1、第 46 课时 二次函数综合型问题(50 分)一、选择题(每题 10 分，共 10 分)12016嘉兴 如图 461，抛物线 yx 22xm 1 交x 轴于点 A(a，0)和 B(b，0)，交 y 轴于点 C，抛物线的顶点为 D.下列四个判断：当 x0 时，y0；若a1，则 b4；抛物线上有两点 P(x1，y 1)和Q(x2，y 2)若 x12，则 y1y2；点 C 关于抛物线对称轴的对称点为 E，点 G，F 分别在 x 轴和y 轴上，当 m2 时，四边形 EDFG 周长最小值为 6 .2其中正确判断的序号是 (C)A B C D 【解析】 根据二次函数所作象限，判断出 y 的符号；根据 A，
2、B 关于对称轴对称，求出 b 的值；根据 1，得到 x11x 2，从而得到 Q 点距离对称轴较远，进而判x1 x22断出 y1y 2；作 D 关于 y 轴的对称点 D，E 关于 x 轴的对称点 E，连结 DE，D E与 DE 的和即为四边形 EDFG 周长的最小值求出 D，E ，D ，E 的坐标即可解答二、填空题(每题 10 分，共 10 分)来源:22016衢 州 如图 462，已知直线 y x3 分34别交 x 轴，y 轴于点 A，B，P 是抛物线y x22x5 上一个动点，其横坐标是 a，过12图 461图 462点 P 且平行 y 轴的直线交直线 y x3 于点 Q，则 PQBQ 时，
3、a 的值34是_4，1，42 或 42 _.5 5【解析】 P 点横坐标为 a，因为 P 点在抛物线 y x22x5 上，所以12P 点坐标为 ，又来源:学&科&网(a， 12a2 2a 5)PQy 轴，且 Q 点在函数 y x3 上，所以点 Q 坐标为 ，B34 (a， 34a 3)点坐标为(0 ，3) ，根据平面内两点间的距离公式，可得 PQ，BQ ，根据题意， PQBQ，所以( 12a2 114a 2)2 a2 (34a)2 ，解得 a 的值分别为1，4，42 或( 12a2 114a 2)2 a2 (34a)2 542 .5三、解答题(共 30 分)3(15 分)2017 内 江改编
4、如图 463，抛物线 yax 2bx c 经过点 A(3，0)，C(0，4) ，点 B 在抛物线上， CBx 轴且 AB 平分CAO.(1)求抛物线的解析式；(2)线段 AB 上有一动点 P，过 P 作 y 轴的平行线，交拋物线于点 Q，求线段PQ 的最大值解：(1)A( 3，0)， C(0，4)，AC5，AB 平分CAO，CABBAO ，CBx 轴，CBA BAO ，CABCBA，ACBC5，B(5，4)，图 463A(3，0)，C(0，4)，B(5，4)代入 yax 2bx c 得解得0 9a 3b c，4 c，4 25a 5b c，) a 16，b 56，c 4. )所以 y x2 x4
5、；16 56(2)设 AB 的解析式为 ykxb，把 A(3，0)，B(5 ，4) 代入得 解得0 3k b，4 5k b， ) k 12，b 32， )直线 AB 的解析式为 y x ；12 32可设 P ，Q ，(x， 12x 32) (x， 16x2 56x 4)则 PQ x2 x4 (x1) 2 ，当 x1 时，PQ 最大，且16 56 (12x 32) 16 83最大值为 .834(15 分)2016 福州改编 如图 464，抛物线 yx 24x 与 x 轴交于 O，A 两点，P 为抛物线上一点，过点 P 的直线 yxm 与对称轴交于点 Q.(1)这条 抛物线的对称轴是_x 2_；直
6、线 PQ 与 x 轴所夹锐角的度数是_45_；(2)若两个三角形面积满足 SPOQ SPAQ ，求 m 的值13解：(2)设直线 PQ 交 x 轴于点 B，分别过点 O，A 作 PQ 的垂线，垂足分别为 E，F .第 3 题答图当点 B 在 OA 的延长线上时，显然 SPOQ SPAQ 不成立13如答图所示，当点 B 落在线段 OA 上时， ，SPOQSPAQ OEAF 13由OBE ABF，得 ，OBAB OEAF 13AB3OB.OB OA.14由 yx 24x 得点 A(4，0)，OB 1，B(1，0)1m0，m1；如答图所示，当点 B 落在线段 AO 的延长线上时， ，S POQS P
7、AQ OEAF 13由OBE ABF，得 ，OBAB OEAF 13AB3OB.OB OA.12由 yx 24x 得点 A(4，0)，OB 2，B(2，0)2m0，m2.图 464第 4 题答图第 4 题答图综上所述，当 m1 或 2 时，S POQ SPAQ .13(30 分)5(15 分)2016 株洲如图 465，已知抛物线的表达式为 yx 26xc.(1)若抛物线与 x 轴有交点，求 c 的取值范围；(2)设抛物线与 x 轴两个交点的横坐标分别为 x1，x 2，若 x x 26，求 c 的值；21 2(3)若 P，Q 是抛物线上位于第一象限的不同两点，PA，QB 都垂直于 x 轴，垂足
8、分别为 A，B，且OPA与OQB 全等，求证：c .214解：(1)yx 26xc 与 x 轴有交点，x 26xc0 有实数根，b 24ac0 ，即 624(1) c0，解得 c9；(2)x 26xc0 有解，且 x x 26，21 2c9，(x 1x 2)22x 1x226，即 2 26，( 6 1)2 c 1解得 c5；(3)设 P 的坐标为(m，n)，则 Q 点坐标为(n，m)，且 m0，n0，mn，将这两个点的坐标代入方程得 m2 6m c n， n2 6n c m，)得n2m 27( mn) 0，(m n)(mn7)0，图 465mn7，n7m，代入方程得，m 27m(c 7)0，存
