1、操 作 探 究一.选 择题1 （20 18临安 3 分 .） z 如图， 正方 形硬 纸 片 ABCD 的边长 是 4， 点 E.F 分别 是 AB.BC 的中 点， 若 沿左 图中 的虚 线剪 开， 拼 成如 图的 一座 “小 别墅” ， 则 图中 阴影 部分 的面积 是 （ ）A2 B4 C 8 D10【分析 】本 题考 查空 间想 象能力 【解答 】解 ：阴 影部 分由 一个等 腰直 角三 角形 和一 个直角 梯形 组成 ， 由第一 个图 形可 知： 阴影 部分的 两部 分可 构成 正方 形的四 分之 一， 正方形 的面 积=4 4=16，图中 阴影 部分 的面 积 是 164=4 故选
2、： B【点评 】解 决本 题的 关键 是得到 阴影 部分 的组 成与 原正方 形面 积之 间的 关系 %z#step.co&2. （20 18嘉 兴3 分 ） 将 一张正方 形纸 片按如 图步 骤, 沿虚线 对折两 次, 然后沿 中平 行于底 边的 虚线 剪去 一个 角,展 开铺 平后 的图 形是 （ ）A. （A ） B. （B ） C. （ C） D. （ D）【答案 】A【解析 】 【 分析 】根 据两 次 折叠都 是沿 着正 方形 的对 角线折 叠, 展开 后所 得图 形的顶 点一 定 在正方 形的 对角 线上 , 根 据的 剪法 ，中 间应 该是 一个正 方形 .【解答 】 根 据题
3、 意， 两次 折叠都 是沿 着正 方形 的对 角线折 叠的 ， 根 据 的剪 法， 展 开后 所得 图形的 顶点 一定 在正 方形 的对角 线上 ,而 且中 间应 该 是一个 正方 形.故选 A【点评 】 关键 是要理 解折 叠的过 程 ， 得 到关键 信息 ， 如 本题 得到 展开后 的图 形的顶 点在 正 方形的对 角线 上是 解题 的关 键3. （2 018广西 南宁 3 分 ）如图 ，矩 形纸 片 ABCD， AB=4， BC=3， 点 P 在 BC 边 上，将 CD P 沿 DP 折叠 ，点 C 落 在点 E 处，PE .DE 分别 交 AB 于 点 O、F， 且 OP=OF，则 c
4、os ADF 的 值为（ ）A B C D135179【 分 析 】 根 据 折 叠 的 性 质 可 得 出 DC=DE.CP=EP， 由 EOF= BO P、 B= E.OP=OF 可 得 出OEF O BP（AAS ） ， 根 据全等 三角 形的 性质 可得 出 OE=OB.EF=BP， 设 EF=x， 则 BP=x、 DF=4x 、 BF=PC=3x ， 进而 可 得出 AF=1+x， 在 RtD AF 中， 利用 勾股 定理 可求 出 x 的值 ， 再利 用余弦 的定 义即 可求 出 cosAD F 的 值【解答 】解 ：根 据折 叠， 可知： DC P DEP ，DC=D E=4，C
5、P= EP在OE F 和 OB P 中 ， ， EOBFOE F OBP （AA S） ，OE=O B，E F=BP设 EF=x， 则 BP=x，D F=DEEF=4 x ， 又BF =OB+OF=OE+OP=PE=PC，PC= BC BP=3x ，AF=A BB F=1+x在 RtDAF 中， AF2+AD2=DF2，即 （1+x ） 2+32=（4 x ） 2，解得： x= ，35DF=4 x= ，17cos ADF = =AD故选： C【点评 】 本题 考查了 全等 三角形 的判 定与 性质 、 勾 股定理 以及 解直 角三 角形 ， 利 用勾 股定 理结合 AF=1+x， 求出 AF
