1、内江市高中内江市高中 20202020 届第三次模拟考届第三次模拟考数学数学试题试题（理科）（理科） 1.本试卷包括第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 4 页.全卷满分 150 分考试时间 120 分钟. 2.答第卷时，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它 答案标号；答第卷时，用 0.5 毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区域内作答，字体工整，笔迹清楚；不能 答在试题卷上. 3.考试结束后，监考人将答题卡收回. 第卷（选择题，共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项
2、是符合 题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置） 1.设集合 21 x Ay y，230Bxx，则AB （ ） A. 3 1, 2 B. 3 1, 2 C. 3 1, 2 D. 3 1, 2 2.复数 z 满足4 33 2i zi （i 为虚数单位） ，则复数 z 在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.若钝角三角形ABC的面积是 1 2 ，1AB ，2BC ，则AC （ ） A. 2 2 B.1 C.2 D.5 4.已知正方形ABCD的边长为 2，点 H 是边AD的中点，在正方形ABCD内部随机取一点 P，则满足 2PH 的概率为（
3、 ） A. 2 4 B. 2 8 C.1 8 D.1 4 5.在 6 1 4 xx x 的展开式中， 5 2 x的系数为（ ） 6.一动圆与两圆 22 1xy和 22 8120 xyx都外切，则动圆圆心轨迹为（ ） A.抛物线 B.圆 C.双曲线的一支 D.椭圆 7.设l，m是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题中正确的是（ ） A.若l，/l，则 B.若/l，ml，则m C.若/l，/m，则/l m D.若/l，m，则/l m 8.定义在 R 上的偶函数 f x满足： 对任意的 12 ,0,x x ， 有 21 21 0 f xf x xx ， 若 * nN， 则 （ ） A.11fnf
4、 nf n B.11f nfnf n C.11f nfnf n D.11f nf nfn 9.设平面上向量cos ,sin0a， 13 , 22 b ，若33abab，则角的大小 为（ ） A. 5 6 B. 6 C. 6 或 5 6 D. 6 或 7 6 10.如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径4BC ，ABAC，90BAC，D 为半圆弧的中点，若异面直线BD和 1 AB所成角的余弦值为 2 3 ，则该几何体的体积为（ ） A.16 8 B.32 16 C.32 8 D.16 16 11.已知平面内的一个动点P到直线 4 3 : 3 l x 的距离与到定点 3,0F的距离
5、之比为 2 3 3 ， 点 1 1, 2 A ， 设动点 P 的轨迹为曲线 C，过原点 O 且斜率为0k k 的直线l与曲线 C 交于 M、N 两点，则MAN面 积的最大值为（ ） A.2 B.2 2 C. 2 2 D.1 12.函数 2 1 22ln 2 ax f xa xx在区间 1 ,3 2 内有极小值，则 a 的取值范围是（ ） A. 1 2, 3 B. 1 2, 2 C. 11 2, 33 D. 2 , 2 11 2 第卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.） 13.若不等式组 50 02 xy ya x ，表示的平面区域是一个
6、三角形，则 a 的取值范围为_. 14.已知 1 tan 5 2 ，tan1，则tan_. 15.函数 2ln14 x f xx的零点个数为_. 16.椭圆 22 22 10 xy ab ab 的右焦点为F， 其右准线与x轴的交点为A， 在椭圆上存在点P， 满足线段AP 的垂直平分线过点 F，则椭圆离心率的取值范围是_. 三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都 必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.） （一）必考题：共 60 分. 17.（本题满分 12 分） 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单
7、随机抽样方法从该地区调查了 500 位老人，结果如 下： 男 女 需要 40 m 不需要 n 270 若该地区老年人中需要志愿者提供帮助的比例为 14%. （1）求 m，n 的值； （2） 能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ 参考公式： 2 2 abcdadbc K abcdacbd . 2 0 P Kk 0.050 0.010 0.001 0 k 3.841 6.635 10.828 18.（本题满分 12 分） 已知数列 n a是等差数列，且满足 63 6aa， 6 1a 是 5 1a 与 8 1a 的等比中项. （1）求数列
8、n a的通项公式； （2）已知数列 n b满足2n nn ba，求数列 n b的前 n 项和 n S，并求 n S的最小值. 19.（本题满分 12 分） 如图，在直棱柱 1111 ABCDABC D中，/AD BC，90BAD，ACBD，1BC ， 1 4ADAA. （1）证明：面 1 ACD 面 1 BB D； （2）求二面角 11 BACD的余弦值. 20.（本题满分 12 分） 已知函数 lnax f xbx x 在1x 处的切线方程为1yx. （1）求函数 yf x的解析式； （2）若不等式 f xkx在区间0,上恒成立，求实数 k 的取值范围； （3）求证： 444 ln2ln3l
9、n1 232 n ne . 21.（本题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 :10 yx Cab ab 的离心率为 2 2 ，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为2 2. （1）求椭圆 C 的方程； （2）过点 1 ,0 3 S 的动直线l交椭圆 C 于 A、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点 T，使得无 论直线l如何转动，以AB为直径的圆恒过点 T？若存在，求出点 T 的坐标；若不存在，请说明理由. （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本题满分 10 分） 在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为
