1、2020 年山西省太原市高考（理科）数学模拟试卷年山西省太原市高考（理科）数学模拟试卷 一、选择题（共 12 小题）. 1已知集合 Ax|x2+x20B1，0，1，2，则（ ） AAB2 BABR CB（RA）1，2 DB（RA）x|1x2 2已知 a 是实数， 是纯虚数，则 a 等于（ ） A1 B1 C D 3已知 alog52，blog0.50.2，c0.50.2，则（ ） Aabc Bacb Cbac Dcab 4如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的中国剩余定理nN（modm）表示 正整数 n 除以正整数 m 的余数为 N，例如 104（mod6）执行该程序框图，则输出的 n 等于
2、（ ） A11 B13 C14 D17 5若 ， 是两个非零向量，且 ， ， 则向量 与 夹角 的取值范围是（ ） A ， B ， C ， D ， 6函数 的图象大致为（ ） A B C D 7圆周率 是数学中一个非常重要的数，历史上许多中外数学家利用各种办法对 进行了 估算现利用下列实验我们也可对圆周率进行估算假设某校共有学生 N 人，让每人随 机写出一对小于 1 的正实数 a，b，再统计出 a，b，1 能构造锐角三角形的人数 M，利用 所学的有关知识，则可估计出 的值是（ ） A B C D 8设奇函数 f（x）在（0，+）上为增函数，且 f（1）0，则不等式 0 的 解集为（ ） A（1
3、，0）（1，+） B（，1）（0，1） C（，1）（1，+） D（1，0）（0，1） 9过抛物线 y24x 的焦点的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，设点 M（3，0）若MAB 的面积为 ，则|AB|（ ） A2 B4 C D8 10 已知数列an的前 n 项和为 Sn， 且满足 an 数列bn满足 bn （1） n （2n+1） an，则数列bn的前 100 项和 T100为（ ） A B C D 11对于函数 有下列说法： f（x）的值城为1，1； 当且仅当 时，函数 f（x）取得最大值； 函数 f（x）的最小正周期是 ； 当且仅当 ， 时 f（x）0 其中正确结论的个数是（ ） A1
4、 B2 C3 D4 12 三棱锥PABC中 ABBC， PAC为等边三角形， 二面角PACB的余弦值为 ， 当 三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 8则三棱锥体积的最大值为（ ） A1 B2 C D 二、填空题 13已知（x1）（ax+1）5的展开式中，x2的系数为 0，则实数 a 14已知双曲线 （a0，b0）的左右顶点分别为 A，B，点 P 是双曲线上一 点，若PAB 为等腰三角形，PAB120，则双曲线的离心率为 15已知数列an满足 （n N*），且 a26，则an的通项公式 为 16改革开放 40 年来，我国城市基础设施发生了巨大的变化，各种交通工具大大方便了人 们的出行需求某城
5、市的 A 先生实行的是早九晚五的工作时间，上班通常乘坐公交或地 铁加步行已知从家到最近的公交站或地铁站都需步行 5 分钟，乘坐公交到离单位最近 的公交站所需时间 Z1（单位：分钟）服从正态分布 N（33，42），下车后步行再到单位 需要 12 分钟；乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间 Z2（单位：分钟）服从正态分布 N（44，22），从地铁站步行到单位需要 5 分钟现有下列说法： 若 8：00 出门，则乘坐公交一定不会迟到； 若 8：02 出门，则乘坐公交和地铁上班迟到的可能性相同； 若 8：06 出门，则乘坐公交比地铁上班迟到的可能性大； 若 8：12 出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能
6、性大 则以上说法中正确的序号是 参考数据：若 ZN（，2），则 P（Z+）0.6826， P（2Z+2）0.9544， P（3Z+3）0.9974 三、解答题 17ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 ，且ABC 外接圆的半径为 1 （）求角 C； （）求ABC 面积的最大值 18 如图， 四边形 ABCD 是边长为 4 的菱形， BAD60， 对角线 AC 与 BD 相交于点 O， 四边形 ACFE 为梯形，EFAC，点 E 在平面 ABCD 上的射影为 OA 的中点，AE 与平面 ABCD 所成角为 45 （）求证：BD平面 ACF； （）求平面 DEF 与平面 ABC