6、的 长度是 解题 的关 键4.（ 2018海 南3 分） 如 图 1， 分 别沿 长方 形纸 片 ABCD 和 正方 形纸 片 EFGH 的 对角 线 AC， EG 剪开， 拼成 如图 2 所 示的 KLMN， 若中 间空 白部 分四 边形 OPQR 恰好 是正 方形， 且 KLMN 的 面 积为 50， 则正 方形 EFGH 的面积 为（ ）A24 B25 C 26 D27【分析 】如 图， 设 PM=PL=NR=AR=a， 正方 形 ORQP 的 边长 为 b， 构建 方程 即可 解决问 题；【解答 】解 ：如 图， 设 PM=PL=NR=AR=a， 正方 形 ORQP 的边 长为 b由题
7、意 ：a 2+b2+（a+b ） （ ab）=50，a 2=25，正方 形 EFGH 的面 积 =a2=25， 故选： B【点评 】 本 题考 查图 形的 拼剪， 矩形 的性 质， 正方 形的性 质等 知识 ， 解 题的 关键是 学会 利用 参数构 建方 程解 决问 题， 学会利 用数 形结 合的 思想 解决问 题， 属于 中考 选择 题中的 压 轴 题 二.填 空题1. （2 018杭州 4 分 ） 折 叠矩形 纸片 ABCD 时 ，发 现可以 进行 如下操作 ： 把 ADE 翻折， 点 A 落 在 DC 边 上的 点 F 处 ， 折痕 为 DE， 点 E 在 AB 边 上； 把纸片展开 并
8、铺 平； 把 CDG 翻折， 点 C 落在 直线 AE 上 的点 H 处， 折痕 为 DG， 点 G 在 BC 边 上， 若 AB=AD+2，EH =1， 则 AD= 。【答案 】 或 3+【考点 】勾 股定 理， 矩形 的性质 ，正 方形 的性 质， 翻折变 换（ 折叠 问题 ）【解析 】 【 解答 】 当点 H 在线段 AE 上时 把 ADE 翻 折，点 A 落在 DC 边上 的 点 F 处， 折痕 为 DE，点 E 在 AB 边 上四边 形 ADFE 是正 方形AD=A EAH=A E-EH=AD-1把 CDG 翻折 ，点 C 落 在直 线 AE 上的 点 H 处， 折 痕为 DG， 点
9、 G 在 BC 边上DC=D H=AB=AD+2在 RtADH 中，AD2+AH2=DH2AD 2+（AD -1） 2=（A D+2） 2解之： AD= ，AD= （舍去 ）33AD=当点 H 在线 段 BE 上 时 则 AH=AE-EH=AD+1在 RtADH 中，AD2+AH2=DH2AD 2+（AD +1） 2=（A D+2） 2解之： AD=3，AD =-1（舍 去 ） 故答案 为： 或 3【分析 】 分 两种 情况 ： 当 点 H 在 线 段 AE 上； 当点 H 在线 段 BE 上。 根据 的 折 叠， 可 得出 四边形 ADFE 是正 方形， 根据 正方形 的性 质可 得 出 A
10、D=AE， 从而 可得 出 AH=AD-1（ 或 AH=AD+1） ，再根据 的 折叠 可得 出 DH=AD+2，然 后根 据勾 股定 理 求出 AD 的 长。2.（20 18临安 3 分 .） 马 小虎准 备制 作一 个封 闭的 正方 体 盒子 ，他 先 用 5 个 大小一 样的 正 方形制 成如图 所示的 拼接 图形（ 实线部 分） ， 经折叠 后发现 还少一 个面， 请你 在图中 的拼接 图形上 再接 一个 正方 形， 使新拼 接成 的图 形经 过折 叠后能 成为 一个 封闭 的正 方体盒 子 （ 添加所有符 合要 求的 正方 形， 添加的 正方 形用 阴影 表示 ） 【分析 】由 平面
