1、2020 年山东省东营市东营区中考数学一模试卷年山东省东营市东营区中考数学一模试卷 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1|2020|的倒数等于（ ） A2020 B2020 C D 2下列运算正确的是（ ） A+ B （ab2）3a3b6 C5x2y3x2y2 Da+b 3如图，已知 ab，小亮把三角板的直角顶点放在直线 b 上若150，则2 的度数 为（ ） A30 B40 C50 D45 4如图，能判定 EBAC 的条件是（ ） ACABE BBACEBD CABCBAE DBACABE 5如图，将ABC 绕点 C（0，）旋转 180得到ABC，设点 A 的坐标为（a，b） ，
2、 则点 A的坐标为（ ） A （a，b） B （a，b+2） C （a，b+） D（a， b+2） 6为打造三墩五里塘河河道风光带，现有一段长为 180 米的河道整治任务，由 A、B 两个 工程小组先后接力完成，A 工程小组每天整治 12 米，B 工程小组每天整治 8 米，共用时 20 天， 设 A 工程小组整治河道 x 米， B 工程小组整治河道 y 米， 依题意可列方程组 （ ） A B C D 7 根据规定， 我市将垃圾分为了四类： 可回收物、 易腐垃圾、 有害垃圾和其他垃圾四大类 现 有投放这四类垃圾的垃圾桶各 1 个，若将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋不同垃圾随 机投进两个不同的垃圾
3、桶，投放正确的概率是（ ） A B C D 8如图，矩形 ABCD 中BAC60，以点 A 为圆心，以任意长为半径作弧分别交 AB， AC 于点 M， N 两点， 再分别以点 M， N 为圆心， 以大于MN 的长为半径作弧交于点 P， 作射线 AP 交 BC 于点 E，若 BE2cm，则 CE 的长为（ ） A6cm B6cm C4cm D4cm 9已知点 P 为某个封闭图形边界上一定点，动点 M 从点 P 出发，沿其边界顺时针匀速运 动一周，设点 M 的运动时间为 x，线段 PM 的长度为 y，表示 y 与 x 的函数图象大致如图 所示，则该封闭图形可能是（ ） A B C D 10 如图，
4、 在 RtABC 中， ABC90， ACB30， 将ABC 绕点 C 顺时针旋转 60 得到DEC，点 A、B 的对应点分别是 D、E，点 F 是边 AC 中点，BCE 是等边三角 形，DEBF，ABCCFD，四边形 BEDF 是平行四边形则其中正确结论 的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 11引发“新冠肺炎”的 COVID19 病毒直径大小约为 0.0000015 米，这个数用科学记数 法表示为 12分解因式：3x26x2y+3xy2 13数据 2，x，2，4，2，5，3 的平均数是 3，则方差是 14不等式组的整数解的和是
5、15定义一种法则“”如下：ab，例如：12，若 p3，则 p 的值 是 16 如图， 在直升机的镜头下， 观测东营市清风湖 A 处的俯角为 30， B 处的俯角为 45， 如果此时直升机镜头 C 处的高度 CD 为 300 米，点 A、B、D 在同一条直线上，则 A、B 两点间的距离为 米 （结果保留根号） 17如图，某数学兴趣小组将边长为 10 的正方形铁丝框 ABCD 变形为以 A 为圆心，AB 为 半径的扇形（忽略铁丝的粗细） ，则所得的扇形 ABD 的面积为 18如图，在平面直角坐标系中，点 A1的坐标为（1，0） ，以 OA1为直角边作 RtOA1A2， 并使A1OA260，再以 O
6、A2为直角边作 RtOA2A3，并使A2OA360，再以 OA3 为直角边作 RtOA3A4，并使A3OA460按此规律进行下去，则点 A2020的坐标 为 三解答题（共三解答题（共 7 小题）小题） 19 （1）计算：12020|1tan60|+（） 2+（3.14）0； （2）先化简，再求值（x+1），其中 x 满足 x2+2x30 20东营市某学校九年级一班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况 进行了问卷调查，问卷设置了“小说” 、 “戏剧” 、 “散文” 、 “其他”四个类别，每位同学 仅选一项，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图根据图表提供的信 息，回
