1、若复数 z2i+，其中 i 是虚数单位，则复数 z 的模为（ ） A B C D2 2 （5 分）设集合 A，Bx|ylog2（x22x3），则 AB（ ） Ax|2x1 Bx|1x1 Cx|2x1 Dx|1x1 3 （5 分）已知等比数列an满足 a1，4a2a44a31，则 a2（ ） A B C D 4 （5 分）若 x，y 满足，则 2x+y 的最大值为（ ） A2 B5 C6 D7 5 （5 分）一个球体被挖去一个圆锥，所得几何体的三视图如 图所示，则该几何体的体积为（ ） A B7 C D13 6 （5 分）明朝数学家程大位著的算法统宗里有一道著名的题目： “一百馒头一百僧， 大僧
2、三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了 此题的一个算法执行如图的程序框图，则输出的 n（ ） 第 2 页（共 26 页） A25 B45 C60 D75 7 （5 分）若 A、b 是空间两条不同的直线，、 是空间的两个不同的平面，则 a 的一 个充分条件是（ ） Aa， Ba， Cab，b Da， 8 （5 分）若实数 x，y，z 满足，则 x，y，z 的大小关系是（ ） Axyz Bxzy Czxy Dzyx 9 （5 分）已知点 A（2，1）和点 B 关于直线 l：x+y10 对称，斜率为 k 的直线 m 过 点 A 交 l 于点 C，若ABC 的面积为
3、2，则 k 的值为（ ） A3 或 B0 C D3 10 （5 分）已知斜率为 k（k0）的直线 l 过抛物线 C：X22PY（P0）的焦点 F，与抛 物线 C 交于 A， B 两点， 又直线 l 与圆 x2+y2pyp20 交于 C， D 两点 若|AB|3|CD|， 则 k 的值为（ ） A B C4 D8 11 （5 分）已知函数 f（x）Asin（x+） （A0，0）的周期为 ，M（m，0） ，N（n， 0）分别是函数 f（x）的图象与 x 轴相邻的两个交点，点在函数 f （x）的图象上，且满足，则 A 的值为（ ） 第 3 页（共 26 页） A3 B2 C D 12 （5 分）已知
4、函数 f（x）+lnxcosx（aR） ，以下四个命题： 当 ae 时，函数 f（x）存在零点； 当 a0 时，函数 f（x）没有极值点； 当 a0 时，函数 f（x）在（0，）上单调递增； 当 a2cos1 时，f（x）0 在1，+）上恒成立其中的真命题为（ ） A B C D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 （5 分）已知向量 （1，2） ， （m，1m） ，若，则 14 （5 分）已知定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（x+4）f（x4） ，且 f（x） 则 f（11）+f（15） 15 （5 分）若（sin+2cos） ，则
5、 sin2 16 （5 分）在棱长为 4 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，正方形 ABCD 所在平面内的动点 P 到直线 AA1，BB1的距离之差为 2设 C1D1的中点为 E，则 PE 的最小值为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，满分小题，满分 60 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 17（12 分） 已知各项均为正数的数列an的首项 a1， 前 n 项和为 Sn， 且 Sn+1+Sn2an+12 （1）求数列an的通项公式； （2）设 bn，求数列bn的前 n 项和 Tn 18 （12 分）如图，矩形 ABCD平面
6、EBC，AB1，且 M，N 分别为 AB， CE 的中点 （1）证明：MN平面 AED； （2）若 BCBE2，求二面角 EADB 的大小 第 4 页（共 26 页） 19 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且bcacosC，c 2 （1）求 A； （2）若ABC 为锐角三角形，D 为 BC 中点，求 AD 的取值范围 20 （12 分）已知椭圆 C：1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 ，过 F1作直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，ABF2的周长为 8 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）问：ABF2的内切圆面积是否有最大值？若有，试
7、求出最大值；若没有，说明理 由 21 （12 分）已知函数 f（x）x2eax+1blnxax（a，bR） （1）若 b0，曲线 f（x）在点（1，f（1） ）处的切线与直线 y2x 平行，求 a 的值； （2）若 b2，且函数 f（x）的值域为2，+） ，求 a 的最小值 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时请写清做的第一题记分作答时请写清 题号题号选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C： （x1）2+（y1）21，以坐标
