1、章末检测试卷章末检测试卷(二二) (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1若OA (1,2)，OB (1，1)，则AB 等于( ) A(2,3) B(0,1) C(1,2) D(2，3) 考点 平面向量坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标 答案 D 解析 OA (1,2)，OB (1，1)， 所以AB OB OA (11，12)(2，3) 2设 e1，e2为基底向量，已知向量AB e 1ke2，CB 2e 1e2，CD 3e13e2，若 A，B，D 三点共线，则 k 的值是( ) A2 B3 C2 D3
2、考点 向量共线的坐标表示的应用 题点 利用三点共线求参数 答案 A 解析 易知DB CB CD e12e2(e12e2)， 又 A，B，D 三点共线，则DB AB ， 则 k2，故选 A. 3已知 a(，2)，b(3,5)，且 a 与 b 的夹角 是钝角，则 的取值范围是( ) A10 3 B10 3 C10 3 D10 3 考点 向量坐标在解题中的应用 题点 向量坐标在解题中的应用 答案 A 解析 |a|24，|b| 34，a b310.由 cos a b |a|b|及 为钝角时 cos (1,0)，知 1 103 24 34 10 3 . 4(2017 全国)设非零向量 a，b 满足|ab
3、|ab|，则( ) Aab B|a|b| Cab D|a|b| 考点 平面向量数量积的应用 题点 向量模与夹角的综合应用 答案 A 解析 方法一 |ab|ab|，|ab|2|ab|2. a2b22a ba2b22a b. a b0.ab.故选 A. 方法二 利用向量加法的平行四边形法则 在ABCD 中，设AB a，AD b， 由|ab|ab|知|AC |DB |， 从而四边形 ABCD 为矩形，即 ABAD，故 ab. 故选 A. 5已知 A(2，3)，AB (3，2)，则点 B 和线段 AB 的中点 M 坐标分别为( ) AB(5，5)，M(0,0) BB(5，5)，M 7 2，4 CB(1
4、,1)，M(0,0) DB(1,1)，M 7 2，4 考点 平面向量的坐标运算 题点 平面向量的坐标运算 答案 B 解析 OB OA AB (2，3)(3，2) (5，5)，AB 中点 M 7 2，4 . 6已知 A(3,0)，B(0,2)，O 为坐标原点，点 C 在AOB 内，|OC |2 2，且AOC 4，设 OC OA OB (R)，则 的值为( ) A1 B.1 3 C. 1 2 D. 2 3 考点 平面向量坐标运算的应用 题点 用坐标形式下的基底表示向量 答案 D 解析 过 C 作 CEx 轴于点 E. 由|OC |2 2，且AOC 4， 得|OE|CE|2， 所以OC OE OB
5、OA OB ， 即OE OA ， 所以(2,0)(3,0)，故 2 3. 7已知向量 a 3 2，sin ，b sin ，1 6 ，若 ab，则锐角 为( ) A30 B60 C45 D75 考点 向量共线的坐标表示的应用 题点 利用向量共线求参数 答案 A 解析 ab，sin23 2 1 6 1 4， sin 1 2.又 为锐角，30 . 8设四边形 ABCD 为平行四边形，|AB |6，|AD |4.若点 M，N 满足BM 3MC ，DN 2NC ， 则AM NM 等于( ) A20 B15 C9 D6 考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 数量积运算与求值 答案 C 解析 ABCD
6、 的图象如图所示，由题设知， AM AB BM AB 3 4AD ，NM 1 3AB 1 4AD ， AM NM AB 3 4AD 1 3AB 1 4AD 1 3|AB |23 16|AD |21 4AB AD 1 4AB AD 1 336 3 16169. 9已知向量 a(1,0)，b(cos ，sin )， 2， 2 ，则|ab|的取值范围是( ) A0， 2 B(1， 2 C1,2 D 2，2 考点 平面向量模的坐标表示与应用 题点 利用坐标求向量的模 答案 D 解析 |ab| 1cos 2sin2 22cos . 因为 2， 2 ，所以 cos 0,1 所以|ab| 2，2 10在AB
7、C 中，点 M 是 BC 的中点，AM1，点 P 在 AM 上，且满足 AP2PM，则PA (PB PC )等于( ) A4 9 B 4 3 C. 4 3 D. 4 9 考点 平面几何中的向量方法 题点 向量在平面几何中的应用 答案 A 解析 由题意可知点 P 是ABC 的重心，PA PBPC0， PA (PBPC)PA2 2 3MA 24 9. 11已知|a|2|b|0，且关于 x 的方程 x2|a|xa b0 有实根，则 a 与 b 的夹角的取值范围 是( ) A. 0， 6 B. 3， C. 3， 2 3 D. 6， 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的夹角 答案 B 解