7、D 所成角的正弦值 19已知 F1，F2是椭圆 C： （ab0）的左、右焦点，过椭圆的上顶点的直 线 x+y1 被椭圆截得的弦的中点坐标为 ， （）求椭圆 C 的方程； （）过 F1的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，当ABF2面积最大时，求直线 l 的方程 20 为实现 2020 年全面建设小康社会， 某地进行产业的升级改造 经市场调研和科学研判， 准备大规模生产某高科技产品的一个核心部件，目前只有甲、乙两种设备可以独立生产 该部件如图是从甲设备生产的部件中随机抽取 400 件，对其核心部件的尺寸 x，进行统 计整理的频率分布直方图 根据行业质量标准规定，该核心部件尺寸 x 满足：|x12|
8、1 为一级品，1|x12|2 为二级品，|x12|2 为三级品 （）现根据频率分布直方图中的分组，用分层抽样的方法先从这 400 件样本中抽取 40 件产品，再从所抽取的 40 件产品中，抽取 2 件尺寸 x 12，15的产品，记 为这 2 件产 品中尺寸 x 14，15的产品个数，求 的分布列和数学期望； （）将甲设备生产的产品成箱包装出售时，需要进行检验已知每箱有 100 件产品， 每件产品的检验费用为 50 元检验规定：若检验出三级品需更换为一级或二级品；若不 检验，让三级品进入买家，厂家需向买家每件支付 200 元补偿现从一箱产品中随机抽 检了 10 件，结果发现有 1 件三级品若将甲
9、设备的样本频率作为总体的慨率，以厂家支 付费用作为决策依据，问是否对该箱中剩余产品进行一一检验？请说明理由； （）为加大升级力度，厂家需增购设备已知这种产品的利润如下：一级品的利润为 500 元/件；二级品的利润为 400 元/件；三级品的利润为 200 元/件乙种设备产品中一、 二、三级品的概率分别是 ， ， 若将甲设备的样本频率作为总体的概率，以厂家的 利润作为决策依据应选购哪种设备？请说明理由 21已知函数 f（x）lnx+ax+1 （）若函数 f（x）有两个零点，求 a 的取值范围； （）f（x）xex恒成立，求 a 的取值范围 22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为
10、 ， （t 为参数），曲线 C2的 参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点x 轴正半轴为极轴建立极 坐标系 （）求曲线 C1的普通方程和曲线 C2的极坐标方程； （）射线 与曲线 C2交于 O，P 两点，射线 与曲线 C1交于 点 Q，若OPQ 的面积为 1，求|OP|的值 23已知 a，b，c 为正实数 （）若 a+b+c1，证明： ； （）证明： 参考答案参考答案 一、选择题 1已知集合 Ax|x2+x20B1，0，1，2，则（ ） AAB2 BABR CB（RA）1，2 DB（RA）x|1x2 【分析】先求出集合 A，再求两集合的交，并，补，可判断正误 解：Ax|x2+x20x|x2
11、 或 x1AB2 故选：A 2已知 a 是实数， 是纯虚数，则 a 等于（ ） A1 B1 C D 【分析】利用复数的运算法则即可得出 解： 是纯虚数， ， 0，解得 a1， 故选：A 3已知 alog52，blog0.50.2，c0.50.2，则（ ） Aabc Bacb Cbac Dcab 【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解 解： ，0a ， log0.50.2log25log24，b2， 0.510.50.20.50， ， acb， 故选：B 4如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的中国剩余定理nN（modm）表示 正整数 n 除以正整数 m 的余数为 N，例如 104（mod6
12、）执行该程序框图，则输出的 n 等于（ ） A11 B13 C14 D17 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 n 的 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足以下 条件的最小两位数： 被 3 除余 2， 被 4 除余 1， 故输出的 n 为 17， 故选：D 5若 ， 是两个非零向量，且 ， ， 则向量 与 夹角 的取值范围是（ ） A ， B ， C ， D ， 【分析】根据题意，设| | |t，向量 与 夹角为 ，又由| |mt，由向量模 的计算公式变形可