9、在这样的点，以上方程有解，7 24(1) (c7) 0，解得 c ，214而当 c 时，m ，此时 n ，214 72 72故 c .2146(15 分)2016 温州如图 466 抛物线 yx 2 6x 交 x 轴正半轴于点 A，顶点为 M，对称轴 MB 交 x 轴于点 B，过点C(2，0) 作射线 CD 交 MB 于点 D(D 在 x 轴上方)，OECD交 MB 于点 E，EF x 轴交 CD 的延长线于点 F，作直线MF.(1)求点 A，M 的坐标；(2)当 BD 为何值时，点 F 恰好落在该抛物线上？(3)当 BD1 时，求直线 MF 的解析式，并判断点 A 是否落在该直线上；延长 O
10、E 交 FM 于点 G，取 CF 中点 P，连结 PG，FPG，四边形DEGP，四边形 OCDE 的面积分别记为 S1，S 2，S 3，则S1S 2S 3_348_.解：(1)令 y0，则x 26x0，解得 x10，x 26，A(6，0)，对称轴是直线 x3， M(3 ，9)；(2)OECF，OCEF ， C(2，0)，EFOC2，BC1，图 466点 F 的横坐标为 5，点 F 落在抛物线 yx 26x 上，F(5，5)，BE 5. ，BDDE CBOC 12DE 2BD， BE 3BD，BD ；53(3)当 BD1 时，BE 3，F(5，3)设 MF 的解析式为 ykxb，将 M(3，9)
11、，F (5，3) 代入，得 解得9 3k b，3 5k b， ) k 3，b 18， )y3x18.当 x6 时， y36 180，点 A 落在直线MF 上；BD 1，BC1，BDC 为等腰直角三角形，OBE 为等腰直角三 角形，CD ，CFOE3 ，2 2 DP ，PF ，122 322根据 MF 及 OE 的解析式求得点 G 的坐标为 ，作 GNEF 交 EF 于点(92， 92)N，则 ENGN ，所以 EG ，S FPG ，S 梯形 DEGP，S 梯形 OCDE 的高相等，32 322所以三者面积比等于底之比，故 SFPG S 梯形 DEGPS 梯形 OCDEPF(DPEG) (DCO
12、E)第 6 题答图 (31)322 (12 32) 2 2 24348.32(20 分)7(20 分)2016 成都如图 467， 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线yax 22ax3a(a 0)与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，经过点A 的直线 l：y kxb 与 y 轴负半轴交于点 C，与抛物线的另一个交点为D，且 CD4AC.图 467 备用图(1)直接写出点 A 的坐标，并求直线 l 的函数表达式(其中 k，b 用含 a 的式子表示)；(2)点 E 是直线 l 上方的抛物线上的动点，若ACE 的面积的最大值为 ，求54a 的值；(3)设 P 是抛物线的对称轴上
13、的一点，点 Q 在抛物线上，以点 A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点 P 的坐标；若不能，请说明理由来源:Zxxk.Com解：(1)令 ax22ax3a0，解得 x11 ，x 23，A 点坐标为( 1，0)；直线 l 经过点 A， 0kb，bk ，ykxk，令 ax22ax3akxk ，即 ax2(2ak)x3ak0，CD4AC ，点 D 的横坐标为 4，3 14，k a，ka直线 l 的函数表达式为 yax a；(2)如答图，过点 E 作 EFy 轴，交直线 l 于点 F，设 E(x，ax 22ax3a)，则 F(x，axa)，EFax 22ax3a(axa)ax 23a
14、x4a，SACE S AFE S CFE (ax23ax4a)(x 1)12 (ax23ax 4a) x (ax23ax 4a)12 12 a a，12(x 32)2 258ACE 的面积的最大值为 a.258 ACE 的面积的最大值为 ，54 a ，解得 a ；258 54 25(3)令 ax22ax3aaxa，即 ax23ax4a0，解得 x11 ，x 24，D(4， 5a)，yax 22ax3a，抛物线的对称轴为 x1，设 P(1，m)，如答图，若 AD 是矩形的一条边，则 Q(4， 21a)，m21a5a26a，则 P(1，26a)，第 7 题答图四边形 ADPQ 为矩形，ADP 90
15、，AD 2 PD2 AP2，5 2(5 a)2 (14) 2(26a5a) 2(11) 2(26a) 2，即 a2 ，a0，a ，17 77P 1 ；(1， 2677 )第 7 题答图如答图，若 AD 是矩形的一条对角线，则线段 AD 的中点坐标为 ，Q(2，3a)，(32，5a2)m5a(3a) 8a，则 P(1，8a)，四边形 APDQ 为矩形，APD 90，AP 2PD 2AD 2，(1 1) 2 (8a)2(1 4)2(8a5a) 25 2(5a) 2，即 a2 ，a0，a ，14 12P 2(1，4)，综上所述，以点 A，D，P，Q 为顶点的四边形能成为矩形，点 P 的坐标为或(1，4)(1， 2677 )
