1、4 41 1 指指 数数 4 41.11.1 n n 次方根与分数指数幂次方根与分数指数幂 学习目标 1.理解 n 次方根、n 次根式的概念.2.能正确运用根式运算性质化简、求值.3.学会 根式与分数指数幂之间的相互转化 知识点一 n 次方根、n 次根式 1a 的 n 次方根的定义 一般地，如果 xna，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n1，且 nN*. 2a 的 n 次方根的表示 n 的奇偶性 a 的 n 次方根的表示符号 a 的取值范围 n 为奇数 n a aR n 为偶数 n a 0，) 3.根式 式子 n a叫做根式，这里 n 叫做根指数，a 叫做被开方数 知识点二 根式的性
2、质 1. n 00(nN*，且 n1) 2( n a)na(a0，nN*，且 n1) 3. n ana(n 为大于 1 的奇数) 4. n an|a| a，a0， a，a0，m，nN*，且 n1) 负分数指数幂 规定： 1 m n m n a a 1 n am (a0，m，nN*，且 n1) 0 的分数指数幂 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂无意义 知识点四 有理数指数幂的运算性质 整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即： (1)arasar s(a0，r，sQ)； (2)(ar)sars(a0，r，sQ)； (3)(ab)rarbr(a0，b0，rQ) 1当 nN*时
3、，( n 3)n都有意义( ) 2 63 42 22. ( ) 3a2 1 2 aa.( ) 4分数指数幂 m n a可以理解为m n个 a 相乘( ) 一、n 次方根的概念 例 1 (1)若 81 的平方根为 a，8 的立方根为 b，则 ab_. 答案 7 或11 解析 81 的平方根为9 或 9， 即 a9 或 9， 8 的立方根为2，即 b2， ab11 或 7. (2)若 4 x2有意义，求实数 x 的取值范围 解 4 x2有意义， x20， x2， 即 x 的取值范围是2，) 反思感悟 (1)方根个数：正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一 个 (2)符号：根式
4、n a的符号由根指数 n 的奇偶性及被开方数 a 的符号共同确定 当 n 为偶数，且 a0 时， n a为非负实数； 当 n 为奇数时， n a的符号与 a 的符号一致 跟踪训练 1 (1)已知 x78，则 x 等于( ) A2 2 B. 7 8 C 7 8 D 7 8 答案 B 解析 因为 7 为奇数，8 的 7 次方根只有一个 7 8. (2)若 4 2x5有意义，则 x 的取值范围是_； 若 5 2x5有意义，则 x 的取值范围是_ 答案 5 2， R 二、利用根式的性质化简或求值 例 2 化简： (1) 4 34； (2) ab2(ab)； (3)( a1)2 1a2 3 1a3. 考
5、点 根式的化简 题点 根据根式的意义进行化简 解 (1) 4 34|3|3. (2)ab， ab2|ab|ab. (3)由题意知 a10，即 a1.原式a1|1a|1aa1a11aa1. 反思感悟 (1)n 为奇数时 n a n n ana，a 为任意实数 (2)n 为偶数时，a0， n a n才有意义，且 n a na； 而 a 为任意实数时 n an均有意义，且 n an|a|. 跟踪训练 2 化简： (1) 7 27； (2) 4 3a34(a1)； (3) 3 a3 4 1a4. 考点 根式的化简 题点 根据根式的意义进行化简 解 (1) 7 272. (2)a1， 4 3a34|3a
6、3|3|a1|33a. (3) 3 a3 4 1a4a|1a| 1，a1， 2a1，a1. 三、根式与分数指数幂的互化 例 3 (1)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( ) A x 1 2 x(x0) B. 6 y2 1 3 y(y0) D 1 3 x 3 x(x0) 答案 C 解析 x 1 2 x(x0)； 6 y2 1 2 6 (| )y 1 3 y(y0)； 1 1 3 3 1 x x 3 1 x(x0) (2)将下列根式化成分数指数幂的形式(其中 a0，b0) 3 a 4 a； aa a； ( 3 a)2 ab3. 解 3 a 4 a 117 3412; aaa 原式 1711 88
7、24 ;aaaa 原式 2 17133 36222. aaba b 反思感悟 根式与分数指数幂的互化 (1)根指数化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分子 (2)在具体计算时，如果底数相同，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数 指数幂的运算性质解题 跟踪训练 3 把下列根式表示为分数指数幂的形式，把分数指数幂表示为根式的形式： (1) 3 4 ()ab (ab)； (2) 3 x15； (3) 1 3 a2 ； (4) 3 7 () .ab 解 (1) 3 4 ()ab 1 4 ab3 ； (2) 3 x15 5 3 (1) ;x (3) 1 3 a2 2 3; a (4) 3 7 ()ab 7 ab3. 1已知 ab2ab，则( ) Aab Bab Ca0. 1a2 4 1 a1 3|1a| 3 4 (1)a (a1) 3 4 (1)a 1 4 (1)a 4 a1. 1知识清单： (1)n 次方根的概念、表示及性质 (2)根式的性质 (3)根式与分数指数幂的互化 2常见误区： (1)根式中根指数要求 n1 且 nN*. (2)对于 n a，当 n 为偶数时，a0.
