1、绝密启用前绝密启用前 2020 年江苏省南京市中考数学一模试卷 注意事项： 1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将答案正确填写在答题卡上，在试卷上作答无效，选择题需使用 2B 铅笔填涂 一、选择题 1“鼓楼e学校一停课不停学在线课堂”在此次疫情期间为全国师生提供鼓楼教育的“云 服务”，课程日均访问量达 1200000，用科学记数法表示 1200000 是（ ） A0.1210 6 B1.210 7 C1.210 6 D1210 5 2表示 4 的（ ） A平方 B平方根 C算术平方根 D立方根 3数轴上，点A、B分别表示1、7，则线段AB的中点C表示的数是（ ） A2 B3 C4
2、D5 4已知 57，46，则的整数部分可以是（ ） A9 B10 C11 D12 5某班 37 名同学中只有 1 位同学身高是 165cm若除甲、乙外其余 35 名同学身高的平均 数和中位数都是 165cm，则该班 37 名同学身高的平均数a和中位数b（单位：cm），不 可能是（ ） Aa165，b165 Ba165，b165 Ca165，b164 Da165，b166 6如图，A、B两地相距am，它们之间有一半径为r的圆形绿地（r），绿地圆心位于 AB连线的中点O处，分别过A、B作O的切线相交于C，切点分别为D、E现规划两条 驾车路径：BECDA；BE（沿）DA，则下列说法正确的是（ ） A
3、较长 B较长 C一样长 D以上皆有可能 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分.不需写出解答过程，请把答案直接 填写在答趣卡相应位置上） 7写出一个数，使这个数等于它的倒数： 8若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 9计算的结果是 10解方程得 11已知方程 2x 2+4x30 的两根分别为 x1、x2，则x1+x2 ，x1x2 12一组数据 2，3，2，3，5 的方差是 13 若正比例函数yk1x的图象与反比例函数y的图象都经过点 （2， 3） ， 则k1x 的解是 14如图，点O是正五边形ABCDE的中心，连接BD、OD，则BDO 15如图，BC是O的切线，D是切
4、点连接BO并延长，交O于点E、A，过A作ACBC， 垂足为C若BD8，BE4，则AC 16用若干个相同的小正方体搭一个几何体，该几何体的主视图、俯视图如图所示若小正 方体的棱长为 1，则搭成的几何体的表面积是 三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤） 17计算 18（1）解不等式 5x+23（x1），并把它的解集在数轴上表示出来 （2）写出一个实数k，使得不等式xk和（1）中的不等式组成的不等式组恰有 3 个整 数解 19如图，已知ABCD，直线EF分别交直线AB、CD于点G、H，GI、HI分别平分BGH、 GHD
5、（1）求证GIHI （2）请用文字概括（1）所证明的命题： 20如图是某区 1500 名小学生和初中生的视力情况和他们每节课课间户外活动平均时长的 统计图 （1）根据图 1，计算该区 1500 名学生的近视率； （2）根据图 2，从两个不同的角度描述该区 1500 名学生各年级近视率的变化趋势； （3）根据图 1、图 2、图 3，描述该区 1500 名学生近视率和所在学段（小学、初中）、 每节课课间户外活动平均时长的关系 21（1）不透明的袋子A中装有红球 1 个、白球 1 个，不透明的袋子B中装有红球 1 个、 白球 2 个，这些球除颜色外无其他差别分别从两个袋子中随机摸出一个球，求摸出的
6、两个球颜色不同的概率； （2）甲、乙两人解同一道数学题，甲正确的概率为，乙正确的概率为，则甲乙恰有 一人正确的概率是 22点E、F分别是菱形ABCD边BC、CD上的点 （1）如图，若CECF，求证AEAF； （2）判断命题“若AEAF，则CECF”的真假若真，请证明；若假，请在备用图上 画出反例 23某工厂生产A、B、C三种产品，这三种产品的生产数量均为x件它们的单件成本和固 定成本如表： 产品 单件成本（元/件） 固定成本（元） A 0.1 1100 B 0.8 a C b（b0） 200 （注：总成本单件成本生产数量+固定成本） （1）若产品A的总成本为yA，则yA关于x的函数表达式为 （
