1、2020 年吉林省通钢一中、集安一中、梅河口五中等省示范高中年吉林省通钢一中、集安一中、梅河口五中等省示范高中 高考数学模拟试卷（理科） （高考数学模拟试卷（理科） （5 月份）月份） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）若 z2+i，则（ ） Ai Bi Ci D+i 2 （5 分）已知集合 Ax|lg（x2x1）0，Bx|0x3，则 AB（ ） Ax|0x1 Bx|x1x|x0 Cx|2x3 Dx|0x1x|
2、2x3 3（5 分） 设非零向量 ， 满足| |3| |， cos ， ， （ ） 16， 则| | （ ） A B C2 D 4 （5 分）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为 DD1的中点，几何体 ABCDEC1的侧 视图与俯视图如图所示，则该几何体的正视图为（ ） A B C D 5 （5 分）设双曲线的离心率分别为 e1，e2，e3，则 （ ） Ae3e2e1 Be3e1e2 Ce1e2e3 De2e1e3 6 （5 分）若 log2x+log4y1，则 x2+y 的最小值为（ ） A2 B2 C4 D2 7 （5 分） 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一
3、个“引葭赴岸”问 题： “今有池方一丈，葭生其中央出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐问水深、葭长各几 何？”其意思为“今有水池 1 丈见方（即 CD10 尺） ，芦苇生长在水的中央，长出水面 的部分为 1 尺将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示） 试问水深、芦苇的长 度各是多少？假设 BAC，现有下述四个结论： 水深为 12 尺；芦苇长为 15 尺； 其中所有正确结论的编号是（ ） A B C D 8 （5 分）在外国人学唱中文歌曲的大赛中，有白皮肤选手 6 人，黑皮肤选手 6 人，黄皮肤 选手 8 人，一等奖规定至少 2 个至多 3 个名额，且要求一等奖获奖选手不能全是同种肤 色，则一等奖人
4、选的所有可能的种数为（ ） A420 B766 C1080 D1176 9 （5 分）已知函数 f（x）sin2x+sin（2x+） ，则（ ） Af（x）的最小正周期为 B曲线 yf（x）关于（，0）对称 Cf（x）的最大值为 2 D曲线 yf（x）关于 x对称 10 （5 分）函数 f（x）|lgx2|+x22|x|的零点的个数为（ ） A2 B3 C4 D6 11 （5 分）在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为棱 A1B1上一点，且 AB2，若二面角 B1 BC1E 为 45，则四面体 BB1C1E 的外接球的表面积为（ ） A B12 C9 D10 12 （5 分）若曲线 yx
5、ex+（x1）存在两条垂直于 y 轴的切线，则 m 的取值范围为 （ ） A （，0） B，0） C （，+） D （1，） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡的相应位置分把答案填在答题卡的相应位置 13 （5 分）若 x，y 满足约束条件，则 zx3y 的最大值为 14 （5 分）某工厂共有 50 位工人组装某种零件如图的散点图反映了工人们组装每个零件 所用的工时（单位：分钟）与人数的分布情况由散点图可得，这 50 位工人组装每个零 件所用工时的中位数为 若将 500 个要组装的零件平均分给每个工人，让他们同 时
6、开始组装，则至少要过 分钟后，所有工人都完成组装任务 15（5 分） 设 a， b， c 分别为ABC 内角 A， B， C 的对边 已知， 且 （sin2A+4sin2B） c8（sin2B+sin2Csin2A） ，则 a 16 （5 分）设 A（2，0） ，B（2，0） ，若直线 yax（a0）上存在一点 P 满足|PA|+|PB| 6，且PAB 的内心到 x 轴的距离为，则 a 三、 解答题： 本大题共三、 解答题： 本大题共 5 小题， 共小题， 共 70 分 解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演步骤分 解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演步骤 17 21 题为必考题， 每个
