1、陕西省西安市部分学校陕西省西安市部分学校 2020 年中考模拟考试数学试卷年中考模拟考试数学试卷（三）（三） 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1的倒数是（ ） A B C D 2下列不是三棱柱展开图的是（ ） A B C D 3如图，直线 BCAE，CDAB 于点 D，若BCD40，则1 的度数是（ ） A60 B50 C40 D30 4如图，在矩形 OACB 中，A（2，0） ，B（0，1） ，若正比例函数 ykx 的图象经过点 C，则 k 值是（ ） A2 B C2 D 5下列运算中，正确的是（ ） A （x）2x3x5 B （x2y）3x6y C （a+b）2a2+b2 D
2、a6+a3a2 6如图，在ABC 中，C90，A30，AB 的垂直平分线分别交 AB、AC 于点 D、 E则以下 AE 与 CE 的数量关系正确的是（ ） AAECE BAECE CAECE DAE2CE 7 已知直线 yx+8 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A 和点 B， M 是 OB 上的一点， 若将ABM 沿 AM 折叠，点 B 恰好落在 x 轴上的点 B处，则直线 AM 的函数解析式是（ ） Ayx+8 Byx+8 Cyx+3 Dyx+3 8如图：在四边形 ABCD 中，E 是 AB 上的一点，ADE 和BCE 都是等边三角形，点 P、 Q、M、N 分别为 AB、BC、CD、DA 的
3、中点，则四边形 MNPQ 是（ ） A等腰梯形 B矩形 C菱形 D正方形 9如图，在O 中，弦 AC半径 OB，BOC48，则OAB 的度数为（ ） A24 B30 C60 D90 10若二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴有两个交点 A 和 B，顶点为 C，且 b24ac4， 则ACB 的度数为（ ） A30 B45 C60 D90 二填空题（共二填空题（共 4 小题）小题） 11比较大小： 3.2（填“” 、 “”或“” ） 12如图，正五边形 ABCDE 中，对角线 AC 与 BE 相交于点 F，则AFE 度 13如图，已知，在矩形 AOBC 中，OB4，OA3，分别以 OB、
4、OA 所在直线为 x 轴和 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F 是边 BC 上的一个动点（不与 B、C 重合） ，过 F 点的反比例函数 y（k0）的图象与 AC 边交于点 E，将CEF 沿 E 对折后，C 点恰 好落在 OB 上的点 D 处，则 k 的值为 14如图，已知平行四边形 ABCD 中，B60，AB12，BC5，P 为 AB 上任意一点 （可以与 A、 B 重合） ， 延长 PD 到 F， 使得 DFPD， 以 PF、 PC 为边作平行四边形 PCEF， 则 PE 长度的最小值 三解答题（共三解答题（共 11 小题）小题） 15计算：+82 1（ +1）0+2sin60 16
5、解分式方程：1 17如图，ABC 中，P 是线段 AB 上一点，尺规作图：在 BC 边上找一点 D，使以 P、D、 B 为顶点的三角形与ABC 相似（保留作图痕迹，不写作法） 18如图，已知四边形 AECF 是平行四边形，D，B 分别在 AF，CE 的延长线上，连接 AB， CD，且BD 求证： （1）ABECDF； （2）四边形 ABCD 是平行四边形 19为了解某种电动汽车的性能，对这种电动汽车进行了抽检，将一次充电后行驶的里程数 分为 A， B， C， D 四个等级， 其中相应等级的里程依次为 200 千米， 210 千米， 220 千米， 230 千米，获得如下不完整的统计图，根据信息
6、解答下列问题： （1）问这次被抽检的电动汽车共有几辆？并补全条形统计图： （2）求电动汽车一次充电后行驶里程数的中位数、众数： （3）一次充电后行驶里程数 220 千米以上（含 220 千米）为优质等级，若全市有这种电 动汽车 1200 辆，估计优质等级的电动汽车约为多少辆？ 20西安市的大雁塔又名“慈恩寺塔” ，是国家级文物保护单位，玄奘为保存由天竺经丝绸 之路带回长安的经卷主持修建了大雁塔，最初五层，后加盖至九层，是西安市的标志性 建筑之一，某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上 C 处垂直于地面竖立了 高度为 2 米的标杆 CD，这时地面上的点 E，标杆的顶端点 D，大雁塔的塔尖
