1、天王星围绕太阳公转的轨道半径长约为 2900000000km，数字 2900000000 用科学 记数法表示为（ ） A2.9108 B2.9109 C29108 D0.291010 3 （3 分）若|x+2|+（y3）20，则 xy 的值为（ ） A5 B5 C1 D1 4 （3 分）函数 y的自变量 x 的取值范围是（ ） Ax0 Bx0 Cx0 Dx 5 （3 分）已知正比例函数 yk1x 和反比例函数 y，在同一直角坐标系下的图象如图 所示，其中符合 k1k20 的是（ ） A B C D
2、;6 （3 分）将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字 5 所在的面相对的面上标的数字为（ ） A1 B2 C3 D4 7 （3 分）在一次青年歌手比赛中，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5，9.4，9.6， 9.9，9.3，9.7，9.0（单位：分） 若去掉一个最高分和一个最低分则去掉前与去掉后没 有改变的一个统计量是（ ） A平均分 B方差 C中位数 D极差 第 2 页（共 29 页） 8 （3 分）底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为 1： 3，则圆锥与圆柱的体积的比为（ ）
3、 A1：1 B1：3 C1：6 D1：9 9 （3 分）已知两个直角三角形的三边长分别为 3，4，m 和 6，8，n，且这两个直角三角形 不相似，则 m+n 的值为（ ） A10+或 5+2 B15 C10+ D15+3 10 （3 分）如图，在边长为 2 的正方形 EFGH 中，M，N 分别为 EF 与 GH 的中点，一个三 角形 ABC 沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点 A 恒在直线 MN 上，当点 A 运动到 线段 MN 的中点时，点 E，F 恰与 AB，AC 两边的中点重合，设点 A 到 EF 的距离为 x， 三角形 ABC 与正方
4、形 EFGH 的公共部分的面积为 y则当 y时，x 的值为（ ） A或 2+ B或 2 C2 D或 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分不需写出解答过程，请分不需写出解答过程，请把答案直接把答案直接 填写在答题卡相应位置上）填写在答题卡相应位置上） 11 （3 分）点 P（2，3）关于 y 轴的对称点 Q 的坐标为 12 （3 分）分解因式：a34a 13（3 分） 一个周长为 16cm 的三角形， 由它的三条中位线构成的三角形的周长为 &
5、nbsp; cm 14 （3 分）将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若AOD108，则COB 15 （3 分）两个人做游戏：每个人都从1，0，1 这三个整数中随机选择一个写在纸上，则 两人所写整数的绝对值相等的概率为 16 （3 分）如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去， 第 3 页（共 29 页） 则第 20 个图需要黑色棋子的个数为 17 （3 分）已知关于 x 的一元二次方程：x22xa0，有下列结
6、论： 当 a1 时，方程有两个不相等的实根； 当 a0 时，方程不可能有两个异号的实根； 当 a1 时，方程的两个实根不可能都小于 1； 当 a3 时，方程的两个实根一个大于 3，另一个小于 3 以上 4 个结论中，正确的个数为 18 （3 分）如图，等边ABC 中，AB3，点 D，点 E 分别是边 BC，CA 上的动点，且 BD CE，连接 AD、BE 交于点 F，当点 D 从点 B 运动到点 C 时，则点 F 的运动路径的长 度为 三、解答题（本大题共三、解答题（
7、本大题共 10 小题，共小题，共 66 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤）字说明、证明过程或演算步骤） 19 （4 分）计算：|5|（1）0+（） 1 20 （4 分）先化简，再求值： （x+5） （x1）+（x2）2，其中 x 21 （5 分）解方程：1 22 （6 分）如图，AB，CD 为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点 M，从 建筑物 AB 的顶点 A 测得 M 点的俯角为 45，从建筑物 CD 的顶点 C 测得 M 点的俯角 为 75，测得建筑物
8、 AB 的顶点 A 的俯角为 30若已知建筑物 AB 的高度为 20 米，求 两建筑物顶点 A、C 之间的距离（结果精确到 1m，参考数据：1.414，1.732） 第 4 页（共 29 页） 23 （7 分）为了了解某校某年级 1000 名学生一分钟的跳绳次数，从中随机抽取了 40 名学 生的一分钟跳绳次数（次数为整数，且最高次数不超过 150 次） ，整理后绘制成如图的频 数直方图，图中的 a，b 满足关系式 2a3b后由于保存不当，部分原始数据模糊不清， 但已知缺失数据都大于 120请结合所给条件，回答下列问题 （1）求问