7、试题考生都必须作答 第题为必考题， 每个试题考生都必须作答 第 22， 23 题为选考题， 考生根据要求作答（一）题为选考题， 考生根据要求作答（一） 必考题：共必考题：共 60 分分 17 （12 分）设等差数列anbn的公差为 2，等比数列an+bn的公比为 2，且 a12，b1 1 （1）求数列an的通项公式； （2）求数列2an+2n的前 n 项和 Sn 18 （12 分）如图，四棱锥 EABCD 的侧棱 DE 与四棱锥 FABCD 的侧棱 BF 都与底面 ABCD 垂直，ADCD，ABCD，AB3，ADCD4，AE5， （1）证明：DF平面 BCE （2）求平面 ABF 平面 CDF
8、 所成的锐二面角的余弦值 19 （12 分）某厂加工的零件按箱出厂，每箱有 10 个零件，在出厂之前需要对每箱的零件 作检验，人工检验方法如下：先从每箱的零件中随机抽取 4 个零件，若抽取的零件都是 正品或都是次品，则停止检验；若抽取的零件至少有 1 个至多有 3 个次品，则对剩下的 6 个零件逐一检验 已知每个零件检验合格的概率为 0.8， 每个零件是否检验合格相互独立， 且每个零件的人工检验费为 2 元 （1）设 1 箱零件人工检验总费用为 X 元，求 X 的分布列； （2）除了人工检验方法外还有机器检验方法，机器检验需要对每箱的每个零件作检验， 每个零件的检验费为1.6元现有1000箱零
9、件需要检验， 以检验总费用的数学期望为依据， 在人工检验与机器检验中，应该选择哪一个？说明你的理由 20 （12 分）已知函数 f（x）x3+ax （1）讨论 f（x）在（a，+）上的单调性； （2）若 a3，求不等式 f（2x24x+3）x6+6x4+12x2+8+a（x2+2）的解集 21 （12 分）已知抛物线 C：x22py（p0）的焦点为 F，直线 l 与抛物线 C 交于 P，Q 两 点 （1）若 l 过点 F，抛物线 C 在点 P 处的切线与在点 Q 处的切线交于点 G证明：点 G 在定直线上 （2）若 p2，点 M 在曲线 y上，MP，MQ 的中点均在抛物线 C 上，求MPQ 面
10、积的取值范围 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做两题中任选一题作答，如果多做，则按所做 的第一题计分的第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ， 以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 C 的极坐标方程； （2）若点 P 的极坐标为（1，） ，过 P 的直线与曲线 C 交于 A，B 两点，求+ 的最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数 f（
11、x）|3x2|kx （1）若 k1，求不等式 f（x）3|x1|的解集； （2）设函数 f（x）的图象与 x 轴围成的封闭区域为 ，证明：当 2k3 时， 的面积 大于 2020 年吉林省通钢一中、集安一中、梅河口五中等省示范高中年吉林省通钢一中、集安一中、梅河口五中等省示范高中 高考数学模拟试卷（理科） （高考数学模拟试卷（理科） （5 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的
12、1 【分析】把 z2+i 代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：z2+i， 故选：A 2 【分析】求出集合 A，B，由此能求出 AB 【解答】解：lg（x2x1）0，x2x11，化为（x2） （x+1）0， 解得：x1 或 x2 集合 Ax|lg（x2x1）0x|x1 或 x2， Bx|0x3， ABx|2x3 故选：C 3 【分析】由于 （ ），再利用平面向量数量积进行运算求解即可 【解答】解：| |3| |，cos ， ， （ ）， 故选：A 4 【分析】直接利用三视图的应用求出结果 【解答】解：根据几何体 ABCC1DE 的侧视图和俯视图，所以正视图为直角梯形， 即点
13、A 的射影落在 D 点，点 B 的射影落在 C 点，线段 BE 的射影落在 EC 的位置 故选：A 5 【分析】利用双曲线的离心率公式，求出 3 个双曲线的离心率，然后判断大小即可 【解答】解：因为双曲线的离心率为，e1 e2， e3， 所以 e2e1e3 故选：D 6 【分析】由对数的运算法则可求 x2y4（x0，y0） ，再用均值不等式可求 x2+y 的最小 值 【解答】解：因为 log2x+log4ylog4x2+log4ylog（x2y）1， x2y4（x0，y0） ， 则 x2+y24，当且仅当 x2y2 时等号成立，则 x2+y 的最小值为 4 故选：C 7 【分析】如图，设 BC