13、得： t 2，进而可得| |的值，由数量积公式可得 cos ，结合 m 的范围，分析可得 cos 的范围，结合余弦函 数的性质分析可得答案 解：根据题意，设| | |t，则| |mt，再设向量 与 夹角为 ， 则有| |2（ ）2 2 2+2 m 2t2，变形可得： t 2， 则有| |2（ ）2 2 22 2t 22（ t 2）4t2m2t2，变形可得 | | t， 则 cos ， 又由 1m ，则 1 ，则有 cos ， 又由 0，则有 ，即 的取值范围为 ， ； 故选：C 6函数 的图象大致为（ ） A B C D 【分析】根据函数是否存在零点，以及 f（1）的符号，利用排除法进行判断即
14、可 解：f（1） 0，排除 C，D， 由 0，则方程无解，即函数没有零点，排除 B， 故选：A 7圆周率 是数学中一个非常重要的数，历史上许多中外数学家利用各种办法对 进行了 估算现利用下列实验我们也可对圆周率进行估算假设某校共有学生 N 人，让每人随 机写出一对小于 1 的正实数 a，b，再统计出 a，b，1 能构造锐角三角形的人数 M，利用 所学的有关知识，则可估计出 的值是（ ） A B C D 【分析】N 个实数对（a，b）都在边长为 1 的正方形 AOBC 内，若 a，b，1 能构造锐角 三角形，则 a2+b21，所以 N 对实数对落在单位圆 x2+y21 外的有 M 对，再利用几何
15、概 率的概率公式即可求出 的近似值 解：学校共有学生 N 人，每人随机写出一对小于 1 的正实数 a，b，得到 N 个实数对（a， b）， 因为 0a1，0b1，所以 N 个实数对（a，b）都在边长为 1 的正方形 AOBC 内，如 图所示： 若 a，b，1 能构造锐角三角形，因为 1 是最长边，所以 1 所对的角为锐角， 所以 ，即 a 2+b21， 所以 N 对实数对落在单位圆 x2+y21 外的有 M 对， 由几何概率的概率公式可得： 1 ， 所以 ， 故选：B 8设奇函数 f（x）在（0，+）上为增函数，且 f（1）0，则不等式 0 的 解集为（ ） A（1，0）（1，+） B（，1）
16、（0，1） C（，1）（1，+） D（1，0）（0，1） 【分析】根据函数为奇函数求出 f（1）0，再将不等式 x f（x）0 分成两类加以分析， 再分别利用函数的单调性进行求解，可以得出相应的解集 解：f（x）为奇函数，且在（0，+）上是增函数，f（1）0， f（1）f（1）0，在（，0）内也是增函数 0， 即 或 根据在（，0）和（0，+）内是都是增函数 解得：x （1，0）（0，1） 故选：D 9过抛物线 y24x 的焦点的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，设点 M（3，0）若MAB 的面积为 ，则|AB|（ ） A2 B4 C D8 【分析】 求得抛物线的焦点 F 的坐标， 可设直
17、线 l 的方程为 xty+1， 联立抛物线的方程， 消去 x， 可得 y 的二次方程， 运用韦达定理和弦长公式， 以及三角形的面积公式， 解得 t， 进而得到所求值 解：抛物线 y24x 的焦点 F 为（1，0），可设直线 l 的方程为 xty+1， 代入抛物线方程，可得 y24ty40， 设 A（x1，y1），B（x2，y2），可得 y1+y24t，y1y24， 则|AB| |y1y2| ， MAB 的面积为 |MF| |y 1y2 | 2|y 1y2|4 ， 即 4 ，解得 t1， 则|AB| 8， 故选：D 10 已知数列an的前 n 项和为 Sn， 且满足 an 数列bn满足 bn （
18、1） n （2n+1） an，则数列bn的前 100 项和 T100为（ ） A B C D 【分析】由 an 求出 a1，a2，猜想出 an ，然后用数学归纳法证明猜想， 再使用裂项相消法求数列bn的前 100 项和 T100 解： ，当 n1 时，有 a1 ，解得 a1 ；当 n2 时，可解得 a2 ，故猜想：an ，下面利用数学归纳法证明猜想： 当 n1，2 时，由以上知道 an 显然成立； 假设当 nk （k2） 时， 有 ak 成立， 此时 Sk 成 立 ， 那 么 当 n k+1 时 ， 有 ak+1 ，解得 ak+1 ，这说明当 nk+1 时也成 立 由知： an bn （1）
