1、设集合 M1，3，5，N2，4，5，则 MN（ ） A5 B3，5 C2，4，5 D1，2，3，4，5 2 （5 分）设 zi（1i） ，则 （ ） A1i B1+i C1i D1+i 3 （5 分）若双曲线的实轴长为 4，则其渐近线方程为（ ） Ayx B C Dy2x 4 （5 分）已知 alog0.22，b20.2，c0.20.3，则（ ） Aacb Babc Ccab Dbca 5 （5 分）若变量 x，y 满足约束条件，则 z4xy 的最小值是（ ） A6 B5 C5 D6 6 （5 分）从 2 名女同学和 3 名男同学中任选 2 人参加演讲比赛，则选中的 2 人是 1 名男同 学
2、1 名女同学的概率是（ ） A B C D 7（5分） 第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的 如 图所示，赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如 果小正方形的面积为 1，大正方形的面积为 25，直角三角形中较大的锐角为 ，那么 （ ） A B C D 8 （5 分）已知 f（x）是奇函数，当 x0 时，f（x）ex1（其中 e 为自然对数的底数） ， 第 2 页（共 22 页） 则 f（ln）（ ） A1 B1 C3 D3 9 （5 分）已知四棱锥 SABCD 的所有顶点都在球 O 的球面上，SASB，SASB，底面 ABCD 是等
3、腰梯形，ABCD，且满足 AB2AD2DC2，则球 O 的表面积是（ ） A B C4 D8 10 （5 分）已知点 F 为椭圆的一个焦点，过点 F 作圆 x2+y21 的两条切 线，若这两条切线互相垂直，则 a（ ） A2 B C 11 （5 分）函数 f（x）cosx（0）在区间上是单调函数，且 f（x）的图象 关于点对称，则 （ ） A或 B或 2 C或 2 D或 12 （5 分）已知数列an满足，则 a1+a2020的最大值是（ ） A B C D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分分 13 （5 分）曲线 y（x1）
4、ex在点（1，0）处的切线方程为 14 （5 分）已知向量 （1，1） ， （3，m） ，若向量 2 与向量 共线，则实数 m 15 （5 分）已知圆锥的顶点为 S，点 A，B，C 在底面圆周上，且 AB 为底面直径，若 SA ACBC，则直线 SA 与 BC 的夹角为 16 （5 分）有一道题目由于纸张破损，有一条件看不清楚，具体如下： “在ABC 中，角 A， B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a，_，c2b23c+30，求角 A ”经 推断，破损处的条件为三角形一边的长度，且该题的答案 A45是唯一确定的，则破 损处应是 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证
5、明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 第 3 页（共 22 页） 17 （12 分）已知an是公差为 1 的等差数列，数列bn满足 b11，anbn+1+bn+1 nbn （1）求数列bn的通项公式； （2）设 cnbnbn+1，求数列cn的前 n 项和 Sn 18 （12 分）如图，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F，M 分别是棱 AB，BC
6、， AD 的中点 （1）证明：D1M平面 A1EF； （2）求点 D1到平面 A1EF 的距离 19 （12 分）某共享单车运营公司的市场研究人员为了了解公司的经营状况，对公司最近 6 个月的市场占有率 y%进行了统计，结果如表： 月份 2019.7 2019.8 2019.9 2019.10 2019.11 2019.12 月份代码 x 1 2 3 4 5 6 y 10 14 15 16 20 21 （1）请用相关系数说明能否用线性回归模型拟合 y 与月份代码 x 之间的关系如果能， 请计算出 y 关于 x 的线性回归方程；如果不能，请说明理由； （结果精确到 0.01） （2）根据调研数据
7、，公司决定再采购一批单车扩大市场，从成本 1000 元/辆的 A 型车和 800 元/辆的 B 型车中选购一种，两款单车使用寿命频数如表： 报废年限 车型 1 年 2 年 3 年 4 年 总计 A 8 32 40 20 100 B 12 43 35 10 100 经测算，平均每辆单车每年能为公司带来 500 元的收入，不考虑除采购成本以外的其它 成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆单车使用寿命的概率，以 平均每辆单车所产生的利润的估计值为决策依据，如果你是公司负责人，会选择哪款车 第 4 页（共 22 页） 型？ 参考数据：，（xi）217.5， ， 参考公式：相关系数， 2
8、0 （12 分）设抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，C 的准线与 x 轴的交点为 E，点 A 是 C 上的动点当AEF 是等腰直角三角形时，其面积为 2 （1）求 C 的方程； （2）延长 AF 交 C 于点 B，点 M 是 C 的准线上的一点，设直线 MF，MA，MB 的斜率分 别是 k0，k1，k2，证明：k1+k22k0 21 （12 分）已知函数 （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若 m0，方程有两个不同的实数解，求实数 m 的取值范围 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在分请考生在 22、23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题注