7、点 B 正好在 同一直线上，测得 EC4 米，将标杆 CD 向后平移到点 G 处，这时地面上的点 F，标杆 的顶端点 H，大雁塔的塔尖点 B 正好在同一直线上（点 F，点 G，点 E，点 C 与塔底处 的点 A 在同一直线上） ，这时测得 FG6 米，GC53 米，请你根据以上数据，计算大雁 塔的高度 AB 21某书店为了迎接“读书节”制定了活动计划，以下是活动计划书的部分信息 （1） 陈经理查看计划数时发现： A 类图书的标价是 B 类图书标价的 1.5 倍， 若顾客用 540 元购买的图书， 能单独购买 A 类图书的数量恰好比单独购买 B 类图书的数量少 10 本， 请 求出 A、B 两类
8、图书的标价 （2）经市场调查后，陈经理发现他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销 售方案，A 类图书每本标价降低 a 元（0a5）销售，B 类图书价格不变，那么书店应 如何进货才能获得最大利润？ 读书节”活动计划书 书本类别 A 类 B 类 进价（单位：元） 18 12 备注 1用不超过 16800 元购进 A、B 两 类图书共 1000 本 2A 类图书不少于 600 本 22如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，其中 标有数字“1”的扇形的圆心角为 120转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个 扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时，
9、称为转动转盘一次（若指针指 向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部 为止） （1）转动转盘一次，求转出的数字是2 的概率； （2）转动转盘两次，用树状图或列表法求这两次分别转出的数字之积为正数的概率 23 如图， 在ABC 中， D 为 AC 上一点， 且 CDCB， 以 BC 为直径作O， 交 BD 于点 E， 连接 CE，过 D 作 DFAB 于点 F，BCD2ABD （1）求证：AB 是O 的切线； （2）若A60，DF，求O 的直径 BC 的长 24如图，抛物线 L1：yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，
10、且 A （1，0） ，OBOC3OA若抛物线 L2与抛物线 L1关于直线 x2 对称 （1）求抛物线 L1与抛物线 L2的解析式： （2） 在抛物线 L1上是否存在一点 P， 在抛物线 L2上是否存在一点 Q， 使得以 BC 为边， 且以 B、C、P、Q 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出 P、Q 两点的坐标：若 不存在，请说明理由 25问题提出： （1）如图，半圆 O 的直径 AB10，点 P 是半圆 O 上的一个动点，则PAB 的面积最 大值是 问题探究： （2）如图，在边长为 10 的正方形 ABCD 中，点 G 是 BC 边的中点，E、F 分别是 AD 和 CD 边上的点，请探究
11、并求出四边形 BEFG 的周长的最小值 问题解决： （3）如图，四边形 ABCD 中，ABAD6，BAD60，BCD120，四边形 ABCD 的周长是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1的倒数是（ ） A B C D 【分析】根据倒数的意义，乘积是 1 的两个数互为倒数求分数的倒数，把分子和分母 调换位置即可 【解答】解：的倒数是， 故选：D 2下列不是三棱柱展开图的是（ ） A B C D 【分析】根据三棱柱的两底展开是三角形，侧面展开是三个四边形，可得答案 【解答】解：A、B、D 中
12、间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三 棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图C 围成三棱柱时， 两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有故 C 不能围成三棱柱 故选：C 3如图，直线 BCAE，CDAB 于点 D，若BCD40，则1 的度数是（ ） A60 B50 C40 D30 【分析】 先在直角CBD 中可求得DBC 的度数， 然后平行线的性质可求得1 的度数 【解答】解：CDAB 于点 D，BCD40， CDB90 BCD+DBC90，即BCD+4090 DBC50 直线 BCAE， 1DBC50 故选：B 4如图，在矩形 OACB 中，A（2，0