7、答下列问题： 类别 频数（人数） 频率 小说 0.5 戏剧 4 n 散文 10 0.25 其他 6 合计 m 1 （1）计算 m ，n （2）在扇形统计图中， “其他”类所在的扇形圆心角为 ； （3）这个学校共有 1000 人，则读了戏剧类书籍的学生大约有多少人？ （4）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从中任意选出 2 名 同学参加学校的戏剧社团，请用画树状图或列表的方法，求选取的 2 人恰好是乙和丙的 概率 21如图，已知O 的直径 AB10，弦 AC6，BAC 的平分线交O 于点 D，过点 D 作 DEAC 交 AC 的延长线于点 E （1）求证：DE 是O 的切线
8、 （2）求 AD 的长 22如图，在平面直角坐标系中，一次函数 yax+b 的图象与反比例函数 y （k 为常数， k0） 的图象交于二、四象限内的 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点点 A 的坐标为 （m，5） ， 点 B 的坐标为（5，n） ，tanAOC （1）求 k 的值； （2）直接写出点 B 的坐标，并求直线 AB 的解析式； （3）P 是 y 轴上一点，且 SPBC2SAOB，求点 P 的坐标 23维康药店购进一批口罩进行销售，进价为每盒（二十只装）40 元，如果按照每盒 50 元 的价格进行销售， 每月可以售出 500 盒 后来经过市场调查发现， 若每盒口罩涨价 1 元， 则
9、口罩的销量每月减少 20 盒 （1）维康药店要保证每月销售此种口罩盈利 6000 元，又要使消费者得到实惠，则每盒 口罩可涨价多少元？ （2）若使该口罩的月销量不低于 300 盒，则每盒口罩的售价应不高于多少元？ 24已知一个矩形纸片 OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点 A（11，0） 、B（0， 6） ，点 P 为 BC 边上的动点（点 P 不与点点 B、C 重合） ，经过点 O、P 折叠该纸片，得 点 B和折痕 OP设 BPt （1）如图 1，当BOP30时，求点 P 的坐标； （2）如图 2，经过点 P 再次折叠纸片，使点 C 落在直线 PB上，得点 C和折痕 PQ， 若 AQ
10、m，试用含有 t 的式子表示 m； （3）在（2）的条件下，当点 C恰好落在边 OA 上时如图 3，求点 P 的坐标（直接写出 结果即可） 25如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+3 与 x 轴交于 A（1，0） ，B（3，0） 两点，与 y 轴交于点 C，点 D 是该抛物线的顶点 （1）求直线 AC 及抛物线的解析式，并求出 D 点的坐标； （2）若 P 为线段 BD 上的一个动点，过点 P 作 PMx 轴于点 M，求四边形 PMAC 的面 积的最大值和此时点 P 的坐标； （3）若点 P 是 x 轴上一个动点，过 P 作直线 1AC 交抛物线于点 Q，试探究：随着 P 点的运
11、动，在抛物线上是否存在点 Q，使以点 A、P、Q、C 为顶点的四边形是平行四边 形？若存在，请求出符合条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 2020 年山东省东营市东营区中考数学一模试卷年山东省东营市东营区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1|2020|的倒数等于（ ） A2020 B2020 C D 【分析】根据绝对值性质和倒数的概念求解可得 【解答】解：|2020|，即 2020 的倒数等于， 故选：C 2下列运算正确的是（ ） A+ B （ab2）3a3b6 C5x2y3x2y2 Da+b 【分析】根据二次根式的加
12、减、积的乘方、合并同类项计算法则，以及分式的约分进行 计算即可 【解答】解：A、和不能合并，故原题计算错误； B、 （ab2）3a3b6，故原题计算正确； C、5x2y3x2y2x2y，故原题计算错误； D、不能约分，故原题计算错误； 故选：B 3如图，已知 ab，小亮把三角板的直角顶点放在直线 b 上若150，则2 的度数 为（ ） A30 B40 C50 D45 【分析】先根据平角等于 180求出3，再利用两直线平行，同位角相等解答 【解答】解：150， 3180905040， ab， 2340 故选：B 4如图，能判定 EBAC 的条件是（ ） ACABE BBACEBD CABCBAE
