1、2020 长春数学中考冲刺卷长春数学中考冲刺卷 一一、选择题选择题 （本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 1.-2 的绝对值是（ ） A.2 B.-2 C. 1 2 D. 1 2 2. “全民行动， 共同节约” ， 我国13亿人口如果都响应国家号召每人每年节约1度电， 一年可节约电13000000， 这个数用科学记数法表示，正确的是（ ） A. 8 1.3 10 B. 9 1.3 10 C. 10 0.13 10 D. 10 1.3 10 3.不等式组 12 342 x x 的解集表示在数轴上正确的是（ ） A. B. C. D. 4.由 5 个完全相同的正方体组成的立体图形如
2、图所示，从正面看这个立体图形得到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 5.如图，直线l分别与直线AB、CD相交于点E、F，EG平分BEF交直线CD于点G，若 168BEF ，则EGF的大小为（ ） A.34 B.36 C.38 D.68 6.如图，在ABC中，5AB，4AC ，60A ，若边AC的垂直平分线DE交AB于点D，连接 CD，则BDC的周长为（ ） A.8 B.9 C.521 D.517 7.如图，在平行四边形ABCD中，2AB ，3BC .以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P， 交CD于点Q， 再分别以点P，Q为圆心， 大于PQ的长为半径画弧， 两弧相交于点N， 射线
3、CN交BA 的延长线于点E，则AE的长是（ ） A. 1 2 B.1 C. 6 5 D. 3 2 8.如图，平面直角坐标系中，B在x轴上，90ABO ，点A的坐标为1,2.将AOB绕点A逆时针 旋转90，点O的对应点C恰好落在双曲线(0) k yx x 上，则k的值为（ ） A.2 B.3 C.4 D.6 二、填空题二、填空题 （本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 9.计算 1 273 3 的结果是_. 10.因式分解36xyy_. 11.已知关于x的方程 2 210axx 有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_. 12.如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD
4、的长为 1 米，继续往前走 2 米到达E处 时，测得影子EF的长为 2 米，已知王华的身高是 1.5 米，那么路灯A的高度等于_. 13.九章算术是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题： “今有 竹高一丈， 末折抵地， 去本三尺， 问折者高几何？” 翻译成数学问题是： 如图所示，ABC中，90ACB， 10ACAB，3BC ，求AC的长.在这个问题中，AC的长为_. 14.直线41yx与抛物线 2 2yxxk有唯一交点，则k _. 三、解答题三、解答题 （本大题共 10 小题，共 78 分） 15.先化简，再求值： 2 1 (1)2 x x x ，其中 5 2
5、 x . 16.小石和小丁利用盒子里的三张卡片做游戏，卡片上分别写有A，A，B，这些卡片除了字母外完全相 同.从中随机摸出一张卡片记下字母，放回盒子后充分搅匀，再从中随机摸出一张卡片记下字母.如果两次摸 到的卡片字母相同则小石获胜，否则小丁获胜，这个游戏公平吗？请用画树状图或列表的方法说明理由. 17.图、 图、 图均是6 6的正方形网格， 每个小正方形的顶点称为格点， 小正方形的边长均为 1， 点A、 B、C、D、E、F均在格点上.只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，所图形的顶点均 在格点上，且在图、图、图中所画的图形互相不全等，不要求写画法. （1）在图中以线段AB为一腰画一个等
6、腰ABP. （2）在图中以线段CD为底画一个等腰CDM. （3）在图中以线段EF为一边画一个等腰RtEFN，你所画的EFN的面积为_. 18.如图，AB为O直径，C、D为O上的点，CDCA，CEDB交DB的延长线于点E. （1）判断直线CE与O的位置关系，并说明理由 （2）若4AC ，5AB，求CE的长. 19.图书管理员张老师 3 小时清点了科技类图书的一半，李老师加入后两人合作 1.2 小时，完成全部科技类 图书清理工作.若李老师单独清点全部科技类图书需要几小时？ 20.为节约水资源，某市已于 2017 年 1 月按居民家庭年用水量实行阶梯水价，水价分档递增.每户家庭年用 水量分档如下表：
