1、理科数学 第 1 页 共 14 页 曲靖市二校联考曲靖市二校联考 2020 届高三适应性考试届高三适应性考试数学（理科）数学（理科） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟. 第第卷卷 一、 选择题 （共一、 选择题 （共 12 小题， 每小题小题， 每小题 5 分， 共分， 共 60 分， 在每小题的四个选项中， 只有一项符合要求分， 在每小题的四个选项中， 只有一项符合要求.） 1已知集合 2 230AxZ xx ，则A的真子集的个数为（ ） A5 B6 C7 D8 2设i是虚数单位，若复数() 1 a zi aR i 是实数，则a的值为（
2、 ） A2 B1 C1 D2 3 命题“0| , 2 xxRx”的否定是（ ） A0| , 2 xxRx B0| , 2 xxRx C0| , 2 000 xxRx D0| , 2 000 xxRx 4已知 5 sin 5 ，则 44 sincos的值为（ ） A 3 5 B 1 5 C 5 1 D 5 3 5设变量 , x y满足约束条件 20 30 230 x xy xy ，则目标函数6zxy的最大值为（ ） A3 B4 C18 D40 6已知双曲线 22 22 100 xy Cab ab ： ， 的焦距为2 5，且渐近线经过点(1, 2) ，则此双 曲线的方程为（ ） 理科数学 第 2
3、页 共 14 页 A 2 2 1 4 x y B 2 2 1 4 y x C 22 1 416 xy D 22 1 164 xy 7已知, a b为不共线的两个单位向量，且a在b上的投影为 1 2 ，则|2|ab( ) A3 B5 C6 D7 8中国古代数学名著九章算术中,将底面是直角三角形的直棱柱 称为 “堑堵” 。 已知某 “堑堵” 的正视图和俯视图如下图所示,则该 “堑 堵”的左视图的面积为（ ） A 27 2 2 B18 2 C18 3 D18 6 9法国有个名人叫做布莱尔帕斯卡，他认识两个赌徒，这两个赌徒 向他提出一个问题，他们说，他们下赌金之后，约定谁先赢满 5 局， 谁就获得全部
4、赌金 700 法郎，赌了半天，甲赢了 4 局，乙赢了 3 局，时间很晚了，他们都不想 再赌下去了.假设每局两赌徒输赢的概率各占 1 2 ，每局输赢相互独立， 那么这 700 法郎如何分配 比较合理（ ） A甲 400 法郎，乙 300 法郎 B甲 500 法郎，乙 200 法郎 C甲 525 法郎，乙 175 法郎 D甲 350 法郎，乙 350 法郎 10已知函数 22 cos2sin2 66 f xxx 则关于它有关性质的说法中不正确 的是（ ） A周期为 B将其图象向右平移 6 个单位,所得图象关于 y 轴对称 C对称中心为 3 (, ) 1222 k （kZ） 理科数学 第 3 页 共
5、 14 页 D0, 2 上单调递减 11已知函数 2 2 log,1 ( ) 1,1 x x f x xx ，则( ) (1)f xf x的解集是（ ） A( 1, ) B( 1,1) C 1 (,) 2 D 1 (,1) 2 12上，下两面为平行矩形的六面体ABCDEFGH有外接球，且2 6AB ，2 2AD ， 15EH ， 5EF ，平面ABCD与平面EFGH间的距离为1，则该六面体外接球的体积 为（ ） A12 B24 C36 D48 第第卷卷 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题卡中的横线上把答案填在答题
6、卡中的横线上.） 13若曲线lnyxxP上点处的切线平行于直线2 10,xyP 则点的坐标是_ 14设常数aR，若 5 2 a x x 的二项展开式中第二项的系数为10，则a_ 15直线l过抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点F，交抛物线C于点A（点A在x轴上方） ， 过点A作直线 2 p x 的垂线，垂足为M，若垂足M恰好在线段AF的垂直平分线上，则直 理科数学 第 4 页 共 14 页 线l的斜率为_ 16ABC是等边三角形，点 D 在边AC的延长线上，且 3ADCD，2 7BD ，则CD _；sinABD_. 三、三、解答题（共解答题（共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算