19、n （2n+1） a n， bn （1） n （2n+1） （1） n （ ）， 数列bn的前 100 项和 T100（ ）+（ ）（ ）+（ ） 1 故选：C 11对于函数 有下列说法： f（x）的值城为1，1； 当且仅当 时，函数 f（x）取得最大值； 函数 f（x）的最小正周期是 ； 当且仅当 ， 时 f（x）0 其中正确结论的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】根据绝对值的定义将函数 f（x）写成分段函数，再作出函数的图象即可判断各 命题的真假 解：因为 f（x） ， ， ，作出函数 f（x）的图象，如图所示： 所以，f（x）的值城为1， ，错误； 函数 f（x）的最小正周期
20、是 2，错误； 当且仅当 时，函数 f（x）取得最大值，正确； 当且仅当 ， 时，f（x）0，正确 故选：B 12 三棱锥PABC中 ABBC， PAC为等边三角形， 二面角PACB的余弦值为 ， 当 三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 8则三棱锥体积的最大值为（ ） A1 B2 C D 【分析】由已知作出图象，找出二面角 PACB 的平面角，设出 AB，BC，AC 的长， 即可求出三棱锥 PABC 的高，然后利用基本不等式即可确定三棱锥体积的最大值（用 含有 AC 长度的字母表示） ， 再设出球心 O， 由球的表面积求得半径， 根据球的几何性质， 利用球心距，半径，底面半径之间的关系求得
21、 AC 的长度，则三棱锥体积的最大值可求 解：如图所示， 过点 P 作 PE面 ABC，垂足为 E，过点 E 作 EDAC 交 AC 于点 D，连接 PD， 则PDE 为二面角 PACB 的平面角的补角，即有 cosPDE ， 易知 AC面 PDE，则 ACPD，而PAC 为等边三角形， D 为 AC 中点， 设 ABa，BCb，AC c， 则 PEPDsinPDE c ， 故三棱锥 PABC 的体积为：V ab ， 当且仅当 ab 时，体积最大，此时 B、D、E 共线 设三棱锥 PABC 的外接球的球心为 O，半径为 R， 由已知，4R28，得 R 过点 O 作 OFPE 于 F，则四边形
22、ODEF 为矩形， 则 ODEF ，EDOFPDcosPDE ，PE ， 在 RtPFO 中，（ ） 2 ，解得 c2 三棱锥 PABC 的体积的最大值为： 故选：D 二、填空题 13已知（x1）（ax+1）5的展开式中，x2的系数为 0，则实数 a 【分析】将原式转化为 x（ax+1）5（ax+1）5，然后利用（ax+1）5的通项研究 x2 解：原式x（ax+1）5（ax+1）5， 因为（ax+1）5（1+ax）5， 故原式 x2项为： ， 令 ，即 5a10a20， 解得 或 a0（舍） 故答案为： 14已知双曲线 （a0，b0）的左右顶点分别为 A，B，点 P 是双曲线上一 点，若PAB
23、 为等腰三角形，PAB120，则双曲线的离心率为 【分析】设 P（m，n）在第二象限，由题意可得|PA|AB|2a，求得 P 的坐标，代入双 曲线的方程，化简可得 a，b 的关系，即可得到所求离心率 解：设 P（m，n）在第二象限，由PAB 为等腰三角形，PAB120，可得|PA|AB| 2a， 可得 m2acos120a2a，n2asin60 a，即 P（2a， a）， 由 P 在双曲线上，可得 1， 即有 1，即 ab， 可得 e ， 故答案为： 15已知数列an满足 （n N*），且 a26，则an的通项公式为 2n2n 【分析】易求 a11，当 n2 时，对已知等式变形得 ，所以数列
24、从第二项开始是常数列，所以 2，从而求出 an，验证首项满足 an，进而得到an 的通项公式 解：数列an满足 （n N*）， 当 n1 时，a11， 当 n2 时， ， 数列 从第二项开始是常数列，又 2， 2， （n2）， 又 a11 满足上式， ， 故答案为：2n2n 16改革开放 40 年来，我国城市基础设施发生了巨大的变化，各种交通工具大大方便了人 们的出行需求某城市的 A 先生实行的是早九晚五的工作时间，上班通常乘坐公交或地 铁加步行已知从家到最近的公交站或地铁站都需步行 5 分钟，乘坐公交到离单位最近 的公交站所需时间 Z1（单位：分钟）服从正态分布 N（33，42），下车后步行
