1、我国高铁通车总里程居世界第一，预计到 2020 年底，高铁总里程大约 39000 千 米，39000 用科学记数法表示为（ ） A39103 B3.9104 C3.910 4 D3910 3 3 （4 分）如图，直线 ABCD，370，则1（ ） A70 B100 C110 D120 4 （4 分）一组数据 4，10，12，14，则这组数据的平均数是（ ） A9 B10 C11 D12 5（4 分） 已知FHBEAD， 它们的周长分别为 30 和 15， 且 FH6， 则 EA 的长为 （ ） A3 B2 C4 D5 6 （4 分）实数 a，b 在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是
2、（ ） Aab Bab Cab Dab 7 （4 分）已知等边三角形一边上的高为 2，则它的边长为（ ） A2 B3 C4 D4 8 （4 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB3，BC4，动点 P 沿折线 BCD 从点 B 开始运动 到点 D，设点 P 运动的路程为 x，ADP 的面积为 y，那么 y 与 x 之间的函数关系的图象 大致是（ ） 第 2 页（共 27 页） A B C D 9 （4 分）已知 m、n、4 分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且 m、n 是关于 x 的一元二次方程 x26x+k+20 的两个根，则 k 的值等于（ ） A7 B7 或 6 C6 或7 D6 1
3、0 （4 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在边 AB 上，BE1，DAM45，点 F 在射线 AM 上，且 AF，过点 F 作 AD 的平行线交 BA 的延长线于点 H，CF 与 AD 相交于点 G，连接 EC、EG、EF下列结论：ECF 的面积为；AEG 的周长 为 8；EG2DG2+BE2；其中正确的是（ ） A B C D 二、填空题： （本题共二、填空题： （本题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 32 分）分） 第 3 页（共 27 页） 11 （4 分）因式分解：a2+aba 12 （4 分）方程 2x+100 的解是 13 （4 分）已知点（
4、2，2）在反比例函数 y的图象上，则这个反比例函数的表达式 是 14 （4 分）函数 y中，自变量 x 的取值范围是 15 （4 分）从2，1，2 三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点在第三象限 的概率等于 16 （4 分）设 AB，CD，EF 是同一平面内三条互相平行的直线，已知 AB 与 CD 的距离是 12cm，EF 与 CD 的距离是 5cm，则 AB 与 EF 的距离等于 cm 17 （4 分）如图，在矩形 ABCD 中，AD4，将A 向内翻析，点 A 落在 BC 上，记为 A1， 折痕为 DE 若将B 沿 EA1向内翻折， 点 B 恰好落在 DE 上， 记为 B1， 则
5、AB 18 （4 分）观察下列等式： 2+22232； 2+22+23242； 2+22+23+24252； 2+22+23+24+25262； 已知按一定规律排列的一组数：220，221，222，223，224，238，239，240，若 220m， 则 220+221+222+223+224+238+239+240 （结果用含 m 的代数式表示） 三、解答题： （本题共三、解答题： （本题共 4 个小题，第个小题，第 19 题每小题题每小题 10 分，第分，第 20，21，22 题每小题题每小题 10 分，共分，共 40 分，要有解题的主要过程）分，要有解题的主要过程） 19 （10 分）
6、 （1）计算：2（1）2020（）0 （2）先化简，再求值： （a+）（） ，自选一个 a 值代入求值 20 （10 分）如图，BE，BFEC，ACDF求证：ABCDEF 第 4 页（共 27 页） 21 （10 分）某校计划组织学生参加学校书法、摄影、篮球、乒乓球四个课外兴趣小组，要 求每人必须参加并且只能选择其中的一个小组，为了了解学生对四个课外小组的选择情 况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的 两幅不完整的统计图，请你根据给出的信息解答下列问题： （1）求该校参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图（画图后请标注相应的数 据） ； （2）m ，
