂 CB 的长; (2)在图

35、 3 中,当 BC 与 AC 不垂直时,测得BAC22,求此时 AB 的长; (3)从图 2 到图 3 过程中,求点 C 在此运动过程中的路径长 (参考数据:sin220.37,cos220.93,tan220.40,3.14) 【考点】O4:轨迹;T8:解直角三角形的应用 【专题】25:动点型;55E:解直角三角形及其应用;69:应用意识 【分析】 (1)证明ABC 是等腰直角三角形即可 (2)如图 3 中,过点 C 作 CHAB 于 H利用等腰三角形的性质求解即可 (3)利用弧长公式求解即可 【解答】解: (1)如图 2 中,ACBC,A45, ACB90,CBAA45, BCAC25(c

36、m) (2)如图 3 中,过点 C 作 CHAB 于 H ACCB,CHAB, AHHBACcos2223.25(cm) AB2AH46.5(cm) (3)点 C 在此运动过程中的路径长10.0(cm) 22.定义: 如果三角形的一个内角是另一个内角的 2 倍, 那么称这个三角形为 “倍角三角形” 如图,在ABC 中,A80,B40,那么ABC 就是一个“倍角三角形” 定义应用 (1)已知ABC 是倍角三角形,A60则这个三角形其余两个内角的度数分别为 40、80或 30、90 性质探究 (2)在ABC 中,A,B,C 所对边的边长分别为 a,b,c若A2B,且 A60,如图,易得到 a2b(

37、b+c) 那么在任意的ABC 中,满足A2B,如 图,关系式 a2b(b+c)是否仍然成立?若成立,请加以证明;若不成立,请说明理 由 拓展应用 (3)若一等腰三角形恰好是一个倍角三角形,求它的腰与底边之比 【考点】KY:三角形综合题 【专题】152:几何综合题;554:等腰三角形与直角三角形;66:运算能力;67:推理 能力 【分析】 (1)根据倍角三角形的定义,用分类讨论的思想解决问题即可; (2)延长 BA 至 D,使 ADACb,连结 CD,证ADCCDB 得,据此可 得答案 (3)分两种情况,由(2)的结论可求出答案 【解答】解: (1)ABC 是倍角三角形,A60 B+C120,

38、如果A 是C 的 2 倍,则C30,B90, 如果B 是C 的 2 倍,即B2C, 2C+C120, C40, B80, 这个三角形其余两个角的度数分别为 40、80或 30、90 故答案为:40、80或 30、90 (2)对于任意的倍角ABC,A2B,关系式 a2b(b+c)仍然成立, 如图 2,延长 BA 至 D,使 ADACb,连结 CD, 则CAB2D, BD,BCCDa, ADCCDB , 即 a2b(b+c) (3)等腰三角形恰好是一个倍角三角形, 分两种情况考虑, 如图 2,ABAC,A2B, 由(2)的结论可知:a2b(b+c) ,bc, a22b2, , 如图 3,若 ABB

39、C,A2B, 由(2)知 a2b(b+c) ,ac, a2b(b+a) , 解得:(负值舍去) 综合可得,等腰三角形恰好是一个倍角三角形时,它的腰与底边之比为或 23.已知抛物线 C1:yax2+bx+(a0)经过点 A(1,0)和 B(3,0) (1)求抛物线 C1的解析式,并写出其顶点 C 的坐标; (2)如图 1,把抛物线 C1沿着直线 AC 方向平移到某处时得到抛物线 C2,此时点 A,C 分别平移到点 D,E 处设点 F 在抛物线 C1上且在 x 轴的下方,若DEF 是以 EF 为底 的等腰直角三角形,求点 F 的坐标; (3)如图 2,在(2)的条件下,设点 M 是线段 BC 上一

40、动点,ENEM 交直线 BF 于点 N, 点 P 为线段 MN 的中点, 当点 M 从点 B 向点 C 运动时: tanENM 的值如何变化? 请说明理由;点 M 到达点 C 时,直接写出点 P 经过的路线长 【考点】HF:二次函数综合题 【专题】16:压轴题 【分析】 (1) 根据待定系数法即可求得解析式, 把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标; (2)根据 A、C 的坐标求得直线 AC 的解析式为 yx+1,根据题意求得 EF4,求得 EF y 轴,设 F(m,m2+m+) ,则 E(m,m+1) ,从而得出(m+1)(m2+m+) 4,解方程即可求得 F 的坐标; (3) 先求得四边形 D

41、FBC 是矩形, 作 EGAC, 交 BF 于 G, 然后根据EGNEMC, 对应边成比例即可求得 tanENM2; 根据勾股定理和三角形相似求得 EN,然后根据三角形中位线定理即可求得 【解答】解: (1)抛物线 C1:yax2+bx+(a0)经过点 A(1,0)和 B(3,0) , 解得, 抛物线 C1的解析式为 yx2+x+, yx2+x+(x1)2+2, 顶点 C 的坐标为(1,2) ; (2)如图 1,作 CHx 轴于 H, A(1,0) ,C(1,2) , AHCH2, CABACH45, 直线 AC 的解析式为 yx+1, DEF 是以 EF 为底的等腰直角三角形, DEF45,

42、 DEFACH, EFy 轴, DEAC2, EF4, 设 F(m,m2+m+) ,则 E(m,m+1) , (m+1)(m2+m+)4, 解得 m3(舍)或 m3, F(3,6) ; (3)tanENM 的值为定值,不发生变化; 如图 2,DFAC,BCAC, DFBC, DFBCAC, 四边形 DFBC 是矩形, 作 EGAC,交 BF 于 G, EGBCAC2, ENEM, MEN90, CEG90, CEMNEG, ENGEMC, , F(3,6) ,EF4, E(3,2) , C(1,2) , EC4, 2, tanENM2; tanENM 的值为定值,不发生变化; 直角三角形 EMN 中,PEMN,直角三角形 BMN 中,PBMN, PEPB, 点 P 在 EB 的垂直平分线上, 点 P 经过的路径是线段,如图 3, EGNECB, , EC4,EGBC2, EB2, , EN, P1P2是BEN 的中位线, P1P2EN; 点 M 到达点 C 时,点 P 经过的路线长为

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