1、21 认识一元二次方程认识一元二次方程 第第 1 课时课时 一元二次方程一元二次方程 1了解一元二次方程的概念；(重点) 2掌握一元二次方程的一般形式 ax2bxc0(a，b，c 为常数，a0)，能分清二次项、一次 项与常数项以及二次项系数、一次项系数等，会把一元二次方程化成一般形式；(重点) 3能根据具体问题的数量关系，建立方程的模型(难点) 一、情景导入 一个面积为 120m2的矩形苗圃，它的长比宽多 2m，苗圃的长和宽各是多少？ 设苗圃的宽为 xm，则长为(x2)m. 根据题意，得 x(x2)120. 所列方程是否为一元一次方程？ (这个方程便是即将学习的一元二次方程) 二、合作探究 探
2、究点一：一元二次方程的概念 【类型一】 判定一元二次方程 下列方程中，是一元二次方程的是_(填入序号即可) y 2 4y0；2x 2x30；1 x23； x223x；x3x40；t22； x23x3 x0； x 2x2. 解析：由一元二次方程的定义知不是，答案为. 方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，先看它是不是整式方程，若是，再对它进行整 理，若能整理为 ax2bxc0(a，b，c 为常数，a0)的形式，则这个方程就是一元二次方程 【类型二】 根据一元二次方程的概念求字母的值 a 为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1)ax2x2x2ax3； (2)(a1)x|a| 12x70. 解
3、析：(1)将方程转化为一般形式，得(a2)x2(a1)x30，所以当 a20，即 a2 时， 原方程是一元二次方程；(2)由|a|12，且 a10 知，当 a1 时，原方程是一元二次方程 解：(1)当 a2 时，方程 ax2x2x2ax3 为一元二次方程； (2)因为|a|12，所以 a 1.当 a1 时，a10，不合题意，舍去所以当 a1 时，原 方程为一元二次方程 方法总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于 2，列出关 于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于 0 的字母的值 【类型三】 一元二次方程的一般形式 把下列方程转化成一元二次方程的一般形式， 并指出
4、二次项系数、 一次项系数和常数项： (1)x(x2)4x23x； (2)x 2 3 x1 2 x1 2 ； (3)关于 x 的方程 mx2nxmxnx2qp(mn0) 解析：首先对上述三个方程进行整理，通过“去分母，去括号，移项，合并同类项”等步骤将 它们化为一般形式，再分别指出二次项系数、一次项系数和常数项 解：(1)去括号，得 x22x4x23x.移项、合并同类项，得 3x2x0.二次项系数为 3，一次项 系数为1，常数项为 0； (2)去分母，得 2x23(x1)3(x1)去括号、移项、合并同类项，得 2x20.二次项系数为 2，一次项系数为 0，常数项为 0； (3)移项、合并同类项，
5、得(mn)x2(mn)xpq0.二次项系数为 mn，一次项系数为 m n，常数项为 pq. 方法总结：(1)在确定一元二次方程各项系数时，首先把一元二次方程转化成一般形式，如果在 一般形式中二次项系数为负，那么最好在方程左右两边同乘1，使二次项系数变为正数； (2)指出一元二次方程的各项系数时，一定要带上前面的符号； (3)一元二次方程转化为一般形式后，若没有出现一次项 bx，则 b0；若没有出现常数项 c，则 c0. 探究点二：建立一元二次方程模型 如图，现有一张长为 19cm，宽 15cm 的长方形纸片，需要在四个顶角处剪去边长是多少 的小正方形，才能将其做成底面积为 81cm2的无盖长方
6、体纸盒？请根据题意列出方程 解析：小正方形的边长即为纸盒的高，中间虚线部分则为纸盒底面，设出未知数，利用长方形 面积公式可列出方程 解：设需要剪去的小正方形边长为 xcm，则纸盒底面的长方形的长为(192x)cm，宽为(15 2x)cm. 根据题意，得(192x)(152x)81.整理，得 x217x510(x15 2 ) 方法总结：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当地设出未知数，准确地找出已知 量和未知量之间的等量关系，正确地列出方程在列出方程后，还应根据实际需求，注明自变量的 取值范围 三、板书设计 一元二次方程 概念：只含有一个未知数x的整式方 程，并且都可以化成ax2bxc
