1、1 人大附中人大附中 2019-2020 学年度学年度高三高三 6 月月统一练习题统一练习题 数数 学学 命题人：侯立伟命题人：侯立伟 唐庚唐庚 王鼎王鼎 审题人：于金华审题人：于金华 2020 年年 06 月月 27 日日 本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效. 第一部分第一部分（选择题（选择题 共共 40 分）分） 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项要求的一项. 1.集合 2 3, lo
2、gPa，,Qa b，若 0PQ ，则PQ （ ） A.0,3B.0,2,3C.0,1,3D.0,1,2,3 2.若复数 2 13 z i ，则z （） A. 1 2 B. 3 2 C. 1D. 2 3. 已知 21 53 3 122 ,log 355 abc ，则（ ） Aabc BcbaCbcaDcab 4. 已知函数 ( )f x的图象沿 x 轴向左平移 2 个单位后与函数 2xy 的图象关于x轴对称，若 0 ()1f x ，则 0= x（ ） A2 B2 C 23 logD 2 log 3 5. 为了解某年级 400 名女生五十米短跑情况，从该年级中随机抽取 8 名女生进行五十跑测 试，
3、她们的测试成绩（单位：秒）的茎叶图（以整数部分为茎，小数部分为叶）如图所 示.由此可估计该年级女生五十米跑成绩及格（及格成绩为 9.4 秒）的人数为（ ） 78 86 1 8 91 5 7 8 A.150B.250C.200D.50 2 6.“ 6 ”是“函数 sin(2)() 3 f xxxR 与函数 cos(2 + )()g xxxR为同一 函数”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 7某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是 （ ） A6 B12 C24 D36 8.等比数列an中 a11， 且 4a1， 2a2， a3成等差
4、数列， 则 *) n a nN n （的最小值为 （） A 16 25 B 4 9 C 1 2 D 1 9. 如图，四个棱长为 1 的正方体排成一个正四棱柱， 是一条侧 棱 ， ( = 1,2,8) 是 上 底 面 上 其 余 的 八 个 点 ， 则 集 合 ,1,2,3,8 i y yAB AP i中的元素个数 ( ) A. 1B. 2 C. 4D. 8 10. 某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量 复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均 分成两束射出，在被测物体表面汇聚， 探测器接收反射光.当被测物 体横向速度为零时， 反射光与探测光频率相同.当横向速
5、度不为零时， 反射光相对探测光会发生频移 2 sin p v f ， 其中v为测速仪测得被 测物体的横向速度，为激光波长，为两束探测光线夹角的一半， 如图.若激光测速仪安装在距离高铁 1m处， 发出的激光波长为 1600 nm( 9 1nm10 m )，测得某时刻频移为 9 8.0 10(1/h)，则该时刻高铁 的速度v约等于 3 4 3 正视图 侧视图 俯视图 3 A.320 km/hB.330 km/h C.340 km/hD.350 km/h 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分. 11.抛物线 2 y
6、x的焦点到准线的距离是 12. 二项式 25 1 ()x x 的展开式中含 4 x的项的系数是 （用数字作答） 13. 已知关于x的不等式 2 230axxa 在0,2上有解，则实数a的取值范围为_ 14.在平面直角坐标系中，以双曲线 22 22 1,(0,0) xy ab ab 的右焦点为圆心，以实半轴a 为半径的圆与其渐近线相交，则双曲线的离心率的取值范围是 15. 在一个不透明的口袋中装有大小、形状完全相同的 9 个小球，将它们分别编号为 1，2， 3，9，甲、乙、丙三人从口袋中依次各抽出 3 个小球 甲说：我抽到了 8 号和 9 号小球； 乙说：我抽到了 8 号和 9 号小球； 丙说：
