1、计算：1+2i+3i2+4i3+10i9 6 （3 分）已知抛物线 C：y24x，过焦点 F 作直线 l 与抛物线 C 交于 P、Q 两点，则|PQ| 的取值范围是 7 （3 分）已知 P 为双曲线 x2y21 右支上的一个动点，若点 P 到直线 yx+2 的距离大 于 m 恒成立，则实数 m 的取值范围是 8 （3 分）平面上一台机器人在运行中始终保持到点 P（2，0）的距离比到点 Q（2，0） 的距离大 2，若机器人接触不到过点 M（，3）且斜率为 k 的直线，则 k 的取值范围 是 9 （3 分）已知椭圆（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2，P 为椭圆 C 上一点，且，若 F1关于F
2、1PF2平分线的对称点在椭圆 C 上，则该椭圆 的离心率为 10 （3 分）已知一族双曲线 En：x2y2（nN*，且 n2019） ，设直线 x2 与 En 在第一象限内的交点为 An， 点 An在 En的两条渐近线上的射影分别为 Bn， n， 记AnBnn 的面积为 an，则 a1+a2+a3+a2019 11 （3 分）已知点 P（0，1） ，椭圆+y2m（m1）上两点 A，B 满足2，则当 m 时，点 B 横坐标的绝对值最大 12 （3 分）已知椭圆 G：左、右焦点分别为 F1，F2，短轴的两个 端点分别为 B1，B2，点 P 在椭圆 C 上，且满足|PF1|+|PF2|PB1|+|P
3、B2|，当 m 变化时， 给出下列四个命题：点 P 的轨迹关于 y 轴对称；存在 m 使得椭圆 C 上满足条件的 点 P 仅有两个；|OP|的最小值为 2；|OP|最大值为，其中正确命题的序号是 第 2 页（共 21 页） 二、选择题二、选择题 13 （3 分） “k1”是“方程表示焦点在 x 轴上的椭圆“的（ ）条件 A充分非必要 B必要非充分 C充分必要 D既非充分又非必要 14 （3 分）双曲线 kx2y21 的一条渐近线与直线 2x+y+10 垂直，则此双曲线的离心率 是（ ） A B C D 15 （3 分）给出下列四个命题： 若复数 z1，z2满足|z1z2|0，则 z1z2； 若
4、复数 z1，z2满足|z1+z2|z1z2|，则 z1z20； 若复数 z 满足 z2|z|2，则 z 是纯虚数； 若复数 z 满足|z|z，则 z 是实数， 其中真命题的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 16 （3 分）已知 F 为抛物线 y2x 的焦点，点 A，B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧， 2（其中 O 为坐标原点） ，则ABO 与AFO 面积之和的最小值是（ ） A2 B3 C D 三、解答题三、解答题 17已知复数 z 满足，求 z 18已知复数 z（2+i）m+（其中 i 是虚数单位，mR） （1）若复数 z 是纯虚数，求 m 的值； （2）求|z1|的取值
5、范围 19假定一个弹珠（设为质点 P，半径忽略不计）的运行轨迹是以小球（半径 R1）的中 心 F 为右焦点的椭圆 C，已知椭圆的右端点 A 到小球表面最近的距离是 1，椭圆的左端 点 B 到小球表面最近的距离是 5 （1）求如图给定的坐标系下椭圆 C 的标准方程； 第 3 页（共 21 页） （2）弹珠由点 A 开始绕椭圆轨道逆时针运行，第一次与轨道中心 O 的距离是时， 弹珠由于外力作用发生变轨，变轨后的轨道是一条直线，称该直线的斜率 k 为“变轨系 数” ，求 k 的取值范围，使弹珠和小球不会发生碰撞 20已知曲线 C 的参数方程是（参数 tR） （1）曲线 C 的普通方程； （2）过点
6、A （2，1）的直线与该曲线交于 P，Q 两点，求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程 21如图，由半圆 x2+y21（y0）和部分抛物线 ya（x21） （y0，a0）合成的曲线 C 称为“羽毛球形线” ，且曲线 C 经过点（2，3） （1）求 a 的值； （2）设 A（1，0） ，B（1，0） ，过 A 且斜率为 k 的直线 l 与“羽毛球形”相交于 P，A， Q 三点，问是否存在实数 k 使得QBAPBA？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说 明理由 22已知椭圆 C：1（ab0）经过点 M，N（0，1） ，直线 l：y kx+m 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，与圆 x2+y2相切与点