7、 第一档 第二档 第三档 年用水量（ 3 m） 180 及以下 181-240 241 及以上 为了解阶梯水价实行三年来有关情况， 有关部门随机抽查了该市 5 万户家庭的年用水量 （取整数， 单位： 3 m） ， 绘制了如图所示的频数直方图（每组只含最大值，不含最小值）.已知最初的设计目标是使第一档、第二档 和第三档水价用户分别占全市家庭的 80%、15%和 5%，且上下波动不超过 0.5%，结合图表回答下列问题. （1）实施过程中，第一档水价用户标准符合最初的设计目标吗？为什么？ （2）若该市有 120 万户家庭用户，估计该市居民家庭年用水量在 33 90120mm这一组的户数. （3）请结
8、合所给数据，发表一条你的观点或提出一条建议. 21.甲，乙两地相距 300 千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，线段OA表示货车离 甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象，折线BCD表示轿车离甲地距离y（千米）与时 间x（小时）之间的函数图象，请根据图象解答下列问题： （1）货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数为_.（答案直接写在答题卡的横线 上） （2）当轿车与货车相遇时，求此时x的值. （3）在两车行驶过程中，当轿车与货车相距 20 千米时，求x的值. 22.如图 1，若分别以ABC的AC、BC两边为边向外侧作的四边形ACDE和BCFG为正方，则称
9、这两 个正方形为外展双叶正方形. （1）发现，如图 2，当90ACB时，求证：ABC与DCF的面积相等. （2）引申：如果90ACB时， （1）中结论还成立吗？若成立，请结合图 1 给出证明；若不成立，请说 明理由. （3）运用：如图 3，分别以ABC的三边为边向外侧作的四边形ACDE、BCFG和ABMN为正方形， 则称这三个正方形为外展三叶正方形.已知ABC中，3AC ， 4BC ，当ACB_度时，图中 阴影部分的面积和有最大值是_. 23.如图，平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴正半轴上，10OA， 3 cos 5 COA，一个动 点P从点O出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿线
10、段OA方向运动，过点P作PQOA，交折线段 OCCB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，点N在射线OA上，当P点到达A点时，运动结 束.设点P的运动时间为t秒0t . （1）C点的坐标为_，当t _时N点与A点重合. （2）在整个运动过程中，设正方形PQMN与菱形OABC的重合部分面积为S，直接写出S与t之间的函 数关系式和相应的自变量t的取值范围. （3）如图 2，在运动过程中，过点O和点B的直线将正方形PQMN分成了两部分，请问是否存在某一时 刻，使得被分成的两部分中有一部分的面积是菱形面积的 1 5 ？若存在，请求出对应的t的值；若不存在， 请说明理由. 24.在平面直角坐标系xOy
11、中，函数 2 2 2() 1 2() xnxnxn y xnxxn n （其中0n）的图象记为W. （1）若图象W经过点( 1,4)A ，求n的值； （2）若图象W为轴对称图形，求n的值； （3）设点( 1,1)B ，(3,1)C，线段BC与W有两个交点，求n的取值范围； （4）当12nxn 时，函数取最小值的点有两个，直接写出n的值. 2020 长春数学中考冲刺卷 一一、选择题、选择题 1.答案：A 【解析】-2 的绝对值是 2，即|-2|2.故选 A. 2.答案：B 【解析】 9 13000000001.3 10.故选 B. 3.答案：C 【解析】 12 342 x x ， 解得1x ，