25、再到单位 需要 12 分钟；乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间 Z2（单位：分钟）服从正态分布 N（44，22），从地铁站步行到单位需要 5 分钟现有下列说法： 若 8：00 出门，则乘坐公交一定不会迟到； 若 8：02 出门，则乘坐公交和地铁上班迟到的可能性相同； 若 8：06 出门，则乘坐公交比地铁上班迟到的可能性大； 若 8：12 出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能性大 则以上说法中正确的序号是 参考数据：若 ZN（，2），则 P（Z+）0.6826， P（2Z+2）0.9544， P（3Z+3）0.9974 【分析】 利用正态分布对每一个说法求解器复数的概率， 逐项分析， 即可选出
26、正确答案 解：若 8：00 出门，江先生乘坐公交，从家到车站需要 5 分钟，下车后步行再到单位需 要 12 分钟， 乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间 Z1服从正态分布 N（33，42）， 故当满足 P（Z45） 江先生仍有可能迟到，只不过概率较小，故错误； 若 8：02 出门，江先生乘坐公交 从家到车站需要 5 分钟，下车后步行再到单位需要 12 分钟， 乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间 Z1服从正态分布 N（33，42）， 故当满足 P（Z41） 时，江先生乘坐公交 不会迟到； 若 8：02 出门，江先生乘坐地铁 从家到车站需要 5 分钟，下地铁后步行再到单位需要 5 分钟， 乘坐地
27、铁到离单位最近的地铁站所需时间 Z2服从正态分布 N（44，22）， 故当满足 P（Z48） 时，江先生乘坐地铁 不会迟到 此时两种上班方式江先生不迟到的概率相当，故正确； 若 8：06 出门，江先生乘坐公交 从家到车站需要 5 分钟，下车后步行再到单位需要 12 分钟， 乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间 Z1服从正态分布 N（33，42）， 故当满足 P（Z37） 0.8413 时，江先生乘坐公交 不会迟到； 若 8：06 出门，江先生乘坐地铁 从家到车站需要 5 分钟，下地铁后步行再到单位需要 5 分钟， 乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间 Z2服从正态分布 N（44，22）， 故当
28、满足 P（Z44） 0.5 时，江先生乘坐地铁不会迟到 此时两种上班方式，乘坐公交比地铁上班迟到的可能性小，故错误； 若 8：12 出门，江先生乘坐公交 从家到车站需要 5 分钟，下车后步行再到单位需要 12 分钟， 乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间 Z1服从正态分布 N（33，42）， 故当满足 P（Z31）时，江先生乘坐公交不会迟到， 而 P（Z31）P（Z29） ； 若 8：12 出门，江先生乘坐地铁 从家到车站需要 5 分钟，下地铁后步行再到单位需要 5 分钟， 乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间 Z2服从正态分布 N（44，22）， 故当满足 P（Z38） 时，江先生乘坐地铁不
29、会迟到 由 0.18570.00135， 若 8：12 出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能性大，故正确 故答案为： 三、解答题 17ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 ，且ABC 外接圆的半径为 1 （）求角 C； （）求ABC 面积的最大值 【分析】（）由已知利用正弦定理可得 sinA ，sinB ，sinC ，代入已知等式整 理可得 ，由余弦定理可得 cosC，结合范围 C （0，），可求 C 的值 （）由正弦定理可得 c，由余弦定理，基本不等式可求 ab 2 ，进而利用三 角形的面积公式可求ABC 面积的最大值 解：（）由正弦定理 ，可得 sinA ，sinB ，
30、sinC ， 又 ， ， a2b2 abb2，即 ，由余弦定理可得 cosC ， C （0，）， C （）由正弦定理 ，可得 c2sin ， 由余弦定理 2a2+b22ab 2ab ab（2 ）ab，可得 ab 2 ，当 且仅当 ab 时等号成立， 可得 SABC absinC ab ，当且仅当 ab 时等号成立，即ABC 面积的最大 值为 18 如图， 四边形 ABCD 是边长为 4 的菱形， BAD60， 对角线 AC 与 BD 相交于点 O， 四边形 ACFE 为梯形，EFAC，点 E 在平面 ABCD 上的射影为 OA 的中点，AE 与平面 ABCD 所成角为 45 （）求证：BD平面