7、我抽到了 2 号小球，没有抽到 8 号小球 已知甲、乙、丙三人抽到的 3 个小球的编号之和都相等，且甲、乙、丙三人都只说对了一半. 给出下列四各结论： 甲抽到的 3 个小球的编号之和一定为 15； 乙有可能抽到了 2 号小球； 丙有可能抽到了 8 号小球； 3 号，5 号和 7 号小球一定被同一个人抽到 其中，所有正确结论的序号是_ 注：全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分， 其他得 3 分. 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16 （本小题满分 14 分） 在ABC中，3a ，2
8、6b ，_. 求c的值 从 2BA ， sinsin2BA， 3 15 2 ABC S，这三个条件中任选一个，补充在 上面问题中并作答注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 4 17. （本小题满分 14 分） 如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF 平面ABCD四边形ADEF为正方形，四边形 ABCD为梯形，且/AD BC，90BAD，1ABAD，3BC （）求证：AFCD； （II）求直线BF与平面CDE所成角的正弦值. 18. （本小题满分 14 分） 国家环境标准制定的空气质量指数（简称 AQI）与空气质量等级对应关系如下表： 下表是由天气网获得的全国东西部各 6 个城市
9、在某一个月内测到的数据的平均值： 西部城市西部城市 AQI 数值数值 东部城市东部城市 AQI 数值数值 西安 108 北京 104 合肥 90 金门 42 克拉玛依 37 上海 82 鄂尔多斯 56 苏州 114 巴彦淖尔 61 天津 105 库尔勒 456 石家庄 93 合计：合计：808 合计：合计：540 () 从表中东部城市中任取一个 ，空气质量为良的概率是多少？ ()环保部门从空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市随机选取3个城市组织专家进行调研， 记选到空气质量“轻度污染”的城市个数为，求的分布列和数学期望 （III）设东部城市的 AQI 数值的数值的方差为 2 1 S，如果将合
10、肥纳入东部城市，则纳入后 AQI 数数 值的值的方差为 2 2 S，判断 2 1 S和 2 2 S的大小.(只需写出结论) 附：方差计算公式 2 2 1 1 n i i Sxx n . 空气质量等优 良 轻度污染 中 度 污重度污染 严重污染 AQI 值范围 0,50) 50， 100 100,150) 150,200) 200,300) 300 及以上 E D C B A F 5 19（本小题满分 15 分） 已知函数 2 ( ) x xm f x e （其中m为常数） （I）若0m 且直线ykx与曲线( )yf x相切，求实数 k 的值； （II）若( )yf x在1,2上的最大值为 2
11、2 e ，求m的值 20 （本小题满分 14 分） 椭圆 22 22 10 xy Eab ab ： 的离心率是 5 3 ，过点 P（0，1）做斜率为 k 的直线 l，椭 圆 E 与直线 l 交于 A，B 两点，当直线 l 垂直于 y 轴时3 3AB （I）求椭圆 E 的方程； （II）当 k 变化时，在 x 轴上是否存在点 M（m，0） ，使得AMB 是以 AB 为底的等腰三角 形，若存在求出 m 的取值范围，若不存在说明理由 21. （本小题满分 14 分） 在平面直角坐标系中， 对于任意相邻三点都不共线的有序整点列 （整点即横纵坐标都是 整数的点）( )A n： 123 , n A A A
12、A与( )B n： 123 , n B B BB，其中3n ，若同时满足： 两点列的起点和终点分别相同；线段 11iiii A AB B ，其中1,2,3,1in， 则称( )A n与( )B n互为正交点列正交点列. （）试判断(3)A： 123 (0,2),(3,0),(5,2)AAA与(3)B： 123 (0,2),(2,5),(5,2)BBB是否互为 正交点列，并说明理由； （）求证：(4)A： 1234 0,0),3,1),6,0)(,9,1)(AAAA不存在正交点列(4)B； （）是否存在无正交点列(5)B的有序整数点列(5)A？并证明你的结论. 1 人大附中人大附中 2019-2
13、020 学年度学年度高三高三 6 月月数学统一练习题数学统一练习题 参考答案和评分标准参考答案和评分标准 2020.6.27 一、选择题（共一、选择题（共 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D B B A B D A A 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分请把结果填在答题纸中 ） 题 号 11 12 13 14 15 答 案 1 2 10 3 (,) 3 12（ ， ） 注：15 题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分， 其他得 3