8、原点 O 为 极点，x 轴正半轴为极轴，直线 l 的极坐标方程为，直线 l 交圆 C 于 A，B 两点，P 为 A，B 中点 （1）求点 P 轨迹的极坐标方程； （2）若，求 的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知在 R 上恒成立 （1）求 m 的最大值 M； 第 5 页（共 26 页） （2）若 a，b 均为正数，且，求 a2b 的取值范围 第 6 页（共 26 页） 2020 年福建省宁德市高考数学一模试卷（理科年福建省宁德市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每
9、小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1 （5 分）若复数 z2i+，其中 i 是虚数单位，则复数 z 的模为（ ） A B C D2 【分析】利用了两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，求得复数 z，再根 据复数的模的定义求得复数 z 的模 【解答】解：复数 z2i+2i+2i+1i1+i， |z|， 故选：B 【点评】本题主要考查两个复数代数形式的除法，虚数单位 i 的幂运算性质，求复数的 模，属于基础题 2 （5 分）设集合 A，Bx|ylog2（x22x3），则 AB（ ） Ax|2x1 Bx
10、|1x1 Cx|2x1 Dx|1x1 【分析】可以求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可 【解答】解：Ax|2x1，Bx|x22x30x|x1 或 x3， ABx|2x1 故选：A 【点评】本题考查了描述法的定义，分式不等式的解法，对数函数的定义域，一元二次 不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题 3 （5 分）已知等比数列an满足 a1，4a2a44a31，则 a2（ ） A B C D 【分析】结合已知及等比数列的通项公式可求公比 q，进而可求 【解答】解：由题意可得，41， 整理可得， （q24）20， 第 7 页（共 26 页） q2， a2a1q 故选：A 【点评】本
11、题主要考查了等比数列的通项公式的简单应用，属于基础试题 4 （5 分）若 x，y 满足，则 2x+y 的最大值为（ ） A2 B5 C6 D7 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值 【解答】解：作出 x，y 满足对应的平面区域如图： （阴影部分） 由 z2x+y 得 y2x+z， 平移直线 y2x+z， 由图象可知当直线 y2x+z 经过点 A 时，直线 y2x+z 的截距最大， 此时 z 最大 由，解得 A（2，1） ， 代入目标函数 z2x+y 得 z22+15 即目标函数 z2x+y 的最大值为 5 故选：B 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函
12、数的几何意义，结合数形结合的数 学思想是解决此类问题的基本方法 第 8 页（共 26 页） 5 （5 分）一个球体被挖去一个圆锥，所得几何体的三视图如 图所示，则该几何体的体积为（ ） A B7 C D13 【分析】判断几何体的性质，利用三视图的数据求解几何体的体积即可 【解答】解：由题意可知几何体是球体被挖去一个圆锥，取得半径为：R，可得 R23+ （3R）2，解得 R2， 所得几何体的体积为：R3 故选：C 【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，解决本题的关键是得到该几何体的形状 6 （5 分）明朝数学家程大位著的算法统宗里有一道著名的题目： “一百馒头一百僧， 大僧三个更无争，小僧三
13、人分一个，大、小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了 此题的一个算法执行如图的程序框图，则输出的 n（ ） 第 9 页（共 26 页） A25 B45 C60 D75 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 n 的 值，且，即可解得 n 的值 【解答】解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 n 的值，且， 解得 n75 故选：D 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题 7 （5 分）若 A、b 是空间两条不同的直线，、 是空间的两个不同的平面，则 a 的一 个充分条件
14、是（ ） Aa， Ba， Cab，b Da， 【分析】选项 A，可推出 a 与 平行，相交，或在平面内；选项 B，可推出 a 与 平行， 相交；选项 C，可推出 a 与 平行，相交，故不能推出 a；选项 D，根据面面平行的 性质进行判定可推出 a，根据充要条件的判定进行判定即可 【解答】解：选项 A，a， 则 a 与 平行，相交，或在平面内，故不能推出 a ； 第 10 页（共 26 页） 选项 B，a， 则 a 与 平行，相交，故不能推出 a； 选项 C，ab，b 则 a 与 平行，相交，故不能推出 a； 选项 D，a， 则根据面面平行的性质进行判定，故能推出 a； 只有选项 D，a，a 故