13、 DBACABE 【分析】在复杂的图形中具有相等关系的两角首先要判断它们是否是同位角或内错角， 被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线 【解答】解：A、CABE 不能判断出 EBAC，故本选项错误； B、BACEBD 不能判断出 EBAC，故本选项错误； C、ABCBAE 只能判断出 EACD，不能判断出 EBAC，故本选项错误； D、BACABE，根据内错角相等，两直线平行，可以得出 EBAC，故本选项正确 故选：D 5如图，将ABC 绕点 C（0，）旋转 180得到ABC，设点 A 的坐标为（a，b） ， 则点 A的坐标为（ ） A （a，b） B （a，b+2） C （a，
14、b+） D（a， b+2） 【分析】首先将点 A 向下平移个单位，得到对应点坐标，再确定其绕原点旋转 180 可得对称点坐标，然后再向上平移个单位即可 【解答】 解： 将点 A 的坐标为 （a， b） 向下平移个单位， 得到对应点坐标为 （a， b） ， 再将其绕原点旋转 180可得对称点坐标为（a，b+） ， 然后再向上平移个单位可得点 A的坐标为（a，b+2） ， 故选：D 6为打造三墩五里塘河河道风光带，现有一段长为 180 米的河道整治任务，由 A、B 两个 工程小组先后接力完成，A 工程小组每天整治 12 米，B 工程小组每天整治 8 米，共用时 20 天， 设 A 工程小组整治河道
15、 x 米， B 工程小组整治河道 y 米， 依题意可列方程组 （ ） A B C D 【分析】根据河道总长为 180 米和 A、B 两个工程队共用时 20 天这两个等量关系列出方 程，组成方程组即可求解 【解答】解：设 A 工程小组整治河道 x 米，B 工程小组整治河道 y 米，依题意可得： ， 故选：A 7 根据规定， 我市将垃圾分为了四类： 可回收物、 易腐垃圾、 有害垃圾和其他垃圾四大类 现 有投放这四类垃圾的垃圾桶各 1 个，若将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋不同垃圾随 机投进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率是（ ） A B C D 【分析】可回收物、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四大类
16、对应的垃圾筒分别用 A，B， C，D 表示，垃圾分别用 a，b，c，d 表示设分类打包好的两袋不同垃圾为 a、b，画出 树状图，由概率公式即可得出答案 【解答】解：可回收物、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四大类对应的垃圾筒分别用 A， B，C，D 表示，垃圾分别用 a，b，c，d 表示设分类打包好的两袋不同垃圾为 a、b， 画树状图如图： 共有 12 个等可能的结果，分类打包好的两袋不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投 放正确的结果有 1 个， 分类打包好的两袋不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率为； 故选：C 8如图，矩形 ABCD 中BAC60，以点 A 为圆心，以任意长为半
17、径作弧分别交 AB， AC 于点 M， N 两点， 再分别以点 M， N 为圆心， 以大于MN 的长为半径作弧交于点 P， 作射线 AP 交 BC 于点 E，若 BE2cm，则 CE 的长为（ ） A6cm B6cm C4cm D4cm 【分析】过 E 作 EFAC 于 F，依据角平分线的性质即可得到 EF 的长，再根据含 30 角的直角三角形的性质即可得到 CE 的长 【解答】解：如图所示，过 E 作 EFAC 于 F， 由题可得，AP 平分BAC， EBAB， EBEF2cm， BAC60，B90， ACB30， RtCEF 中，CE2EF4cm， 故选：C 9已知点 P 为某个封闭图形边
18、界上一定点，动点 M 从点 P 出发，沿其边界顺时针匀速运 动一周，设点 M 的运动时间为 x，线段 PM 的长度为 y，表示 y 与 x 的函数图象大致如图 所示，则该封闭图形可能是（ ） A B C D 【分析】先观察图象得到 y 与 x 的函数图象分三个部分，则可对有 4 边的封闭图形进行 淘汰，利用圆的定义，P 点在圆上运动时，开始 y 随 x 的增大而增大，然后 y 随 x 的减小 而减小，则可对 D 进行判断，从而得到正确选项 【解答】解：y 与 x 的函数图象分三个部分，而 B 选项和 C 选项中的封闭图形都有 4 条 线段，其图象要分四个部分，所以 B、C 选项不正确； A 选