10、22cos 2sin x y （为参数）.以原点 O 为极点，x 轴正半轴 为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为4sin. （1）求曲线 1 C的极坐标方程； （2）已知曲线 3 C的极坐标方程为0,R ，点 A 是曲线 3 C与 1 C的交点，点 B 是曲线 3 C 与 2 C的交点，且 A、B 均异于原点 O，4 2AB ，求实数的值. 23.（本题满分 10 分） 已知函数 24f xxx，函数 g xf xm的定义域为 R. （1）求实数 m 的取值范围； （2）求解不等式 8f x . 数学（理科）参考答案及评分意见数学（理科）参考答案及评分意见 一、选择题（本大题共 12
11、 小题，每小题 5 分，共 60 分.） 1.B 2.D 3.D 4.B 5.B 6.C 7.A 8.C 9.B 10.A 11.A 12.D 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.） 13.5,7 14.3 15.2 16. 1 ,1 2 三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分.） 17.解： （1）调查的 500 位老年人中有40m位需要志愿者提供帮助 40270500 4014 500100 mn m .3 分 解之得30m，160n.6 分 （2） 2 K的观测值 2 50040 27030 160 200 300 70 430 k 22 500 403
12、0253000 9.967 200 300 70 4307 43 .9 分 9.9676.635 在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关.12 分 18.解： （1）设等差数列 n a的公差为 d， 63 36aad，即2d .2 分 6 1a 是 5 1a 与 8 1a 的等比中项， 2 658 111aaa， 即 2 111 9713aaa，解得 1 5a .4 分 数列 n a的通项公式为27 n an.6 分 （2）由（1）问可知2272 nn nn ban.7 分 234 5232121 2272n n Sn 21345 25232121 2
13、272n n Sn .9 分 两式相减并化简得 1 1829 2n n Sn .10 分 当3n时，0 n b ，当3n时，0 n b 3 min 30 n SS.12 分 19.解： （1）证明： 1 BB 平面ABCD，AC 平面ABCD， 1 ACBB.2 分 又ACBD，且 1 BBBDB，AC 平面 1 BB D.4 分 又AC 平面 1 ACD，面 1 ACD 面 1 BB D.6 分 （2）易知AB、AD、 1 AA两两垂直，以 A 为坐标原点，AB、AD、 1 AA所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图的空间直角坐标系，设ABt，则相关各点的坐标为0,0,0A，,0,0
14、B t， 1 ,0,4B t， ,1,0C t， 1 ,1,4C t，0,4,0D， 1 0,4,4D.7 分 从而,1,0ACt，,4,0BDt . ACBD， 2 4 00AC BDt 解之得2t 或2t （舍去）.8 分 1 0,4,4AD ，2,1,0AC 设 1 , ,nx y z是平面 1 ACD的一个法向量， 则 1 11 0 0 nAC nAD ，即 20 440 xy yz 令1x ，则 1 1, 2,2n .9 分 同理可求面 1 ACB的法向量为 2 2,4,1n .10 分 12 12 2828 21 cos 63| |321 n n nn .11 分 又二面角 11
15、BACD是锐二面角， 二面角 11 BACD的余弦值为 8 21 63 .12 分 20.解： （1） lnax f xbx x ， 2 lnaax fxb x .1 分 又已知函数 f x在1x 处的切线为1yx，即切点为1,0 11 0 kfab b ，解之得1a ，0b.3 分 函数 yf x的解析式为 ln x fx x .4 分 （2）0 x，“不等式 f xkx在区间0,上恒成立”等价于“不等式 2 ln x k x 在区间0,上 恒成立”.5 分 令 2 ln x h x x ， 3 1 2ln x h x x ， 令 0h x，解得0 xe；令 0h x，解得xe. 则 h x
16、在 0, e上单调递增，在 , e 上单调递减，故 1 2 h xhe e .7 分 实数 k 的取值范围为 1 , 2e .8 分 （3）由（2）知 2 ln1 2 x xe ， 42 ln11 2 2 x x xe x .9 分 42 ln2111111 1 22221 222eee 42 ln31111111 32322 3223eee 42 ln41111111 42423 4234eee 42 ln1111111 22121 n ne nenne nn .11 分 4444 ln2ln3ln4ln111 1 23422 n nene .12 分 21.解： （1）依题意可得 222
17、2 2 22 2 c e a a abc ，解得2a ，1c.2 分 从而 2 2a ， 222 1bac.所求椭圆方程为 2 2 1 2 y x.4 分 （2）过点 1 ,0 3 S 的动直线l交椭圆 C 于 A、B 两点，设 11 ,A x y， 12 ,B x y， 动直线l斜率不存在时，令 1 3 x ，得 4 3 y ，此时 1 4 , 3 3 A ， 14 , 33 B 即 4 3 STSASB 这说明以弦AB为直径的圆过点1,0T.6 分 动直线l斜率存在时，设其方程为 1 : 3 AB yk x . 代入椭圆方程 2 2 1 2 y x，整理得： 22 22 218 20 39
18、 kk kxx . 点 S 在椭圆内 此方程必有二实根 1 x， 2 x，且 2 12 2 2 32 k xx k ， 2 12 2 18 92 k x x k .7 分 于是 11221212 11 1,1,11 33 TA TBxyxyxxk xk x 222 1212 11 139 39 kx xkxxk.9 分 222222 2 1 11823920 92 kkkkkk k .10 分 可知TATB，即以AB为直径的圆过点 T.11 分 综上所述，存在定点1,0T，无论直线l如何转动，以AB为直径的圆恒过点 T.12 分 22.解： （1）由 22cos 2sin x y ，消去参数可
19、得 1 C普通方程为 2 2 24xy.2 分 22 40 xxy，故曲线 1 C的极坐标方程为4cos.4 分 （2）由题意设 1, A ， 2, B ，则 12 4 sincos4 2 sin4 2 4 AB .7 分 sin1 4 ， 42 k 0， 3 4 .10 分 23.解： （1）函数 g xf xm的定义域为R 24xxm恒成立.2 分 24246f xxxxx，.4 分 m 的取值范围为,6.5 分 （2）不等式 8f x 即为248xx 4 228 x x 或 24 248 x xx 或 2 228 x x .7 分 即45x或24x 或32x .9 分 35x ，即原不等式的解集为3,5.10 分