14、x，则 ACx+1，解三角形 ABC，再利用二倍角的正切公式以及 两角和的正切公式，得出结论 【解答】解：设 BCx，则 ACx+1，AB5，52+x2（x+1）2，x12， 即水深为 12 尺，故芦苇长为 13 尺 ，由，解得（负根舍去） ， 故正确结论的偏号为， 故选：B 8 【分析】根据题意，按一等奖的名额数目分 2 种情况讨论，求出每种情况中可能的数目， 由加法原理计算可得答案 【解答】解：根据题意，分 2 种情况讨论： ，一等奖有 2 个名额，有 C61C61+C61C81+C61C81132 种可能， ，一等奖有 3 个名额，有 C203C83C63C631044 种可能； 则共有
15、 132+10441176 种可能； 故选：D 9 【分析】由题意利用两角和差的三角公式化简函数的解析式，再利用三角函数的周期性、 最值，以及图象的对称性，得出结论 【解答】 解： 函数 f （x） sin2x+sin （2x+） sin2x+sin2x+cos2x （sin2x+ cos2x）sin（2x+） ， 它的最小正周期为，最大值为，故排除 A、C； 令 x，求得 f（x），故曲线 yf（x）不关于（，0）对称； 令 x，求得 f（x），故曲线 yf（x）关于直线 x对称，故 D 正确， 故选：D 10 【分析】条件转化为函数 y|lgx2|与函数 y2|x|x2图象交点个数，作出函
16、数图象，数 形结合即可 【解答】解：条件等价于函数 y|lgx2|与函数 y2|x|x2图象交点个数， 作出函数图象如下： 由图可知，共有 4 个交点， 故选：C 11 【分析】连接 B1C1交 BC1于 O，可得 B1OBC1，利用线面垂直的判定定理可得：BC1 平面 B1OE，于是 BC1EO，可得而B1OE 为二面角 B1BC1E 的平面角，进而利 用球的表面积计算公式得出结论 【解答】解：连接 B1C1交 BC1于 O，则 B1OBC1， 易知 A1B1BC1，则 BC1平面 B1OE， 所以 BC1EO， 从而B1OE 为二面角 B1BC1E 的平面角， 则B1OE45 因为 AB2
17、，所以， 故四面体 BB1C1E 的外接球的表面积为 故选：D 12 【分析】先求出 yxex+（x1）的导数，令 y0，得到 m（x+1）3ex，然后 将问题转化为 m（x+1）3ex在（，1）上有两个不同的解，再构造函数 f（x） （x+1）3ex（x1）求出 f（x）的取值范围即可 【解答】解：由 yxex+（x1） ，得， 令 y0，则 m（x+1）3ex， 曲线 yxex+（x1）存在两条垂直于 y 轴的切线， m（x+1）3ex在（，1）上有两个不同的解 令 f（x）（x+1）3ex（x1） ，则 f（x）（x+1）2ex（x+4） ， 当 x4 时，f（x）0；当4x1 时，f（
18、x）0， f（x）在（，4）上单调递减，在（4，1）上单调递增， ， 又当 x1 时，f（x）0， 故选：A 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡的相应位置分把答案填在答题卡的相应位置 13 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可 【解答】解：由 zx3y 得 yx， 作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分） ： 平移直线 yx， 由图象可知当直线 yx经过点 A 时，直线 yx的截距最小， 此时 z 最大， 由，解得 A（，） 代入目标函数 zx3y， 得 z0， 故答案为：0
19、 14 【分析】根据散点图得出加工 1 个零件所用工时对应的人数，求出中位数和完成零件时 的最多用时即可 【解答】解：根据散点图填写下表， 人数 3 5 6 12 16 8 工时 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 所以这 50 人所用工时中位数是 3.3； 500 个零件平均分给 50 人，每人 10 个，最多用时为 3.51035（分钟） ； 所以都完成时至少用时 35 分钟 故答案为：3.3，35 15 【分析】由已知结合正弦定理及余弦定理进行化简即可求解 【解答】解：因为（sin2A+4sin2B）c8（sin2B+sin2Csin2A） ， 所以（a2+4b2）c8（b2