13、） ，B（0，1） ，若正比例函数 ykx 的图象经过点 C，则 k 值是（ ） A2 B C2 D 【分析】由点 A，B 的坐标结合矩形的性质可得出点 C 的坐标，再利用一次函数图象上 点的坐标特征，即可求出 k 值，此题得解 【解答】解：四边形 OACB 为矩形，A（2，0） ，B（0，1） ， 点 C 的坐标为（2，1） 正比例函数 ykx 的图象经过点 C（2，1） ， 12k， k 故选：D 5下列运算中，正确的是（ ） A （x）2x3x5 B （x2y）3x6y C （a+b）2a2+b2 Da6+a3a2 【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方、完全平方公式及同类项的概
14、念逐 一计算可得 【解答】解：A （x）2x3x5，此选项正确； B （x2y）3x6y3，此选项错误； C （a+b）2a2+2ab+b2，此选项错误； Da6与 a3不是同类项，不能合并，此选项错误； 故选：A 6如图，在ABC 中，C90，A30，AB 的垂直平分线分别交 AB、AC 于点 D、 E则以下 AE 与 CE 的数量关系正确的是（ ） AAECE BAECE CAECE DAE2CE 【分析】首先连接 BE，由在ABC 中，C90，A30，可求得ABC 的度数， 又由 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，根据线段垂直平分线的性质，可得 AEBE，继而可求
15、得CBE 的度数，然后由含 30角的直角三角形的性质，证得 AE 2CE 【解答】解：连接 BE， DE 是 AB 的垂直平分线， AEBE， ABEA30， CBEABCABE30， 在 RtBCE 中，BE2CE， AE2CE， 故选：D 7 已知直线 yx+8 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A 和点 B， M 是 OB 上的一点， 若将ABM 沿 AM 折叠，点 B 恰好落在 x 轴上的点 B处，则直线 AM 的函数解析式是（ ） Ayx+8 Byx+8 Cyx+3 Dyx+3 【分析】 把 x 的值代入即可求出 y 的值， 即是点的坐标， 再把坐标代入就能求出解析式 【解答】解：当
16、x0 时，yx+88，即 B（0，8） ， 当 y0 时，x6，即 A（6，0） ， 所以 ABAB10，即 B（4，0） ， 设 OMx，则 BMBMBOMO8x，BOABAO1064 x2+42（8x）2 x3 M（0，3） 又 A（6，0） 直线 AM 的解析式为 yx+3 故选：C 8如图：在四边形 ABCD 中，E 是 AB 上的一点，ADE 和BCE 都是等边三角形，点 P、 Q、M、N 分别为 AB、BC、CD、DA 的中点，则四边形 MNPQ 是（ ） A等腰梯形 B矩形 C菱形 D正方形 【分析】连接四边形 ADCB 的对角线，通过全等三角形来证得 ACBD，从而根据三角 形
17、中位线定理证得四边形 NPQM 的四边相等，可得出四边形 MNPQ 是菱形 【解答】解：连接 BD、AC； ADE、ECB 是等边三角形， AEDE，ECBE，AEDBEC60； AECDEB120； AECDEB（SAS） ； ACBD； M、N 是 CD、AD 的中点， MN 是ACD 的中位线，即 MNAC； 同理可证得：NPDB，QPAC，MQBD； MNNPPQMQ， 四边形 NPQM 是菱形； 故选：C 9如图，在O 中，弦 AC半径 OB，BOC48，则OAB 的度数为（ ） A24 B30 C60 D90 【分析】 利用平行线的性质得OBABAC，再利用圆周角定理得到BACBO
18、C 24，从而得到OAB 的度数 【解答】解：ACOB， OBABAC， BACBOC4824， OBA24， OAOB， OAB24 故选：A 10若二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴有两个交点 A 和 B，顶点为 C，且 b24ac4， 则ACB 的度数为（ ） A30 B45 C60 D90 【分析】根据题目中的条件和二次函数的性质，特殊角的三角函数值，可以求得ACB 的度数，本题得以解决 【解答】 解： 设二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴有两个交点 A 和 B 的坐标分别为 （x1， 0） ， （x2，0） ， 则 x1， 该函数顶点 C 的坐标为： （，）