31、 ACF； （）求平面 DEF 与平面 ABCD 所成角的正弦值 【分析】（）取 AO 中点 H，连结 EH，则 EH平面 ABCD，从而 EHBD，再由 AC BD，能证明 BD平面 ACF （） 以 H 为原点， HA 为 x 轴， 在平面 ABCD 中过 H 作 AC 的垂线为 y 轴， HE 为 z 轴， 建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面 DEF 与平面 ABCD 所成角的正弦值 解：（）证明：取 AO 中点 H，连结 EH，则 EH平面 ABCD， BD 在平面 ABCD 内，EHBD， 又菱形 ABCD 中，ACBD，且 EHACH， EH，AC 在平面 EACF 内， B
32、D平面 EACF，BD平面 ACF （）解：由（）知 EH平面 ABCD， 以 H 为原点，HA 为 x 轴，在平面 ABCD 中过 H 作 AC 的垂线为 y 轴， HE 为 z 轴，建立空间直角坐标系， EH平面 ABCD，EAH 为 AE 与平面 ABCD 所成的角，即EAH45， AB4，AO2 ，AH ，EH ， H（0，0，0），A（ ，0，0），D（ ，2，0），O（ ，0，0），E（0，0， ）， 平面 ABCD 的法向量 （0，0，1）， （2 ，0，0）， （ ， ， ），EFAC， （2 ， 0，0）， 设平面 DEF 的法向量 （x，y，z）， 则 ，取 y ，得 （0
33、， ，2）， cos ， 平面 DEF 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 19已知 F1，F2是椭圆 C： （ab0）的左、右焦点，过椭圆的上顶点的直 线 x+y1 被椭圆截得的弦的中点坐标为 ， （）求椭圆 C 的方程； （）过 F1的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，当ABF2面积最大时，求直线 l 的方程 【分析】（）利用点差法和斜率公式即可求出； （）设 A（x3，y3），B（x4，y4），联立直线与椭圆的方程可得（m2+2）y22my1 0，由三角形面积公式和基本不等式即可求出 解：（）直线 x+y1 与 y 轴的交于（0，1）点，b1， 设直线 x+y1 与椭圆 C 交于点 M（
34、x1，y1），N（x2，y2）， 则 x1+x2 ，y1+y2 ， 1， 1， 两式相减可得 （x 1x2）（x1+x2） （y 1y2）（y1+y2）0， ， 1， 解得 a23， 椭圆 C 的方程为 y 21 （）由（）可得 F1（ ，0），F2（ ，0），设 A（x3，y3），B（x4，y4）， 讲直线 l 的方程 xmy 代入 y 21，可得（m2+3）y22 my10， 则 y3+y4 ，y 3y4 ， |y3y4| ， |F1F2| |y3y4| | |y3y4| ， 当且仅当 ，即 m1，ABF2面积最大， 即直线 l 的方程为 xy 0 或 x+y 0 20 为实现 2020
35、年全面建设小康社会， 某地进行产业的升级改造 经市场调研和科学研判， 准备大规模生产某高科技产品的一个核心部件，目前只有甲、乙两种设备可以独立生产 该部件如图是从甲设备生产的部件中随机抽取 400 件，对其核心部件的尺寸 x，进行统 计整理的频率分布直方图 根据行业质量标准规定，该核心部件尺寸 x 满足：|x12|1 为一级品，1|x12|2 为二级品，|x12|2 为三级品 （）现根据频率分布直方图中的分组，用分层抽样的方法先从这 400 件样本中抽取 40 件产品，再从所抽取的 40 件产品中，抽取 2 件尺寸 x 12，15的产品，记 为这 2 件产 品中尺寸 x 14，15的产品个数，
36、求 的分布列和数学期望； （）将甲设备生产的产品成箱包装出售时，需要进行检验已知每箱有 100 件产品， 每件产品的检验费用为 50 元检验规定：若检验出三级品需更换为一级或二级品；若不 检验，让三级品进入买家，厂家需向买家每件支付 200 元补偿现从一箱产品中随机抽 检了 10 件，结果发现有 1 件三级品若将甲设备的样本频率作为总体的慨率，以厂家支 付费用作为决策依据，问是否对该箱中剩余产品进行一一检验？请说明理由； （）为加大升级力度，厂家需增购设备已知这种产品的利润如下：一级品的利润为 500 元/件；二级品的利润为 400 元/件；三级品的利润为 200 元/件乙种设备产品中一、 二
