1、3 简谐运动的回复力和能量简谐运动的回复力和能量 学科素养与目标要求 物理观念：1.知道回复力的概念.2.知道振幅越大，振动的能量越大 科学思维：1.会根据简谐运动的回复力特点，判断及分析常见的简谐运动.2.理解简谐运动的 动力学特征 科学探究：通过探究，理解简谐运动中位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况 一、简谐运动的回复力 1简谐运动 如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运 动就是简谐运动 2回复力 (1)定义：使振动物体回到平衡位置的力 (2)方向：总是指向平衡位置 (3)表达式：Fkx. 二、简谐运动的能量 1能量转化 弹簧振子运动
2、的过程就是动能和势能互相转化的过程 (1)在最大位移处，势能最大，动能为零 (2)在平衡位置处，动能最大，势能最小 2能量特点 在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运 动是一种理想化的模型 1判断下列说法的正误 (1)回复力的方向总是与位移的方向相反( ) (2)回复力的方向总是与加速度的方向相反( ) (3)水平弹簧振子运动到平衡位置时，回复力为零，因此能量一定为零( ) (4)回复力的大小与速度大小无关，速度增大时，回复力可能增大，也可能减小( ) 2 如图 1 所示的弹簧振子， O 为平衡位置， B、 C 为最大位移位置， 以向右的方向为正方向，
3、 则振子从 B 运动到 O 的过程中，位移方向为_，大小逐渐_；回复力方向为 _，大小逐渐_；振子速度方向为_，大小逐渐_；动能逐渐 _；势能逐渐_(选填“正”“负”“增大”或“减小”) 图 1 答案 正 减小 负 减小 负 增大 增大 减小 一、简谐运动的回复力 如图所示为一个水平方向的弹簧振子模型(水平杆光滑)，O 点为振子的平衡位置，A、O 间和 B、O 间距离都是 x. (1)振子在 O 点时受到几个力的作用？分别是什么力？ (2)振子在 A、B 点时受到哪些力的作用？ (3)除重力、支持力、弹簧弹力外，振子在 O、A、B 点还受到回复力的作用吗？回复力有什 么特点？ 答案 (1)两个
4、力重力、支持力 (2)A 点：重力、支持力、弹簧向右的弹力；B 点：重力、支持力、弹簧向左的弹力 (3)不受回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力，是按照力的作用效果来命名的，不 是一种新型的力，所以分析物体的受力时，不分析回复力 回复力可以由某一个力提供(如弹力)，也可能是几个力的合力，还可能是某一个力的分力， 归纳起来，回复力一定等于物体沿振动方向所受的合力 1回复力 (1)回复力的方向总是指向平衡位置，回复力为零的位置就是平衡位置 (2)回复力的性质 回复力是根据力的效果命名的，可能由合力、某个力或某个力的分力提供它一定等于振动 物体在振动方向上所受的合力，分析物体受力时不能再加上回复
5、力例如：如图 2 甲所示， 水平方向的弹簧振子，弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子，弹力和重力的 合力充当回复力；如图丙所示，m 随 M 一起振动，m 的回复力由静摩擦力提供 图 2 2回复力公式：Fkx. (1)k 是比例系数，其值由振动系统决定，与振幅无关只有水平弹簧振子，回复力仅由弹力 提供，k 为劲度系数 (2)“”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反 3简谐运动的加速度 由 Fkx 及牛顿第二定律 Fma 可知：a k mx，加速度 a 与位移 x 的大小成正比，方向 与位移方向相反 4物体做简谐运动的判断方法 (1)简谐运动的回复力满足 Fkx； (2)简谐