9、意：只能做所选定的题 目如果多做，则按所做第一个题目计分目如果多做，则按所做第一个题目计分.作答时，请用作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后铅笔在答题卡上将所选题号后 的方框涂黑的方框涂黑选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）已知曲线 C 的极坐标方程是 6cos0，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半 轴，建立平面直角坐标系，直线 l 过点 M（0，2） ，倾斜角为 （1）求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的参数方程； （2）设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求+的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23 （10 分）已知函数
10、 f（x）|x+1|+|x2a| （1）若 a1，解不等式 f（x）4； （2）对任意的实数 m，若总存在实数 x，使得 m22m+4f（x） ，求实数 a 的取值范围 第 5 页（共 22 页） 2020 年福建省龙岩市高考数学一模试卷（文科）年福建省龙岩市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，分在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）设集合 M1，3，5，N2，4，5，则 MN（ ）
11、A5 B3，5 C2，4，5 D1，2，3，4，5 【分析】直接求出即可 【解答】解：集合 M1，3，5，N2，4，5， 则 MN1，2，3，4，5， 故选：D 【点评】考查集合的并集运算，基础题 2 （5 分）设 zi（1i） ，则 （ ） A1i B1+i C1i D1+i 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：zi（1i）1+i， 故选：A 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3 （5 分）若双曲线的实轴长为 4，则其渐近线方程为（ ） Ayx B C Dy2x 【分析】先由实轴长为 4，求出 a2，从而得到渐近线方程 【解答】解
12、：实轴长为 4，2a4，a2， 其渐近线方程为：yx， 故选：C 【点评】本题主要考查了双曲线的渐近线方程，是中档题 4 （5 分）已知 alog0.22，b20.2，c0.20.3，则（ ） Aacb Babc Ccab Dbca 第 6 页（共 22 页） 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性即可得出 【解答】解：a0，b1，c（0，1） ， acb 故选：A 【点评】本题考查了指数函数、对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于 基础题 5 （5 分）若变量 x，y 满足约束条件，则 z4xy 的最小值是（ ） A6 B5 C5 D6 【分析】先根据条件画出可行域，再利用 z4x
13、y，几何意义求最值，将最小值转化为 y 轴上的截距最大，只需求出直线 z4xy，过可行域内的点 A 时的最小值，从而得到 z 最小值即可 【解答】解：设变量 x，y 满足约束条件在坐标系中画出可行域三角形， 平移直线 4xy0 经过点 A（1，1）时，4xy 最小，最小值为：5， 则目标函数 z4xy 的最小值：5 故选：B 【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归 思想线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定 6 （5 分）从 2 名女同学和 3 名男同学中任选 2 人参加演讲比赛，则选中的 2 人是 1 名男同 学 1 名女同学的概率是（ ） 第 7
14、 页（共 22 页） A B C D 【分析】基本事件总数 n10，选中的 2 人是 1 名男同学 1 名女同学包含的基本事 件个数 m6，由此能求出选中的 2 人是 1 名男同学 1 名女同学的概率 【解答】解：从 2 名女同学和 3 名男同学中任选 2 人参加演讲比赛， 基本事件总数 n10， 选中的 2 人是 1 名男同学 1 名女同学包含的基本事件个数 m6， 则选中的 2 人是 1 名男同学 1 名女同学的概率是 p 故选：C 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 7（5分） 第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行