19、， tanCAB1， 则CAB45， 同理可得，CBA45， ACB90， 故选：D 二填空题（共二填空题（共 4 小题）小题） 11比较大小： 3.2（填“” 、 “”或“” ） 【分析】由 103.22为突破口来比较 与3.2 的大小 【解答】解：103.22， 3.2， 3.2， 故答案是： 12如图，正五边形 ABCDE 中，对角线 AC 与 BE 相交于点 F，则AFE 72 度 【分析】根据五边形的内角和公式求出EAB，根据等腰三角形的性质，三角形外角的 性质计算即可 【解答】解：五边形 ABCDE 是正五边形， EABABC， BABC， BACBCA36， 同理ABE36， A
20、FEABF+BAF36+3672 故答案为：72 13如图，已知，在矩形 AOBC 中，OB4，OA3，分别以 OB、OA 所在直线为 x 轴和 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F 是边 BC 上的一个动点（不与 B、C 重合） ，过 F 点的反比例函数 y（k0）的图象与 AC 边交于点 E，将CEF 沿 E 对折后，C 点恰 好落在 OB 上的点 D 处，则 k 的值为 【分析】证明 RtMEDRtBDF，则，而 EM：DBED：DF4：3， 求出 DB，在 RtDBF 中，利用勾股定理即可求解 【解答】解：如图，过点 E 作 EMx 轴于点 M， 将CEF 沿 EF 对折后，C 点
21、恰好落在 OB 上的 D 点处， EDFC90，ECED，CFDF， MDE+FDB90， 而 EMOB， MDE+MED90， MEDFDB， RtMEDRtBDF； 又ECACAE4，CFBCBF3， ED4，DF3， ； EM：DBED：DF4：3，而 EM3， DB， 在 RtDBF 中，DF2DB2+BF2，即（3）2（）2+（）2， 解得 k， 故答案为 14如图，已知平行四边形 ABCD 中，B60，AB12，BC5，P 为 AB 上任意一点 （可以与 A、 B 重合） ， 延长 PD 到 F， 使得 DFPD， 以 PF、 PC 为边作平行四边形 PCEF， 则 PE 长度的最
22、小值 5 【分析】当 PEDC，且垂足 G 为 DC 的中点时，PE 长度的最小，进而解答即可 【解答】解：过 C 作 CHAB 于 H，则CHB90， 在 RtCBH 中，B60，BC5， sinB，即， CH， 当 PEDC，且垂足 G 为 DC 的中点时，如图，此时 PE 的长最小， PE2PG2CH5， 当点 P 运动到点 A 时，PE 最小为， 故答案为：5 三解答题（共三解答题（共 11 小题）小题） 15计算：+82 1（ +1）0+2sin60 【分析】利用负整数指数幂、零指数幂的意义和特殊角的三角函数值进行计算 【解答】解：原式+81+2 3+41+ 6+ 16解分式方程：1
23、 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可 得到分式方程的解 【解答】解：去分母得：x22xx2+3x23x3， 移项合并得：2x1， 解得：x， 经检验 x是分式方程的解 17如图，ABC 中，P 是线段 AB 上一点，尺规作图：在 BC 边上找一点 D，使以 P、D、 B 为顶点的三角形与ABC 相似（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】过 P 作 PDAC 交 BC 于点 D，或作BPDC，即可利用相似三角形的判定 解答即可 【解答】解：如图所示： 18如图，已知四边形 AECF 是平行四边形，D，B 分别在 AF，CE 的延长线上，连接 AB， C
24、D，且BD 求证： （1）ABECDF； （2）四边形 ABCD 是平行四边形 【分析】 （1）根据平行四边形的性质得到AECAFC，AECF，AFCE，根据全 等三角形的判定定理即可得到结论； （2）由全等三角形的性质得到 ABCD，BEDF，根据平行四边形的判定定理即可得 到结论 【解答】证明： （1）四边形 AECF 是平行四边形 AECAFC，AECF，AFCE， AEC+AEB180，AFC+CFD180， AEBCFD， BD， ABECDF（AAS） ； （2）由（1）知ABECDF 可得：ABCD，BEDF， AFCE， AF+DFCE+BE， AF+DFCE+BE 即 ADB