6、运动的振动图象是正弦曲线 例 1 (多选)如图 3 所示，弹簧振子在光滑水平杆上的 A、B 之间做往复运动，下列说法正 确的是( ) 图 3 A弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用 B弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用 C振子由 A 向 O 运动过程中，回复力逐渐增大 D振子由 O 向 B 运动过程中，回复力的方向指向平衡位置 答案 AD 解析 弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力，回复力是根据效果命名的力，它是 由物体受到的具体的力所提供的，在此情景中弹簧的弹力充当回复力，故 A 正确，B 错误； 回复力与位移的大小成正比，由 A 向 O 运动过程中位
7、移的大小在减小，故此过程回复力逐渐 减小，C 错误；回复力总是指向平衡位置，故 D 正确 例 2 如图 4 所示，弹簧劲度系数为 k，在弹簧下端挂一个重物，质量为 m，重物静止在 竖直方向将重物下拉一段距离(没超过弹簧弹性限度)，然后无初速度释放，重物在竖直方向 上下振动(不计空气阻力) 图 4 (1)试分析重物上下振动回复力的来源； (2)试证明该重物做简谐运动 答案 见解析 解析 (1)重物在竖直方向上下振动过程中，在竖直方向上受到了重力和弹簧弹力的作用，振 动的回复力是重力与弹簧弹力的合力 (2)重物静止时的位置即为振动的平衡位置，设此时弹簧的伸长量为 x0，根据胡克定律和力的 平衡有
8、kx0mg.设重物振动过程中某一位置偏离平衡位置的位移为 x，并取竖直向下为正方 向，如图所示，此时弹簧的形变量为 xx0，弹簧向上的弹力 F弹k(xx0)，重物所受合力 即回复力 FmgF弹，联立得 Fkx.若 x0，则 F0，表示重物在平衡位置下方，回复力 向上；若 x0，表示重物在平衡位置上方，回复力向下，回复力 F 方向总指向平衡 位置根据重物的受力特点可以判断重物做简谐运动 二、简谐运动的能量 如图所示为水平弹簧振子，振子在 A、B 之间往复运动 (1)从 A 到 B 的运动过程中， 振子的动能如何变化？弹簧弹性势能如何变化？振动系统的总机 械能是否变化？ (2)如果把振子振动的振幅
9、增大，振子回到平衡位置的动能是否增大？振动系统的机械能是否 增大？ (3)实际的振动系统有空气阻力和摩擦阻力，能量是否损失？理想化的弹簧振动系统，忽略空 气阻力和摩擦阻力，能量是否损失？ 答案 (1)振子的动能先增大后减小 弹簧的弹性势能先减小后增大 总机械能保持不变 (2)振子回到平衡位置的动能增大 系统的机械能增大 (3)实际的振动系统，能量逐渐减小 理想化的弹簧振动系统，能量不变 1简谐运动中，振动系统的动能和势能相互转化，平衡位置处动能最大，势能最小；最大位 移处动能为零，势能最大，但总的机械能不变 2简谐运动的机械能由振幅决定，对于同一个振动系统，振幅越大，振动的能量越大 3简谐运动
10、是一种无能量损失的振动，所以其振幅保持不变，又称为等幅振动 例 3 如图 5 所示，一水平弹簧振子在 A、B 间做简谐运动，平衡位置为 O，已知振子的质 量为 M. 图 5 (1)简谐运动的能量取决于_，振子振动时动能和_相互转化，总机械能 _ (2)振子在振动过程中，下列说法中正确的是_ A振子在平衡位置，动能最大，弹性势能最小 B振子在最大位移处，弹性势能最大，动能最小 C振子在向平衡位置运动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小 D在任意时刻，动能与弹性势能之和保持不变 (3)若振子运动到 B 处时将一质量为 m 的物体放到 M 的上面， 且 m 和 M 无相对滑动而一起运 动，下列说法正