7、2）当x1000 时，产品A、B的总成本相同 求a； 当x2000 时，产品C的总成本最低，求b的取值范围 24如图，ABC内接于O，BAC45，ADBC，垂足为D，BD6，DC4 （1）求O的半径； （2）求AD的长 25如图，用一个平面去截正方体ABCDEFGH，得到了三棱锥SDPQ 若SPD45， SQD 37，PQ1， 求SD的长 （参考数据： sin370.6， cos370.8， tan370.75 ） 26已知y是x的二次函数，该函数的图象经过点A（0，5）、B（1，2）、C（3，2） （1）求该二次函数的表达式，画出它的大致图象并标注顶点及其坐标； （2）结合图象，回答下列问题
8、： 当 1x4 时，y的取值范围是 ； 当mxm+3 时，求y的最大值（用含m的代数式表示）； 是否存在实数m、n（mn），使得当mxn时，myn？若存在，请求出m、n； 若不存在，请说明理由 27如图，已知矩形纸片ABCD，怎样折叠，能使边AB被三等分？ 以下是小红的研究过程 思考过程 要使边AB被三等分，若从边DC上考虑，就是要折出DMDC， 也就是要折出DMAB， 当DB、AM相交于F时，即要折出对角线上的DFDB那么 折叠方法和示意 图 折出DB；对折纸片，使D、B重合，得到的折痕与DB相交于点E； 继续折叠纸片，使D、B与E重合，得到的折痕与DB分别相交于点F、 G； 折出AF、CG
9、，分别交边CD、AB于M、Q； 过M折纸片，使D落在MC上，得到折痕MN，则边AB被N、Q三等 分 （1）整理小红的研究过程，说明ANNQQB； （2）用一种与小红不同的方法折叠，使边AB被三等分（需简述折叠方法并画出示意 图） 参考答案 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分.在每小题所给出的四个选项中，恰有 一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1“鼓楼e学校一停课不停学在线课堂”在此次疫情期间为全国师生提供鼓楼教育的“云 服务”，课程日均访问量达 1200000，用科学记数法表示 1200000 是（ ） A0.1210 6 B1.
10、210 7 C1.210 6 D1210 5 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a10 n，其中 1|a| 10，确定a与n的值是解题的关键 解：12000001.210 6 故选：C 2表示 4 的（ ） A平方 B平方根 C算术平方根 D立方根 【分析】根据算术平方根的定义计算可得 解：表示 4 的的算术平方根， 故选：C 3数轴上，点A、B分别表示1、7，则线段AB的中点C表示的数是（ ） A2 B3 C4 D5 【分析】 数轴上点A所表示的数为a， 点B所表示的数为b， 则AB的中点所表示的数为 解：线段AB的中点C表示的数为：3， 故选：B 4已知 57，46
11、，则的整数部分可以是（ ） A9 B10 C11 D12 【分析】根据估算无理数的大小的方法即可得的整数部分 解：57，46， 25a49，16b36， 41a+b85， 则的整数部分可以是 6，7，8，9 故选：A 5某班 37 名同学中只有 1 位同学身高是 165cm若除甲、乙外其余 35 名同学身高的平均 数和中位数都是 165cm，则该班 37 名同学身高的平均数a和中位数b（单位：cm），不 可能是（ ） Aa165，b165 Ba165，b165 Ca165，b164 Da165，b166 【分析】根据中位数和平均数的定义分别进行解答即可 解：因为 35 名同学身高的平均数和中位
12、数都是 165cm，且只有 1 位同学身高是 165cm， 所以该班 37 名同学身高的平均数a165，中位数b166， 故选：D 6如图，A、B两地相距am，它们之间有一半径为r的圆形绿地（r），绿地圆心位于 AB连线的中点O处，分别过A、B作O的切线相交于C，切点分别为D、E现规划两条 驾车路径：BECDA；BE（沿）DA，则下列说法正确的是（ ） A较长 B较长 C一样长 D以上皆有可能 【分析】分别写出和的路线组成，只需比较不同的部分，即EC+CD与的大小即可 解：如图，BECDA，所走的路程为： BE+EC+CD+DA； BE（沿）DA，所走的路程为： BE+DA； EC+CD， B