15、设计的 如 图所示，赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如 果小正方形的面积为 1，大正方形的面积为 25，直角三角形中较大的锐角为 ，那么 （ ） A B C D 【分析】设大直角三角形的直角边长为 a，a+1，a2+（a+1）225，a0解出利用倍角 公式即可得出 【解答】解：设大直角三角形的直角边长为 a，a+1， 则 a2+（a+1）225，a0 解得 a3 cos，sin ； 故选：D 【点评】本题考查了勾股定理、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 第 8 页（共 22 页） 8 （5 分）已知 f（x）是奇函数，当 x0 时，f（x）ex1（
16、其中 e 为自然对数的底数） ， 则 f（ln）（ ） A1 B1 C3 D3 【分析】由 f（x）是奇函数可得 f（x）f（x） ，则 f（ln）f（ln2）f（ln2） ， 代入已知可求 【解答】解：f（ln）f（ln2） f（x）是奇函数，f（x）f（x） 当 x0 时，f（x）ex1， 则 f（ln）f（ln2）f（ln2）（eln21）1 故选：A 【点评】本题主要考查了利用奇函数的性质求解函数的函数值，属于基础试题 9 （5 分）已知四棱锥 SABCD 的所有顶点都在球 O 的球面上，SASB，SASB，底面 ABCD 是等腰梯形，ABCD，且满足 AB2AD2DC2，则球 O 的
17、表面积是（ ） A B C4 D8 【分析】利用已知条件求出四棱锥的外接球的半径，然后求解球 O 的表面积 【解答】解：底面 ABCD 是等腰梯形，ABCD，且满足 AB2AD2DC2， 可知底面 ABCD 的外心为 AB 的中点 O，到顶点的距离为 1， 因为 SASB，SASB，AB2， 所以 SASB，AB 的中点 O 到 S 的距离为 1， 所以 O 是四棱锥的外接球的球心，外接球的半径为 1， 所以球 O 的表面积是：4124 故选：C 【点评】本题考查几何体的外接球的表面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力， 是中档题 10 （5 分）已知点 F 为椭圆的一个焦点，过点 F 作圆
18、 x2+y21 的两条切 线，若这两条切线互相垂直，则 a（ ） A2 B C 第 9 页（共 22 页） 【分析】由题意画出图形，可得 c，利用椭圆的性质求解 a 即可 【解答】解：如图， 由题意椭圆的右焦点为 F， 过点 F 作圆 x2+y21 的切线，若两条切线互相垂直，可得c，则 2c2，a2b2+c2 3， 则 a 故选：C 【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题 11 （5 分）函数 f（x）cosx（0）在区间上是单调函数，且 f（x）的图象 关于点对称，则 （ ） A或 B或 2 C或 2 D或 【分析】首先求出函数的关系式中的 和 k 的关系，进
19、一步对 k 的取值进行验证，最后 求出结果 【解答】解：f（x）的图象关于点对称， 则， 整理得：（kZ） ， 当 k0 时，所以函数 f（x），函数的最小正周期为 3，所以函数 f （x）在区间上是单调递减函数 当 k1 时，2，所以函数 f（x）cos2x，函数的最小正周期为 ，所以函数 f（x） 第 10 页（共 22 页） 在区间上是单调递减函数 当 k2 时，所以函数 f（x）cosx，函数的最小正周期为，所以函数 f（x）在区间上是不是单调递减函数，函数的单调性先减后增，故错误 故选：B 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数性质的应用， 主要考查学生的运
20、算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 12 （5 分）已知数列an满足，则 a1+a2020的最大值是（ ） A B C D 【分析】依题意，可化为：+4， 法一：利用圆的参数方程，结合辅助角公式可求得 a1+a2020的最大值； 法二：由，利用基本不等式可求得 a1+a2020的最大值； 法三：依题意， （a1，a2020）在（x2）2+（y2）24 上，令 zx+y，利用点到直线间 的距离公式可求得答案 【解答】解：依题意，可化为：+4， 令 bn，则 bn+1+bn4，bn+2+bn+14，于是 bn+2bn， b1，b2020b2， b1+b2020b1+b24，即+4， 法一：a
21、1+a20204+2sin （+） 4+2（当且仅当 时 等号成立） ； 法二：， a1+a2020（a12） （a20202）+42+44+2（当且 仅当 a1a20202+时等号成立） 第 11 页（共 22 页） 法三：+4，即（a1，a2020）在（x2）2+（y2）24 上， 令 zx+y，即 x+yz0，d2， |z4|2， 42z4+2， zmax4+2 故选：C 【点评】本题考查数列递推式的应用，考一题多解的运用，其中涉及圆的参数方程法、 基本不等式法及点到直线间的距离公式的应用，考查思维与运算能力，属于中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每