37、、三级品的概率分别是 ， ， 若将甲设备的样本频率作为总体的概率，以厂家的 利润作为决策依据应选购哪种设备？请说明理由 【分析】（I）计算各区间尺寸的产品件数，再根据超几何分布计算； （II）计算三极品的概率，分别计算两种情况下的费用得出结论； （III）分别计算两种设备生产一件产品的利润数学期望，得出结论 解： （I）抽取的 40 件产品中，产品尺寸 x 12，15的件数为：40（0.2+0.175+0.075） 118， 其中 x 14，15的产品件数为 40（0.0751）3， 的可能取值为 0，1，2， P（0） ，P（1） ，P（2） ， 的分布列为： 0 1 2 P E0 1 2
38、（II）三级品的概率为（0.1+0.075）10.175， 若对剩余产品逐一检验，则厂家需支付费用 501005000； 若对剩余产品不检验，则厂家需支付费用 5010+200900.1753650， 50003650， 故不对剩余产品进行逐一检验 （III）设甲设备生产一件产品的利润为 y1，乙设备生产一件产品的利润为 y2， 则 E（y1）500（0.3+0.2）+400（0.150+0.175）+2000.175415， E（y2）500 400 200 420 E（y1）E（y2） 应选购乙设备 21已知函数 f（x）lnx+ax+1 （）若函数 f（x）有两个零点，求 a 的取值范围
39、； （）f（x）xex恒成立，求 a 的取值范围 【分析】（）研究函数 f（x）的单调性、极值情况，根据极值的符号构造出关于 a 的 不等式求解； （）不等式恒成立，即可转化为函数的最值问题，因为原函数的单调性不好研究，所 以可分离参数 a，即问题转化为 在（0，+）上恒成立再研究函数 g （x） 的单调性，求其最小值即可 解：（）由已知得 x0， 当 a0 时，f（x）0，此时 f（x）是增函数，故不会有两个零点； 当 a0 时，由 ，得 ， 此时 ， 时， ，此时 递增 ；当 ， 时， ，此时 是减函数 所以 时，f（x）取得极大值，由 f（x）有两个零点，所以 ，解得1a 0 又 ，所以
40、 f（x）在（0， ）有唯一零点 再取 ， 则 所以 f（x）在（ ， ）有唯一实数根a 的取值范围是（1，0） （） f （x） xex恒成立， 即 xexlnx+ax+1 在 （0， +） 上恒成立， 即 在 （0， + ）上恒成立 令 g（x） ，则 令 h（x）x2ex+lnx，则 0所以 h（x）在（0，+）上递增 而 h （1） e0， h （ ） ， 故存在 ， 使得 h （x0） 0， 即 令 （x）xex，在（0，+）上，（x）（x+1）ex0，所以 （x）在（0，+） 上递增， 而在（0，x0）上，h（x）0，即 g（x）0，所以 g（x）在（0，x0）上递减；在（x0，
41、+）上，h（x）0，即 g（x）0，故 g（x）在（x0，+）上递增 所以 g（x）ming（x0） ，a1 所以 a 的取值范围是（，1 22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 ， （t 为参数），曲线 C2的 参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点x 轴正半轴为极轴建立极 坐标系 （）求曲线 C1的普通方程和曲线 C2的极坐标方程； （）射线 与曲线 C2交于 O，P 两点，射线 与曲线 C1交于 点 Q，若OPQ 的面积为 1，求|OP|的值 【分析】（）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转 换 （）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关
42、系式的恒等变换及正弦型函数的性 质的应用及三角形的面积公式的应用求出结果 解：（）曲线 C1的参数方程为 ， （t 为参数），转换为直角坐标方程为：x y+10 曲线 C2的参数方程为 （ 为参数） ， 转换为直角坐标方程为 x2+y24x0， 根据 ，转换为极坐标方程为 4cos （）由于 4cos，设点 P（4cos，），由于直线 C1的极坐标方程为 cossin+1 0 得到 Q（ ， ）， 所以 ，解得 cossin，所以 ， 所以|OP|4cos 23已知 a，b，c 为正实数 （）若 a+b+c1，证明： ； （）证明： 【分析】（）直接利用基本不等式即可得证； （）通过变形，再利用柯西不等式直接证明即可 【解答】证明： （） ，当且仅当“abc”时取等号； （） ， 当且仅当 “a bc”时取等号