13、E+EC+CD+DABE+DA， 即 故选：A 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分.不需写出解答过程，请把答案直接 填写在答趣卡相应位置上） 7写出一个数，使这个数等于它的倒数： 1 【分析】根据倒数的定义可知如果一个数等于它的倒数，则这个数是1 解：如果一个数等于它的倒数，则这个数是1 故答案为：1 8若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x1 【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案 解：若在实数范围内有意义， 则x10， 解得：x1 故答案为：x1 9计算的结果是 2 【分析】直接化简二次根式进而合并得出答案 解：原式+ 2 故答案为：2 10解方程
14、得 x9 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可 得到分式方程的解 解：去分母得：2x3x9， 解得：x9， 经检验x9 是分式方程的解 故答案为：x9 11已知方程 2x 2+4x30 的两根分别为 x1、x2，则x1+x2 2 ，x1x2 【分析】根据方程的系数结合根与系数的关系，即可得出x1+x2和x1x2的值 解：x1、x2是方程 2x 2+4x30 的两根， x1+x22，x1x2 故答案为：2； 12一组数据 2，3，2，3，5 的方差是 1.2 【分析】先求出平均数，再根据方差公式计算即可S 2 （x1 ） 2+（x 2 ） 2+ （xn ）
15、 2 解： （2+3+3+3+5）53， S 2 （23） 2+（33）2+（33）2+（23）2+（53）21.2 故填答案为 1.2 13 若正比例函数yk1x的图象与反比例函数y的图象都经过点 （2， 3） ， 则k1x 的解是 2 或2 【分析】两个函数的图象都经过点（2，3），即k1x的一个解为x2，根据正 比例函数点的对称性，则另外一个解为x2，即可求解 解：两个函数的图象都经过点（2，3），即k1x的一个解为x2， 根据正比例函数点的对称性，则另外一个解为x2， 故答案为 2 或2 14如图，点O是正五边形ABCDE的中心，连接BD、OD，则BDO 18 【分析】 连接OB，OC
16、， 可求出BOC和COD的度数， 则BOD的度数可知， 因为OBOD， 进而可求出BDO的度数 解：连接OB，OC， 点O是正五边形ABCDE的中心， BOCCOD72， BOD272144， OBOC， BDOOBD18， 故答案为：18 15如图，BC是O的切线，D是切点连接BO并延长，交O于点E、A，过A作ACBC， 垂足为C若BD8，BE4，则AC 9.6 【分析】 连接OD、AD、ED， 根据切线的性质得到ODB90， 根据圆周角定理得到ADE 90，证明BDEBAD，根据相似三角形的性质求出AE，证明BDOBCA，求出 AC 解：连接OD、AD、ED， BC是O的切线， ODB90
17、， ODE+BDE90， AE为O的直径， ADE90， DAE+AED90， ODOE ODEOED， BDEBAD， BB， BDEBAD， ，即， 解得，AE12， BDOBCA，BB， BDOBCA， ，即， 解得，AC9.6， 故答案为：9.6 16用若干个相同的小正方体搭一个几何体，该几何体的主视图、俯视图如图所示若小正 方体的棱长为 1，则搭成的几何体的表面积是 28 或 30 【分析】由俯视图可得第一层正方体的个数，由主视图可得第二层和第三层最少或最多 的正方体的个数，相加解答即可 解：搭这样的几何体最少需要 4+1+27 个小正方体，最多需要 4+2+28 个小正方体， 所以
18、搭成的几何体的表面积是 4728 或 48230， 故答案为：28 或 30 三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤） 17计算 【分析】根据异分母分式相加减，先通分，再根据同分母分式相加减的法则计算即可 解：原式 18（1）解不等式 5x+23（x1），并把它的解集在数轴上表示出来 （2）写出一个实数k，使得不等式xk和（1）中的不等式组成的不等式组恰有 3 个整 数解 【分析】（1）先去括号，再移项得到 5x3x32，然后合并后系数化为 1 即可，再 用数轴表示解集即可求解 （2）根据题意可得 0k1 满足条件，