22、小题 5 分，满分分，满分 20 分分 13 （5 分）曲线 y（x1）ex在点（1，0）处的切线方程为 exye0 【分析】先对曲线 y（x1）ex求导，然后求出切线斜率 ky|x1，再求出切线方程 【解答】解：由 y（x1）ex，得 yxex， 则曲线 y（x1）ex在点（1，0）处的切线斜率 ky|x1e， 曲线 y（x1）ex在点（1，0）处的切线方程为 exye0， 故答案为：exye0 【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，属基础题 14 （5 分）已知向量 （1，1） ， （3，m） ，若向量 2 与向量 共线，则实数 m 3 【分析】先求出向量 2 的坐标（5，2m
23、） ，这样根据向量平行时的坐标关系即可建 立关于 m 的方程，解出 m 【解答】解：因为向量 （1，1） ， （3，m） ， 所以向量 2 （5，2m） ； 2 与向量 共线； 5m（2m）（3）0m3； 故答案为：3 【点评】本题主要考查向量坐标的数乘和减法运算，以及共线向量的概念，共线向量的 坐标关系 第 12 页（共 22 页） 15 （5 分）已知圆锥的顶点为 S，点 A，B，C 在底面圆周上，且 AB 为底面直径，若 SA ACBC，则直线 SA 与 BC 的夹角为 【分析】取 AB 中点 O，连结 SO，CO，推导出 OS平面 ABC，OCAB，以 O 为原点， OC 为 x 轴，
24、OB 为 y 轴，OS 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 SA 与 BC 的夹角 【解答】解：取 AB 中点 O，连结 SO，CO， 圆锥的顶点为 S，点 A，B，C 在底面圆周上，且 AB 为底面直径，SAACBC， OS平面 ABC，OCAB， 以 O 为原点，OC 为 x 轴，OB 为 y 轴，OS 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设 OC1，则 S（0，0，1） ，A（0，1，0） ，B（0，1，0） ，C（1，0，0） ， （0，1，1） ，（1，1，0） ， 设直线 SA 与 BC 的夹角为 ， 则 cos， 直线 SA 与 BC 的夹角为 故答案为： 【点评
25、】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系 等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 16 （5 分）有一道题目由于纸张破损，有一条件看不清楚，具体如下： “在ABC 中，角 A， B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a，_，c2b23c+30，求角 A ”经 推断，破损处的条件为三角形一边的长度，且该题的答案 A45是唯一确定的，则破 第 13 页（共 22 页） 损处应是 c 【分析】由 c2b23c+30，a结合余弦定理可求 cosB，进而可求 B，然后结合 正弦定理及大边对大角即可进行求解 【解答】解：因为 c2b23c+30，a 所以， 即， 所以 co
26、sB，又 B（0，） ，所以 B （1）由正弦定理可知，可得 b 检验：sinA， 又因为 A（0，）且 ab， 所以 A或者 A，这与已知角 A 的解为唯一解矛盾 （2）B，A，所以 C， 由正弦定理可知，c， 检验：sinA， 又 A（0，） ，且 ca， A故应填的条件是：c 故答案为：c 【点评】本题主要考查了利用正弦定理及余弦定理及三角形的大边对大角定理在求解三 角形中的应用，属于中档试题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都
27、必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）已知an是公差为 1 的等差数列，数列bn满足 b11，anbn+1+bn+1 nbn 第 14 页（共 22 页） （1）求数列bn的通项公式； （2）设 cnbnbn+1，求数列cn的前 n 项和 Sn 【分析】本题第（1）题将 n1 代入 anbn+1+bn+1nbn可解出 a1的值，从而可得数列 an的通项公式，然后将数列an的通项公式代入 anbn+1+bn+1nbn可发现数列nbn是 常数数列，从而可得数列bn的通项公式；第（2）题先
28、根据第（1）题的结果计算出数 列cn的通项公式，然后运用裂项相消法求出前 n 项和 Sn 【解答】解： （1）由题意，可知 a1b2+b2b1， 即a1+1，解得 a11 又数列an是公差为 1 的等差数列， an1+n1n anbn+1+bn+1（n+1）bn+1nbn， 数列nbn是常数数列，即 nbn1b11， bn，nN* （2）由（1）知，cnbnbn+1， 故 Snc1+c2+cn 1+ 1 【点评】本题主要考查数列求通项公式，以及运用裂项相消法求前 n 项和考查了转化 思想， 、方程思想、逻辑思维能力和数学运算能力，本题属中档题 18 （12 分）如图，在棱长为 2 的正方体 A
29、BCDA1B1C1D1中，E，F，M 分别是棱 AB，BC， AD 的中点 （1）证明：D1M平面 A1EF； （2）求点 D1到平面 A1EF 的距离 第 15 页（共 22 页） 【分析】 （1）取 CD 的中点 N，连结 MN，D1N，EN，只需证明 A1D1EN，A1D1EN， 四边形 A1D1NE 是平行四边形，即可证明 D1M平面 A1EF； （2）可得 D1M 平面 A1EF，所以点 D1到平面 A1EF 的距离可以转化为点 M 到平面 A1EF 的距离由，即可得点 D1到平面 A1EF 的距离 【解答】 （1）证明： ：取 CD 的中点 N，连结 MN，D1N，EN 因为 E，