15、选：D 【点评】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，考查对基础知识的综合应 用能力和基本定理的掌握能力，属于基础题 8 （5 分）若实数 x，y，z 满足，则 x，y，z 的大小关系是（ ） Axyz Bxzy Czxy Dzyx 【分析】设 y1log2x，y2log3y，y32z，利用对数函数和指数函数的图象和性质即可比 较出 x，y，z 的大小关系 【解答】解：设p，p0， 设 y1log2x，y2log3y，y32z， 作出 3 个函数的图象，如图所示： 由图可知：zxy， 故选：C 【点评】本题考查三个数的大小的求法，解题时运用数形结合的方法，注意对数函数和 指数函数的性质
16、的合理运用 9 （5 分）已知点 A（2，1）和点 B 关于直线 l：x+y10 对称，斜率为 k 的直线 m 过 点 A 交 l 于点 C，若ABC 的面积为 2，则 k 的值为（ ） A3 或 B0 C D3 【分析】设直线 m 为 yk（x+2）+1，求出直线 m 与 l 的交点 C，利用|AC|2，求出 k 即可 第 11 页（共 26 页） 【解答】解：设直线 m 为 yk（x+2）+1，点 A（2，1）到直线 l：x+y10 的距离 为 d， 设 C 到直线 AB 的距离为 h，由，故 h， 所以|AC|2，由，得 C（） ， 由（， 化简得 4k2+44k2+8k+4， 即 k0
17、， 故选：B 【点评】考查直线的交点，点到直线的距离公式，三角形面积，中档题 10 （5 分）已知斜率为 k（k0）的直线 l 过抛物线 C：X22PY（P0）的焦点 F，与抛 物线 C 交于 A， B 两点， 又直线 l 与圆 x2+y2pyp20 交于 C， D 两点 若|AB|3|CD|， 则 k 的值为（ ） A B C4 D8 【分析】利用直线 l 为圆的直径，求出|CD|，设出直线 AB 为 ykx+，联立解方程组， 利用弦长公式求出|AB|，利用|AB|3|CD|，求出 k 【解答】解：圆 x2+y2pyp20，即 x2+（y）2p2，圆心为（0，） ，半径为 p， 抛物线 C：
18、x22py（p0）的焦点 F（0，） ， 直线 l 过抛物线 C 的焦点 F， 故|CD|2p，由|AB|3|CD|，得|AB|6p， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，设直线 AB 为 ykx+， 由，得 x22pkxp20， ， 故|AB|2p（1+k2）6p， 故 k22，又 k0， 第 12 页（共 26 页） 故 k， 故选：A 【点评】考查直线和圆，抛物线的位置关系，求弦长公式，中档题 11 （5 分）已知函数 f（x）Asin（x+） （A0，0）的周期为 ，M（m，0） ，N（n， 0）分别是函数 f（x）的图象与 x 轴相邻的两个交点，点在函数 f （x）的图象上，
19、且满足，则 A 的值为（ ） A3 B2 C D 【分析】容易求得 f（x）Asin（2x+） ，进而 把点 P 的坐标代入函数解析式，即可求得 A 的值 【解答】解：依题意，2，f（x）Asin（2x+） ， ， ， 又 Asin（2n+）0，故 2n+k，kZ，即， ， ， ， 又 A0，故， 故选：C 【点评】本题考查平面向量与三角函数的综合，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属 于中档题 12 （5 分）已知函数 f（x）+lnxcosx（aR） ，以下四个命题： 当 ae 时，函数 f（x）存在零点； 当 a0 时，函数 f（x）没有极值点； 当 a0 时，函数 f（x）在（0，）上单
20、调递增； 当 a2cos1 时，f（x）0 在1，+）上恒成立其中的真命题为（ ） A B C D 第 13 页（共 26 页） 【分析】令 g（x）+lnx， （x（0，+） a0 时g（x）ax+ ，利用导数研究其单调性极值即可判断出正误 f（x）ax+sinx由可得：ae 时，f（x）0 不成立，此时函数 f（x） 无极值点ea0 时，函数 g（x）的极大值（1+ln（a） ）1，f（x） ax+sinx0 有解，即可判断出正误 当 a0 时，函数 f（x）lnxcosx，ylnx，与 ycosx 在（0，）上单调递增， 可得 f（x）在（0，）上单调性 a2cos11 时， g （x）
21、 ax+在 x1， +） 上单调递增 可得 f （x） ax+sinx a+1+sinx0即可得出单调性 【解答】解：令 g（x）+lnx， （x（0，+） a0 时 g（x）ax+， 可得函数 g（x）在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减 x，函数 g（x）取得极大值即最大值 g（）+ln+（ln（a） ）（1+ln（a） ） ， ae 时，g（）1，当 x时，cosx0，因此 f（x）1+10，因此函 数 f（x）无零点不正确 f（x）ax+sinx由可得：ae 时，f（x）0 不成立，此时函数 f（x） 无极值点 ea0 时，函数 g（x）的极大值（1+ln（a） ）1，f（x）a