9、题中的总体和样本容量； （2）求 a，b 的值（请写出必要的计算过程） ； （3）如果一分钟跳绳次数在 125 次以上（不含 125 次）为跳绳成绩优秀，那么估计该校 该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人？（注：该年级共 1000 名学生） 24 （7 分）如图，在矩形 ABCD 中，O 为对角线 AC 的中点，过点 O 作直线分别与矩形的 边 AD，BC 交于 M，N 两点，连接 CM，AN （1）求证：四边形 ANCM 为平行四边形； （2）若 AD4，AB2，且 MNAC，求 DM 的长 25 （7 分）期中
10、考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰她到 商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本 15 个，乙种笔记本 20 个，共 花费 250 元已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费 5 元 第 5 页（共 29 页） （1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？ （2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记 本共 35 个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价 2 元，乙种笔记本按上一次购买时售价的 8 折出售如果班主任此次购买甲、乙两种笔记
11、 本的总费用不超过上一次总费用的 90%，求至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买 两种笔记本总费用的最大值 26 （8 分）如图，反比例函数 y与一次函数 yx（k+1）的图象在第二象限的交点 为 A，在第四象限的交点为 C，直线 AO（O 为坐标原点）与函数 y的图象交于另一 点 B过点 A 作 y 轴的平行线，过点 B 作 x 轴的平行线，两直线相交于点 E，AEB 的 面积为 6 （1）求反比例函数 y的表达式； （2）求点 A，C 的坐标和AOC 的面积 27 （9 分）如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 交 BC 于
12、点 D，连接 AD，过 点 D 作 DMAC，垂足为 M，AB、MD 的延长线交于点 N （1）求证：MN 是O 的切线； （2）求证：DN2BN （BN+AC） ； （3）若 BC6，cosC，求 DN 的长 第 6 页（共 29 页） 28 （9 分）如图，抛物线 yax2+bx+12 与 x 轴交于 A，B 两点（B 在 A 的右侧） ，且经过点 C（1，7）和点 D（5，7） （1）求抛物线的函数表达式； （2）连接 AD，经过点 B 的直线 l 与线段 AD 交于点 E，
13、与抛物线交于另一点 F连接 CA，CE，CD，CED 的面积与CAD 的面积之比为 1：7，点 P 为直线 l 上方抛物线上 的一个动点，设点 P 的横坐标为 t当 t 为何值时，PFB 的面积最大？并求出最大值； （3）在抛物线 yax2+bx+12 上，当 mxn 时，y 的取值范围是 12y16，求 mn 的取值范围 （直接写出结果即可） 第 7 页（共 29 页） 2020 年黑龙江省大庆市中考数学试卷年黑龙江省大庆市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择
14、题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分在每小题所给出的四个选项中，分在每小题所给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上） 1 （3 分）在1，0，这四个数中，最大的数是（ ） A1 B0 C D 【分析】实数大小比较的法则：正数都大于 0；负数都小于 0；正数大于一切负 数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可 【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得 10， 在这四个数中，最大的数是
15、 故选：C 【点评】此题考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确： 正数都大于 0；负数都小于 0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值 反而小 2 （3 分）天王星围绕太阳公转的轨道半径长约为 2900000000km，数字 2900000000 用科学 记数法表示为（ ） A2.9108 B2.9109 C29108 D0.291010 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位