8、析 设 a 与 b 的夹角为 ，方程 x2|a|xa b0 有实根，|a|24a b0， a b1 4|a| 2.cos a b |a|b| |a|2 4|a|b| 4|b|2 8|b|2 1 2，0， 3. 12(2017 全国)已知ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则PA (PB PC )的最小值是( ) A2 B3 2 C 4 3 D1 考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 求向量数量积的最值 答案 B 解析 以 BC 的中点 O 为坐标原点，BC 所在直线为 x 轴，OA 所在直线为 y 轴，建立坐标系 如图所示， 则 A，B，C 三点的坐标分别为
9、A(0， 3)，B(1,0)，C(1,0) 设 P 点的坐标为(x，y)， 则 PA (x， 3y)，PB(1x，y)， PC (1x，y)， PA (PBPC)(x， 3y) (2x，2y) 2(x2y2 3y)2 x2 y 3 2 23 4 2 3 4 3 2. 当且仅当 x0，y 3 2 时，PA (PBPC)取得最小值，最小值为3 2. 故选 B. 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13(2018 山西太原联考)已知单位向量 e 满足|ae|a2e|，则向量 a 在 e 方向上的投影为 _ 考点 向量的投影 题点 向量的投影 答案 1 2 解析 由|ae|
10、a2e|得(ae)2(a2e)2，于是|a|22a e1|a|24a e4， 解得 a e1 2，于是向量 a 在 e 方向上的投影为 a e |e| 1 2. 14如图，直线 EF 与平行四边形 ABCD 的两边 AB，AD 分别交于 E，F 两点，且与对角线 AC 交于点 K，其中，AE 2 5AB ，AF1 2AD ，AK AC，则 的值为_ 考点 向量共线定理及其应用 题点 三点共线定理的应用 答案 2 9 解析 AE 2 5AB ，AF1 2AD ， AB 5 2AE ，AD 2AF . 由向量加法的平行四边形法则可知，AC ABAD ， AK AC(ABAD ) 5 2AE 2AF
11、 5 2AE 2AF， E，F，K 三点共线，5 221， 2 9. 15若非零向量 a，b 满足|a|2 2 3 |b|，且(ab)(3a2b)，则 a 与 b 的夹角为_ 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的夹角 答案 4 解析 由(ab)(3a2b)，得(ab) (3a2b)0， 即 3a2a b2b20.|a|2 2 3 |b|，设a，b， 则 3|a|2|a|b|cos 2|b|20， 8 3|b| 22 2 3 |b|2cos 2|b|20，cos 2 2 . 又0， 4. 16 已知 a(1,3)， b(1,1)， cab， a 和 c 的夹角是锐角， 则实数 的
12、取值范围是_ 考点 平面向量夹角的坐标表示与应用 题点 已知坐标形式下的向量夹角求参数 答案 5 2，且0 解析 由题意得 c(1，3)， a，c 夹角为锐角，0cosa，c1， cosa，c a c |a|c| 104 10 1232 104 20280100， 0 104 202801001， 01045 2，且 0， 实数 的取值范围是 5 2，且0 . 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17(10 分)已知AB (1,3)，BC(3，m)，CD (1，n)，且AD BC . (1)求实数 n 的值； (2)若AC BD ，求实数 m 的值 考点 平面向量平行与垂直的坐标表
13、示与应用 题点 向量平行与垂直的坐标表示的综合应用 解 因为AB (1,3)，BC(3，m)，CD (1，n)， 所以AD AB BCCD (3,3mn)， (1)因为AD BC ，所以AD BC ， 即 33， 3mnm， 解得 n3. (2)因为AC ABBC(2,3m)， BD BC CD (4，m3)， 又AC BD ， 所以AC BD 0， 即 8(3m)(m3)0，解得 m 1. 18(12 分)已知向量 a3e12e2，b4e1e2，其中 e1(1,0)，e2(0,1) (1)求 a b，|ab|； (2)求 a 与 b 的夹角的余弦值 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量