11、确的是_ A振幅不变 B振幅减小 C最大动能不变 D最大动能减小 答案 (1)振幅 弹性势能 守恒 (2)ABD (3)AC 解析 (1)简谐运动的能量取决于振幅， 振子振动时动能和弹性势能相互转化， 总机械能守恒 (2)振子在平衡位置两侧往复运动，在平衡位置处速度达到最大，动能最大，弹性势能最小， 所以 A 正确；在最大位移处速度为零，动能为零，此时弹簧的形变量最大，弹性势能最大， 所以 B 正确；振幅的大小与振子的位置无关，在任意时刻只有弹簧的弹力做功，所以机械能 守恒，所以 C 错误，D 正确 (3)振子运动到B点时速度恰为零， 此时放上m， 系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能， 由
12、于简谐运动中机械能守恒，所以振幅保持不变，选项 A 正确，B 错误；由于机械能守恒， 所以最大动能不变，选项 C 正确，D 错误 三、简谐运动中各物理量的变化 1 如图 6 所示为水平的弹簧振子示意图， 在下表中填上振子运动过程中各物理量的变化情况 图 6 振子的运动 AO OA AO OA 位移 方向 向右 向左 向左 向右 大小 减小 增大 减小 增大 回复力 方向 向左 向右 向右 向左 大小 减小 增大 减小 增大 加速度 方向 向左 向右 向右 向左 大小 减小 增大 减小 增大 速度 方向 向左 向左 向右 向右 大小 增大 减小 增大 减小 振子的动能 增大 减小 增大 减小 弹
13、簧的势能 减小 增大 减小 增大 系统总能量 不变 不变 不变 不变 2.说明：(1)简谐运动中各个物理量对应关系不同位置不同，则位移不同，加速度、回复力 不同，但是速度、动能、势能可能相同，也可能不同 (2)简谐运动中的最大位移处，F、a、Ep最大，Ek0；在平衡位置处，F0，a0，Ep0， Ek最大 (3)位移增大时，回复力、加速度和势能增大，速度和动能减小；位移减小时，回复力、加速 度和势能减小，速度和动能增大 例 4 (2018 金华市十校高二上学期期末联考)如图 7 甲所示，弹簧振子以 O 点为平衡位置， 在 A、B 两点之间做简谐运动取向右为正方向，振子的位移 x 与时间 t 的关
14、系图象如图乙所 示，下列说法正确的是( ) 图 7 At0.8 s 时，振子的速度方向向右 Bt0.2 s 时， 振子在 O 点右侧 6 cm 处 Ct0.4 s 和 t1.2 s 时，振子的加速度相同 D从 t0.4 s 到 t0.8 s 的时间内，振子的动能逐渐增大 答案 D 解析 由题图乙知，t0.8 s 时，图象切线的斜率为负，说明振子的速度为负，即振子的速度 方向向左，故 A 错误在 00.4 s 内，振子做减速运动，不是匀速运动，所以 t0.2 s 时， 振子不在 O 点右侧 6 cm 处，故 B 错误t0.4 s 和 t1.2 s 时，振子的位移大小相等、方向 相反，由 akx
15、m，知加速度大小相等、方向相反，故 C 错误t0.4 s 到 t0.8 s 的时间内， 振子的位移减小，正向平衡位置靠近，速度逐渐增大，动能逐渐增大，故 D 正确 例 5 如图 8 所示，平台沿竖直方向做简谐运动，一物体置于振动平台上始终随平台振动， 两者保持相对静止以下说法正确的是( ) 图 8 A振动平台位于最高点时，物体对平台的压力最大 B振动平台位于最低点时，物体对平台的压力最大 C物体速度最大时，对平台的压力最大 D物体加速度最大时，对平台的压力最大 答案 B 学科素养 通过对例 4、例 5 的分析，一方面让学生进一步了解了简谐运动中的各物理量之 间的关系， 另一方面也提高了学生获取
16、和处理信息的能力， 体现了“物理观念”“科学思维” 学科素养 1(简谐运动的回复力)(多选)关于简谐运动的回复力，以下说法正确的是( ) A简谐运动的回复力不可能是恒力 B做简谐运动的物体的加速度方向与位移方向总是相反 C简谐运动中回复力的公式 Fkx 中 k 是弹簧的劲度系数，x 是弹簧的长度 D做简谐运动的物体每次经过平衡位置合力一定为零 答案 AB 解析 根据简谐运动的定义可知，物体做简谐运动时，受到的回复力为 Fkx，k 是比例系 数，x 是物体相对平衡位置的位移，回复力不可能是恒力，故 A 正确，C 错误；质点的回复 力方向总是指向平衡位置，与位移方向相反，根据牛顿第二定律，加速度的