12、解得2x， 不等式的解集为：12x， 在数轴上表示为 4.答案：B 【解析】从正面观察这个立体图形，得到的平面图形是： 故选：B. 5.答案：A 【解析】168BEF ， ABCD， 又BG平分BEF， 1 34 2 FEGGEBBEF ， 34EGFGEB. 故选 A. 6.答案：C 【解析】过点C作CMAB，垂足为M. 在RtAMC中，60A ，4AC ， 2AM ，2 3MC ， 3BMABAM， 在RtBMC中， 2222 3(2 3)BCBMCM 21. DE是线段AC的垂直平分线， ADDC， 又60A ， ADC是等边三角形 4CDADAC 521 BDC LDBDCBCADDB
13、BCABBC 7.答案：B 【解析】由题意可知CE是BCD的平分线， BCBDCE. 四边形ABCD是平行四边形， ABCD， DCEE，BCEABC， 3BEBC， 2AB ， 1AEBBAB， 故选：B. 8.答案：B 【解析】点A的坐标为1,2.RtAOB绕点A逆时针旋转90， 3OBAD，1AB CD，故3,1C， 将3,1C代入 k y x 中，得3 1 3k . 故答案为：3. 二二、填空题、填空题 9.答案：2 3 【解析】原式3 33 2 3 故答案为：2 3. 10.答案：3 (2)y x 【解析】363 (2)xyyy x 故答案为：3 (2)y x . 11.答案：1a且
14、0a 【解析】根据题意得0a且 2 ( 2)4( 1)0a ， 解得1a且0a. 故答案为：1a且0a. 12.答案：4.5 【解析】设BC之间的距离为， 根据题意可得GCBF，HEBF， AB CG HE DGCDAB，FHEFAB， GCCD ABBD ， HEEF ABBF ， 即 1.51 1ABx ， 1.52 22ABx ， 12 122xx ， 解得2x，经检验2x是原方程的解， 1.51 3AB ，解得4.5AB， 经检验4.5AB是方程的解，故路灯的高为 4.5 米. 故答案为：4.5. 13.答案：4.55 【解析】设ACx， 10ACAB， 10ABx， 在RtABC中，
15、90ACB， 222 ACBCAB，即 222 3(10)xx 4.55x. 14.答案：2 【解析】因为直线与抛物线只有唯交点， 所以联立方程式得： 2 412xxxk ，该方程有唯解， 即 2 210 xxk ， 1 1k ，所以2k . 三、简答题 15.答案： 5 3 【解析】 2 1 (1)2 x x x 2 21 (1) xx x x 2 (1) (1) x x x 1 x x . 当 5 2 x 时， 原式 5 5 2 5 3 1 2 . 16.答案：不公平，证明见解析. 【解析】这个游戏不公平，理由如下： 两次摸出卡片所有可能出现的结果如下表： 第一次 第二次 A A B A
16、,A A ,A A ,A B A ,A A ,A A ,A B B ,B A ,B A ,B B 两次摸卡的所有可能出现的结果由 9 个，且每个结果发生的可能性都相等， 其中出现“两次摸到的卡片字母相同”的结果有 5 个， “两次摸到的卡片字母不相同”的结果有 4 个， P（小石获胜） 5 9 ，P（小了获胜） 4 9 ， P（小石获胜）P（小丁获胜） ， 这个游戏不公平. 17.答案（1）画图见解析. （2）画图见解析. （3）画图见解析，5. 【解析】 （1）图中， 22 1310BA， 22 1310BP， BABP， ABP即所求. （2）图中， 22 125CM ， 22 125DM
17、 ， CMDM， CDM即所求. （3）图中， 222 1310EF， 222 1310EN， 222 2420FN ， 22 EFEN， 222 20EFENFN， 10EFEN， EFN是等腰直角三角形， EFN即所求， 1 10105 2 EFN S . 18. 答案（1）相切.（2）12 5 . 【解析】 （1）直线CE与O相切. 理由如下：连接CO、DO， 在ACO和DCO中， ACCD COCO AODO ， ACODCO，12 ， CODO，13 ，23 ，24 ，34 ，COED， CEDB，OCCE， 直线CE与O相切. （2）连接BC， AB是直径，90ACB， 在RtAC
18、B中，4AC ，5AB， 22 3BCABAC， 24 ， RtACBRDBC， ABCB DCEC ，即 53 4CE ， 12 5 EC . 19.答案 4 小时 【解析】设李老师单独清点图书需要x小时，根据题意，得， 11.21 1.2 62x ， 去分母，得1.27.23xx， 解得4x， 检验：当4x时，60 x ， 所以原方程的解为4x. 答：李老师单独清点图书需要 4 小时. 20.答： （1）符合.证明见简析. （2）36 万. （3）第二档、第三档水价用户分别占全市家庭用户的 13%、7%，不符合最初的设计目标. 【解析】 （1） 0.250.75 1.5 1.00.54 8