25、C， 四边形 ABCD 是平行四边形 19为了解某种电动汽车的性能，对这种电动汽车进行了抽检，将一次充电后行驶的里程数 分为 A， B， C， D 四个等级， 其中相应等级的里程依次为 200 千米， 210 千米， 220 千米， 230 千米，获得如下不完整的统计图，根据信息解答下列问题： （1）问这次被抽检的电动汽车共有几辆？并补全条形统计图： （2）求电动汽车一次充电后行驶里程数的中位数、众数： （3）一次充电后行驶里程数 220 千米以上（含 220 千米）为优质等级，若全市有这种电 动汽车 1200 辆，估计优质等级的电动汽车约为多少辆？ 【分析】 （1）根据条形统计图和扇形图可知
26、，将一次充电后行驶的里程数分为 B 等级的 有 30 辆电动汽车，所占的百分比为 30%，用 3030%即可求出电动汽车的总量；分别计 算出 C、D 所占的百分比，即可得到 A 所占的百分比，即可求出 A 的电动汽车的辆数， 即可补全统计图； （2）根据众数和中位数的定义解答可得； （3）用优质等级所占的百分数乘以汽车总辆数，即可解答 【解答】解： （1）这次被抽检的电动汽车共有：3030%100（辆） ， C 所占的百分比为： 40100100%40%， D 所占的百分比为： 20100100%20%， A 所占的百分比为：100%40%20%30%10%， A 等级电动汽车的辆数为：100
27、10%10（辆） ， 补全统计图如图所示： （2）由条形图知，220 千米的数量最多，故众数为 220 千米； 100 辆汽车里程数的中位数为220 千米； （3）1200720（辆） ， 答：估计优质等级的电动汽车约为 720 辆 20西安市的大雁塔又名“慈恩寺塔” ，是国家级文物保护单位，玄奘为保存由天竺经丝绸 之路带回长安的经卷主持修建了大雁塔，最初五层，后加盖至九层，是西安市的标志性 建筑之一，某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上 C 处垂直于地面竖立了 高度为 2 米的标杆 CD，这时地面上的点 E，标杆的顶端点 D，大雁塔的塔尖点 B 正好在 同一直线上，测得 EC4 米
28、，将标杆 CD 向后平移到点 G 处，这时地面上的点 F，标杆 的顶端点 H，大雁塔的塔尖点 B 正好在同一直线上（点 F，点 G，点 E，点 C 与塔底处 的点 A 在同一直线上） ，这时测得 FG6 米，GC53 米，请你根据以上数据，计算大雁 塔的高度 AB 【分析】易知EDCEBA，FHGFBA，可得，因为 DC HG，推出 ，列出方程求出 CA106（米） ，由，可得，由 此即可解决问题 【解答】解：EDCEBA，FHGFBA， ， DCHG， ， ， CA106（米） ， ， ， AB55（米） ， 答：大雁塔的高度 AB 为 55 米 21某书店为了迎接“读书节”制定了活动计划，
29、以下是活动计划书的部分信息 （1） 陈经理查看计划数时发现： A 类图书的标价是 B 类图书标价的 1.5 倍， 若顾客用 540 元购买的图书， 能单独购买 A 类图书的数量恰好比单独购买 B 类图书的数量少 10 本， 请 求出 A、B 两类图书的标价 （2）经市场调查后，陈经理发现他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销 售方案，A 类图书每本标价降低 a 元（0a5）销售，B 类图书价格不变，那么书店应 如何进货才能获得最大利润？ 读书节”活动计划书 书本类别 A 类 B 类 进价（单位：元） 18 12 备注 1用不超过 16800 元购进 A、B 两类图书 共 1000 本
30、 2A 类图书不少于 600 本 【分析】 （1）先设 B 类图书的标价为 x 元，则由题意可知 A 类图书的标价为 1.5x 元，然 后根据题意列出方程，求解即可 （2）先设购进 A 类图书 t 本，总利润为 w 元，则购进 B 类图书为（1000t）本，根据 题目中所给的信息列出不等式组， 求出 t 的取值范围， 然后根据总利润 w总售价总成 本，求出最佳的进货方案 【解答】解： （1）设 B 类图书的标价为 x 元，则 A 类图书的标价为 1.5x 元， 根据题意可得 10， 化简得：54010x360， 解得：x18， 经检验：x18 是原分式方程的解，且符合题意， 则 A 类图书的标