14、 分 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16 （本小题满分 14 分） 解： 如果选：因为3a ，2 6b ，2BA ， 所以在ABC中，由正弦定理得 32 6 sinsin2AA 3 分 所以 2sincos2 6 sin3 AA A 故 6 cos 3 A 6 分 (0, )A， 所以 2 3 sin1cos 3 AA 又因为2BA ，所以 2 1 cos2cos1 3 BA 9 分 所以 2 2 2 sin1cos 3 BB在ABC中，sinsin()CAB sincoscossin
15、ABAB 5 3 9 12 分 所以 sin 5 sin aC c A 14 分 如果选：因为3a ，2 6b ，sinsin2BA， 2 sin2sincosBAA，由正弦定理得：3 分 2 cosbaA 故 6 cos 3 A ，6 分 由余弦定理可得： 2 6 92422 6 3 cc，9 分 2 8150cc，解得5c 或 3.14 分 如果选： 3 15 2 ABC S，则 3 151 =sin 22 ABC SabC 则： 10 sin 4 C ，3 分 所以 6 cos 4 C .6 分 当 6 cos 4 C 时， 222 6 2cos924232 615 4 cababC ，
16、15c ； 当 6 cos 4 C 时， 222 6 2cos924+232 651 4 cababC ，51c . 14 分 17. （本小题满分 14 分） 解：解： （）证明：因为ADEF为正方形， 所以AFAD1 分 又因为平面ADEF 平面ABCD，2 分 且平面ADEF平面ABCDAD，3 分 AF 平面ADEF 所以AF 平面ABCD4 分 CD平面ABCD 所以AFCD6 分 （II）由（）可知，AF 平面ABCD， 所以AFAB又AFAD，90BAD，所以,AB AD AF两两垂直 分别以,AB AD AF为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图） 8 分 因为1ABAD，
17、3BC ， 所以(0,0,0), (1,0,0),(1,3,0),(0,1,0),(0,1,1),(0,0,1)ABCDEF， 所以( 1,0,1),(1,2,0),(0,0,1)BFDCDE 3 设平面CDE的一个法向量为( , , )x y zn， 则 0, 0. DC DE n n 即 20, 0. xy z 10分 令2x ，则1y ， 所以(2, 1,0)n12 分 设直线BF与平面CDE所成角为， 则 |2 ( 1)|10 sin|cos,| 552 BF n14 分 18. （本小题满分 14 分） 解： （）设事件 A 为” 从表中东部城市中任取一个，空气质量为良” 1 分 6
18、 个东部地区空气质量为良的有上海，石家庄 2 个城市 -3 分 21 63 P A -4 分 （）“优”类城市有 2 个，“轻度污染”类城市有 4 个4 分 根据题意的所有可能取值为：1, 2,3 5 分 12 42 3 6 1 (1) 5 C C P C , 21 42 3 6 3 (2) 5 C C P C ， 30 42 3 6 1 (3) 5 C C P C 8 分 的分布列为： -10 分 所以 131 1232 555 E 11 分 （III） 2 1 S 2 2 S-14 分 19（本小题满分 15 分） 解：（I I）0m 时， 2 ( ) x x f x e 2 2222 (
19、 ) xx x x exex fx e e -3 分 1 5 3 5 1 5 123 P 4 设切点为 0 0 0 2 , x x x e ， 则切线方程为 00 00 0 222 xx xx yxx ee -5 分 0,0点代入， 00 00 0 222 xx xx x ee 化简解得 0 0x -6 分 02k f -7 分 (II)法 1： 由题意知 2 22 ( ) x xm f x ee 在1，2上恒成立，-9 分 且存在 0 x使得 0 2 2 ()f x e 整理得 2 2 2 x mxe e -11 分 令令 2 2 2 x g xxe e ，则m为 g x在1，2上的最大值