7、n ； （3）若该校共有 2000 名学生，试估计该校选择“乒乓球”课外兴趣小组的学生有多少 人？ 22 （10 分）如图，一艘船由西向东航行，在 A 处测得北偏东 60方向上有一座灯塔 C，再 向东继续航行 60km 到达 B 处，这时测得灯塔 C 在北偏东 30方向上，已知在灯塔 C 的 周围 47km 内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？ 四、 （本大四、 （本大题满分题满分 12 分）分） 23 （12 分）某文体商店计划购进一批同种型号的篮球和同种型号的排球，每一个排球的进 第 5 页（共 27 页） 价是每一个篮球的进价的 90%，用 3600 元购买排球的个数要比用 3600
8、 元购买篮球的个 数多 10 个 （1）问每一个篮球、排球的进价各是多少元？ （2）该文体商店计划购进篮球和排球共 100 个，且排球个数不低于篮球个数的 3 倍，篮 球的售价定为每一个 100 元， 排球的售价定为每一个 90 元 若该批篮球、 排球都能卖完， 问该文体商店应购进篮球、排球各多少个才能获得最大利润？最大利润是多少？ 五、 （本大题满分五、 （本大题满分 12 分）分） 24 （12 分）如图，AB 是O 的直径，C 为O 上一点，连接 AC，CEAB 于点 E，D 是 直径 AB 延长线上一点，且BCEBCD （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若 AD8，求 CD 的长
9、 六、 （本大题满分六、 （本大题满分 14 分）分） 25 （14 分）如图，已知抛物线 yax2+bx+6 经过两点 A（1，0） ，B（3，0） ，C 是抛物线 与 y 轴的交点 （1）求抛物线的解析式； （2）点 P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设PBC 的面积为 S， 求 S 关于 m 的函数表达式（指出自变量 m 的取值范围）和 S 的最大值； （3） 点 M 在抛物线上运动， 点 N 在 y 轴上运动， 是否存在点 M、 点 N 使得CMN90， 且CMN 与OBC 相似，如果存在，请求出点 M 和点 N 的坐标 第 6 页（共 27 页） 第 7 页（共
10、27 页） 2020 年贵州省铜仁市中考数学试卷年贵州省铜仁市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）本题每小题均有分）本题每小题均有 A、B、C、D 四个备选答案，其中只有一个是正确的，请你将正确答案的序号填涂在相应的答题卡上四个备选答案，其中只有一个是正确的，请你将正确答案的序号填涂在相应的答题卡上 1 （4 分）3 的绝对值是（ ） A3 B3 C D 【分析】直接利用绝对值的定义分析得出答案 【解答】解：3 的绝对值是：3 故选：B 【点评】此题主要考查了绝对值
11、，正确把握绝对值的定义是解题关键 2 （4 分）我国高铁通车总里程居世界第一，预计到 2020 年底，高铁总里程大约 39000 千 米，39000 用科学记数法表示为（ ） A39103 B3.9104 C3.910 4 D3910 3 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值是易错点，由于 39000 有 5 位，所以可以确定 n514 【解答】解：390003.9104 故选：B 【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定 n 值是关键 3 （4 分）如图，直线 ABCD，370，则1（ ） A70 B100 C110 D1
12、20 【分析】直接利用平行线的性质得出12，进而得出答案 【解答】解：直线 ABCD， 12， 370， 第 8 页（共 27 页） 1218070110 故选：C 【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出相等的角是解题关键 4 （4 分）一组数据 4，10，12，14，则这组数据的平均数是（ ） A9 B10 C11 D12 【分析】对于 n 个数 x1，x2，xn，则 （x1+x2+xn）就叫做这 n 个数的算术平 均数，据此列式计算可得 【解答】解：这组数据的平均数为（4+10+12+14）10， 故选：B 【点评】本题主要考查算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数的定义：对于 n