22、x+sinx 0 有解，因此函数 f（x）有极值点不正确 当 a0 时，函数 f（x）lnxcosx，ylnx，与 ycosx 在（0，）上单调递增， 可得 f（x）在（0，）上单调递增，正确 a2cos11 时，g（x）ax+在 x1，+）上单调递增f（x）ax+sinx 第 14 页（共 26 页） a+1+sinx0当 a2cos1 时，f（x）0 在1，+）上恒成立，正确 只有正确 故选：D 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分 类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题
23、 5 分分 13 （5 分）已知向量 （1，2） ， （m，1m） ，若，则 5 【分析】根据即可得出 m1，从而可得出 的坐标，然后进行数量积的坐标运 算即可 【解答】解：， 1m+2m0， m1， ，且， 故答案为：5 【点评】本题考查了平行向量的坐标关系，向量数量积的坐标运算，考查了计算能力， 属于基础题 14 （5 分）已知定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（x+4）f（x4） ，且 f（x） 则 f（11）+f（15） 【分析】推导出 f（x+8）f（x） ，f（0）20+a0，解得 a1，分别求出 f（11） ，f （15） ，由此能求出 f（11）+f（15）的值 【解答】
24、解：定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（x+4）f（x4） ， f（x+8）f（x） ， f（x） f（0）20+a0，解得 a1， 第 15 页（共 26 页） f（11）f（3）， f（15）f（7）f（1）f（1）（21）1 f（11）+f（15） 故答案为： 【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基 础题 15 （5 分）若（sin+2cos） ，则 sin2 【分析】由已知利用两角和的正弦函数公式可求 sin3cos，根据同角三角函数基本 关系式可求 sin，cos 的值，进而根据二倍角的正弦函数公式即可求解 【解答】解：（sin+2cos）
25、 ， （sin+cos）（sin+2cos） ， 可得 sin3cos， 又sin2+cos21， ，或， sin22sincos 故答案为： 【点评】本题主要考查了两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的 正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 16 （5 分）在棱长为 4 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，正方形 ABCD 所在平面内的动点 P 到直线 AA1，BB1的距离之差为 2设 C1D1的中点为 E，则 PE 的最小值为 【分析】作 EFCD，交 CD 于 F，连结 PF，则 F 是 CD 的中点，求出 PE， 由 PAPB2
26、AB4，得到 P 在以 AB 为焦距的双曲线 x2，的右支上，由此能 求出 PE 的最小值 【解答】解：作 EFCD，交 CD 于 F，连结 PF，则 F 是 CD 的中点， 第 16 页（共 26 页） PE， PAPB2AB4， P 在以 AB 为焦距的双曲线的右支上，且 2a2，c2， 双曲线方程为 x2，作出图象如右图， PF2x2+（y4）21+y28y+168y+17， 当 y3 时，PFmni， PE 的最小值为： PEmin 故答案为： 【点评】本题考查线段长的最小值求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、 双曲线定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 三、解答题：本
27、大题共三、解答题：本大题共 5 小题，满分小题，满分 60 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 17（12 分） 已知各项均为正数的数列an的首项 a1， 前 n 项和为 Sn， 且 Sn+1+Sn2an+12 （1）求数列an的通项公式； 第 17 页（共 26 页） （2）设 bn，求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】本题第（1）题先根据，两式相减，化简整理得到递推式， 再根据递推式得到数列an是以为首项，为公差的等差数列从 而可求出数列an的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结论算出数列bn的通项公 式，再根据通项公式的特点采用裂项相
28、消法求前 n 项和 Tn 【解答】解： （1）由，两式相减，得： an+1+an2（an+1+an） （an+1an） ，n2 又an0，nN* an+1an，n2 当 n1 时，S2+S12且 a1， 整理，得 2a210， 解得 a21，或 a20（舍去） a2a11， 数列an是以为首项，为公差的等差数列 an+（n1）n，nN* （2）由（1） ，得 bn2（） Tnb1+b2+bn 2（1）+2（）+2（） 2（1+） 2（1） 【点评】本题主要考查数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力，函数与方程思 第 18 页（共 26 页） 想、化归与转化思想等本题属中档题 18 （12