14、积求向量的模，求向量的夹角 解 (1)因为 e1(1,0)，e2(0,1)， 所以 a3e12e2(3，2)， b4e1e2(4,1)， 所以 a b(3，2) (4,1)12210， ab(7，1)， 所以|ab|72125 2. (2)设 a 与 b 的夹角为 ， 则 cos a b |a|b| 10 13 17 10 221 221 . 19(12 分)已知 a，b，c 是同一平面内的三个向量，其中 a(1,2) (1)若|b|2 5，且 ab，求 b 的坐标； (2)若|c| 10，且 2ac 与 4a3c 垂直，求 a 与 c 的夹角 . 解 (1)设 b(x，y)， 因为 ab，所
15、以 y2x. 又因为|b|2 5，所以 x2y220. 由联立，解得 b(2,4)或 b(2，4) (2)由已知(2ac)(4a3c)， 得(2ac) (4a3c)8a23c22a c0， 由|a| 5，|c| 10，解得 a c5， 所以 cos a c |a|c| 2 2 ，0， 所以 a 与 c 的夹角 4. 20(12 分)如图所示，在ABC 中，AQ QC ，AR 1 3AB ，BQ 与 CR 相交于点 I，AI 的延长 线与边 BC 交于点 P. (1)用AB 和AC分别表示BQ 和CR ； (2)如果AI ABBQ AC CR，求实数 和 的值； (3)确定点 P 在边 BC 上
16、的位置 考点 平面向量基本定理的应用 题点 利用平面向量基本定理求参数，求线段的长度比 解 (1)由AQ 1 2AC ， 可得BQ BA AQ AB 1 2AC . AR 1 3AB ， CR CAARAC1 3AB . (2)将BQ AB 1 2AC ，CRAC1 3AB 代入AI ABBQ AC CR， 则有AB AB 1 2AC AC AC 1 3AB ， 即(1)AB 1 2AC 1 3AB (1)AC， 11 3， 1 21， 解得 4 5， 3 5. (3)设BP mBC，APnAI. 由(2)知AI 1 5AB 2 5AC ， BP APABnAIABn 1 5AB 2 5AC
17、AB 2n 5 AC n 51 AB mBCmACmAB， mn 51， m2n 5 ， 解得 m2 3， n5 3， BP 2 3BC ，即BP PC2， 点 P 在 BC 的三等分点且靠近点 C 处 21(12 分)在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形 OABC 是等腰梯形，A(6,0)，C(1， 3)， 点 M 满足OM 1 2OA ，点 P 在线段 BC 上运动(包括端点)，如图所示 (1)求OCM 的余弦值； (2)是否存在实数 ，使(OA OP )CM ？若存在，求出满足条件的实数 的取值范围；若不 存在，请说明理由 考点 平面向量数量积的坐标表示与应用 题点 已知数量积求参数
18、 解 (1)由题意，可得OA (6,0)，OC (1， 3)， OM 1 2OA (3,0)，CM (2， 3)，CO (1， 3) cosOCMcosCO ，CM CO CM |CO |CM | 7 14. (2)设 P(t， 3)，其中 1t5， 则 OP (t， 3)， OA OP (6t， 3) 若(OA OP )CM ， 则(OA OP ) CM 0， 即 122t30，(2t3)12， 若 t3 2，则 不存在； 若 t3 2，则 12 2t3. t 1，3 2 3 2，5 . (，12 12 7 ， . 即满足条件的实数 存在，实数 的取值范围为(，12 12 7 ， . 22(
19、12 分)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量 a(1,2)，点 A(8,0)，B(n，t)， C(ksin ，t) 0 2 . (1)若AB a，且|AB| 5|OA |，求向量OB ； (2)若向量AC 与向量 a 共线，当 k4，且 tsin 取得最大值 4 时，求OA OC . 考点 平面向量平行与垂直的坐标表示与应用 题点 向量平行与垂直的坐标表示的综合应用 解 (1)由题设知AB (n8，t)， AB a，8n2t0. 又 5|OA |AB |， 564(n8)2t25t2， 得 t 8. 当 t8 时，n24；当 t8 时，n8， OB (24,8)或OB (8，8) (2)由题设知AC (ksin 8，t)， AC 与 a 共线， t2ksin 16， tsin (2ksin 16)sin 2k sin 4 k 232 k . k4，04 k1， 当 sin 4 k时，tsin 取得最大值 32 k . 由32 k 4，得 k8，此时 6，t8， 则OC (4,8) OA OC (8,0) (4,8)32.