16、数相 同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：2900000000 用科学记数法表示为 2.9109， 故选：B 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其 中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 3 （3 分）若|x+2|+（y3）20，则 xy 的值为（ ） A5 B5 C1 D1 【分析】利用非负数的性质得出 x，y 的值，代入计算得出答案 第 8 页（共 29 页）
17、; 【解答】解：|x+2|+（y3）20， x+20，y30， 解得：x2，y3， 故 xy235 故选：A 【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出 x，y 的值是解题的关键 4 （3 分）函数 y的自变量 x 的取值范围是（ ） Ax0 Bx0 Cx0 Dx 【分析】根据被开方数大于等于 0 列式计算即可得解 【解答】解：根据题意可得：2x0， 解得：x0， 故选：C 【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式
18、是整 式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式 时，被开方数非负 5 （3 分）已知正比例函数 yk1x 和反比例函数 y，在同一直角坐标系下的图象如图 所示，其中符合 k1k20 的是（ ） A B C D 【分析】根据各个小题中的函数图象，可以得到 k1和 k2的正负情况，从而可以判断 k1 k2的正负情况，从而可以解答本题 【解答】解：中 k10，k20，故 k1k20，故符合题意； 中 k10，k20，故 k1k20，故不符合题意； &nbs
19、p;中 k10，k20，故 k1k20，故不符合题意； 中 k10，k20，故 k1k20，故符合题意； 第 9 页（共 29 页） 故选：B 【点评】本题考查反比例函数的性质、正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意， 利用数形结合的思想解答 6 （3 分）将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字 5 所在的面相对的面上标的数字为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答 【解答】解
20、：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “1”与“6”是相对面， “5”与“2”是相对面， “3”与“4”是相对面 故选：B 【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对 面入手，分析及解答问题 7 （3 分）在一次青年歌手比赛中，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5，9.4，9.6， 9.9，9.3，9.7，9.0（单位：分） 若去掉一个最高分和一个最低分则去掉前与去掉后没 有改变的一个统计量是（ ） A平均分 B方差 C中位数 D极差 【分析】
21、根据中位数的实际意义，通过比较去掉最高分和最低分前后的数据变化进行判 断即可 【解答】解：原来 7 个数据，从小到大排列处在中间位置的那个数与去掉一个最高和一 个最低后剩下的 5 个数中间位置的那个数是相同的， 因此中位数不变， 故选：C 【点评】本题考查中位数、众数、平均数、极差的意义，理解各个概念的意义和计算方 法是正确判断的前提 8 （3 分）底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为 1： 3，则圆锥与圆柱的体积的比为（ ） 第 10 页（共 29 页） A1：1 B1：3 C1：6 D1：9
22、 【分析】设圆锥和圆柱的底面圆的半径为 r，圆锥的高为 h，则圆柱的高为 3h，然后利用 圆锥和圆柱的体积公式计算 【解答】解：设圆锥和圆柱的底面圆的半径为 r，圆锥的高为 h，则圆柱的高为 3h， 所以圆锥与圆柱的体积的比（r2h） ： （r23h）1：9 故选：D 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆 锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长也考查了圆柱 9 （3 分）已知两个直角三角形的三边长分别为 3，4，m 和 6，8，n，且这两个直角三角形 不相似，则 m+n 的值为（ ）
23、 A10+或 5+2 B15 C10+ D15+3 【分析】直接利用相似三角形的性质结合勾股定理分别得出符合题意的答案 【解答】解：当 3，4 为直角边，6，8 也为直角边时，此时两三角形相似，不合题意； 当 3，4 为直角边，m5；则 8 为另一三角形的斜边，其直角边为：2， 故 m+n5+2； 当 6，8 为直角边，n10；则 4 为另一三角形的斜边，其直角边为：， 故 m+n10+； 故选：A 【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确分类讨论是解题关键 10 （3