29、分）如图，矩形 ABCD平面 EBC，AB1，且 M，N 分别为 AB， CE 的中点 （1）证明：MN平面 AED； （2）若 BCBE2，求二面角 EADB 的大小 【分析】 （1）取 CD 中点 F，分别连结 FM，FN证明四边形 AMFD 为平行四边形，得 到 MFAD，推出 MF平面 AED推出 FN平面 AED证明平面 FMN平面 AED， 推出 MN平面 AED （2）过点 E 作 EGCB 交 CB 的延长线于 G，过 G 作 GHDA 交 DA 的延长线于 H， 连结 EH，说明EHG 即为二面角 EADB 的平面角，转化求解即可 【解答】 （1）证明：取 CD 中点 F，分
30、别连结 FM，FN 又矩形 ABCD 中，M 为 AB 中点， 所以 AMDF，AMDF， 所以四边形 AMFD 为平行四边形， 所以 MFAD， 又 AD平面 AED，MF平面 AED， 所以 MF平面 AED 因为 F、N 分别为 CD、CE 的中点 所以 FNDE， 又 DE平面 AED，FN平面 AED， 所以 FN平面 AED 又因为 MFFNF， 所以平面 FMN平面 AED， 又 MN平面 FMN， 所以：MN平面 AED 第 19 页（共 26 页） （2） 解： 过点 E 作 EGCB 交 CB 的延长线于 G， 过 G 作 GHDA 交 DA 的延长线于 H， 连结 EH，
31、 又因为平面 ABCD平面 EBC，矩形 ABCD平面 EBCBC， 所以 EG平面 ABCDEGAH， 又 EGGHG，AH平面 EGH，EHAH， 所以EHG 即为二面角 EADB 的平面角，因为 ABGH1，GE， 所以 tanEHG， 由图可知二面角的平面角为锐角， 所以二面角 EADB 的大小为： 【点评】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的 角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思 想等 19 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且bcacosC，c 2 （1）求 A； （2）若ABC
32、 为锐角三角形，D 为 BC 中点，求 AD 的取值范围 【分析】 （1）已知条件运用正弦定理可得，运用三角恒等 变换可得，结合角度的范围即可得解； （2）首先可以判断角 C 的范围，由正弦定理表示出 b，进一步求得 b 的取值范围，再利 用平面向量知识表示出，平方后转化为关于 b 的函数，由此求得范围 第 20 页（共 26 页） 【解答】解： （1）， 由正弦定理可得， 又 sinBsin（A+C）sin（A+C） ， ， ， 0C， sinC0，则， 又 0A， ； （2）由（1）知， 根据题意可得，解得， 在ABC 中，由正弦定理可得， ， ， tanC（1，+） ， b（2，4） ，
33、 D 为 BC 的中点， ， ， b（2，4） ， AD 的取值范围为 【点评】本题主要考查正弦定理，平面向量及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解 能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，考查应用意识，属于中档题 20 （12 分）已知椭圆 C：1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 第 21 页（共 26 页） ，过 F1作直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，ABF2的周长为 8 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）问：ABF2的内切圆面积是否有最大值？若有，试求出最大值；若没有，说明理 由 【分析】 （1）由离心率及过焦点的三角形的轴得 a，c 的值和 a，b，
34、c 之间的关系求出椭 圆的标准方程； （2）要使ABF2的内切圆面积最大，只需的值最大显然直线的斜率不为零， 设直线 l 的方程，联立与椭圆的方程，求出两根之和两根之积，进而求出弦长 AB，再求 F 到直线 AB 的距离进而求出面积，只有均值不等式求出面积的最大值，进而得出内切圆 有最大值 【解答】解： （1）离心率为，a2c， ABF2的周长为 8，4a8，得 a2，c1，b2a2c23， 因此，椭圆 C 的标准方程为 （2）设ABF2的内切圆半径为 r， 又|AF2|+|AB|+|BF2|8， 要使ABF2的内切圆面积最大，只需的值最大 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，直线 l
35、：xmy1， 联立消去 x 得： （3m2+4）y26my90， 易得0，且， 所以 ， 设，则， 第 22 页（共 26 页） 设，所以在1，+）上单调递增， 所以当 t1，即 m0 时，的最大值为 3， 此时，所以ABF2的内切圆面积最大为 【点评】本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，属于中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）x2eax+1blnxax（a，bR） （1）若 b0，曲线 f（x）在点（1，f（1） ）处的切线与直线 y2x 平行，求 a 的值； （2）若 b2，且函数 f（x）的值域为2，+） ，求 a 的最小值 【分析】 （1）将 b0 代入，求
