1、2020 年浙江省宁波市中考数学全景模拟试卷（一）年浙江省宁波市中考数学全景模拟试卷（一） 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1下列各数，最小的数是（ ） A2020 B0 C D1 2下列运算正确的是（ ） Aa10a2a5 Ba2+a2a4 C （a+b）2a2+b2 D （a2）3a6 3 “中国天眼”500 米口径球面射电望远镜的反射总面积约 25 万平方米，是世界射电望远 镜之最，其中 25 万用科学记数法表示为（ ） A25105 B0.25106 C2.5105 D2.5106 4在防治新型冠状病毒的例行体温检查中，检查人员将高出 37的部分记作正数，小亮在 一周内的
2、体温测量结果分别为+0.1，0.3，0.5，+0.1，+0.2，0.6，0.4，那么他一 周内所测量体温的平均值为（ ） A37.1 B37.2 C36.9 D36.8 5若正 n 边形的一个内角为 135，那么 n 的值为（ ） A12 B10 C8 D7 6若 b0，则二次函数 yx2+bx1 的图象的顶点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 7正比例函数图象经过不同象限的两点 A（m，1） ，B（5，n） ，则下列判断正确的是 （ ） Am0，n0 Bm0，n0 Cm0，n0 Dm0，n0 8如图，将扇形 OAB 沿弦 BC 向下折叠，AOB150，OA2，则图中阴影
3、部分的周长 为（ ） A+4 B+4 C+2 D+2 9 如图， 在平面直角坐标系中， O 为坐标原点， 点 A 在第一象限， 点 B 在 x 轴的正半轴上， 点 G 为OAB 的重心，连接 BG 并延长，交 OA 于点 C，反比例函数 y（k0）的图 象经过 C，G 两点若AOB 的面积为 6，则 k 的值为（ ） A B C D3 10如图，已知大矩形 ABCD 由四个小矩形组成，其中 AECG，则只需要知道 其中一个小矩形的面积就可以求出图中阴影部分的面积，这个小矩形是（ ） A B C D 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 11若二次根式有意义，则 x 的取值范围是 12分解
4、因式：2m24m+2 13命题“对角线相等”的逆命题是 14如图，ABC 为正三角形，BD 是角平分线，点 F 在线段 BD 上移动，直线 CF 与 AB 交于点 E，连结 AF，当 AEAF 时，BCE 度 15已知二次函数 yax2+bx6（a0）的图象与 x 轴的交点 A 坐标为（n，0） ，顶点 D 的 坐标为（m，t） ，若 m+n0，则 t 16如图，在平面直角坐标系中，以点 A（0，2）为圆心，2 为半径的圆交 y 轴于点 B已 知点 C（2，0） ，点 D 为A 上的一动点，以 CD 为斜边，在 CD 左侧作等腰直角三角形 CDE，连结 BC，则BCE 面积的最小值为 三解答题
5、（共三解答题（共 8 小题）小题） 17计算： （1） （） 1（ 1.41）0+|2+tan45| （2）解方程： 18如图，为 44 的正方形网格图，ABC 的顶点都在网格格点上（每个小正方形的顶点 称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形） （1）在图 1，图 2，图 3 中分别画一个与ABC 有一公共边且与ABC 成轴对称的三角 形 （2）在图 4 中画出一个满足要求的格点DEF，要求：DEF 与ABC 相似，且相似 比的值为无理数 （画出一种即可） 19为了防范新冠肺炎疫情，某校在网络平台开展防疫宣传，并出了 6 道选择题，对甲、乙 两个班级学生（各有 40 名学生）的答题情况
6、进行统计分析，得到统计表如下： 答对的题数 0 1 2 3 4 5 6 甲班 0 2 3 4 17 12 2 乙班 0 1 5 3 15 14 2 请根据以上信息，解答下列问题： （1）甲班学生答对的题数的众数为 ； （2）若答对的题数大于或等于 5 道的为优秀，则乙班该次考试的优秀率为 ； （3）从甲、乙两班答题全对的学生中随机抽取 2 人做学习防疫知识心得交流，通过画树 状图或列表法，求抽到的 2 人来自同一个班级的概率 20如图，一次函数 y1kx+b 的图象分别交 x 轴，y 轴于 A，B 两点，交反比例函数 y2 的图象于 C，D 两点，B（0，3） ，D（2，1） （1）求一次函数