24、分）如图，在边长为 2 的正方形 EFGH 中，M，N 分别为 EF 与 GH 的中点，一个三 角形 ABC 沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点 A 恒在直线 MN 上，当点 A 运动到 线段 MN 的中点时，点 E，F 恰与 AB，AC 两边的中点重合，设点 A 到 EF 的距离为 x， 三角形 ABC 与正方形 EFGH 的公共部分的面积为 y则当 y时，x 的值为（ ） 第 11 页（共 29 页） A或 2+ B或 2 C2 D或 【分析】分两种情形：如图 1 中，当过 A 在正方形内部时，连接 EG 交 MN 于 O，连接 O
25、F，设 AB 交 EH 于 Q，AC 交 FG 于 P如图 2 中，当点 A 在正方形外部时，分别求解 即可解决问题 【解答】解：如图 1 中，当过 A 在正方形内部时，连接 EG 交 MN 于 O，连接 OF，设 AB 交 EH 于 Q，AC 交 FG 于 P 由题意，ABC 是等腰直角三角形，AQOEOGAPOF，SOEF1， y， S四边形AOEQ+S四边形AOFP1.5， OA21.5， OA， AM1+ 如图 2 中，当点 A 在正方形外部时， 第 12 页
26、（共 29 页） 由题意，重叠部分是六边形 WQRJPT，S重叠SABC2SBQRSAWT， 2.512ANAN， 解得 AN， AM2+， 综上所述，满足条件的 AM 的值为或 2+， 故选：A 【点评】本题考查正方形的性质，平移变换，多边形的面积等知识，解题的关键是理解 题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分不需写出解答过程，请把答案直接分不需写出解答过程，请把答案直接 填
27、写在答题卡相应位置上）填写在答题卡相应位置上） 11 （3 分）点 P（2，3）关于 y 轴的对称点 Q 的坐标为 （2，3） 【分析】根据平面直角坐标系中任意一点 P（x，y） ，关于 y 轴的对称点的坐标是（x， y）即求关于 y 轴的对称点时：纵坐标不变，横坐标变成相反数，据此即可解答 【解答】解：点 P（2，3）关于 y 轴的对称点 Q 的坐标为（2，3） 故答案为： （2，3） 【点评】本题考查了关于 x 轴、y 轴的对称点的坐标解题的关键是掌握关于 x 轴、y 轴 的对称点的坐标的特征，关于 x 轴对称的两个点纵坐标
28、不变，横坐标变成相反数 12 （3 分）分解因式：a34a a（a+2） （a2） 【分析】原式提取 a，再利用平方差公式分解即可 【解答】解：原式a（a24） a（a+2） （a2） 故答案为：a（a+2） （a2） 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本 题的关键 13 （3 分）一个周长为 16cm 的三角形，由它的三条中位线构成的三角形的周长为 8 cm 【分析】根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一 半即可求得结果 &
29、nbsp;【解答】解：如图，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点 第 13 页（共 29 页） DEBC 同理可得： DFAC，EFAB， DE+DF+EF（AB+BC+AC）168（cm） 则三条中位线构成的三角形的周长为 8cm 故答案为：8 【点评】本题考查了三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理 14 （3 分）将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若AOD108，则COB 72 【分析】根据COD
30、90，AOD108，进而得出AOC 的度数，根据COB AOBAOC 即可得出结论 【解答】解：COD90，AOB90，AOD108， AOCAODCOD1089018， COBAOBAOC901872 故答案为：72 【点评】本题考查了角的计算及直角三角形，熟知角的和差计算方法是解答此题的关键 15 （3 分）两个人做游戏：每个人都从1，0，1 这三个整数中随机选择一个写在纸上，则 两人所写整数的绝对值相等的概率为 【分析】画树状图展示所有 9 种等可能的结果，找出其中两数的绝对值相等的结果数， 然后根据概
31、率公式求解 【解答】解：画树状图为： 第 14 页（共 29 页） 共有 9 种等可能的结果，其中两数的绝对值相等的结果数为 5， 所以两人所写整数的绝对值相等的概率 故答案为 【点评】 本题考查了列表法与树状图法： 利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n， 再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概 率 16 （3 分）如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去， 则第 20 个图需要黑色棋子的个数
32、为 440 【分析】观察图形可得前几个图需要黑色棋子的个数，发现规律即可得第 20 个图需要黑 色棋子的个数 【解答】解：观察图形可知： 第 1 个图需要黑色棋子的个数为：313； 第 2 个图需要黑色棋子的个数为：824； 第 3 个图需要黑色棋子的个数为：1535； 第 4 个图需要黑色棋子的个数为：2446； 发现规律： 第 n 个图需要黑色棋子的个数为：n（n+2） ； 所以第 20 个图需要黑色棋子的个数为：20（20+2）440 故答案