13、个数 x1，x2，xn，则 （x1+x2+xn）就叫做这 n 个数的算术平均数 5（4 分） 已知FHBEAD， 它们的周长分别为 30 和 15， 且 FH6， 则 EA 的长为 （ ） A3 B2 C4 D5 【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比解答 【解答】解：FHB 和EAD 的周长分别为 30 和 15， FHB 和EAD 的周长比为 2：1， FHBEAD， 2，即2， 解得，EA3， 故选：A 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题 的关键 6 （4 分）实数 a，b 在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） Aab Bab
14、 Cab Dab 【分析】根据数轴即可判断 a 和 b 的符号以及绝对值的大小，根据有理数的大小比较方 法进行比较即可求解 第 9 页（共 27 页） 【解答】解：根据数轴可得：a0，b0，且|a|b|， 则 ab，ab，ab，ab 故选：D 【点评】本题考查了利用数轴表示数，根据数轴确定 a 和 b 的符号以及绝对值的大小是 关键 7 （4 分）已知等边三角形一边上的高为 2，则它的边长为（ ） A2 B3 C4 D4 【分析】根据等边三角形的性质：三线合一，利用勾股定理可求解即可 【解答】解：根据等边三角形：三线合一， 设它的边长为 x，可得：， 解得：x4，x4（舍去） ， 故选：C 【
15、点评】本题考查等边三角形的性质及勾股定理，较为简单，解题的关键是掌握勾股定 理 8 （4 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB3，BC4，动点 P 沿折线 BCD 从点 B 开始运动 到点 D，设点 P 运动的路程为 x，ADP 的面积为 y，那么 y 与 x 之间的函数关系的图象 大致是（ ） A B 第 10 页（共 27 页） C D 【分析】分别求出 0x4、4x7 时函数表达式，即可求解 【解答】解：由题意当 0x4 时， yADAB346， 当 4x7 时， yPDAD（7x）4142x 故选：D 【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思 想思考
16、问题，属于中考常考题型 9 （4 分）已知 m、n、4 分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且 m、n 是关于 x 的一元二次方程 x26x+k+20 的两个根，则 k 的值等于（ ） A7 B7 或 6 C6 或7 D6 【分析】当 m4 或 n4 时，即 x4，代入方程即可得到结论，当 mn 时，即（ 6）24（k+2）0，解方程即可得到结论 【解答】解：当 m4 或 n4 时，即 x4， 方程为 4264+k+20， 解得：k6， 当 mn 时，即（6）24（k+2）0， 解得：k7， 综上所述，k 的值等于 6 或 7， 故选：B 第 11 页（共 27 页） 【点评】本题考查了
17、根的判别式，一元二次方程的解，等边三角形的性质，正确的理解 题意是解题的关键 10 （4 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在边 AB 上，BE1，DAM45，点 F 在射线 AM 上，且 AF，过点 F 作 AD 的平行线交 BA 的延长线于点 H，CF 与 AD 相交于点 G，连接 EC、EG、EF下列结论：ECF 的面积为；AEG 的周长 为 8；EG2DG2+BE2；其中正确的是（ ） A B C D 【分析】先判断出H90，进而求出 AHHF1BE进而判断出EHFCBE （SAS） ，得出 EFEC，HEFBCE，判断出CEF 是等腰直角三角形，再用勾股 定理求出 E
18、C217，即可得出正确； 先判断出四边形 APFH 是矩形， 进而判断出矩形 AHFP 是正方形， 得出 APPHAH1， 同理：四边形 ABQP 是矩形，得出 PQ4，BQ1，FQ5，CQ3，再判断出FPG FQC，得出，求出 PG，再根据勾股定理求得 EG，即AEG 的周 长为 8，判断出正确； 先求出 DG，进而求出 DG2+BE2，在求出 EG2，判断出错误， 即可得出结论 【解答】 解： 如图， 在正方形 ABCD 中， ADBC， ABBCAD4， BBAD90， HAD90， HFAD， H90， HAF90DAM45， AFHHAF 第 12 页（共 27 页） AF， AHH
19、F1BE EHAE+AHABBE+AH4BC， EHFCBE（SAS） ， EFEC，HEFBCE， BCE+BEC90， HEF+BEC90， FEC90， CEF 是等腰直角三角形， 在 RtCBE 中，BE1，BC4， EC2BE2+BC217， SECFEFECEC2，故正确； 过点 F 作 FQBC 于 Q，交 AD 于 P， APF90HHAD， 四边形 APFH 是矩形， AHHF， 矩形 AHFP 是正方形， APPHAH1， 同理：四边形 ABQP 是矩形， PQAB4，BQAP1，FQFP+PQ5，CQBCBQ3， ADBC， FPGFQC， ， ， PG， AGAP+PG