7、0（a，b，c为常数，a0）的形式 一般形式：ax2bxc0（a，b，c为常 数，a0），其中ax2，bx，c 分别称为二次项、一次项和 常数项，a，b分别称为二次 项系数和一次项系数 本课通过丰富的实例，让学生观察、归纳出一元二次方程的有关概念，并从中体会方程的模型思 想通过本节课的学习，应该让学生进一步体会一元二次方程也是刻画现实世界的一个有效数学模 型，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点，激发学生学习数学 的兴趣. 第第 2 课时课时 一元二次方程的解及其估算一元二次方程的解及其估算 1经历一元二次方程的解或近似解的探索过程，增进对方程解的认识；(重点) 2
8、会用“夹逼法”估算方程的解，培养学生的估算意识和能力(难点) 一、情景导入 在上一课时情境导入中，苗圃的宽满足方程 x(x2)120，你能求出该方程的解吗？ 二、合作探究 探究点一：一元二次方程的解 下列哪些数是方程 x26x80 的根？ 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10. 解析：把 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 分别代入方程 x26x80 中，发现当 x2 和 x4 时，方程 x26x80 成立，所以 x2，x4 是方程 x26x80 的根 解：2，4 是方程 x26x80 的根 方法总结：(1)使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫一元
9、二 次方程的根 (2)判断一个数是否为某个一元二次方程的根，我们只需要将这个数当作未知数的值分别代入原 方程的左右两边，看左右两边代数式的值是否相等，若相等，则这个数是一元二次方程的根；若不 相等，则这个数不是一元二次方程的根 探究点二：估算一元二次方程的近似解 请求出一元二次方程 x22x10 的正数根(精确到 0.1) 解析：先列表取值，初步确定正数根 x 在哪两个整数之间，然后再用类似的方法逐步确定出 x 的近似正数根 解：(1)列表，依次取 x0，1，2，3， x 0 1 2 3 x22x1 1 2 1 2 由上表可发现，当 2x3 时，1x22x12； (2)继续列表，依次取 x2.
10、1，2.2，2.3，2.4，2.5， x 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 x22x1 0.79 0.56 0.31 0.04 0.25 由上表可发现，当 2.4x2.5 时，0.04x22x10.25； (3)取 x2.45，则 x22x10.1025. 2.4x2.45，x2.4. 方法总结：(1)利用列表法估算一元二次方程根的取值范围的步骤是：首先列表，利用未知数的 取值，根据一元二次方程的一般形式 ax2bxc0(a，b，c 为常数，a0)分别计算 ax2bxc 的 值，在表中找到使 ax2bxc 可能等于 0 的未知数的大致取值范围，然后再进一步在这个范围内取 值，逐步缩小范围
11、，直到所要求的精确度为止 (2)在估计一元二次方程根的取值范围时，当 ax2bxc(a0)的值由正变负或由负变正时，x 的取值范围很重要，因为只有在这个范围内，才能存在使 ax2bxc0 成立的 x 的值，即方程的 根 三、板书设计 一元二次方程的解的估算，采用“夹逼法”： (1)先根据实际问题确定其解的大致范围； (2)再通过列表，具体计算，进行两边“夹逼”，逐步获得其近似解 “估算”在求解实际生活中一些较为复杂的方程时应用广泛在本节课中让学生体会用“夹逼”的 思想解决一元二次方程的解或近似解的方法教学设计上，强调自主学习，注重合作交流，在探究 过程中获得数学活动的经验，提高探究、发现和创新的能力.