7、 T （1）求椭圆 C 的方程； 第 4 页（共 21 页） （2） 以线段 OA， OB 为邻边作平行四边形 OAPB， 若点 Q 在椭圆 C 上， 且满足 （O 是坐标原点） ，求实数 的取值范围； （3）线段|AT|BT|是否为定值，如果是，求|AT|BT|的值；如果不是，求|AT|BT|的取值 范围 第 5 页（共 21 页） 2019-2020 学年上海学年上海中学高二（上）期末数学试卷中学高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题一、填空题 1 （3 分）若复数（1+2i）z3i1，则|z| 【分析】把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解 【解答】解
8、：由（1+2i）z3i1，得 z， 则|z| 故答案为： 【点评】本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题 2 （3 分）抛物线 y2x 的准线方程为 x 【分析】抛物线 y2x 的焦点在 x 轴上，且开口向右，2p1，由此可得抛物线 y2x 的 准线方程 【解答】解：抛物线 y2x 的焦点在 x 轴上，且开口向右，2p1 抛物线 y2x 的准线方程为 x 故答案为：x 【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的几何性质，定型与定位是关键 3 （3 分）椭圆 x2+3y26 的焦距是 4 【分析】将椭圆的方程化为标准方程可得 a，b 的值，进而求出 c 的值，求出焦距 【解答】
9、解：椭圆的方程整理可得+1，可得 a26，b22， 所以 c2a2b24，即 c2， 所以焦距 2c4， 故答案为：4 【点评】本题考查椭圆的性质，属于基础题 4 （3 分）已知复数 a，b 满足集合a，ba2，b+1，则 ab 1 第 6 页（共 21 页） 【分析】根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论 【解答】解：根据集合相等的条件可知，若a，ba2，b+1， 则或， 由得：b 不存在，不满足条件 由得，若 ba2，ab+1； 则两式相结合得或， ab1； 故答案为：1 【点评】本题主要考查集合相等的应用，根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键， 注意要进行分类讨论 5 （3
10、分）计算：1+2i+3i2+4i3+10i9 5+6i 【分析】令 S1+2i+3i2+4i3+10i9，两边同时乘以 i，再由错位相减法求和即可 【解答】解：令 S1+2i+3i2+4i3+10i9， 则 iSi+2i2+3i3+10i10， （1i）S1+i+i2+i910i10 ， 则 S 故答案为：5+6i 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查错位相减法求数列的前 n 项和，是中 档题 6 （3 分）已知抛物线 C：y24x，过焦点 F 作直线 l 与抛物线 C 交于 P、Q 两点，则|PQ| 的取值范围是 4，+） 【分析】由题意讨论直线 l 的斜率是否存在，若直线 l 的斜
11、率不存在，求得|PQ|；若直线 l 的斜率存在，设直线的方程，与抛物线联立可得两根之和，由抛物线的性质可得|PQ|的 表达式，|PQ|x1+x2+p，可得|PQ|的范围 【解答】解：易知 F（1，0） ，设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，直线 l 的斜率不存在时，|PQ| 第 7 页（共 21 页） 2p4， 由题意可得直线 l 的斜率存在，设其方程为：ykxk， 联立直线与椭圆的方程，整理可得：k2x22k2x4x+4k20，可得 x1+x2 ， 所以|PQ|x1+x2+22+4， 综上，|PQ|的取值范围是4，+） 故答案为：4，+） 【点评】本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的
12、综合，属于中档题 7 （3 分）已知 P 为双曲线 x2y21 右支上的一个动点，若点 P 到直线 yx+2 的距离大 于 m 恒成立，则实数 m 的取值范围是 （， 【分析】双曲线 x2y21 的渐近线方程为 xy0，m 的最大值为直线 xy+20 与直 线 xy0 的距离 【解答】解：由题意，双曲线 x2y21 的渐近线方程为 xy0， 由点 P 到直线 xy+20 的距离大于 m 恒成立， m 的最大值为直线 xy+20 与渐近线 xy0 的距离，即 d 实数 m 的取值范围是（， 故答案为： （， 【点评】本题考查双曲线的性质，考查两平行线之间的距离公式，考查学生的计算能力， 属于基础