7、步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第第 17-21 题为必考题，每题为必考题，每 道试题考生都必须作答道试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.） 17 （本小题满分 12 分）为了调查某社区居民每天参加健身的时间，某机构在该社区随机采访 男性、女性各 50 名，其中每人每天的健身时间不少于 1 小时称为“健身族”，否则称其为“非健 身族”，调查结果如下： 健身族 非健身族 合计 男性 40 10 50 女性 30 20 50 合计 70 30 100 （1）若居民每人每天的平均健身时间不低于 70 分钟，则称该社区为“健身社
8、区”. 已知被随机 采访的男性健身族，男性非健身族，女性健身族，女性非健身族每人每天的平均健分时间分別 是 1.2 小时，0.8 小时，1.5 小时，0.7 小时，试估计该社区可否称为“健身社区”？ （2）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过 5%的情况下认为“健身族”与“性别”有关？ 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中na bcd . 参考数据： 2 0 P Kk 0. 50 0. 40 0. 25 0. 05 0. 025 0. 010 0 k 0. 455 0. 708 1. 321 3. 840 5. 024 6. 635 理
9、科数学 第 5 页 共 14 页 18 （本小题满分 12 分）已知数列 n a是等比数列， 2 4a ， 3 2a 是 2 a和 4 a的等差中项 （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 2 2log1 nn ba，求数列 n n a b的前n项和 n T 19 （ 本 小 题 满 分 12 分 ） 如 图 ， 在 四 棱 锥PABCD中 ， 底 面ABCD为 菱 形 ， 60 ,2,ABCPAPBAB点N为AB的中点，平面PAB平面ABCD. （1）证明：ABPC； （2）设点M在线段PD上，且/PB平面MNC， 求二面角MNCP的大小. 20.（本小题满分 12 分）设 2 ( )l
10、nf xxaxbx（其中, a b为常数且0a）在1x 处取得 极值. （1）当1a 时，求( )f x的单调区间； （2）已知( )f x在(0, e上的最大值为 1，求实数a的值 理科数学 第 6 页 共 14 页 21 （本小题满分 12 分）已知A，B是椭圆C： 22 1 32 xy 上的两点，线段AB的中点在直 线1x上. （1）当直线AB的斜率k存在时，求实数k的取值范围； （2）设F是椭圆C的左焦点，若椭圆C上存在一点P，使FA FBPF ，求FAFB的 值. 请考生在第请考生在第 22、 23 两题中任选一题作答， 并用两题中任选一题作答， 并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目
11、的题号涂黑铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所如果多做，则按所 做的第一题计分做的第一题计分. 22 （本小题满分 10 分） 【选修 44：坐标系与参数方程】 在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线.如图，在直角 坐标系中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系。图中的曲线就是笛卡尔心型曲 线，其极坐标方程为1 sin （0） ，M为该曲线上的任意一点. （1）当 3 2 OM 时，求M点的极坐标； （2）将
12、射线OM绕原点O逆时针旋转 2 与该曲线相交于点N，求MN的最大值. 23.（本小题满分 10 分） 【选修 45：不等式选讲】 理科数学 第 7 页 共 14 页 已知函数 1f xx. （1）解不等式 48f xf x； （2）若1a ，1b ，0a，求证： b f aba f a . 理科数学（答案）理科数学（答案） 1.C 2.D 3.C 4.A 5.C 6.B 7.D 8.B 9.C 10.D 11.A 12.C 13.( , )e e 14. 2 15. 3 16. 2 32 1 14 17.（1）随机抽样的 100 名居民每人每天的平均健身时间为 1.2 400.8 10 1.5
13、 300.720 1.15 100 小时， 由此估计该小区居民每人每天的平均健身时间为 1.15 小时， 因为 1.15 小时 7 6 小时=70 分钟，所以该社区不可称为“健身社区” ； （2）由联立表可得， 2 2 n adbc K abcdacbd 2 100 40 2030 10 4.7623.840 70 30 50 50 ， 所以能在犯错误概率不超过 5%的情况下认为“健康族”与“性别”有关. 18.（1）设数列 n a的公比为，因为 2 4a ，所以 3 4aq， 2 4 4aq 因为 3 2a 是 2 a和 4 a的等差中项，所以 324 22aaa即 2 2 424 4qq，