33、为：440 【点评】本题考查了规律型图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规 律 17 （3 分）已知关于 x 的一元二次方程：x22xa0，有下列结论： 第 15 页（共 29 页） 当 a1 时，方程有两个不相等的实根； 当 a0 时，方程不可能有两个异号的实根； 当 a1 时，方程的两个实根不可能都小于 1； 当 a3 时，方程的两个实根一个大于 3，另一个小于 3 以上 4 个结论中，正确的个数为 【分析】根据判别式，根与系数的关系，二次函
34、数的性质一一判断即可 【解答】解：x22xa0， 4+4a， 当 a1 时，0，方程有两个不相等的实根，故正确， 当 a0 时，两根之积0，方程的两根异号，故错误， 方程的根为 x1， a1， 方程的两个实根不可能都小于 1，故正确， 若方程的两个实根一个大于 3，另一个小于 3 则有 326a0， a3，故正确， 故答案为 【点评】本题考查一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，二次函数的性质等知 识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题
35、 18 （3 分）如图，等边ABC 中，AB3，点 D，点 E 分别是边 BC，CA 上的动点，且 BD CE，连接 AD、BE 交于点 F，当点 D 从点 B 运动到点 C 时，则点 F 的运动路径的长 度为 【分析】根据已知条件证明ABDBCE，再得AFB120，可得点 F 的运动轨迹 是以点 O 为圆心，OA 为半径的弧，此时AOB120，OA，根据弧长公式即可 第 16 页（共 29 页） 得点 F 的运动路径的长度 【解答】解：ABC 是等边三角形， ABBCAC，ABCBACBCE60， &
36、nbsp;在ABD 和BCE 中， ， ABDBCE（SAS） ， BADCBE， AFEBAD+FBACBE+FBAABC60， AFB120， 点 F 的运动轨迹是以点 O 为圆心，OA 为半径的弧， 如图， 此时AOB120，OA， 所以弧 AB 的长为： 则点 F 的运动路径的长度为 故答案为： 【点评】本题考查了轨迹、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，解决本题的 关键是综合运用以上知识 三、解答题（本大题共三、解答题（本
37、大题共 10 小题，共小题，共 66 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤）字说明、证明过程或演算步骤） 19 （4 分）计算：|5|（1）0+（） 1 第 17 页（共 29 页） 【分析】原式第一项绝对值计算，第二项利用零指数幂的法则计算，第三项利用负指数 幂的法则计算，计算即可得到结果 【解答】解：|5|（1）0+（） 1 51+3 7 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 20
38、 （4 分）先化简，再求值： （x+5） （x1）+（x2）2，其中 x 【分析】根据整式的混合运算顺序先进行整式的化简，再代入值进行计算即可 【解答】解：原式x2+4x5+x24x+4 2x21， 当 x时，原式2（）215 【点评】本题考查了整式的混合运算化简求值，解决本题的关键是先进行整式的化简， 再代入值进行计算 21 （5 分）解方程：1 【分析】根据解分式方程的步骤解答即可 【解答】解：方程的两边同乘 x1，得：2xx+14， 解这个方程，得：x3， 经检验，x3
39、 是原方程的解， 原方程的解是 x3 【点评】本题主要考查了解分式方程，会把分式方程转化为整式方程是解答本题的关键 22 （6 分）如图，AB，CD 为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点 M，从 建筑物 AB 的顶点 A 测得 M 点的俯角为 45，从建筑物 CD 的顶点 C 测得 M 点的俯角 为 75，测得建筑物 AB 的顶点 A 的俯角为 30若已知建筑物 AB 的高度为 20 米，求 两建筑物顶点 A、C 之间的距离（结果精确到 1m，参考数据：1.414，1.732） 第 18 页（共 29 页）
40、; 【分析】在 RtABM 中，根据等腰直角三角形的性质求得 AM，在 RtAME 中，根据正 弦函数求得 AE，在 RtAEC 中，根据正弦函数求得 AC 【解答】解：ABBD，BAM45， AMB45， AMBBAM， ABBM20， 在 RtABM 中，AM20， 作 AEMC 于 E， 由题意得ACM45，CAM75， AMC60， 在 RtAME 中，AM20， sinAME， AEsin60202010， 在 RtAEC 中，A
41、EC90，ACE45，AE10， sinACE， AC2035（米） ， 答：两建筑物顶点 A、C 之间的距离约为 35 米 第 19 页（共 29 页） 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，借助俯角关系构造直角三角形，并结合图形 利用三角函数解直角三角形是解题关键 23 （7 分）为了了解某校某年级 1000 名学生一分钟的跳绳次数，从中随机抽取了 40 名学 生的一分钟跳绳次数（次数为整数，且最高次数不超过 150 次） ，整理后绘制成如图的频 数直方图，图中的 a，b 满足关系式 2a3b后由于保