31、价为：1.5x1.51827（元） ， 答：A 类图书的标价为 27 元，B 类图书的标价为 18 元； （2）设购进 A 类图书 t 本，总利润为 w 元，A 类图书的标价为（27a）元（0a5） ， 由题意得， 解得：600t800， 则总利润 w（27a18）t+（1812） （1000t） （9a）t+6（1000t） 6000+（3a）t， 故当 0a3 时，3a0，t800 时，总利润最大，且大于 6000 元； 当 a3 时，3a0，无论 t 值如何变化，总利润均为 6000 元； 当 3a5 时，3a0，t600 时，总利润最大，且小于 6000 元； 答：当 A 类图书每本降
32、价少于 3 元时，A 类图书购进 800 本，B 类图书购进 200 本时， 利润最大；当 A 类图书每本降价大于等于 3 元，小于 5 元时，A 类图书购进 600 本，B 类图书购进 400 本时，利润最大 22如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，其中 标有数字“1”的扇形的圆心角为 120转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个 扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时，称为转动转盘一次（若指针指 向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部 为止） （1）转动转盘一次，求转出的数字是2 的概率； （2）转动转盘
33、两次，用树状图或列表法求这两次分别转出的数字之积为正数的概率 【分析】 （1）将标有数字 1 和 3 的扇形两等分可知转动转盘一次共有 6 种等可能结果， 其中转出的数字是2 的有 2 种结果，根据概率公式计算可得； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到乘积为正数的结果数，再利用概率公式求解可 得 【解答】解： （1）将标有数字 1 和 3 的扇形两等分可知转动转盘一次共有 6 种等可能结 果，其中转出的数字是2 的有 2 种结果， 所以转出的数字是2 的概率为； （2）列表如下： 2 2 1 1 3 3 2 4 4 2 2 6 6 2 4 4 2 2 6 6 1 2 2 1 1 3 3 1
34、 2 2 1 1 3 3 3 6 6 3 3 9 9 3 6 6 3 3 9 9 由表可知共有 36 种等可能结果，其中数字之积为正数的有 20 种结果， 所以这两次分别转出的数字之积为正数的概率为 23 如图， 在ABC 中， D 为 AC 上一点， 且 CDCB， 以 BC 为直径作O， 交 BD 于点 E， 连接 CE，过 D 作 DFAB 于点 F，BCD2ABD （1）求证：AB 是O 的切线； （2）若A60，DF，求O 的直径 BC 的长 【分析】 （1）由 CDCB，BCD2ABD，可证得BCEABD，继而求得ABC 90，则可证得 AB 是O 的切线； （2）由A60，DF，
35、可求得 AF、BF 的长，易证得ADFACB，然后由相 似三角形的对应边成比例，求得答案 【解答】 （1）证明：CDCB， CBDCDB， BC 是O 的直径， CEB90， CBD+BCECDB+DCE， BCEDCE， 即BCD2BCE， BCD2ABD， ABDBCE， CBD+ABDCBD+BCE90， CBAB， CB 为直径， AB 是O 的切线； （2）解：A60，DF， 在 RtAFD 中，AF1，AD2 DFAB，CBAB， DFBC， ADFACB， AA， ADFACB， ， 设 BCx，则，解得 x4+6 BC4+6 24如图，抛物线 L1：yax2+bx+c（a0）与
36、 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，且 A （1，0） ，OBOC3OA若抛物线 L2与抛物线 L1关于直线 x2 对称 （1）求抛物线 L1与抛物线 L2的解析式： （2） 在抛物线 L1上是否存在一点 P， 在抛物线 L2上是否存在一点 Q， 使得以 BC 为边， 且以 B、C、P、Q 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出 P、Q 两点的坐标：若 不存在，请说明理由 【分析】 （1）用待定系数法求抛物线 L1的解析式并配方成顶点式，得到抛物线 L1的顶 点坐标 D；由抛物线 L2与抛物线 L1关于直线 x2 对称可得两抛物线开口方向、大小相 同，且两顶点关于直线 x2