13、题 8 （3 分）平面上一台机器人在运行中始终保持到点 P（2，0）的距离比到点 Q（2，0） 的距离大 2，若机器人接触不到过点 M（，3）且斜率为 k 的直线，则 k 的取值范围是 ，2） 【分析】由题意可知机器人的运动轨迹方程为： （x0） ，联立直线和双曲 线方程，对二次项系数分类讨论，再利用0，即可求出 k 的取值范围 第 8 页（共 21 页） 【解答】解：由题意可知机器人的运动轨迹是双曲线的右支，由 2a2，c2，可得 b ， 所以机器人的运动轨迹方程为： （x0） ， 直线的方程为：y3k（x） ，即 yk（x）+3， 联立方程，消去y得： ， 当 3k20 时，若 k，则此时
14、直线方程为 y恰好为双曲线的渐近线，符合 题意；若 k，显然不符合题意， 当 3k20 时，由0 得：， 解得， 综上所述，k 的取值范围为：，2） ， 故答案为：，2） 【点评】本题主要考查了双曲线的定义，以及直线与双曲线的位置关系，是中档题 9 （3 分）已知椭圆（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2，P 为椭圆 C 上一点，且，若 F1关于F1PF2平分线的对称点在椭圆 C 上，则该椭圆 的离心率为 【分析】可得 P，F2，M 三点共线，又|PF1|+|PM|+|MF1|4a 可得|PF1|， |PF2| 由余弦定理可得|PF1|2+|PF2|22|PF1|PF2|cos30 |F1F
15、2|2 可得 a，c 的关系，即可求离心率 【解答】解：如图，F1关于F1PF2平分线的对称点在椭圆 C 上，P，F2，M 三点 共线， 设|PF1|m，则|PM|m，|MF1|m 又|PF1|+|PM|+|MF1|4a3m |PF1|，|PF2| 第 9 页（共 21 页） 由余弦定理可得|PF1|2+|PF2|22|PF1|PF2|cos60|F1F2|2， a23c2，e 故答案为： 【点评】本题考查了椭圆的离心率，属于中档题 10 （3 分）已知一族双曲线 En：x2y2（nN*，且 n2019） ，设直线 x2 与 En 在第一象限内的交点为 An， 点 An在 En的两条渐近线上的
16、射影分别为 Bn， n， 记AnBnn 的面积为 an，则 a1+a2+a3+a2019 【分析】求得双曲线的渐近线方程，应用点到直线的距离公式可得|AnBn|，|Ann|，可得 AnBnAnn，由三角形的面积公式，可得 an，运用等差数列的求和公式，计算可得所求 和 【解答】解：设 An（x0，y0） ，可得 x02y02 双曲线 En：x2y2（nN*，且 n2019）的渐近线方程为 xy0，x+y0， 点 An在 En的两条渐近线上的射影分别为 Bn，n，可得|AnBn|， |Ann|，由双曲线 En的两条渐近线互相垂直，可得 AnBnAnn， 则AnBnn的面积 an|AnBn|Ann
17、|， n， 第 10 页（共 21 页） 则 a1+a2+a3+a201920192020 故答案为： 【点评】本题考查数列与双曲线的综合应用，考查双曲线的渐近线方程和等差数列的求 和公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题 11 （3 分）已知点 P（0，1） ，椭圆+y2m（m1）上两点 A，B 满足2，则当 m 5 时，点 B 横坐标的绝对值最大 【分析】设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，运用向量共线的坐标表示，以及点满足椭圆方程， 求得 y1，y2，有 x22m（）2，运用二次函数的最值求法，可得所求最大值和 m 的值 【解答】解：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，
18、 由 P（0，1） ，2， 可得x12x2，1y12（y21） ， 即有 x12x2，y1+2y23， 又 x12+4y124m， 即为 x22+y12m， x22+4y224m， 得（y12y2） （y1+2y2）3m， 可得 y12y2m， 解得 y1，y2， 则 mx22+（）2， 即有 x22m（）2， 即有 m5 时，x22有最大值 4， 即点 B 横坐标的绝对值最大 故答案为：5 【点评】本题考查椭圆的方程和应用，考查向量共线的坐标表示和方程思想、转化思想， 以及二次函数的最值的求法，属于中档题 第 11 页（共 21 页） 12 （3 分）已知椭圆 G：左、右焦点分别为 F1，F