19、依此写出即可求解 解：（1）5x+23（x1）， 去括号得 5x+23x3， 移项得 5x3x32， 合并得 2x5， 系数化为 1 得x2.5， 用数轴表示为： （2）一个实数k，使得不等式xk和（1）中的不等式组成的不等式组恰有 3 个整数 解， 0k1， k1 满足条件 19如图，已知ABCD，直线EF分别交直线AB、CD于点G、H，GI、HI分别平分BGH、 GHD （1）求证GIHI （2） 请用文字概括 （1） 所证明的命题： 两直线平行， 同旁内角的角平分线互相垂直 【分析】利用角平分线、平行线的性质及三角形的内角和定理，先求出I的度数，再说 明两直线的关系 【解答】证明：（1）
20、ABCD， BGH+GHD180 HGIHGB，GHIGHD， HGI+GHIHGB+GHD （HGB+GHD） 90 HGI+KHI+I180， I90 GIHI （2）文字可概况为：两直线平行，同旁内角的角平分线互相垂直 故答案为：两直线平行，同旁内角的角平分线互相垂直 20如图是某区 1500 名小学生和初中生的视力情况和他们每节课课间户外活动平均时长的 统计图 （1）根据图 1，计算该区 1500 名学生的近视率； （2）根据图 2，从两个不同的角度描述该区 1500 名学生各年级近视率的变化趋势； （3）根据图 1、图 2、图 3，描述该区 1500 名学生近视率和所在学段（小学、初
21、中）、 每节课课间户外活动平均时长的关系 【分析】（1）根据近视率计算即可 （2）利用图 2 中的信息解决问题即可 （3）根据图 3 解决问题即可 解：（1）该区 1500 名学生的近视率52% （2）近视率随年级的增高而增高 在四到六年级期间，近视率的增长幅度比较大 （3）近视率会随着学段的升高而增加，学段提高后，学生的课简的活动时间普遍减少， 近视率也随之上升 21（1）不透明的袋子A中装有红球 1 个、白球 1 个，不透明的袋子B中装有红球 1 个、 白球 2 个，这些球除颜色外无其他差别分别从两个袋子中随机摸出一个球，求摸出的 两个球颜色不同的概率； （2）甲、乙两人解同一道数学题，甲
22、正确的概率为，乙正确的概率为，则甲乙恰有 一人正确的概率是 【分析】 （1） 根据题意画出树状图得出所有等情况数和摸出的两个球颜色不同的情况数， 然后根据概率公式即可得出答案； （2）根据题意得到甲正确乙不正确的概率，甲不正确乙正确的概率，两者相加即可得到 结论 解：（1）画树状图如下： 共有 6 种等情况数，其中摸出的两个球颜色不同的有 3 种， 则摸出的两个球颜色不同的概率是； （2）甲正确乙不正确的概率为（1）， 甲不正确乙正确的概率为（1）， 甲乙恰有一人正确的概率是+， 故答案为： 22点E、F分别是菱形ABCD边BC、CD上的点 （1）如图，若CECF，求证AEAF； （2）判断命
23、题“若AEAF，则CECF”的真假若真，请证明；若假，请在备用图上 画出反例 【分析】（1）连接AC，利用菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可； （2）举出反例解答即可 解：（1）连接AC， 四边形ABCD是菱形， ACEACF， 在ACE与ACF中 ， ACEACF（SAS）， AEAF， （2）当AEAFAF时，CECF，如备用图， 所以命题“若AEAF，则CECF”是假命题 23某工厂生产A、B、C三种产品，这三种产品的生产数量均为x件它们的单件成本和固 定成本如表： 产品 单件成本（元/件） 固定成本（元） A 0.1 1100 B 0.8 a C b（b0） 200 （注：总成
24、本单件成本生产数量+固定成本） （1）若产品A的总成本为yA，则yA关于x的函数表达式为 y0.1x+1100 （2）当x1000 时，产品A、B的总成本相同 求a； 当x2000 时，产品C的总成本最低，求b的取值范围 【分析】（1）根据“总成本单件成本生产数量+固定成本”即可得出产品A的总成 本为yA，则yA关于x的函数表达式； （2）根据题意列方程解答即可； 取x2000 时，即可得出b的取值范围 解：（1）根据题意得：y0.1x+1100； 故答案为：y0.1x+1100 （2）由题意得 0.81000+a0.11000+1100， 解得a400； 当x2000 时，yCyA且yCyB
25、， 即 2000b+20020000.8+400；2000b+20020000.1+1100， 解得：0b0.55 24如图，ABC内接于O，BAC45，ADBC，垂足为D，BD6，DC4 （1）求O的半径； （2）求AD的长 【分析】（1）根据圆周角定理得到BOC90，根据等腰直角三角形的性质计算，求 出OB； （2）连接OA，过点O作OEAD于E，OFBC于F，根据垂径定理求出DF，根据等腰直 角三角形的性质求出OF，根据勾股定理求出AE，结合图形计算得到答案 解：（1）如图 1，连接OB、OC， BD6，DC4， BC10， 由圆周角定理得，BOC2BAC90， OBBC5； （2）如图