30、F，M，N 分别是棱 AB，BC，AD，CD 的中点， 所以 MNEF，又因为 MN平面 A1EF， EF平面 A1EF，所以 MN平面 A1EF 又因为 A1D1EN，A1D1EN，所以四边形 A1D1NE 是平行四边形， 所以 D1NA1E，所以 D1N平面 A1EF 又 D1NMNN，所以平面 D1MN平面 A1EF， 又 D1M平面 D1MN，所以 D1M平面 A1EF； （2）解：因为 D1M 平面 A1EF，所以点 D1到平面 A1EF 的距离可以转化为点 M 到平面 A1EF 的距离 由已知可得，所以， 又3， 所以 cos，可知 sin， 所以 又因为，所以点 M 到平面 A1
31、EF 的距离为 所以点 D1到平面 A1EF 的距离为 第 16 页（共 22 页） 【点评】本题考查了空间面面平行、点面距离，属于中档题 19 （12 分）某共享单车运营公司的市场研究人员为了了解公司的经营状况，对公司最近 6 个月的市场占有率 y%进行了统计，结果如表： 月份 2019.7 2019.8 2019.9 2019.10 2019.11 2019.12 月份代码 x 1 2 3 4 5 6 y 10 14 15 16 20 21 （1）请用相关系数说明能否用线性回归模型拟合 y 与月份代码 x 之间的关系如果能， 请计算出 y 关于 x 的线性回归方程；如果不能，请说明理由；
32、（结果精确到 0.01） （2）根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，从成本 1000 元/辆的 A 型车和 800 元/辆的 B 型车中选购一种，两款单车使用寿命频数如表： 报废年限 车型 1 年 2 年 3 年 4 年 总计 A 8 32 40 20 100 B 12 43 35 10 100 经测算，平均每辆单车每年能为公司带来 500 元的收入，不考虑除采购成本以外的其它 成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆单车使用寿命的概率，以 平均每辆单车所产生的利润的估计值为决策依据，如果你是公司负责人，会选择哪款车 型？ 参考数据：，（xi）217.5， ， 参考公式
33、：相关系数， 第 17 页（共 22 页） 【分析】 （1）由表格中的数据求得相关系数 r 值，可知 y 与月份代码 x 之间高度正相关， 故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系再求出 与 的值，得到线性回归方程； （2）分别求出这 100 辆 A 款单车平均每辆的利润与这 100 辆 B 款单车平均每辆的利润， 比较大小得结论 【解答】解： （1）由表格中数据可得， ， y 与月份代码 x 之间高度正相关，故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系 ， 162.1143.58.601 y 关于 x 的线性回归方程为； （2）这 100 辆 A 款单车平均每辆的利润为： （元） ， 这 100 辆
34、 B 款单车平均每辆的利润为： （元） 用频率估计概率，A 款单车与 B 款单车平均每辆的利润估计值分别为 360 元、415 元， 应采购 B 款车型 【点评】本题考查相关系数与线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题 20 （12 分）设抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，C 的准线与 x 轴的交点为 E，点 A 是 C 上的动点当AEF 是等腰直角三角形时，其面积为 2 （1）求 C 的方程； （2）延长 AF 交 C 于点 B，点 M 是 C 的准线上的一点，设直线 MF，MA，MB 的斜率分 别是 k0，k1，k2，证明：k1+k22k0 第 18 页（共 22 页） 【分
35、析】 （1）由题意可得：2，所以 p2，从而得到抛物线方程； （2）设 M（1，y0） ，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，对直线 AB 的斜率分情况讨论，当直线 AB 的斜率不存在时，A（1，2） ，B（1，2） ，易得 k1+k22k0，当直线 AB 的斜率存在 时，设直线 AB 的方程为：yk（x1） ，与抛物线方程联立，利用韦达定理化简 k1+k2 +得：k1+k2y0，即 k1+k22k0 【解答】解： （1）当AEF 是等腰直角三角形时，EFAF，点 A（，p） ， 2，p2， 抛物线方程为：y24x； （2）抛物线方程为：y24x，准线方程为：x1，焦点 F（1，0） ，
36、设 M（1，y0） ，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 当直线 AB 的斜率不存在时，A（1，2） ，B（1，2） ， ， 2k0， 即 k1+k22k0， 当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为：yk（x1） ， 联立方程，消去 y 得：k2x2（2k2+4）x+k20， ，x1x21，y1+y2k（x1+x2）2k， ， k1+k2+ 第 19 页（共 22 页） y0， k1+k22k0， 故 k1+k22k0得证 【点评】本题主要考查了抛物线方程，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题 21 （12 分）已知函数 （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若 m0，方程有