11、 图形 的折 叠及正 方体 的展 开图 解题 【解答 】解 ： ， 故答案 为： 【点评 】 本题 通过考 查正 方体的 侧面 展开 图， 展示 了这样 一个 教学 导向 ， 教 学中要 让学 生 确实经历 活动 过程 ， 而 不要 将活动 层次 停留 于记 忆水 平 我 们有 些老 师在 教学 “展开 与折 叠” 时， 不是 去引 导学生 动手 操作 ， 而 是给 出几种 结论 ， 这 样教 出的 学生肯 定遇 到动手 操作 题 型 时就束 手无 策了 3. （2 018金华 、 丽 水4 分） 如 图 2， 小靓 用七 巧板 拼成一 幅装 饰图 ， 放 入长 方形 ABCD 内， 装饰图
12、中的 三角 形顶 点 E ， F 分 别在 边 AB ， BC 上， 三角 形 的 边 GD 在边 AD 上 ， 则 BC的值是 【解析 】 【 解答 】解 ：如 图 ，过 G 作 GHB C 交 BC 于 H，交 三角 形 斜边 于点 I，则 AB=GH=GI+HI，BC =AD=AG+GD=EI+GD。设原来 七巧 板的 边长 为 4，则三角 形 斜边 的长 度=4 ，GI= ，三 角形 斜 边 长 IH= ， 1212(4)2则 AB=GI+IH= +2， 2而 AG=EI=4，GD =4，则 BC=8， 2+14ABC故答案 为： 。【分析 】 可设 原来 七巧 板 的边长 为 4（
13、或一 个字 母） ， 在 图 2 中 ， 可 分别 求出 AB 与 BC 的 长。过 G 作 BC 的垂线 段， 垂足 为 H，则 AB=GH，而 GH 恰 好是三 角形 斜 边上 高的 长度与 三角 形斜边 长度 的和 ；同 样的 可求 出 BC 的， 求比 值即 可 。4. （2 018湖 北省 恩施 3 分 ）在 Rt ABC 中， AB=1，A =60， ABC =90，如图 所示 将 RtABC 沿直 线 l 无滑 动地滚 动 至 RtDEF ， 则 点 B 所 经过 的路 径与 直 线 l 所围 成的 封闭图形的 面积 为 （ 结 果不取 近似 值）19【分析 】 先 得到 ACB
14、 =30， BC= ， 利 用旋转 的性 质 可得到 点 B 路径 分部 分： 第一部 分为 3以直角 三角 形 30的直 角 顶点为 圆心 ， 为半径 ，圆 心角为 150的弧 长； 第 二部分 为以 直角三 角 形 60的 直角 顶 点为圆 心， 1 为 半径， 圆心 角为 120的弧 长， 然后 根 据扇形 的面 积公式 计算 点 B 所经 过的 路径与 直 线 l 所 围成 的封 闭图形 的面 积【解答 】解 ： Rt ABC 中， A=60， AB C=90，AC B=30， BC= ，3将 RtABC 沿直 线 l 无滑 动地滚 动 至 RtDEF， 点 B 路径分 部分 ： 第
15、一部 分为 以直角 三角 形30的 直角 顶点 为圆 心 为半径 ， 圆心 角为 150的 弧长 ； 第 二部 分为 以直 角 三角 形 60的直角 顶点 为圆 心， 1 为 半径， 圆心 角 为 120的 弧长； 点 B 所 经 过 的 路 径 与 直 线 l 所 围 成 的 封 闭 图 形 的 面 积= 22150(3)0669=故答案 为 9【点评 】 本题 考查了 轨迹 ： 利 用特 殊几 何图形 描述 点运动 的轨 迹 ， 然后 利用 几何性 质计 算 相应的几 何量 5.（2018 贵 州贵 阳8 分） 如图， 在 RtA BC 中， 以下是 小亮 探究 与 之间关 系sinaAi