20、， 在 RtEAG 中，根据勾股定理得，EG， 第 13 页（共 27 页） AEG 的周长为 AG+EG+AE+38，故正确； AD4， DGADAG， DG2+BE2+1， EG2（）2， EG2DG2+BE2，故错误， 正确的有， 故选：C 【点评】此题主要考查了正方形的性质和判断，全等三角形的判定和性质，相似三角形 的判定和性质，勾股定理，求出 AG 是解本题的关键 二、填空题： （本题共二、填空题： （本题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 32 分）分） 11 （4 分）因式分解：a2+aba a（a+b1） 【分析】原式提取公因式即可 【解答】解：原式a（a+
21、b1） 故答案为：a（a+b1） 【点评】此题考查了因式分解提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关 键 12 （4 分）方程 2x+100 的解是 x5 【分析】方程移项，把 x 系数化为 1，即可求出解 【解答】解：方程 2x+100， 移项得：2x10， 解得：x5 第 14 页（共 27 页） 故答案为：x5 【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键 13 （4 分）已知点（2，2）在反比例函数 y的图象上，则这个反比例函数的表达式是 y 【分析】把点（2，2）代入反比例函数 y（k0）中求出 k 的值，从而得到反比例 函数解析式 【解答】解：
22、反比例函数 y（k0）的图象上一点的坐标为（2，2） ， k224， 反比例函数解析式为 y， 故答案为：y 【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式、以及反比例函数图象上点的坐 标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键 14 （4 分）函数 y中，自变量 x 的取值范围是 x2 【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以 2x40，可求 x 的范围 【解答】解：2x40 解得 x2 【点评】此题主要考查：当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数 15 （4 分）从2，1，2 三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点在第三象限 的概率等于 【分析】画树状图得出所
23、有等可能结果，从中找到该点在第三象限的结果数，再利用概 率公式求解可得 【解答】解：画树状图如下 共有 6 种等可能情况，该点在第三象限的情况数有（2，1）和（1，2）这 2 种 第 15 页（共 27 页） 结果， 该点在第三象限的概率等于， 故答案为： 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复 不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上 完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比 16 （4 分）设 AB，CD，EF 是同一平面内三条互相平行的直线，已知 AB 与 CD 的距离是 12cm，EF 与 CD 的距离是 5c
24、m，则 AB 与 EF 的距离等于 7 或 17 cm 【分析】分两种情况讨论，EF 在 AB，CD 之间或 EF 在 AB，CD 同侧，进而得出结论 【解答】解：分两种情况： 当 EF 在 AB，CD 之间时，如图： AB 与 CD 的距离是 12cm，EF 与 CD 的距离是 5cm， EF 与 AB 的距离为 1257（cm） 当 EF 在 AB，CD 同侧时，如图： AB 与 CD 的距离是 12cm，EF 与 CD 的距离是 5cm， EF 与 AB 的距离为 12+517（cm） 综上所述，EF 与 AB 的距离为 7cm 或 17cm 故答案为：7 或 17 【点评】本题考查了平