17、方向与合外力的 方向相同，所以做简谐运动的物体的加速度方向与位移方向总是相反，故 B 正确；做简谐运 动的物体每次经过平衡位置回复力为零，但是合力不一定为零，故 D 错误 2(简谐运动中各物理量的变化)(2018 诸暨牌头中学高二上学期期中)如图 9 所示，虚线和实 线分别为甲、乙两个弹簧振子做简谐运动的图象，则下列说法正确的是( ) 图 9 A任意时刻，甲振子的位移都比乙振子的位移大 Bt0 时，甲、乙两振子的振动方向相反 C前 2 s 内，甲、乙两振子的加速度均为正值 D第 2 s 末，甲的加速度达到其最大值，乙的速度达到其最大值 答案 B 解析 简谐运动的图象反映了振子的位移与时间的关系
18、，甲振子的位移有时比乙振子的位移 大， 有时比乙振子的位移小， 故 A 错误； 根据切线斜率的正负表示速度的方向可知， t0 时， 甲、乙两振子的振动方向相反，故 B 正确；由 akx m分析可知，前 2 s 内乙振子的加速度为 正值，甲振子的加速度为负值，故 C 错误；第 2 s 末甲的位移等于零，加速度为零，通过平 衡位置，速度达到其最大值，乙的位移达到最大值，加速度达到其最大值，速度为零，故 D 错误 3.(简谐运动的能量)(2018 沈阳市郊联体高二上学期期末)把一个小球套在光滑细杆上， 球与轻 弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围绕平衡位置 O 在 A、B 间振
19、动，如图 10 所示，下列结论正确的是( ) 图 10 A小球在 O 位置时，动能最小，加速度最小 B小球在 A、B 位置时，动能最大，加速度最大 C小球从 A 经 O 到 B 的过程中，回复力先做正功，后做负功 D小球从 B 到 O 的过程中，振动的能量不断减小 答案 C 解析 振子经过平衡位置时， 速度最大， 位移为零， 所以在 O 位置时动能最大， 回复力为零， 加速度为零，故 A 错误；在 A、B 位置时，速度为零，位移最大，回复力最大，加速度最大， 故 B 错误； 由于回复力指向平衡位置， 所以振子从 A 经 O 到 B 的过程中， 回复力先做正功， 后做负功，故 C 正确；振子的动
20、能和弹簧的势能相互转化，且总量保持不变，即振动的能量 保持不变，故 D 错误 4(简谐运动的回复力)(2018 屯溪一中高二第二学期期中)有一实心立方体 A，边长为 L，从 内部去掉一部分物质，剩余部分质量为 m，一立方体 B 恰能完全填充 A 的空心部分，质量也 为 m，如图 11 所示，即 B 的外表面与 A 的内表面恰好接触整体放在一个盛有密度为 的 液体的容器里(容器无限大)，刚开始，A 漂浮在液面上，用外力使 A 向下产生位移 b，平衡后 由静止释放，A 将会上下振动(水的摩擦阻力不计)可以证明该振动为简谐运动，振动过程 中，A 始终不离开液面，也不被液面淹没，已知重力加速度 g，求
21、： 图 11 (1)试证明此振动为简谐振动 (2)在最高点和最低点 A 对 B 的作用力 答案 见解析 解析 (1)物体刚开始漂浮时：F浮2mg A 向下产生位移 b 时，F浮2mggL2b 撤掉外力的瞬间，整体所受的合力：F合gL2b，方向竖直向上 满足 Fkx，其中 kgL2，故此振动为简谐运动 (2)整体在最低点时，所受合外力 F合gL2b，方向竖直向上 由牛顿第二定律知整体向上的加速度 agL 2b 2m 对 B 受力分析知 B 受 A 向上的力 F1 则 F1mgma F1mgmamggL 2b 2 ，方向向上 由对称性可知，在最高点 B 的加速度大小依然是 a，方向向下，B 受 A 向上的作用力 F2 mgF2ma F2mgmamggL 2b 2 ，方向向上(注：用其他方法得出答案亦可)