36、导并令 f（1）2，求出 a 的值，再验证即可； （2）将 b2 代入，通过换元，函数 f（x）可化为 g（t）tlnt+1，进一步转化为当 t 1 时，lnt2lnx+ax+1 有解，从而得解 【解答】解： （1）当 b0 时，f（x）x2eax+1ax，f（x）xeax+1（2+ax）a， 由 f（1）ea+1（2+a）a2， 得 ea+1（2+a）（a+2）0， 即（ea+11） （2+a）0， 解得 a1 或 a2， 当 a1 时，f（1）e0+12，此时直线 y2x 恰为切线，故舍去， 所以 a2； （2）当 b2 时，f（x）x2eax+12lnxax， 设 tx2eax+1，则
37、lnt2lnx+ax+1， 故函数 f（x）可化为 g（t）tlnt+1， 由，可得 g（t）的单调递减区间为（0，1） ，单调递增区间为（1，+ ） ， 所以 g（t）的最小值为 g（1）1ln1+12， 此时 t1，函数的 f（x）的值域为2，+） ， 问题转化为当 t1 时，lnt2lnx+ax+1 有解， 即 ln12lnx+ax+10，得， 设，则， 第 23 页（共 26 页） 故 h（x）的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以 h（x）的最小值为， 故 a 的最小值为 【点评】本题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理 论证能力、运算求解能力、创新意识
38、等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类 与整合思想、数形结合思想等，属于较难题目 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时请写清题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时请写清 题号题号选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C： （x1）2+（y1）21，以坐标原点 O 为 极点，x 轴正半轴为极轴，直线 l 的极坐标方程为，直线 l 交圆 C 于 A，B 两点，P 为 A，B 中点 （1）求点 P 轨迹的极坐标方程； （2）若，求 的值 【分析
39、】法一： （1）圆 C 的极坐标方程为 22（sin+cos）+10，将 代入得： 22（sin+cos）+10，由此能求出点 P 轨迹的极坐标方程 （ 2 ） 由 ， 从而 4sin2 （1+sin2） 3， （2sin21） （2sin2+3） 0，由此能求出结果 法二： （1） 由 P 为 AB 中点， 得 CPAB 于 P， 从而 P 的轨迹是以 OC 为直径的圆 （在C 的内部） ，其所在圆方程为 x2+y2xy0由此能求出点 P 轨迹的极坐标方程 （ 2 ） 由 ，令 tsin+cos，则 t21sin2，从而 4t44t23 0，由此能求出结果 【解答】解法一： （1）圆 C 的
40、极坐标方程为 22（sin+cos）+10， 将 代入 22（sin+cos）+10 得： 22（sin+cos）+10， 4（sin+cos）240 成立， 第 24 页（共 26 页） 设点 A，B，P 对应的极径分别为 1，2，0， 所以，所以， 所以点 P 轨迹的极坐标方程为 sin+cos， （2） 由 （1） 得， ， 所以 4sin2（1+sin2）3， （2sin21） （2sin2+3）0， 又，所以或， 即或 解法二： （1）因为 P 为 AB 中点，所以 CPAB 于 P， 故 P 的轨迹是以 OC 为直径的圆（在C 的内部） ， 其所在圆方程为：，即 x2+y2xy0
41、从而点 P 轨迹的极坐标方程为 sin+cos， （2） 由 （1） 得， ， 令 tsin+cos，因为，所以，则 t21sin2， 所以，所以 4（t21） t23， 即 4t44t230，解得（舍去） ， 所以， 又，2（0，） ，所以或， 即或 【点评】本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力， 考查化归与转化思想等 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 第 25 页（共 26 页） 23已知在 R 上恒成立 （1）求 m 的最大值 M； （2）若 a，b 均为正数，且，求 a2b 的取值范围 【分析】 （1）容易求得|x+1|+|2x1|的最小值为，则，由此可得到结论； （2）利用基本不等式直接求解即可 【解答】解： （1）构造 f（x）|x+1|+|2x1|， 在 R 上恒成立， ， 又， ， m2，则 m 的最大值 M2； （2）由（1）得 M2，故 a0，b0， ， 或 0b1， 故， 当 0b1 时，01b1，当且仅当， 即时取“” ， 当时，当且仅 当，即时取“” ， 所以 a2b 的取值范围是 【点评】本小题考查绝对值不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理 论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等，属于基础题