19、项中的封闭图形为圆，开始 y 随 x 的增大而增大，然后 y 随 x 的减小而减小，所以 A 选项不正确； D 选项为三角形， M 点在三边上运动对应三段图象， 且 M 点在 P 点的对边上运动时， PM 的长有最小值 故选：D 10 如图， 在 RtABC 中， ABC90， ACB30， 将ABC 绕点 C 顺时针旋转 60 得到DEC，点 A、B 的对应点分别是 D、E，点 F 是边 AC 中点，BCE 是等边三角 形，DEBF，ABCCFD，四边形 BEDF 是平行四边形则其中正确结论 的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】 由直角三角形的性质和旋转的性质可得
20、BCEACD60， CBCE， DEC ABC90，ABDEBF，可判断；由“HL”可证 RtABCRtCFD，可 判断， 延长 BF 交 CE 于点 G， 可证 BFED， 由一组对边平行且相等可证四边形 BEDF 是平行四边形，即可判断，即可求解 【解答】解：点 F 是边 AC 中点， CFBFAFAC， BCA30， BAAC， BFABAFCF， FCBFBC30， 将ABC 绕点 C 顺时针旋转 60得到DEC， BCEACD60，CBCE，DECABC90，ABDE， BCE 是等边三角形，DEBF，故正确； CDAC，ABCF， RtABCRtCFD（HL） ，故正确； 延长 B
21、F 交 CE 于点 G，则BGEGBC+BCG90， BGEDEC， BFED， 四边形 BEDF 是平行四边形，故正确 故选：D 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 11引发“新冠肺炎”的 COVID19 病毒直径大小约为 0.0000015 米，这个数用科学记数 法表示为 1.510 6 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大 数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零 的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：0.00000151.510 6， 故答案为：1.510 6 12分解因式：3x26x2
22、y+3xy2 3x（x2xy+y2） 【分析】原式提取公因式分解即可 【解答】解：原式3x（x2xy+y2） ， 故答案为：3x（x2xy+y2） 13数据 2，x，2，4，2，5，3 的平均数是 3，则方差是 【分析】先根据平均数的计算方法，求出 x，再代入方差的计算公式计算方差 【解答】解：数据 2，x，2，4，2，5，3 的平均数是 3， （2+x+2+4+2+5+3）3， x3 S2（23）2+（33）2+（23）2+（43）2+（23）2+（53）2+（33）2 （1+0+1+1+1+4+0） 故答案为： 14不等式组的整数解的和是 3 【分析】 先求出不等式组中每个不等式的解集，
23、然后求出其公共解集， 最后求其整数解， 再相加即可求解 【解答】解：， 解 2xx2 得 x2， 解 3x14 得 x1， 故不等式组的解集为1x2， 则不等式组的整数解为 0，1，2，和为 0+1+23 故答案为：3 15定义一种法则“”如下：ab，例如：12，若 p3，则 p 的值 是 2 【分析】已知等式利用题中的新定义化简，求出方程的解即可得到 p 的值 【解答】解：根据题中的新定义化简得：， 去分母得：31p， 解得：p2， 经检验 p2 是分式方程的解， 则 p 的值为 2 故答案为：2 16 如图， 在直升机的镜头下， 观测东营市清风湖 A 处的俯角为 30， B 处的俯角为 4
24、5， 如果此时直升机镜头 C 处的高度 CD 为 300 米，点 A、B、D 在同一条直线上，则 A、B 两点间的距离为 （） 米 （结果保留根号） 【分析】在两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相 加减求差即可 【解答】解：ECAD， A30，CBD45，CD300， CDAB 于点 D 在 RtACD 中，CDA90，tanA， AD， 在 RtBCD 中，CDB90，CBD45 DBCD300， ABADDB300300， 答：A、B 两点间的距离为（300300）米 故答案为： （300300） 17如图，某数学兴趣小组将边长为 10 的正方形铁丝框 ABC