7、与反比例函数的表达式； （2）请直接写出当 y2y1时，x 的取值范围； （3）点 E 为反比例函数 y2的图象上一点，横坐标为 m，若将点 E 向右平移 2 个单位 后刚好落在一次函数 y1kx+b 的图象上，求 m 的值 21如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 D，过点 D 作 DEAC 于点 E （1）求证：DE 为O 的切线； （2）若 AB4，ABC30，求阴影部分的面积 22小明投资销售一种进价为每件 20 元的护眼台灯经过市场调研发现，每月销售的数量 y（件）是售价 x（元/件）的一次函数，其对应关系如表： x/（元/件） 22 25 30 35
8、y/件 280 250 200 150 在销售过程中销售单价不低于成本价，物价局规定每件商品的利润不得高于成本价的 60%， （1）请求出 y 关于 x 的函数关系式 （2）设小明每月获得利润为 w（元） ，求每月获得利润 w（元）与售价 x（元/件）之间 的函数关系式，并确定自变量 x 的取值范围 （3）当售价定为多少元/件时，每月可获得最大利润，最大利润是多少？ 23定义：如果将ABC 与DEF 各分割成两个三角形，且ABC 所分的两个三角形与 DEF 所分的两个三角形分别对应相似，那么称ABC 与DEF 互为“近似三角形” ，将 每条分割线称为“近似分割线” （1）如图 1，在 RtAB
9、C 和 RtDEF 中，CF90，A30，D40， 请判断这两个三角形是否互为“近似三角形”？如果是，请直接在图 1 中画出一组分割 线，并注明分割后所得两个小三角形锐角的度数；若不是，请说明理由 （2）判断下列命题是真命题还是假命题，若是真命题，请在括号内打“” ；若是假命 题，请在括号内打“” 任意两个直角三角形都是互为“近似三角形” ； 两个“近似三角形”只有唯一的“近似分割线” ； 如果两个三角形中有一个角相等， 那么这两个三角形一定是互为 “近似三角形” （3）如图 2，已知ABC 与DEF 中，AD15，B45，E60，且 BCEF+，判断这两个三角形是否互为“近似三角形”？如果是
10、，请在图 2 中 画出不同位置的“近似分割线” ，并直接分别写出“近似分割线”的和；如果不是，请说 明理由 24如图，在锐角等腰三角形 ABC 中，ABAC，点 O 为ABC 外接圆的圆心，连结 OC， 过点 B 作 AC 的垂线，交O 于点 D，交 OC 于点 E，交 AC 于点 F，连结 AD 和 CD （1）若BAC2，则BDA （用含 的代数式表示） （2）求证：OCAD； 若 E 为 OC 的中点，求的值 （3）若 x，y，求 y 关于 x 的函数关系式 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1下列各数，最小的数是（ ） A2020 B0
11、 C D1 【分析】由于正数大于 0，0 大于负数，要求最小实数，只需比较2020 与1 即可 【解答】解：202010， 最小的数是2020 故选：A 【点评】本题考查的有理数大小的比较，依据是：正数大于 0，0 大于负数，两个负数绝 对值大的反而小 2下列运算正确的是（ ） Aa10a2a5 Ba2+a2a4 C （a+b）2a2+b2 D （a2）3a6 【分析】根据同底数幂的除法法则，合并同类项法则，完全平方公式以及幂的乘方运算 法则逐一判断即可 【解答】解：Aa10a2a8，故本选项不合题意； Ba2+a22a2，故本选项不合题意； C （a+b）2a2+2ab+b2，故本选项不合题
12、意； D （a2）3a6，故本选项符合题意 故选：D 【点评】本题主要考查了同底数幂的除法，合并同类项、完全平方公式以及幂的乘方， 熟记相关公式和运算法则是解答本题的关键 3 “中国天眼”500 米口径球面射电望远镜的反射总面积约 25 万平方米，是世界射电望远 镜之最，其中 25 万用科学记数法表示为（ ） A25105 B0.25106 C2.5105 D2.5106 【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为 a10n，其中 1|a|10，n 为整数位数1，据此判断即可 【解答】解：25 万2500002.5105， 故选：C 【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，科
13、学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动 了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原 数的绝对值1 时，n 是负数 4在防治新型冠状病毒的例行体温检查中，检查人员将高出 37的部分记作正数，小亮在 一周内的体温测量结果分别为+0.1，0.3，0.5，+0.1，+0.2，0.6，0.4，那么他一 周内所测量体温的平均值为（ ） A37.1 B37.2 C36.9 D36.8 【分析】 根据正负数表示的意义， 求出这 7 个体温测量结果的平均数， 再加上 37即可 【解答】解：