25、行线之间的距离解题的关键是掌握平行线之间的距离的定义， 从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距 离 17 （4 分）如图，在矩形 ABCD 中，AD4，将A 向内翻析，点 A 落在 BC 上，记为 A1， 第 16 页（共 27 页） 折痕为 DE 若将B 沿 EA1向内翻折， 点 B 恰好落在 DE 上， 记为 B1， 则 AB 【分析】依据A1DB1A1DC（AAS） ，即可得出 A1CA1B1，再根据折叠的性质，即 可得到 A1CBC2，最后依据勾股定理进行计算，即可得到 CD 的长，即 AB 的长 【解答】解：由折叠可得，A1DAD4，AEA1D9
26、0，BA1EB1A1E，BA1 B1A1，BA1B1E90， EA1B1+DA1B190BA1E+CA1D， DA1B1CA1D， 又CA1B1D，A1DA1D， A1DB1A1DC（AAS） ， A1CA1B1， BA1A1CBC2， RtA1CD 中，CD， AB， 故答案为： 【点评】本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，折叠是一种对称变换，它属于 轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等 18 （4 分）观察下列等式： 2+22232； 2+22+23242； 2+22+23+24252； 2+22+23+24+25262； 已知按一定规律排列的一组数：2
27、20，221，222，223，224，238，239，240，若 220m， 则 220+221+222+223+224+238+239+240 m（2m1） （结果用含 m 的代数式表示） 第 17 页（共 27 页） 【分析】由题意可得 220+221+222+223+224+238+239+240220（1+2+22+219+220） 220（1+2212）220（22021） ，再将 220m 代入即可求解 【解答】解：220m， 220+221+222+223+224+238+239+240 220（1+2+22+219+220） 220（1+2212） m（2m1） 故答案为：m（
28、2m1） 【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律， 并应用发现的规律解决问题解决本题的难点在于得出规律：2+22+23+2n2n+12 三、解答题： （本题共三、解答题： （本题共 4 个小题，第个小题，第 19 题每小题题每小题 10 分，第分，第 20，21，22 题每小题题每小题 10 分，共分，共 40 分，要有解题的主要过程）分，要有解题的主要过程） 19 （10 分） （1）计算：2（1）2020（）0 （2）先化简，再求值： （a+）（） ，自选一个 a 值代入求值 【分析】 （1）原式利用除法法则，乘方的意义，算术平方根定义，以及零指数幂法则
29、计 算即可求出值； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形， 约分得到最简结果，把 a 的值代入计算即可求出值 【解答】解： （1）原式22121 4121 0； （2）原式 ， 当 a0 时，原式3 【点评】此题考查了分式的化简求值，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的 关键 20 （10 分）如图，BE，BFEC，ACDF求证：ABCDEF 第 18 页（共 27 页） 【分析】首先利用平行线的性质得出ACBDFE，进而利用全等三角形的判定定理 ASA，进而得出答案 【解答】证明：ACDF， ACBDFE， BFCE， BCEF， 在ABC 和D
30、EF 中， ABCDEF（ASA） 【点评】 本题考查三角形全等的判定方法， 判定两个三角形全等的一般方法有： SSS、 SAS、 ASA、AAS、HL注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时， 必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角 21 （10 分）某校计划组织学生参加学校书法、摄影、篮球、乒乓球四个课外兴趣小组，要 求每人必须参加并且只能选择其中的一个小组，为了了解学生对四个课外小组的选择情 况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的 两幅不完整的统计图，请你根据给出的信息解答下列问题： （1）求该校参加这次
31、问卷调查的学生人数，并补全条形统计图（画图后请标注相应的数 据） ； （2）m 36 ，n 16 ； （3）若该校共有 2000 名学生，试估计该校选择“乒乓球”课外兴趣小组的学生有多少 人？ 第 19 页（共 27 页） 【分析】 （1）根据选择书法的学生人数和所占的百分比，可以求得该校参加这次问卷调 查的学生人数，然后根据扇形统计图中选择篮球的占 28%，即可求得选择篮球的学生人 数，从而可以将条形统计图补充完整； （2）根据条形统计图中的数据和（1）中的结果，可以得到 m、n 的值； （3）根据统计图中的数据，可以计算出该校选择“乒乓球”课外兴趣小组的学生有多少 人 【解答】解： （1）