25、D 变形为以 A 为圆心，AB 为 半径的扇形（忽略铁丝的粗细） ，则所得的扇形 ABD 的面积为 100 【分析】先求出弧长 BDCD+BC，再根据扇形面积公式：SlR（其中 l 为扇形的弧 长，R 是扇形的半径）计算即可 【解答】解：由题意的长CD+BC10+1020， S扇形ABDAB2010100， 故答案为 100 18如图，在平面直角坐标系中，点 A1的坐标为（1，0） ，以 OA1为直角边作 RtOA1A2， 并使A1OA260，再以 OA2为直角边作 RtOA2A3，并使A2OA360，再以 OA3 为直角边作 RtOA3A4，并使A3OA460按此规律进行下去，则点 A202
26、0的坐标为 （22019，0） 【分析】通过解直角三角形，依次求 A1，A2，A3，A4，各点的坐标，再从其中找出规 律，便可得结论 【解答】解：由题意得， A1的坐标为（1，0） ， A2的坐标为（1，） ， A3的坐标为（2，2） ， A4的坐标为（8，0） ， A5的坐标为（8，8） ， A6的坐标为（16，16） ， A7的坐标为（64，0） ， 由上可知，A 点的方位是每 6 个循环， 与第一点方位相同的点在 x 正半轴上，其横坐标为 2n 1，其纵坐标为 0， 与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为 2n 2，纵坐标为 2n2 ， 与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为
27、2n 2，纵坐标为 2n2 ， 与第四点方位相同的点在 x 负半轴上，其横坐标为2n 1，纵坐标为 0， 与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为2n 2，纵坐标为2n2 ， 与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为 2n 2，纵坐标为2n2 ， 202063364， 点 A2020的方位与点 A4的方位相同，在在 x 负半轴上，其横坐标为2n 122019， 纵坐标为 0， 故答案为： （22019，0） 故答案为： （22019，0） 三解答题（共三解答题（共 7 小题）小题） 19 （1）计算：12020|1tan60|+（） 2+（3.14）0； （2）先化简，再求值（x+1）
28、，其中 x 满足 x2+2x30 【分析】 （1）直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质和零指数幂的性质 分别化简得出答案； （2）直接将括号里面通分运算，进而利用分式的混合运算法则计算得出答案 【解答】解： （1）原式1+24+1 12+9 6； （2）原式 ， ， x2+2x30， x1 或 x3， x10 且 2x10，即 x1 且 x， x3， 则原式 20东营市某学校九年级一班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况 进行了问卷调查，问卷设置了“小说” 、 “戏剧” 、 “散文” 、 “其他”四个类别，每位同学 仅选一项，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和
29、扇形统计图根据图表提供的信 息，回答下列问题： 类别 频数（人数） 频率 小说 0.5 戏剧 4 n 散文 10 0.25 其他 6 合计 m 1 （1）计算 m 40 ，n 0.1 （2）在扇形统计图中， “其他”类所在的扇形圆心角为 54 ； （3）这个学校共有 1000 人，则读了戏剧类书籍的学生大约有多少人？ （4）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从中任意选出 2 名 同学参加学校的戏剧社团，请用画树状图或列表的方法，求选取的 2 人恰好是乙和丙的 概率 【分析】 （1）用散文的频数除以其频率即可求得样本总数 m；用喜欢戏剧的人数除以样 本总数即可求得喜欢戏剧的
30、频率； （2）根据其他类的频数和总人数求得其扇形圆心角即可； （3）根据用样本估计总体可求读了戏剧类书籍的学生大约有多少人； （4）画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好是丙与乙的情况数，即可确定出所求 概率 【解答】解： （1）喜欢散文的有 10 人，频率为 0.25， m100.2540； 喜欢戏剧的有 4 人， n4400.1； （2）在扇形统计图中， “其他”类所占的扇形圆心角为36054； （3）读了戏剧类书籍的学生大约有 10000.1100（人） 故读了戏剧类书籍的学生大约有 100 人； （4）画树状图，如图所示： 所有等可能的情况有 12 种，其中恰好是丙与乙的情况有 2