16、bB的方法 ：sinA = ，sinB=acbc= ，c=sinsiB =ab根据你 掌握 的三 角函 数知 识 在 图 的锐 角 ABC 中， 探 究 、 、 之间 的关 sinaAibBsincC系，并 写出 探究 过程 【分析 】三 式相 等， 理由 为：过 A 作 ADBC ，BE AC， 在 直角 三角 形 ABD 中 ，利用 锐角 三 角函数 定义 表示 出 AD，在 直角三 角形 ADC 中， 利用 锐角三 角函 数定 义表 示出 AD，两 者相 等 即可得 证【解答 】解 ： = = ，理 由为 ： sinabBsinc过 A 作 ADBC ，BE AC ，在 RtABD 中，
17、 sinB= ，即 cAD=csinB， 在 RtADC 中， sinC= ，ADb即 AD=bsinC，csin B=bsinC，即 = ib，ic，同理可 得 =sinaAcC则 = = sibBc【点评 】此 题考 查了 解直 角三角 形， 熟练 掌握 锐角 三角函 数定 义是 解本 题的 关键 三.解 答题1.（20 18江苏 无锡 10 分 ）如图 ，平 面直 角坐 标系 中，已 知 点 B 的 坐标 为（ 6，4） （1） 请用 直尺 （不 带刻 度 ）和圆 规作 一条 直 线 AC， 它与 x 轴 和 y 轴 的正 半轴 分别交 于 点 A 和点 C， 且使 ABC =90， A
18、BC 与 AOC 的面 积相 等 （ 作图 不必 写作 法， 但要 保留作 图痕 迹 ）（2） 问 ： （1） 中 这样 的直 线 AC 是否 唯一 ？若 唯一， 请说明 理由； 若不 唯一， 请在 图 中画 出 所有这 样的 直 线 AC，并 写 出与之 对应 的函 数表 达式 【分析 】 （1 ） 作线 段 OB 的垂直 平分 线 AC， 满 足条 件， 作 矩 形 OABC ， 直线 AC ， 满足条 件；（2） 分两 种情 形分 别求 解 即可解 决问 题；【解答 】 （1 ）解 ：如 图 ABC 即 为所 求；（2） 解： 这样 的直 线不 唯 一作线 段 OB 的 垂直 平分 线
19、AC，满 足条 件， 此时 直 线的解 析式 为 y= x+321作矩 形 OAB C ，直 线 AC ，满 足条 件， 此时 直线 AC 的 解析 式为 y= x+4【点评 】本 题考 查作 图 复杂作 图， 待定 系数 法等 知识， 解题 的关 键是 熟练 掌握基 本知 识 ， 属于中 考常 考题 型2.（ 2018江 苏徐 州7 分） 如图 ， 方 格纸 中的 每个 小 方格都 是边 长 为 1 个 单位 的正方 形 ， 在 建立平 面直 角坐 标系 后， ABC 的顶 点均 在格 点上 ，点 B 的坐 标为 （1 ，0）画出 AB C 关 于 x 轴对 称的 A1B1C1；画出 将 A
20、BC 绕原 点 O 按逆时 针旋 转 90所得 的 A 2B2C2；A 1B1C1 与 A2B2C2 成轴 对称图 形吗 ？若 成轴 对称 图形， 画出 所有 的对 称轴 ；A 1B1C1 与 A2B2C2 成中 心对称 图形 吗？ 若成 中心 对称图 形， 写出 所有 的对 称中心 的坐标 【分析 】 （1 ） 将 三角 形的 各顶点 ， 向 x 轴 作垂 线并 延长相 同长 度得 到三 点的 对应点 ， 顺 次连 接；（2） 将 三角 形的 各顶 点， 绕原 点 O 按 逆时 针旋 转 90得到 三点 的对 应点 顺 次连接 各对 应 点得 A2B2C2；（3）从 图中可 发现 成轴对 称