19、2，短轴的两个 端点分别为 B1，B2，点 P 在椭圆 C 上，且满足|PF1|+|PF2|PB1|+|PB2|，当 m 变化时， 给出下列四个命题：点 P 的轨迹关于 y 轴对称；存在 m 使得椭圆 C 上满足条件的 点 P 仅有两个；|OP|的最小值为 2；|OP|最大值为，其中正确命题的序号是 【分析】由椭圆的对称性及|PF1|+|PF2|PB1|+|PB2|，写出以 B1，B2为焦点的椭圆，可得 两个椭圆有 4 个交点，可判断出正确，不正确； 点 P 靠近坐标轴时|OP|越大，点 P 远离坐标轴时，|OP|越小，易得 m23 时，取得最 小值，可得|OP|的最小值，椭圆上的点到中心的距
20、离小于等于 a，由于点 P 不在坐标轴 上 【解答】解：由椭圆的对称性及|PF1|+|PF2|PB1|+|PB2|，所以可得以 B1，B2为焦点的椭 圆为椭圆， 则点 P 为椭圆 C：与椭圆的交点，因为椭圆 G 的长轴顶 点（，0） ，短轴的绝对值小于，椭圆的长轴顶点（0，） ，短轴的交点 的横坐标的绝对值小于，所以两个椭圆的交点有 4 个，正确不正确， 点 P 靠近坐标轴时（m0 或 m） ，|OP|越大，点 P 远离坐标轴时，|OP|越小，易 得 m23 时，取得最小值，此时 C：， 两方程相加得，即|OP|的最小值为 2，正确； 椭圆上的点到中心的距离小于等于 a，由于点 P 不在坐标轴
21、上， |OP|，错误 故答案为： 【点评】本题考查椭圆的对称性及由椭圆上的点到焦点的距离之和等于到短轴的顶点距 离之和可得另一个椭圆，及到定点距离的最值的判断，属于中档题 二、选择题二、选择题 第 12 页（共 21 页） 13 （3 分） “k1”是“方程表示焦点在 x 轴上的椭圆“的（ ）条件 A充分非必要 B必要非充分 C充分必要 D既非充分又非必要 【分析】根据椭圆性质得到关于 k 的不等式，解出判断即可 【解答】解：若方程表示焦点在 x 轴上的椭圆， 则，解得：2k1， 故“k1”是“方程表示焦点在 x 轴上的椭圆“的必要不充分条件， 故选：B 【点评】本题考查了充分必要条件，考查椭
22、圆的性质，是一道常规题 14 （3 分）双曲线 kx2y21 的一条渐近线与直线 2x+y+10 垂直，则此双曲线的离心率 是（ ） A B C D 【分析】分析：已知双曲线 kx2y21 的一条渐近线与直线 2x+y+10 垂直，可求出渐 近线的斜率，由此求出 k 的值，得到双曲线的方程，再求离心率 【解答】解：设双曲线 kx2y21 为 ，它的一条渐近线方程为 直线 2x+y+10 的斜率为2 直线 与直线 2x+y+10 垂直 即 a2 故选：A 【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，解题的关键是理解一条渐近线与直线 2x+y+1 0 垂直，由此关系求 k，熟练掌握双曲线的性质是求解本题
23、的知识保证 第 13 页（共 21 页） 15 （3 分）给出下列四个命题： 若复数 z1，z2满足|z1z2|0，则 z1z2； 若复数 z1，z2满足|z1+z2|z1z2|，则 z1z20； 若复数 z 满足 z2|z|2，则 z 是纯虚数； 若复数 z 满足|z|z，则 z 是实数， 其中真命题的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 【分析】根据复数的相关运算及概念逐一进行判断即可 【解答】解：设 z1a1+b1i，z2a2+b2i， 对于：|z1z2|2（a1a2）2+（b1b2）20，则 a1a2，b1b2，即有 z1z2，故 正确； 对于： |z1+z2|2 （a1+
24、a2） 2+ （b1+b2）2|z1z2|2 （a1a2）2+ （b1b2）2， 则 a1a2+b1b2 0，而 z1z2（a1+b1i） （a2+b2i）a1a2b1b22a1a2不一定等于 0，故错误； 对于：如 z0 时，尽管满足 z2|z2|，但 z 不是纯虚数故错误； 对于：若|z|z，则a+bi，左边为实数，故 b0，故 z 为实数，故正确 故选：B 【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及复数的基本概念以及基本运算，是基 本知识的考查 16 （3 分）已知 F 为抛物线 y2x 的焦点，点 A，B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧， 2（其中 O 为坐标原点） ，则ABO 与