20、+c2a2） ，又 b1， 所以（a2+4b2）bc8（b2+c2a2） ， 所以， 则，解得 a2 故答案为：2 16 【分析】根据条件得到 P 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆，求出椭圆的方程，联立方程 组求出 P 的坐标，结合三角形的内切圆以及三角形的面积，转化求解即可 【解答】解：A（2，0） ，B（2，0） ，P 满足|PA|+|PB|6|AB|， P 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆，椭圆方程为， 若直线直线 yax （a0） 与椭圆方程为联立， 可得， y2 PAB 的内心到 x 轴的距离为，所以三角形的内切圆的半径为：r， 三角形的面积为：，可得|y|，y2 ，解得 a3，因为
21、 a0，所以 a 故答案为： 三、 解答题： 本大题共三、 解答题： 本大题共 5 小题， 共小题， 共 70 分 解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演步骤分 解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演步骤 17 21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答 第题为必考题， 每个试题考生都必须作答 第 22， 23 题为选考题， 考生根据要求作答（一）题为选考题， 考生根据要求作答（一） 必考题：共必考题：共 60 分分 17 【分析】 （1）a1b11，a1+b13，可得 anbn2n1， an+bn32n 1 联立解得 a n （2）2an+2n2n1+52n 1利用等差数列与等比数列的求
22、和公式即可得出 【解答】解： （1）a1b11，a1+b13， anbn1+2（n1）2n1，an+bn32n 1 联立解得 an（2n1）+32n 2 （2）2an+2n2n1+32n 1+2n2n1+52n1 数列2an+2n的前 n 项和 Sn+5n2+52n5 18 【分析】 （1）证明 DEAD求出 DE3然后证明 BFDE推出 DFBE即可证 明 DF平面 BCE （2）以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，求出平面 CDF 的法向量，平 面 ABF 的一个法向量，利用空间向量的数量积求解所求锐二面角的余弦值 【解答】 （1）证明：DE平面 ABCD，DEAD AD
23、4，AE5，DE3 同理可得 BF3 又 DE平面 ABCD，BF平面 ABCD， BFDE BFDE，四边形 BEDF 为平行四边形，DFBE BE平面 BCE，DF平面 BCE，DF平面 BCE （2）解：以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz， 则 D（0，0，0） ，A（4，0，0） ，C（0，4，0） ，F（4，3，3） ， 则， 设平面 CDF 的法向量为， 则，即， 令 x3，则 z4，得 易知平面 ABF 的一个法向量为， ， 故所求锐二面角的余弦值为 19 【分析】 （1）X 的可能取值为 8，20，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列 （2）求出 EX
24、15.0656，从而 1000 箱零件的人工检验总费用的数学期望为 1000EX 15065.6元 再由1000箱零件的机器检验总费用的数学期望为1.610100016000元， 得到应该选择人工检验 【解答】解： （1）X 的可能取值为 8，20，P（X8）0.84+0.240.4112，P（X20） 10.41120.5888， 则 X 的分布列为 X 8 20 P 0.4112 0.5888 （2）由（1）知，EX80.4112+200.588815.0656， 所以 1000 箱零件的人工检验总费用的数学期望为 1000EX15065.6 元 因为 1000 箱零件的机器检验总费用的数
25、学期望为 1.610100016000 元， 且 1600015065.6， 所以应该选择人工检验 20 【分析】 （1）先求导 f（x）3x2+a，分当 a0 时，a0 时，两种情况讨论，而当 a 0 内再分类讨论，得到单调递性， （2）当 a3，f（x）3x2+a3x23，可得 f（x）在1，+）上单调递增原不 等式等价为 f（2x24x+3）f（x2+2） ，因为 2x24x+31，x2+21，所以 2x24x+3 x2+2，可解不等式，进而得出答案 【解答】解： （1）f（x）3x2+a， 当 a0 时，f（x）0，则 f（x）在（a，+）上单调递增， 当 a0 时，f（x）0，得 x