42、存不当，部分原始数据模糊不清， 但已知缺失数据都大于 120请结合所给条件，回答下列问题 （1）求问题中的总体和样本容量； （2）求 a，b 的值（请写出必要的计算过程） ； （3）如果一分钟跳绳次数在 125 次以上（不含 125 次）为跳绳成绩优秀，那么估计该校 该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人？（注：该年级共 1000 名学生） 【分析】 （1）根据总体和样本容量的定义即可得问题中的总体和样本容量； （2） 根据表格所给数据先求出 50.575.5 的有 4 人， 75.5100.5 的有 16 人， 再根据 a+b
43、20，2a3b，即可求出 a，b 的值； （3） 利用样本估计总体的方法即可估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少 人 【解答】解： （1）1000 名学生一分钟的跳绳次数是总体， 40 名学生的一分钟跳绳次数是样本容量； （2）由题意所给数据可知： 50.575.5 的有 4 人， 75.5100.5 的有 16 人， a+b4041620， 2a3b， 解得 a12，b8， （3）1000200（人） ， 第 20 页（共 29 页） &
44、nbsp; 答：估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是 200 人 【点评】本题考查了频数分布直方图、总体、个体、样本、样本容量、用样本估计总体， 解决本题的关键是综合运用以上知识 24 （7 分）如图，在矩形 ABCD 中，O 为对角线 AC 的中点，过点 O 作直线分别与矩形的 边 AD，BC 交于 M，N 两点，连接 CM，AN （1）求证：四边形 ANCM 为平行四边形； （2）若 AD4，AB2，且 MNAC，求 DM 的长 【分析】 （1）在矩形 ABCD 中，O 为对角线 AC 的中点，可得 ADBC，AOCO，可
45、以 证明AOMCON 可得 AMCN，进而证明四边形 ANCM 为平行四边形； （2）根据 MNAC，可得四边形 ANCM 为菱形；根据 AD4，AB2，AMANNC ADDM，即可在 RtABN 中，根据勾股定理，求 DM 的长 【解答】解： （1）证明：在矩形 ABCD 中，O 为对角线 AC 的中点， ADBC，AOCO， OAMOCN，OMAONC， 在AOM 和CON 中， ， AOMCON（AAS） ， AMCN， AMCN， 四边形 ANCM 为平行四边形； &
46、nbsp;（2）在矩形 ABCD 中，ADBC， 由（1）知：AMCN， DMBN， 四边形 ANCM 为平行四边形，MNAC， 平行四边形 ANCM 为菱形， 第 21 页（共 29 页） AMANNCADDM， 在 RtABN 中，根据勾股定理，得 AN2AB2+BN2， （4DM）222+DM2， 解得 DM 【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质， 解决本题的关键是综合运用以上知识 25 （
47、7 分）期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰她到 商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本 15 个，乙种笔记本 20 个，共 花费 250 元已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费 5 元 （1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？ （2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记 本共 35 个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价 2 元，乙种笔记本按上一次购买时售价的 8 折出售如果班主任此次购买甲、乙两种笔记 本的总费用不超过上一次总费用的 90%，求
48、至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买 两种笔记本总费用的最大值 【分析】 （1）设购买一个甲种笔记本需要 x 元，购买一个乙种笔记本需要 y 元，根据“购 买甲种笔记本 15 个，乙种笔记本 20 个，共花费 250 元；购买一个甲种笔记本比购买一 个乙种笔记本多花费 5 元” ，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买 m 个甲种笔记本，则购买（35m）个乙种笔记本，根据总价单价数量 结合此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的 90%，即可得出关于 m 的一元一次不等式，解之即可得出 m 的取值范围，结合 m 为正整数可