14、 （+0.10.30.5+0.1+0.20.60.4）70.2（） ， 0.2+3736.8（） 故选：D 【点评】本题考查了算术平均数：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的 个数它是反映数据集中趋势的一项指标也考查了正数与负数 5若正 n 边形的一个内角为 135，那么 n 的值为（ ） A12 B10 C8 D7 【分析】根据多边形的相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数，再根据多 边形的边数等于外角和除以每一个外角的度数进行计算即可得解 【解答】解：正 n 边形的一个内角为 135， 正 n 边形的一个外角为 18013545， n360458 故选：C 【点评】本题考
15、查了多边形的外角，利用多边形的边数等于外角和除以每一个外角的度 数是常用的方法，求出多边形的每一个外角的度数是解题的关键 6若 b0，则二次函数 yx2+bx1 的图象的顶点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】由 a10 得到此函数的开口向上，由 b0，a0，得到对称轴 x0， 即对称轴位于 y 轴的右侧即可能是位于第一或第四象限；由 c10 得到与 y 轴的 交点为在 y 轴的负半轴上，可能位于第三或第四象限，由此可以确定二次函数 yx2+bx 1 的图象的顶点的位置 【解答】解：a10， 此函数的开口向上， b0，a0， 对称轴 x0， 即对称轴位于 y 轴的
16、右侧， 即可能是位于第一或第四象限； c10， 与 y 轴的交点为在 y 轴的负半轴上， 可能位于第三或第四象限 二次函数 yx2+bx1 的图象的顶点在第四象限 故选：D 【点评】此题主要考查了二次函数的图象与性质 7正比例函数图象经过不同象限的两点 A（m，1） ，B（5，n） ，则下列判断正确的是 （ ） Am0，n0 Bm0，n0 Cm0，n0 Dm0，n0 【分析】根据正比例函数的性质可知，函数图象在第一、三象限或者第二、四象限，从 而可以判断 m、n 的正负情况，从而可以解答本题 【解答】解：正比例函数图象经过不同象限的两点 A（m，1） ，B（5，n） ， m0，n0， 故选：A
17、 【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确正比例函数是 特殊的一次函数，知道正比例函数的性质，利用函数的思想解答 8如图，将扇形 OAB 沿弦 BC 向下折叠，AOB150，OA2，则图中阴影部分的周长 为（ ） A+4 B+4 C+2 D+2 【分析】根据弧长的计算公式计算即可 【解答】解：将扇形 OAB 沿弦 BC 向下折叠，AOB150，OA2， 图中阴影部分的周长+22+4， 故选：A 【点评】本题考查了弧长的计算，折叠的性质，正确的识别图形是解题的关键 9 如图， 在平面直角坐标系中， O 为坐标原点， 点 A 在第一象限， 点 B 在 x 轴的正半轴上， 点
18、 G 为OAB 的重心，连接 BG 并延长，交 OA 于点 C，反比例函数 y（k0）的图 象经过 C，G 两点若AOB 的面积为 6，则 k 的值为（ ） A B C D3 【分析】过点 C 作 CNOB 于 N，GMOB 于 M，如图，利用三角形重心性质得 BG 2CG，再根据平行线分线段成比例定理得到，则可设 GM2a，则 CN 3a，所以 G（，2a） ，C（，3a） ，接着利用 BM：BN2：3 得到 BN3MN， 然后根据 SOBCSOAB3 得到3a3，从而可求出 k 的值 【解答】解：过点 C 作 CNOB 于 N，GMOB 于 M，如图， 点 G 为OAB 的重心， BG2C
19、G， GMCN， ， 设 GM2a，则 CN3a， G（，2a） ，C（，3a） ， BM：BN2：3， BN3MN3（）， OBON+BN+， BC 为OAB 的中线， SOBCSOAB63， 即3a3， k 故选：B 【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点也考查了 反比例函数图象上点的坐标特征和平行线分线段成比例定理 10如图，已知大矩形 ABCD 由四个小矩形组成，其中 AECG，则只需要知道 其中一个小矩形的面积就可以求出图中阴影部分的面积，这个小矩形是（ ） A B C D 【分析】由矩形的性质得出 ABCD，FPCG，则 BEDG，求出阴影部分的面积 B