32、该校参加这次问卷调查的学生有：2020%100（人） ， 选择篮球的学生有：10028%28（人） ， 补全的条形统计图如右图所示； （2）m%100%36%， n%100%16%， 故答案为：36，16； （3）200016%320（人） ， 答：该校选择“乒乓球”课外兴趣小组的学生有 320 人 【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确 题意，利用数形结合的思想解答 22 （10 分）如图，一艘船由西向东航行，在 A 处测得北偏东 60方向上有一座灯塔 C，再 向东继续航行 60km 到达 B 处，这时测得灯塔 C 在北偏东 30方向上，已知在灯塔 C
33、的 第 20 页（共 27 页） 周围 47km 内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？ 【分析】过 C 作 CDAB 于点 D，根据方向角的定义及余角的性质求出BCA30， ACD60，证ACB30BCA，根据等角对等边得出 BCAB12，然后解 RtBCD，求出 CD 即可 【解答】解：过点 C 作 CDAB，垂足为 D如图所示： 根据题意可知BAC903030，DBC903060， DBCACB+BAC， BAC30ACB， BCAB60km， 在 RtBCD 中，CDB90，BDC60，sinBCD， sin60， CD60sin606030（km）47km， 这艘船继续向东航行安全
34、 【点评】本题考查了解直角三角形的应用以及等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形 的判定和三角函数定义是解题的关键 四、 （本大题满分四、 （本大题满分 12 分）分） 23 （12 分）某文体商店计划购进一批同种型号的篮球和同种型号的排球，每一个排球的进 第 21 页（共 27 页） 价是每一个篮球的进价的 90%，用 3600 元购买排球的个数要比用 3600 元购买篮球的个 数多 10 个 （1）问每一个篮球、排球的进价各是多少元？ （2）该文体商店计划购进篮球和排球共 100 个，且排球个数不低于篮球个数的 3 倍，篮 球的售价定为每一个 100 元， 排球的售价定为每一个 90 元 若
35、该批篮球、 排球都能卖完， 问该文体商店应购进篮球、排球各多少个才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【分析】 （1）设每一个篮球的进价是 x 元，则每一个排球的进价是 90%x 元，根据用 3600 元购买排球的个数要比用 3600 元购买篮球的个数多 10 个列出方程， 解之即可得出结论； （2）设文体商店计划购进篮球 m 个，总利润 y 元，根据题意用 m 表示 y，结合 m 的取 值范围和 m 为整数，即可得出获得最大利润的方案 【解答】解： （1）设每一个篮球的进价是 x 元，则每一个排球的进价是 90%x 元，依题意 有 +10， 解得 x40， 经检验，x40 是原方程的解， 90
36、%x90%4036 故每一个篮球的进价是 40 元，每一个排球的进价是 36 元； （2）设文体商店计划购进篮球 m 个，总利润 y 元，则 y（10040）m+（9036） （100m）6m+5400， 依题意有， 解得 0m25 且 m 为整数， m 为整数， y 随 m 的增大而增大， m25 时，y 最大，这时 y625+54005550， 1002575（个） 故该文体商店应购进篮球 25 个、排球 75 个才能获得最大利润，最大利润是 5550 元 【点评】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找准 等量关系，正确列出方程是解题的关键 五、 （本大题满分五
37、、 （本大题满分 12 分）分） 第 22 页（共 27 页） 24 （12 分）如图，AB 是O 的直径，C 为O 上一点，连接 AC，CEAB 于点 E，D 是 直径 AB 延长线上一点，且BCEBCD （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若 AD8，求 CD 的长 【分析】 （1）连接 OC，根据圆周角定理得到ACB90，根据余角的性质得到A ECB，求得ABCD，根据等腰三角形的性质得到AACO，等量代换得到 ACOBCD，求得DCO90，于是得到结论； （2）设 BCk，AC2k，根据相似三角形的性质即可得到结论 【解答】 （1）证明：连接 OC， AB 是O 的直径， ACB9