21、图形 ，根据 轴对称 图形 的性质 画出对 称轴即 连接 两对应 点的线 段，做 它的 垂直 平分 线；（4） 成中 心对 称图 形， 画 出两条 对应 点的 连线 ，交 点就是 对称 中心 【解答 】解 ：如 下图 所示 ：（3）成 轴对称 图形 ，根据 轴对称 图形的 性质画 出对 称轴即 连接两 对应点 的线 段，作 它的垂直平分 线，或连 接 A1C1，A 2C2 的 中点 的 连线为 对称 轴（4） 成中 心对 称， 对称 中 心为线 段 BB2 的中 点 P，坐 标是（ ， ） 12【点评 】本 题综 合考 查了 图形的 变换 ，在 图形 的变 换中， 关键 是找 到图 形的 对应
22、点 3.（20 18山东 东营 市1 0 分） （1 ）某 学校 “智 慧方 园”数 学社 团遇 到这 样一 个题目 ：如图 1，在 AB C 中 ，点 O 在线 段 BC 上， BAO =30，OA C=75， AO= ，BO ： CO=1：33，求 AB 的 长经过社 团成 员讨 论发 现， 过点 B 作 BDAC ， 交 AO 的延长 线于 点 D， 通过 构 造AB D 就可 以 解决问 题（ 如 图 2） 请回答 ： ADB= 75 ，AB= 4 3（2） 请参 考以 上解 决思 路 ，解决 问题 ：如图 3， 在 四边 形 ABCD 中， 对角 线 AC 与 BD 相交 于 点 O
23、， ACA D， AO= ， ABC= AC B=75，3BO：OD =1： 3， 求 DC 的长 【 分 析 】 （ 1） 根 据 平 行 线 的 性 质 可 得 出 ADB=OAC= 75， 结 合 BOD =CO A 可 得 出BOD C OA， 利用 相似 三角形 的性 质可 求 出 OD 的 值， 进而 可得 出 AD 的值 ， 由三角 形内 角 和定理 可得 出 ABD=75=ADB ，由 等角 对等 边可 得 出 AB=AD=4 ，此 题得 解；12（2） 过点 B 作 BEAD 交 AC 于 点 E，同 （1） 可得 出 AE=4 ，在 RtAE B 中 ， 利用勾 股定3理可
24、求 出 BE 的 长度 ，再 在 RtCAD 中， 利用 勾股 定理可 求 出 DC 的长 ，此 题 得解【解答 】解 ： （1 ） BD AC，AD B= OAC=75BO D= COA，BO D COA ， = =BC13 又AO = ，OD= AO= ，13AD=A O+OD=4 BA D=30， AD B=75，AB D=180B AD ADB= 75=A DB，AB=A D=4 故答3案 为： 75； 4 （2） 过点 B 作 BE AD 交 AC 于 点 E， 如图 所示 AC AD， BE AD，DA C= BEA=90AO D= EOB，AO D EOB ， = = EBO：
25、OD=1：3 ， = = OABDAO=3 ，EO= ，AE=4 AB C= ACB=75，BA C=30， AB=AC，AB=2 BE在 RtAEB 中， BE2+AE2=AB2，即 （4 ）32+BE2=（2B E2， 解得： BE=4，AB=A C=8，AD= 12在 RtCAD 中， AC2+AD2=CD2，即 82+122=CD2，解得： CD=4 13【点评 】 本题 考查了 相似 三角形 的性 质 、 等腰 三角 形的判 定与 性质 、 勾 股定 理以及 平行 线 的 性质， 解题 的关 键是： （1） 利用相 似三 角形 的性 质求 出 OD 的值； （2） 利用 勾股 定理求
26、 出 BE.CD 的长度 4.（20 18山东 济宁 市7 分）在 一次 数学 活动 课中 ，某数 学小 组探 究求 环形 花坛（ 如图 所 示） 面积 的方 法， 现有 以 下工具 ； 卷尺 ； 直棒 EF； T 型尺 （ CD 所在 的直线 垂 直 平分线 段 AB） （ 1） 在 图 1 中， 请你 画出 用 T 形尺 找大 圆圆 心的 示 意图 （保 留画 图痕 迹 ， 不 写 画 法 ） ；（ 2） 如 图 2， 小华 说： “我只用 一根 直棒 和一 个卷 尺就可 以求 出环 形花 坛的 面积 ， 具体 做 法如下 ：将直棒 放置 到与 小圆 相切 ，用卷 尺量 出此 时直 棒与