31、种， P（丙和乙） 故答案为：40，0.1；54 21如图，已知O 的直径 AB10，弦 AC6，BAC 的平分线交O 于点 D，过点 D 作 DEAC 交 AC 的延长线于点 E （1）求证：DE 是O 的切线 （2）求 AD 的长 【分析】 （1）连接 OD，欲证明 DE 是O 的切线，只要证明 ODDE 即可 （2）过点 O 作 OFAC 于点 F，只要证明四边形 OFED 是矩形即可得到 DEOF，在 RTAOF 中利用勾股定理求出 OF 即可 【解答】证明： （1）连接 OD， AD 平分BAC， DAEDAB， OAOD， ODADAO， ODADAE， ODAE， DEAC， O
32、DDE， 而 OD 是O 的半径， DE 是O 切线； （2）过点 O 作 OFAC 于点 F， AFCF3， OF4， OFEDEFODE90， 四边形 OFED 是矩形， DEOF4， AEAF+EF3+58 在 RtADE 中，AD2DE2+AE242+8280， AD4 22如图，在平面直角坐标系中，一次函数 yax+b 的图象与反比例函数 y （k 为常数， k0） 的图象交于二、四象限内的 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点点 A 的坐标为 （m，5） ， 点 B 的坐标为（5，n） ，tanAOC （1）求 k 的值； （2）直接写出点 B 的坐标，并求直线 AB 的解析式；
33、（3）P 是 y 轴上一点，且 SPBC2SAOB，求点 P 的坐标 【分析】 （1）tanAOC，则，即，故 AD2，则 A（2，5） ，即可 求解； （2）求出 B（5，2） ，将 A、B 坐标代入一次函数 yax+b，即可求解； （3）SAOBSAOC+SBOC，SPBC|t3|5|t3|，再由 SPBC2SAOB，即可 求解 【解答】解： （1）作 ADy 轴于 D， 点 A 的坐标为（m，5） ， OD5， tanAOC ，即， AD2， A（2，5） ， 在反比例函数 y（k 为常数，k0）的图象上， k2510； （2）反比例函数为 y， B（5，2） ， A、B 在一次函数 y
34、ax+b 的图象上，解得， 直线 AB 的解析式为 yx+3； （3）连接 OB， 由直线 AB 为 yx+3 可知，C（0，3） ， SAOBSAOC+SBOC32+35， P 是 y 轴上一点， 设 P（0，t） ， SPBC|t3|5|t3|， SPBC2SAOB， |t3|2， t或 t， P 点的坐标为（0，）或（0，） 23维康药店购进一批口罩进行销售，进价为每盒（二十只装）40 元，如果按照每盒 50 元 的价格进行销售， 每月可以售出 500 盒 后来经过市场调查发现， 若每盒口罩涨价 1 元， 则口罩的销量每月减少 20 盒 （1）维康药店要保证每月销售此种口罩盈利 6000
35、 元，又要使消费者得到实惠，则每盒 口罩可涨价多少元？ （2）若使该口罩的月销量不低于 300 盒，则每盒口罩的售价应不高于多少元？ 【分析】 （1）设每盒口罩需涨价 x 元，根据“每盒口罩涨价 1 元，则口罩的销量每月减 少 20 盒”表示出销售量，由售价进价利润列出方程，求出方程的解即可得到结果； （2）设每盒口罩的售价为 m 元，由关键描述语“该口罩的月销量不低于 300 盒”列出不 等式求解即可 【解答】解： （1）设每盒口罩可涨价 x 元， 由题意，得： （x+5040） （50020x）6000， 解得 x15，x210（不合题意，舍去） 答：每盒口罩可涨价 5 元； （2）解：设
36、每盒口罩的售价为 m 元， 则 50020（m50）300， 解得，m60 答：每盒口罩的售价应不高于 60 元 24已知一个矩形纸片 OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点 A（11，0） 、B（0， 6） ，点 P 为 BC 边上的动点（点 P 不与点点 B、C 重合） ，经过点 O、P 折叠该纸片，得 点 B和折痕 OP设 BPt （1）如图 1，当BOP30时，求点 P 的坐标； （2）如图 2，经过点 P 再次折叠纸片，使点 C 落在直线 PB上，得点 C和折痕 PQ， 若 AQm，试用含有 t 的式子表示 m； （3）在（2）的条件下，当点 C恰好落在边 OA 上时如图 3，