37、两个不同的实数解，求实数 m 的取值范围 【分析】 （1）求导可得，令 g（x）x+lnx1，再利用导数可知 g（x） 在（0，+）单调递增，进而可得当 x（0，1）时，f（x）0，当 x（1，+）时， f（x）0，由此求得函数 f（x）的单调性； （2）问题等价于方程有两解，设，利用导数研究函数 F（x） 的性质，可得，由此求得实数 m 的取值范围 【解答】 解：（1） 依题意函数 f （x） 的定义域为 （0， +） ， 令 g（x）x+lnx1，则，故 g（x）在（0，+）单调递增， 又 g（1）0，所以当 x（0，1）时，g（x）0，即 f（x）0， 当 x（1，+）时，g（x）0，即
38、 f（x）0； 故 f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增； 第 20 页（共 22 页） （2）方程化简可得 m（x+lnx）x2， 所以方程有两解等价于方程有两解， 设，则， 令 h（x）1x2lnx，由于，所以 h（x）在（0，+）单调递减， 又 h（1）0，所以当 x（0，1）时，h（x）0，即 F（x）0， 当 x（1，+）时，h（x）0，即 F（x）0； 故 F（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减 所以 F（x）在 x1 时取得最大值 F（1）1， 又，F（1）10，所以存在，使得 F（x1）0， 又 F（x）在（0，1）上单调递增，所以当时，F（x
39、）0； 当时，F（x）0，即 F（x）（0，1） 因为 F（x）在（1，+）上单调递减，且当 x（1，+）时，即 F （x）（0，1） 所以方程有两解只须满足， 解得：m1， 所以方程有两个不同的实数解时，实数 m 的取值范围是（1，+） 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性以及函数零点与方程的关系，考查转化思 想及运算求解能力，属于中档题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在分请考生在 22、23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题注意：只能做所选定的题 目如果多做，则按所做第一个题目计分目如果多做，则按所做第一个题目计分.作答时，请用作答时，请用
40、 2B 铅笔在答题卡上铅笔在答题卡上将所选题号后将所选题号后 的方框涂黑的方框涂黑选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）已知曲线 C 的极坐标方程是 6cos0，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半 轴，建立平面直角坐标系，直线 l 过点 M（0，2） ，倾斜角为 （1）求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的参数方程； （2）设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求+的值 第 21 页（共 22 页） 【分析】 （1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果 【解答】解： （1）
41、曲线 C 的极坐标方程是 6cos0，转换为直角坐标方程为（x3） 2+y29 直线 l 过点 M（0，2） ，倾斜角为整理得参数方程为（t 为参数） （2）将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程得， 整理得， 所以：，t1t24， 所以求+ 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元 二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属 于基础题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23 （10 分）已知函数 f（x）|x+1|+|x2a| （1）若 a1，解不等式 f（x）4； （2）对任意的实数 m，若总存在实
42、数 x，使得 m22m+4f（x） ，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）将 a1 代入 f（x）中，再利用零点分段法解不等式 f（x）4 即可； （2）根据条件可知，m22m+4 的取值范围是 f（x）值域的子集，然后求出 f（x）的值 域和 m22m+4 的取值范围，再求出 a 的范围 【解答】解： （1）当 a1 时，f（x）|x+1|+|x2| f（x）4，或或， 或1x2 或， 第 22 页（共 22 页） 不等式的解集为x| （2）对任意的实数 m，若总存在实数 x，使得 m22m+4f（x） ， m22m+4 的取值范围是 f（x）值域的子集 f（x）|x+1|+|x2a|2a+1|，f（x）的值域为|2a+1|，+） ， 又 m22m+4（m1）2+33，|2a+1|3， 2a1， 实数 a 的取值范围为2，1 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和函数恒成立问题，考查了分类讨论思想和转 化思想，属中档题