37、对称，因此求得抛物线 L2的顶点 D，进而得到抛物线 L2的 顶点式 （2）由于 BC 为边，以 B、C、P、Q 为顶点的四边形为平行四边形，所以有两种情况： BQPC， BQPC； BPCQ， BPCQ 因为可把点 B、 C 之间看作是向左 （或右） 平移 3 个单位，再向上（或下）平移 3 个单位得到，所以点 P、Q 之间也有相应的平移 关系，故可由点 P 坐标（t，t2+2t+3）的 t 表示点 Q 坐标，再把点 Q 坐标代入抛物线 L2解方程即求得 t 的值，进而求得点 P、Q 坐标 【解答】解： （1）A（1，0） OBOC3OA3 B（3，0） ，C（0，3） 抛物线 L1：yax
38、2+bx+c 经过点 A、B、C 解得： 抛物线 L1的解析式为 yx2+2x+3（x1）2+4 抛物线 L1的顶点 D（1，4） 抛物线 L2与抛物线 L1关于直线 x2 对称 两抛物线开口方向、大小相同，抛物线 L2的顶点 D与点 D 关于直线 x2 对称 D（3，4） 抛物线 L2的解析式为 y（x3）2+4 （2）存在满足条件的 P、Q，使得以 BC 为边且以 B、C、P、Q 为顶点的四边形为平行 四边形 设抛物线 L1上的 P（t，t2+2t+3） 若四边形 BCPQ 为平行四边形，如图 1， BQPC，BQPC BQ 可看作是 CP 向右平移 3 个单位，再向下平移 3 个单位得到
39、的 Q（t+3，t2+2t） 点 Q 在抛物线 L2上 t2+2t（t+33）2+4 解得：t2 P（2，3） ，Q（5，0） 若四边形 BCQP 为平行四边形，如图 2， BPCQ，BPCQ CQ 可看作是 BP 向左平移 3 个单位，再向上平移 3 个单位得到的 Q（t3，t2+2t+6） t2+2t+6（t33）2+4 解得：t P（，） ，Q（，） 综上所述，存在 P（2，3） ，Q（5，0）或 P（，） ，Q（，） ，使得以 BC 为边且以 B、C、P、Q 为顶点的四边形为平行四边形 25问题提出： （1）如图，半圆 O 的直径 AB10，点 P 是半圆 O 上的一个动点，则PAB
40、的面积最 大值是 25 问题探究： （2）如图，在边长为 10 的正方形 ABCD 中，点 G 是 BC 边的中点，E、F 分别是 AD 和 CD 边上的点，请探究并求出四边形 BEFG 的周长的最小值 问题解决： （3）如图，四边形 ABCD 中，ABAD6，BAD60，BCD120，四边形 ABCD 的周长是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由 【分析】 （1） 如图 1， 点 P 运动至半圆 O 的中点时， 底边 AB 上的高最大， 即 POr5， 求出此时PAB 的面积即可； （2） 如图 2， 作点 G 关于CD 的对称点G， 作点 B关于 AD 的对称点B， 连
41、接BG， BE，FG，根据两点之间线段最短即可解决问题； （3）如图 3，连接 AC、BD，在 AC 上取一点，使得 DMDC首先证明 ACCD+CB， 再证明当 AC 为ABC 的外接圆的直径时，四边形 ABCD 的周长最大 【解答】解： （1）如图 1，点 P 运动至半圆 O 的中点时，底边 AB 上的高最大，即 PO r5， 此时PAB 的面积最大值， SPAB10525， 故答案为：25； （2） 如图 2， 作点 G 关于CD 的对称点G， 作点 B关于 AD 的对称点B， 连接BG， BE，FG， EBEB，FGFG， BE+EF+FG+BGBE+EF+FG+BG， EB+EF+F
42、GBG， 四边形 BEFG 的周长的最小值BG+BG， BGBC5，BB20，BG15， BG25， 四边形 BEFG 的周长的最小值为 30 （3）如图 3，连接 AC、BD，在 AC 上取一点，使得 DMDC DAB60，DCB120， DAB+DCB180， A、B、C、D 四点共圆， ADAB，DAB60， ADB 是等边三角形， ABDADB60， ACDADB60 DMDC， DMC 是等边三角形， ADBMDC60，CMDC， ADMBDC， ADBD， ADMBDC（SAS） ， AMBC， ACAM+MCBC+CD， 四边形 ABCD 的周长AD+AB+CD+BCAD+AB+AC， ADAB6， 当 AC 最大时，四边形 ABCD 的周长最大， 当 AC 为ABC 的外接圆的直径时，四边形 ABCD 的周长最大， ， AC 的最大值4， 四边形 ABCD 的周长最大值为 12+4