20、-12 分 2 2 2 x gxe e ，在1，2上单调递减，令 02gxx 所以 0gx 在1，2上恒成立，当且仅当 20 g -13 分 所以 g x 在1，2上单调递增，所以 g x 在1，2上的最大值为 22g 所以2m -15 分 法法 2 2： f（x）， -8 8 分分 当 m+24，即 m2 时，f（x）0 在（1，2）上恒成立， 故 f（x）在（1，2）上单调递增，则 f（x）在1，2上的最大值为 f（2）， 故 m2，满足 m2； - 10 分 当 m+22，即 m0 时，f（x）0 在（1，2）上恒成立， 故 f（x）在（1，2）上单调递减，则 f（x）在1，2上的最大值
21、为 f（1）， 故 m2，不满足 m0，舍去； -12 分 当 2m+24，即 0m2 时，由 f（x）0 可得 x x时，f（x）0；当 x时，f（x）0， 5 即 f（x）在1，）上单调递增，在（，2上单调递减， 故 f（x）的最大值为 22 22 222 2 mm mmm f ee ，即， - -14 分 所以，m2，不满足 0m2，舍去 综上可知，m2 -15 分 20 （本小题满分 14 分） 解： （）因为椭圆的离心率为 5 3 ，所以 2 2 5 1 3 cb aa ，整理得 22 4 9 ba 故椭圆的方程为 22 2 2 1 4 9 xy a a 由已知得椭圆过点 3 3 ,
22、1 2 ， 所以 22 927 1 44aa ，解得 2 9a ， 所以椭圆的E方程为 22 1 94 xy 5 分 （）由题意得直线l的方程为1ykx6 分 设 1122 ,A x yB xy，AB的中点 00 ,C xy 由 22 1 1 94 ykx xy 消去y整理得 22 4918270kxkx， 其中 222 1849()427()432(31)0kkk 则 1212 22 1827 , 4949 k xxx x kk ，所以 12 0 2 9 249 xxk x k ，9 分 00 2 4 1 49 ykx k ，点 C 的坐标为 22 94 , 4949 k C kk 10 分
23、 假设在x轴存在点,0M m，使得AMB是以AB为底的等腰三角形， 则点,0M m为线段AB的垂直平分线与 x 轴的交点 当0k 时，则过点C且与l垂直的直线方程 22 194 4949 k yx kkk ， 6 令0y ，则得 2 55 4 49 9 k xm k k k 若0k ，则 555 4 124 9 29 k k k k ， 5 0 12 m11 分 若0k ，则 555 44 12 99kk kk ， 5 0 12 m12 分 当0k 时，则有0m 13 分 所以存在点 M 满足条件,且 m 的取值范围是 55 , 12 12 .14 分 21. （本小题满分 14 分） 解：
24、（）有序整点列 123 (0,2),(3,0),(5,2)AAA与 123 (0,2),(2,5),(5,2)BBB互为正交点列. -1 分 理由如下： 由题设可知 1223 (3, 2),(2,2)AAA A, 1223 (2,3)(33)BBB B，, 因为 1212 0AA BB, 2323 0A A B B 所以 12122323 A AB BA AB B，. 所以整点列 123 (0,2),(3,0),(5,2)AAA与 123 (0,2),(2,5),(5,2)BBB互为正交点列. -4 分 （）证明 ：由题意可得 122334 (3,1),(3, 1)(3,1)AAA AA A，
25、 设点列 1234 ,B B B B是点列 1234 ,A A A A的正交点列， 则可设 121232343 ( 1,3),(1,3)( 1,3)B BB BB B，, 123 ， ，Z 因为 1144 ,与与AB AB相同，所以有 123 123 -+-=9 3+3+3=1 8 分 因为 123 ， ，Z，方程不成立， 所以有序整点列 1234 0,0),3,1),6,0)(,9,1)(AAAA不存在正交点列.-10 分 7 （）存在无正交点列的整点列(5)A. -11 分 当5n 时，设 1 ( , ), iiiiii AAa ba b Z其中, ii a b是一对互质整数，1,2,3,4i 若有序整点列 12345 ,B B B B B是点列 12345 ,A A A A A的正交点列, 则 1 (,),1,2,3,4 iiiii BBb ai ，由 44 1i+1 =11 iii ii A AB B 得 44 =11 44 =11 , . iii ii iii ii ba ab 13 分 取 1 ,(0,0)A=3,1,2,3,4 i ai , 1234 2,1,1,1bbbb 由于 12345 ,B B B B B是整点列，所以有,1,2,3,4 i iZ. 等式中左边是 3 的倍数，右边等于 1，等式不成立， 所以存在无正交点列的整点列(5)A. -14 分