26、 当 a时，a， 令 f（x）0，得 axa， 令 f（x）0，得 xa， 所以 f（x）的单调递减区间为（a，a） ，单调递增区间为（a，+） 当 a时，a， 令 f（x）0，得x， 令 f（x）0，得 ax或 x， 所以 f （x） 的单调递减区间为 （，） ， 单调递增区间为 （a， ） ，（， +） 当a0 时，a， 令 f（x）0，得 ax或 x 令 f（x）0，得，x， 所以 f（x）的单调递减区间为（a，） ， 单调递增区间为（，+） （2）因为 a3，所以 f（x）3x2+a3x23， 当 x1 时，f（x）0，所以 f（x）在1，+）上单调递增 因为 x6+6x4+12x2+
27、8+a（x2+2）（x2+2）3+a（x2+2）f（x2+2） ， 所以原不等式等价为 f（2x24x+3）f（x2+2） ， 因为 2x24x+32（x1）2+11，x2+21， 所以 2x24x+3x2+2， 解得 2x2+， 故所求不等式的解集为（2，2+） 21 【分析】 （1）设，根据条件分别求出直线 PG 的方程，QG 的方程，联立可得故点 G 在定直线上 （2） 设 M （x0， y0） ， 表示出MPQ 的面积 结 合 M 在曲线 y上，即可求出面积的取值范围 【解答】 （1）证明：易知，设， 由题意可知直线 l 的斜率存在，故设其方程为 由，得 x22pkxp20，所以 由
28、x22py，得，则， 直线 PG 的方程为，即， 同理可得直线 QG 的方程为， 联立，可得 因为 x1x2，所以，故点 G 在定直线上 （2 ）解： 设 M（ x0，y0） ， MP， MQ 的中点分别为， 因为 MP，MQ 得中点均在抛物线 C 上，所以 x1，x2为方程的 解， 即方程的两个不同的实根， 则 x1+x22x0， 即， 所以PQ的中点N的横坐标为x0，则 ， ， 所以MPQ 的面积 由，得， 所以， 因为1y00，所以， 所以MPQ 面积的取值范围为 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做两题中任
29、选一题作答，如果多做，则按所做 的第一题计分的第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 【分析】 （1） 直接利用转换关系， 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2） 利用一元二次方程根和系数的关系式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型 函数的性质的应用求出结果 【解答】解： （1）曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ，转换为直角坐标 方程为（x2）2+（y+1）25，转换为极坐标方程为 24cos2sin （2）点 P 的极坐标为（1，） ，转换为直角坐标方程为（1，0） ， 所以经过点 P 的直线得参数方程为（t 为参数）代入圆的直角坐标方程
30、（x2）2+（y+1）25，得 t2+（2sin6cos）t+50， 所以：t1+t22sin+6cos，t1t25， 所以+ 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23 【分析】 （1）由题意可得|3x2|3|x1|x，运用绝对值的概念，由零点分区间法，去 绝对值符号，解不等式，求并集，可得所求解集； （2）可令 f（x）0，求得零点，画出当 2k3 时，yf（x）的图象与 x 轴围成的三 角形区域 ，运用三角形的面积公式和不等式的性质，即可得证 【解答】解： （1）若 k1，不等式 f（x）3|x1|，即为|3x2|3|x1|x， 等价为或或， 解得 x1 或x1 或1x， 则原不等式的解集为1，+） ； （2）证明：f（x）|3x2|kx， 当 x时，f（x）0，解得 x； 当 x时，f（x）0，解得 x 当 2k3 时，作出 yf（x）的图象与 x 轴围成的三角形区域 ， 可得 B（，0） ，A（，0） ，C（，k） ， 可得面积为k （）， 由 2k3，可得 4k29，1（0，） ， 则 所以当 2k3 时， 的面积大于