37、求点 P 的坐标（直接写出 结果即可） 【分析】 （1）根据题意得，OBP90，OB6，在 RtOBP 中，由BOP30， BPt，得 OP2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案； （2）由OBP、QCP 分别是由OBP、QCP 折叠得到的，可知OBP OBP， QCPQCP， 易证得OBPPCQ， 然后由相似三角形的对应边成比例， 即可求得答案； （3）首先过点 P 作 PEOA 于 E，易证得PCECQA，由勾股定理可求得 C A 的长，然后利用相似三角形的对应边成比例与 m 和 t 的关系，即可求得 t 的值，得出 P 点坐标 【解答】解： （1）根据题意，OBP90，
38、OB6， 在 RtOBP 中，由BOP30，BPt，得 OP2t OP2OB2+BP2， 即（2t）262+t2， 解得：t12，t22（舍去） 点 P 的坐标为（2，6） ； （2）OBP、QCP 分别是由OBP、QCP 折叠得到的， OBPOBP，QCPQCP， OPBOPB，QPCQPC， OPB+OPB+QPC+QPC180， OPB+QPC90， BOP+OPB90， BOPCPQ， 又OBPC90， OBPPCQ， ， 由题意设 BPt，AQm，BC11，AC6，则 PC11t，CQ6m ， mt2t+6（0t11） ； （3）过点 P 作 PEOA 于 E，如图 3， PEAQA
39、C90， PCE+EPC90， PCE+QCA90， EPCQCA， PCECQA， ， 在PCE 和OCB中， ， PCEOCB（AAS） ， PCOCPC， BPAC， ACPBt，PEOB6，AQm，EC112t， ， mt2t+6， 3t222t+360， 解得：t1，t2 故点 P 的坐标为（ ，6）或（ ，6） 25如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+3 与 x 轴交于 A（1，0） ，B（3，0） 两点，与 y 轴交于点 C，点 D 是该抛物线的顶点 （1）求直线 AC 及抛物线的解析式，并求出 D 点的坐标； （2）若 P 为线段 BD 上的一个动点，过点 P 作
40、 PMx 轴于点 M，求四边形 PMAC 的面 积的最大值和此时点 P 的坐标； （3）若点 P 是 x 轴上一个动点，过 P 作直线 1AC 交抛物线于点 Q，试探究：随着 P 点的运动，在抛物线上是否存在点 Q，使以点 A、P、Q、C 为顶点的四边形是平行四边 形？若存在，请求出符合条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）根据抛物线的解析式可以得到点 C 的坐标，然后根据点 A 的坐标，即可得 到直线 AC 的解析式，然后将点 A 和点 B 的坐标代入抛物线解析式，即可得到抛物线的 解析式，然后将抛物线解析式化为顶点式，即可得到点 D 的坐标； （2）先求出直线 BD
41、的解析式，然后根据 P 为线段 BD 上的一个动点，可以设出点 P 的 坐标，然后即可得到四边形 AMPC 的面积，再根据二次函数的性质，即可得到四边形 PMAC 的面积的最大值和此时点 P 的坐标； （3） 根据题意， 可以画出相应的图形， 然后利用分类讨论的方法， 可以求得点 Q 的坐标 【解答】解： （1）抛物线 yax2+bx+3 与 y 轴交于点 C， 点 C（0，3） ， 设直线 AC 的解析式为 yk1x+b1（k10） ， 点 A（1，0） ，点 C（0，3） ， ，得， 直线 AC 的解析式为 y3x+3， 抛物线 yax2+bx+3 与 x 轴交于 A（1，0） ，B（3，
42、0）两点， ，得， 抛物线的解析式为 yx2+2x+3， yx2+2x+3（x1）2+4， 顶点 D 的坐标为（1，4） ； （2）设直线 BD 的解析式为 ykx+b， 点 B（3，0） ，点 D（1，4） ， ，得， 直线 BD 的解析式为 y2x+6， P 为线段 BD 上的一个动点， 设点 P 的坐标为（p，2p+6） ， OA1，OC3，OMp，PM2p+6， S四边形PMAC SOAC+S梯形OMPC + p2+p+ （p）2+， 1p3， 当 p时，四边形 PMAC 的面积取得最大值为，此时点 P 的坐标为（，） ； （3）直线 lAC，以点 A、P、Q、C 为顶点的四边形是平行四边形， PQAC 且 PQAC， A（1，0） ，C（0，3） ， 设点 P 的坐标为（x，0） ， 当点 Q 在 x 轴上方时，则点 Q 的坐标为（x+1，3） ， 此时，（x+1）2+2（x+1）+33， 解得，x11（舍去） ，x21， 点 Q 的坐标为（2，3） ； 当点 Q 在 x 轴下方时，则点 Q 的坐标为（x1，3） ， 此时，（x1）2+2（x1）+33， 整理得，x24x30， 解得 x12+，x22， 点 Q 的坐标为（1+，3）或（1，3） ， 综上所述，点 Q 的坐标为（2，3）或（1+，3）或（1，3）