26、 2，连接OA，过点O作OEAD于E，OFBC于F， BFFC5， DF1， BOC90，BFFC， OFBC5， ADBC，OEAD，OFBC， 四边形OFDE为矩形， OEDF1，DEOF5， 在 RtAOE中，AE7， ADAE+DE12 25如图，用一个平面去截正方体ABCDEFGH，得到了三棱锥SDPQ 若SPD45， SQD 37，PQ1， 求SD的长 （参考数据： sin370.6， cos370.8， tan370.75 ） 【分析】在直角三角形SDP中，根据SPD45，得到三角形为等腰直角三角形，即SD PD，在Rt三角形SDQ中，利用锐角三角函数定义表示出DQ，在直角三角形
27、PDQ中，利 用勾股定理求出所求即可 解：在 RtSPD中，SPD45， SDPD， 在 RtSDQ中，SDQ37， tan370.75， DQSDPD， 在 RtPDQ中， PQSD1， SD 26已知y是x的二次函数，该函数的图象经过点A（0，5）、B（1，2）、C（3，2） （1）求该二次函数的表达式，画出它的大致图象并标注顶点及其坐标； （2）结合图象，回答下列问题： 当 1x4 时，y的取值范围是 1y5 ； 当mxm+3 时，求y的最大值（用含m的代数式表示）； 是否存在实数m、n（mn），使得当mxn时，myn？若存在，请求出m、n； 若不存在，请说明理由 【分析】（1）用待定系
28、数法求出解析式，用描点法画出函数图象； （2）根据函数图象找出横坐标由 1 到 4 的点的纵坐标的最大值与最小值，便可写出y 的取值范围； 先求出对称轴x，分两种情况：mm+3（）或mm+3 （），根据二次函数的性质求y的最大值便可； 利用已知可得图象过（a，a）点，进而得出a的值，即可得出m，n的值 解：（1）设二次函数的解析式为：yax 2+bx+c（a0），则 ， 解得， 二次函数的解析式为：yx 24x+5， 列表如下： x 0 1 2 3 4 y 5 2 1 2 5 描点、连线， （2）由函数图象可知，当 1x4 时，1y5， 故答案为：1y5； 二次函数的解析式为：yx 24x+5
29、， 对称轴为x2， 当 2mm+32，即m时，则在mxm+3 内，当xm+3 时，y有最大值为yx 2 4x+5（m+3） 24（m+3）+5m2+2m+2； 当 2mm+32， 即m时， 则在mxm+3 内， 当xm时，y有最大值为yx 24x+5 m 24m+5； 由已知可得图象过（a，a）点， aa 24a+5， 解得，a， 当mxn时，myn， 可以取m，n 27如图，已知矩形纸片ABCD，怎样折叠，能使边AB被三等分？ 以下是小红的研究过程 思考过程 要使边AB被三等分，若从边DC上考虑，就是要折出DMDC， 也就是要折出DMAB， 当DB、AM相交于F时，即要折出对角线上的DFDB
30、那么 折叠方法和示意 图 折出DB；对折纸片，使D、B重合，得到的折痕与DB相交于点E； 继续折叠纸片，使D、B与E重合，得到的折痕与DB分别相交于点F、 G； 折出AF、CG，分别交边CD、AB于M、Q； 过M折纸片，使D落在MC上，得到折痕MN，则边AB被N、Q三等 分 （1）整理小红的研究过程，说明ANNQQB； （2）用一种与小红不同的方法折叠，使边AB被三等分（需简述折叠方法并画出示意 图） 【分析】（1）由折叠的性质可得DFDB，DMAN，通过证明DFMBAF，可得DM AB，可得ANAB，同理可求QBAB，可得结论； （2）所求图形，如图所示，由折叠的性质可得AFBFDEECCD
31、，ANDMNQ，通 过证明AGFCGD，可得，由平行线分线段成比例可得ANMCDM，即 可证ANNQQB 解：（1）由折叠的性质可得，DFDB，四边形ADMN是矩形， DMAN， CDAB， DFMBAF， ， DMAB， ANAB， 同理可求QBAB， ANNQQB； （2）如图， 将矩形ABCD对折，使AD与BC重合，折痕为EF； 连接AC，DF，交点为G， 过点G折叠矩形ABCD，使点D落在CE上，对应点为E， 使点A落在BF上，对应点为Q，折痕为MN； 点N，点Q为AB的三等分点 理由如下：由折叠的性质可得：AFBFDEECCD，ANDMNQ， ABCD， AGFCGD， ， ABCD， ， ANMCDM， ANDMCDAB， NQAB， ANNQQB