25、AFO 面积之和的最小值是（ ） A2 B3 C D 【分析】可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程， 再利用韦达定理及2 消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题 【解答】解：设直线 AB 的方程为：xty+m，点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 直线 AB 与 x 轴的交点为 M（m，0） ， 由y2tym0，根据韦达定理有 y1y2m， 2，x1x2+y1y22， 第 14 页（共 21 页） 结合及，得， 点 A，B 位于 x 轴的两侧，y1y22，故 m2 不妨令点 A 在 x 轴上方，则 y10，又， SABO+SAFO2（y1y2）+y1
26、， 当且仅当，即时，取“”号， ABO 与AFO 面积之和的最小值是 3， 故选：B 【点评】求解本题时，应考虑以下几个要点： 1、联立直线与抛物线的方程，消 x 或 y 后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件 消元，这是处理此类问题的常见模式 2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高 3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等” 三、解答题三、解答题 17已知复数 z 满足，求 z 【分析】设 za+bi（a，bR） ，代入，整理后利用复数相等的条件列 关于 a，b 的方程组求得 a，b 的值，则答案可求 【解答】解：设 za+bi（a，bR） ，
27、 代入，得 a2+b22（abi）7+4i， 第 15 页（共 21 页） 即，解得或 z3+2i 或 z1+2i 【点评】本题考查复数的基本概念，考查复数模的求法，考查复数相等的条件，是基础 题 18已知复数 z（2+i）m+（其中 i 是虚数单位，mR） （1）若复数 z 是纯虚数，求 m 的值； （2）求|z1|的取值范围 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简 z （1）由实部为 0 且虚部不为 0 列式求得 m 值； （2）求出|z1|，利用配方法求范围 【解答】解：z（2+i）m+ （1）复数 z 是纯虚数，即 m； （2）z12m+（m1）i， |z1|， |z1|的取值范围是
28、【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法， 是基础题 19假定一个弹珠（设为质点 P，半径忽略不计）的运行轨迹是以小球（半径 R1）的中 心 F 为右焦点的椭圆 C，已知椭圆的右端点 A 到小球表面最近的距离是 1，椭圆的左端 点 B 到小球表面最近的距离是 5 （1）求如图给定的坐标系下椭圆 C 的标准方程； （2）弹珠由点 A 开始绕椭圆轨道逆时针运行，第一次与轨道中心 O 的距离是时， 弹珠由于外力作用发生变轨，变轨后的轨道是一条直线，称该直线的斜率 k 为“变轨系 数” ，求 k 的取值范围，使弹珠和小球不会发生碰撞 第 16 页（共 21 页） 【
29、分析】 （1）由题意可得 a+c 和 ac 的值，求出 a，c 的值，再由 a，b，c 之间的关系 求出 b 的值，进而求出椭圆的方程； （2）联立椭圆与圆的方程，求出 P 的坐标，由椭圆的对称性，设 P 为第一象限的点，设 过 P 的直线方程，由弹珠和小球不会发生碰撞，可得圆心到直线的距离大于半径可得 k 的取值范围 【解答】解： （1）由题意， （2）设 P（x，y） （x，y0） ，联立，可求出 P（2，3） 设直线方程为 y3k（x2） ，即 kxy+（32k）0， 弹珠和小球不会发生碰撞，说明圆心（2，0）到直线 kxy+（32k）0 的距离大于圆 半径 1， 1， 解得 k（2，2
30、） 【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与圆相离的性质，属于中档题 第 17 页（共 21 页） 20已知曲线 C 的参数方程是（参数 tR） （1）曲线 C 的普通方程； （2）过点 A （2，1）的直线与该曲线交于 P，Q 两点，求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程 【分析】 （1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2）利用点差法的应用和直线和曲线的位置关系的应用求出结果 【解答】解： （1）曲线 C 的参数方程是（参数 tR） 转换为直角坐标方 程为：1； （2）点差法：设 P（x1，y1 ） ，Q（x2，y2） ，中点 M（x，y） ， 其中 x1+x22