49、得出最多购买甲种 笔记本的个数，设购买两种笔记本总费用为 w 元，根据总价单价数量，即可得出 w 关于 m 的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题 【解答】解： （1）设购买一个甲种笔记本需要 x 元，购买一个乙种笔记本需要 y 元， 依题意，得：， 解得： 答：购买一个甲种笔记本需要 10 元，购买一个乙种笔记本需要 5 元 （2）设购买 m 个甲种笔记本，则购买（35m）个乙种笔记本， 第 22 页（共 29 页） 依题意，得： （102）m+50.8（35m）25090%， &
50、nbsp;解得：m21， 又m 为正整数， m 可取的最大值为 21 设购买两种笔记本总费用为 w 元，则 w（102）m+50.8（35m）4m+140， k40， w 随 m 的增大而增大， 当 m21 时，w 取得最大值，最大值421+140224 答：至多需要购买 21 个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为 224 元 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性 质，解题的关键是： （1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组； （2）根据各数量之 间
51、的关系，正确列出一元一次不等式 26 （8 分）如图，反比例函数 y与一次函数 yx（k+1）的图象在第二象限的交点 为 A，在第四象限的交点为 C，直线 AO（O 为坐标原点）与函数 y的图象交于另一 点 B过点 A 作 y 轴的平行线，过点 B 作 x 轴的平行线，两直线相交于点 E，AEB 的 面积为 6 （1）求反比例函数 y的表达式； （2）求点 A，C 的坐标和AOC 的面积 【分析】 （1）由题意得，点 A 与点 B 关于原点对称，即 OAOB，从而得出， 第 23 页（共 29 页） 进一步求出三角形
52、 AOM 的面积，求出 k 的值即可； （2）求出一次函数 yx+2 与 y 轴的交点 N 坐标，根据 SAOCSCON+SAON 计算结 果即可 【解答】解： （1）由题意得，点 A 与点 B 关于原点对称，即 OAOB， （）2， 又AEB 的面积为 6， SAOMSABE6|k|， k3，k3（舍去） ， 反比例函数的关系式为 y； （2）由 k3 可得一次函数 yx+2，由题意得， ，解得， 又 A 在第二象限，点 C 在第四象限， 点 A（1，3） ，点
53、 C（3，1） ， （2）一次函数 yx+2 与 y 轴的交点 N 的坐标为（0，2） ， SAOCSCON+SAON2（1+3）4 【点评】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入是求关 系式常用方法，理解反比例函数 k 的几何意义是正确解答的关键 27 （9 分）如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 D，连接 AD，过 点 D 作 DMAC，垂足为 M，AB、MD 的延长线交于点 N 第 24 页（共 29 页） （1）求证：MN 是O 的切线； &
54、nbsp;（2）求证：DN2BN （BN+AC） ； （3）若 BC6，cosC，求 DN 的长 【分析】 （1）如图，连接 OD，由圆周角定理可得ADB90，由等腰三角形的性质可 得 BDCD，BADCAD，由三角形中位线定理可得 ODAC，可证 ODMN，可 得结论； （2）通过证明BDNDAN，可得，可得结论； （3）由等腰三角形的性质可得 BDCD3，由锐角三角函数可求 ACAB5，由勾股 定理可求 AD4，由相似三角形的性质可得，即可求解 【解答】证明： （1）如图，连接 OD， AB 是直径，
55、ADB90， 又ABAC， 第 25 页（共 29 页） BDCD，BADCAD， AOBO，BDCD， ODAC， DMAC， ODMN， 又OD 是半径， MN 是O 的切线； （2）ABAC， ABCACB， ABC+BAD90，ACB+CDM90， BADCDM， BDNCDM， BADBDN， 又NN， BDNDAN， ， DN2BNANBN
56、（BN+AB）BN （BN+AC） ； （3）BC6，BDCD， BDCD3， cosC， AC5， AB5， AD4， BDNDAN， ， BNDN，DNAN， BN（AN）AN， BN+ABAN， 第 26 页（共 29 页） AN+5AN AN， DNAN 【点评】本题是圆的综合题，考查了切线的判定和性质，三角形中位线定理，圆的有关 知识，相似三角形的判定和性质等知识，利用相似三角形
57、的性质可求线段的长度是本题 的关键 28 （9 分）如图，抛物线 yax2+bx+12 与 x 轴交于 A，B 两点（B 在 A 的右侧） ，且经过点 C（1，7）和点 D（5，7） （1）求抛物线的函数表达式； （2）连接 AD，经过点 B 的直线 l 与线段 AD 交于点 E，与抛物线交于另一点 F连接 CA，CE，CD，CED 的面积与CAD 的面积之比为 1：7，点 P 为直线 l 上方抛物线上 的一个动点，设点 P 的横坐标为 t当 t 为何值时，PFB 的面积最大？并求出最大值； （3）在抛物线 yax2+bx+12 上，当 mxn 时，y 的取值范围是 12y16，求