19、0% 55 实施过程中，第一档水价用户标准符合最初的设计目标. （2）1.512036 5 （万户） ， 该市居民家庭年用水量在 33 90120mm这一组的约有 36 万户. （3）第二档、第三档水价用户分别占全市家庭用户的 13%、7%，不符合最初的设计目标. 21.答案（1）60 x. （2）3.9. （3）3.5 或 4.3. 【解析】 （1）货车在图象中，用OA表示， (0,0)O， (5,300)A， 设OA解析式为ykxb， 00 3005 kb kb ， 0 60 b k ， 60yx. （2）CD解析式设为ykxb， 易知(2.5,80)C，(4.5,300)D， 802.5
20、 3004.5 kb kb ， 110 195 k b ， 110 195yx， 当轿车与货车相遇时，60110195xx，3.9x 两车相遇时，x的值为 3.9. （3）轿车在货车前面 20 千米， 则110 195 60 20 xx，5019520 x， 4.3x， 经验证，3.5x 与4.3x皆在CD区间内， 两车相距 20 千米时a的值为 3.5 或 4.3。 22. 答案（1）证明见解析. （2）成立，证明见解析. （3）90；18 【解析】 （1）在ABC与DPC中， ACDC ACBDCF BCFC ， ABCDFC， ABC与DFC的面积相等. （2）成立.理由如下： 如图，延
21、长BC到点P，过点A作APBP于点P；过点D作DQFC于点Q. 90APCDQC ， 四边形ACDE，BCFG均为正方形， ACCD，BCCF， 90ACPPCD，90DCQPCD， ACPDCQ . APCDQC ACPDCQ ACCD ( ) APCDQCAAS， APDQ。 又 1 2 ABC SBC AP ， 1 2 DFC SFC DQ ， ABCDFC SS . 又 1 2 ABC SBC AP ， 1 2 DFC SFC DQ ， ABCDFC SS . （3）根据（2）得图中阴影部分的面积和是ABC的面积三倍，若圈中阴影部分的面积和有最大值，则三 角形ABC的面积最大， 当AB
22、C是直角三角形，即C是 90 度时，阴影部分的面积和最大. 1 333 418 2 ABC SHS 阴影部分的面积和 . 23.（1）6,8； 30 7 （2） 2 2 2 1630 ,0 97 50280200 30 ,6 27937 28184 ,68 333 1048 ,810 tt ttt S ttt tt （3）当06t ， 1 2 6t ， 2 6 10 5 t . 当68t ，0t （舍） ， 3 8t . 810t ，不存在符合条件的t值. 24.答案（1）3n或12n 或12n ； （2）1n； （3） 1 42 3 2 n 或 51 0 2 n 或 518 25 n ； （
23、4） 22 7 3 n . 【解析】 （1）当1n时，点( 1,4)A 在函数 2 2 ()yxnxn xn的图象上， 2 ( 1)( 1)24nn ，解得：3n； 当1n且0n时，点1,4A 在函数 2 1 2()yxnxxn n 的图象上， 2 1 ( 1)( 1)24n n ，解得： 1 12n ， 2 12n ； 综上所述：3n或12n 或12n . （2）由题意： 1 1 n ，解得：1n， 此时 222 1 222xnxnxnxxx n ， 此时图象W的解析式为 2 2yxx，图象W为轴对称图形， 1n. （3）设 2 ,2M nnn，( , 2 )N nn， 当函数 2 2 ()yxnxn xn的图象的顶点在BC上时： 令 2 21xnxn， 2 4(21)0nn ，解得： 1 42 31n （舍） ， 2 42 3n ； 当点N在BC上时： 21n，解得： 1 2 n ； 当点M在BC上时： 2 21nn，解得： 1 51 1 2 n （舍） ， 2 51 2 n ， 此时点B在函数 2 1 2()yxnxxn n 的图象上； 当点C在函数 2 2 ()yxnxn xn的图象上时： 2 3321nn，解得： 8 5 n ； 综上所述： 1 42 3 2 n 或 51 0 2 n 或 518 25 n . （4） 22 7 3 n .