38、0， CEAB， CEB90， ECB+ABCABC+CAB90， AECB， BCEBCD， ABCD， OCOA， AACO， ACOBCD， ACO+BCOBCO+BCD90， DCO90， CD 是O 的切线； （2）解：ABCE， 第 23 页（共 27 页） tanAtanBCE， 设 BCk，AC2k， DD，ABCD， ACDCBD， ， AD8， CD4 【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义， 正确的识别图形是解题的关键 六、 （本大题满分六、 （本大题满分 14 分）分） 25 （14 分）如图，已知抛物线 yax2+bx+6 经过两点
39、 A（1，0） ，B（3，0） ，C 是抛物线 与 y 轴的交点 （1）求抛物线的解析式； （2）点 P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设PBC 的面积为 S， 求 S 关于 m 的函数表达式（指出自变量 m 的取值范围）和 S 的最大值； （3） 点 M 在抛物线上运动， 点 N 在 y 轴上运动， 是否存在点 M、 点 N 使得CMN90， 且CMN 与OBC 相似，如果存在，请求出点 M 和点 N 的坐标 第 24 页（共 27 页） 【分析】 （1）根据点 A、B 的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）过点 P 作 PFy 轴，交 BC 于点 F，利用
40、二次函数图象上点的坐标特征可得出点 C 的坐标，根据点 B、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线 BC 的解析式，设点 P 的坐标 为（m，2m2+4m+6） ，则点 F 的坐标为（m，2m+6） ，进而可得出 PF 的长度，利用 三角形的面积公式可得出 SPBC3m2+9m，配方后利用二次函数的性质即可求出 PBC 面积的最大值； （3）分两种不同情况，当点 M 位于点 C 上方或下方时，画出图形，由相似三角形的性 质得出方程，求出点 M，点 N 的坐标即可 【解答】解： （1）将 A（1，0） 、B（3，0）代入 yax2+bx+6， 得：，解得：， 抛物线的解析式为 y2x2+4x+6
41、（2）过点 P 作 PFy 轴，交 BC 于点 F，如图 1 所示 第 25 页（共 27 页） 当 x0 时，y2x2+4x+66， 点 C 的坐标为（0，6） 设直线 BC 的解析式为 ykx+c， 将 B（3，0） 、C（0，6）代入 ykx+c，得： ，解得：， 直线 BC 的解析式为 y2x+6 设点 P 的坐标为（m，2m2+4m+6） ，则点 F 的坐标为（m，2m+6） ， PF2m2+4m+6（2m+6）2m2+6m， SPBCPFOB3m2+9m3（m）2+， 当 m时，PBC 面积取最大值，最大值为 点 P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动， 0m3 （3
42、）存在点 M、点 N 使得CMN90，且CMN 与OBC 相似 如图 2，CMN90，当点 M 位于点 C 上方，过点 M 作 MDy 轴于点 D， CDMCMN90，DCMNCM， MCDNCM， 若CMN 与OBC 相似，则MCD 与NCM 相似， 设 M（a，2a2+4a+6） ，C（0，6） ， DC2a2+4a，DMa， 第 26 页（共 27 页） 当时，COBCDMCMN， ， 解得，a1， M（1，8） ， 此时 NDDM， N（0，） ， 当时，COBMDCNMC， ， 解得 a， M（，） ， 此时 N（0，） 如图 3，当点 M 位于点 C 的下方， 过点 M 作 MEy
43、 轴于点 E， 设 M（a，2a2+4a+6） ，C（0，6） ， EC2a24a，EMa， 同理可得：或2，CMN 与OBC 相似， 第 27 页（共 27 页） 解得 a或 a3， M（，）或 M（3，0） ， 此时 N 点坐标为（0，）或（0，） 综合以上得，M（1，8） ，N（0，）或 M（，） ，N（0，）或 M（，） ， N（0，）或 M（3，0） ，N（0，） ，使得CMN90，且CMN 与OBC 相似 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，二 次函数的性质，坐标与图形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练运用方程思 想及分类讨论思想是解题的关键