31、x，y1+y22y， 则：，两式相减：， 整理得：， 由于， 则： 又：， 由 kPQkMA， 所以，整理得：点 M 的轨迹方程为 2x24xy2+y0 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线 和曲线的位置关系的应用，点差法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维 能力，属于基础题型 21如图，由半圆 x2+y21（y0）和部分抛物线 ya（x21） （y0，a0）合成的曲线 第 18 页（共 21 页） C 称为“羽毛球形线” ，且曲线 C 经过点（2，3） （1）求 a 的值； （2）设 A（1，0） ，B（1，0） ，过 A 且斜率为 k 的直
32、线 l 与“羽毛球形”相交于 P，A， Q 三点，问是否存在实数 k 使得QBAPBA？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说 明理由 【分析】 （1）把点（2，3）代入 ya（x21） ，可求 a 的值； （2）由题意可知 kQBkQA1，利用斜率公式，即可求得结论 【解答】解： （1）把点（2，3）代入 ya（x21） ，可得 3a（221） ，a1； （2）假设存在实数 k 使得QBAPBA QBAPBA，APB90 QBA+BAP90 kQBkQA1 设 Q（x0，） ，其中 x00 x01，x0+1， kQBkQA1 x00， k 存在实数 k1+，使得QBAPBA 【点评】本题考查
33、直线斜率的计算，考查学生的计算能力，属于中档题 22已知椭圆 C：1（ab0）经过点 M，N（0，1） ，直线 l：y 第 19 页（共 21 页） kx+m 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，与圆 x2+y2相切与点 T （1）求椭圆 C 的方程； （2） 以线段 OA， OB 为邻边作平行四边形 OAPB， 若点 Q 在椭圆 C 上， 且满足 （O 是坐标原点） ，求实数 的取值范围； （3）线段|AT|BT|是否为定值，如果是，求|AT|BT|的值；如果不是，求|AT|BT|的取值 范围 【分析】 （1）通过椭圆 C：1（ab0）经过点 M，N（0，1） ， 求出 b，a 然后得到椭圆方
34、程 （2）由直线 l 与圆 x2+y2 相切，可得 3m22k220，设 A（x，y） ，B（x，y） ， Q（x0，y0） ，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理，通过，向量的平行四边形法则， 知且 0， （0，即 m0 时，A，B 关于原点对称，无法构成平行 四边形 OAPB） ，求出 Q 点的坐标，代入椭圆方程得 4m22（1+2k2）求出 m 的范围， 然后求解 范围 （3）由（2）知，求出 y1y2，通过，得到，然后求解 即可 【解答】解： （1）椭圆 C：1（ab0）经过点 M，N（0，1） ， 可知 b1，解得 a， 所以椭圆方程：； （2）由直线 l 与圆 x2+y2 相切，可
35、得，即 3m22k220， 设 A（x，y） ，B（x，y） ，Q（x0，y0） ， （1+2k2）x2+4kmx+2m220 第 20 页（共 21 页） y1+y2k（x1+x2）+2m， 由向量的平行四边形法则，知且 0， （0，即 m0 时，A，B 关于原点对称，无法构成平行四边形 OAPB） x0，y0， 点 Q 在椭圆， ， 化简得 4m22（1+2k2） 由 3m22k220，得 2k23m22，代入式，得 2， 由 3m220，得， ，即 又0，得 1+2k2m2， 由，得 4m22 m2， m0， 024 ， 由，得，解得， （ 3 ） 由 （ 2 ） 知 ， 而y1y2 （ kx1+m ）（ kx2+m ） k2， 第 21 页（共 21 页） ， RtAOTRtOBT|AT|BT|OT|2 【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查分析问题 解决问题的能力，是难题