14、化简得 2 20qq 因为公比0q ，所以2q =所以 22 2 4 22 nnn n aa q （ * nN） （2）因为2n n a ，所以 2 2log121 nn ban 21 2n n n a bn 理科数学 第 8 页 共 14 页 则 231 1 2 3 25 223 221 2 nn n Tnn ， 2341 21 23 25 223 221 2 nn n Tnn . 得， 231 22 22 22 221 2 nn n Tn 1 11 4 1 2 2221 2623 2 1 2 n nn nn ，所以 1 623 2n n Tn 19 理科数学 第 9 页 共 14 页 理科
15、数学 第 10 页 共 14 页 20. 因为 所以， 因为函数在处取得极值， ， 当时， ，随x的变化情况如下表： x 1 0 0 增 极大值 减 极小值 增 所以的单调递增区间为，单调递减区间为 因为 令， 理科数学 第 11 页 共 14 页 因为在 处取得极值，所以， 当时，在上单调递增，在上单调递减 所以在区间上的最大值为， 令，解得 当， 当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增 所以最大值 1 可能在或处取得 而 所以，解得 当时，在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增 所以最大值 1 可能在或处取得 而， 所以， 解得，与矛盾. 当时，在区间上单调递增，在单调递减， 所以最
16、大值 1 可能在处取得，而，矛盾。 综上所述，或 21.（1）设 11 ,A x y， 22 ,B x y，则 22 11 1 32 xy ， 22 22 1 32 xy ， 两式相减得： 21212121 0 32 xxxxyyyy (*)， 由线段AB的中点在直线1x上，可设此中点1,Mm，因为直线AB的斜率存在，所以 理科数学 第 12 页 共 14 页 0m， 设其斜率为k，由(*)式得 2 0 3 mk ，即 2 3 k m . 由于弦AB的中点1,m必在椭圆内部，则 2 2 1 1 32 m ，解得 22 0 33 mm . 又 2 3 k m ，所以斜率k的取值范围为 33 ,
17、33 . （2）由（1）知 11 ,A x y， 22 ,B x y，因为椭圆的左焦点F为1,0， 所以 11 1,FAxy， 22 1,FBxy，设 00 ,P x y，则 00 1,FPxy， 121200 2,1,FAFBPFxxyyxy 012 31xxx ， 012 2yyym， 22 22 1111 2 112 3 FAxyxx 1 1 1 33 3 33 xx x ， 同理可得 2 2 3 3 3 B x xF ，因为点 00 ,P x y在椭圆上，所以 22 22 00 12 1 3232 mxy ， 解得 1 3 m .当 1 3 m 时， 22 33 k m ，直线AB的方
18、程为 12 1 33 yx ， 代入 22 1 32 xy 得 2 2410xx ，由根与系数关系得12 1 2 x x . 则 2 21 1212 1 4 33 xx FBFAxxx x 216 22 33 . 理科数学 第 13 页 共 14 页 由对称性知，当 1 3 m 时 6 3 FBFA 也成立， 6 3 FAFB 22. 【解析】 （1）设点M在极坐标系中的坐标 3 , 2 ，由1 sin ，得 3 1 sin 2 ， 1 sin 2 ，02， 7 6 或 11 6 ，所以点M的极坐标为 3 7 , 26 或 3 11 , 26 . （2）由题意可设 1, M ， 2, 2 N
19、.由 1 sin ，得 1 1 sin ， 2 1 sin1 cos 2 . 22 12 MN 22 1 sin1 cos 3 2 sincos32 2sin 4 ,故 5 4 时，MN的最大值为 21 . 23. （1） 22,3 4134, 31 22,1 xx f xf xxxx xx . 当3x时，由228x ，解得5x，此时5x； 当31x 时， 8f x 不成立； 当1x 时，由228x，解得3x，此时3x. 综上所述，不等式 4f x 的解集为 , 53, ； （2）要证 a b f aba f ，即证1abab ， 因为1a ，1b ，所以， 2 1a ， 2 1b ， 理科数学 第 14 页 共 14 页 222222 2 22 2 12121ababa babaabba bab 22222 11110abbab. 所以，1abab .故所证不等式成立.