27、大圆两 交点 M， N 之间 的 距离， 就 可 求出环 形花 坛的 面积 ”如 果 测得 MN=10m，请 你求 出 这个环 形花 坛的 面积 【 解答 】 解 （ 1） 如图点 O 即为所 求；（2）设切点为 C，连接 OM，O CMN 是切 线，O CMN，CM=CN=5，OM 2 OC2=CM2=25，S 圆 环 = OM2 OC2=25 5.一节 数学 课上 ，老 师提 出了这 样一 个问 题： 如图 1，点 P 是正 方形 ABCD 内 一点， PA=1，PB=2， PC=3你 能求 出 APB 的 度数 吗？ 小明通过观 察、 分析 、思 考，形 成了 如下 思路 ：思路一 ：将
28、 BP C 绕 点 B 逆时针 旋 转 90， 得到 BPA ，连 接 PP， 求出 APB 的度 数； 思路二 ：将 AP B 绕 点 B 顺时针 旋 转 90， 得到 CPB， 连 接 PP， 求出 APB 的 度数 请参考 小明 的思 路， 任选 一种写 出完 整的 解答 过程 【类比 探究 】如图 2，若 点 P 是正 方形 ABCD 外 一点 ，PA =3， PB=1，PC= ，求 AP B 的 度数 【分析】 （ 1）思 路一、 先 利用旋转 求出 PBP=90，BP= BP=2， AP=CP=3， 利用勾股 定理 求出 PP， 进而 判断 出 APP是 直角 三角 形， 得出 A
29、PP=90，即 可得 出结 论 ； 思路二 、同 思路 一的 方法 即可得 出结 论；（2） 同（1 ）的 思路 一的 方法即 可得 出结 论【解答 】解 ： （1 ）思 路一 、如 图 1，将BP C 绕 点 B 逆时 针旋 转 90， 得到 BP A， 连接 PP ，AB P CB P，PB P=90，BP =BP=2，AP= CP=3， 在 RtPBP 中 ，BP= BP=2，BP P=45，根 据勾 股 定理得 ，PP = BP=2 ，AP=1 ，AP 2+PP2=1+8=9，AP 2=32=9，AP 2+PP2=AP2，AP P是 直角 三角 形， 且AP P=90，AP B= AP
30、P+B PP=90+45=135； 思路二 、同 思路 一的 方法 ；（2） 如图 2，将BP C 绕 点 B 逆时 针旋 转 90， 得到 BP A， 连接 PP ，AB P CB P，PB P=90，BP =BP=1，AP= CP= ， 1在 RtPBP 中 ，BP= BP=1，BP P=45，根 据勾 股 定理得 ，PP = BP= ，2AP=3 ，AP 2+PP2=9+2=11，AP 2=（ ） 2=11，AP 2+PP2=AP2，AP P是 直角 三角 形， 且AP P=90，AP B= APP BPP=90 45=45【点评 】 此 题是 四边 形综 合题， 主要 考查 了正 方形 的性质 ， 旋 转的 性质 ， 直 角三角 形的 性质和判定 ，勾 股定 理， 正确 作出辅 助线 是解 本题 的关 键6. （2 018金华 、丽 水 8 分）如 图， 在 66 的 网格 中，每 个小 正方 形的 边长 为 1，点 A 在 格点 （小 正方 形的 顶点 ） 上 试在 各网 格中 画出 顶 点在格 点上 ， 面积 为 6， 且 符合相 应条 件 的图形