20、FD 的面积BFP 的面积BFBE矩形面积，即可得出答案 【解答】解：如图所示： 四边形 ABCD 和四边形是矩形， ABCD，FPCG， AECG， BEDG， 阴影部分的面积BFD 的面积BFP 的面积BFCDBFFPBF （CDCG）BFDGBFBE矩形面积， 故选：B 【点评】本题考查了矩形的性质、三角形面积等知识；熟练掌握矩形的性质，证出阴影 部分的面积矩形面积是解题的关键 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 11若二次根式有意义，则 x 的取值范围是 x1 【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于 0，列出不等式即可求出 x 的取值 范围 【解答】解：根据二次根式有
21、意义的条件，x10， x1 故答案为：x1 【点评】此题考查了二次根式有意义的条件，只要保证被开方数为非负数即可 12分解因式：2m24m+2 2（m1）2 【分析】原式提取 2，再利用完全平方公式分解即可 【解答】解：原式2（m22m+1） 2（m1）2 故答案为：2（m1）2 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本 题的关键 13命题“对角线相等”的逆命题是 如果有两条线段相等，那么这两条线段是对角线 【分析】交换命题的题设和结论即可写出该命题的逆命题 【解答】解：命题“对角线相等”的逆命题是：如果有两条线段相等，那么这两条线段 是对角线 故答案为：如
22、果有两条线段相等，那么这两条线段是对角线 【点评】本题考查了命题与定理，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度 不大 14如图，ABC 为正三角形，BD 是角平分线，点 F 在线段 BD 上移动，直线 CF 与 AB 交于点 E，连结 AF，当 AEAF 时，BCE 20 度 【分析】根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质以及三角形的内角和即可得 到结论 【解答】解：ABC 为正三角形，BD 是角平分线， ABC60，BDAC， ABDCBD30，ABBC， BFBF， ABFCBF（SAS） ， BAFBCF， 设BAFBCF， AEF60+， AEAF， AEFAFE60+，
23、 60+60+180， 20， BCE20， 故答案为：20 【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定 理，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键 15已知二次函数 yax2+bx6（a0）的图象与 x 轴的交点 A 坐标为（n，0） ，顶点 D 的 坐标为（m，t） ，若 m+n0，则 t 8 【分析】 求出函数与 x轴另外一个交点的坐标， 则设抛物线的表达式为： ya （xn）（x+3n） a（x2+2nx3n2）ax2+bx6，则3an26，即可求解 【解答】解：函数的对称轴为直线 xmn， 由中点公式得，函数与 x 轴另外一个交点的坐标为（3n，0）
24、， 则设抛物线的表达式为：ya（xn） （x+3n）a（x2+2nx3n2）ax2+bx6 即：3an26，解得：an22， 当 xmn 时，ya（x2+2nx3n2）4an28t， 故答案为8 【点评】本题考查的是抛物线与 x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求 学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数 特征 16如图，在平面直角坐标系中，以点 A（0，2）为圆心，2 为半径的圆交 y 轴于点 B已 知点 C（2，0） ，点 D 为A 上的一动点，以 CD 为斜边，在 CD 左侧作等腰直角三角形 CDE，连结 BC，则BCE 面积的最小值为 4
25、 【分析】设出点 E（m，n） ，先构造出CMEEND（AAS） ，进而确定出点 D（m+n， n+2m） ，再利用 AD2，建立方程，利用两点间的距离得出点 E 是以 O 为圆心，为 半径的圆上，即可得出结论 【解答】解：如图，设 E（m，n） ， 过点 E 作 EMx 轴于 M，过点作 DNEM，交 ME 的延长线于 N， CMEEND90， MCE+MEC90， CDE 是等腰直角三角形， CEDE，CED90， NED+MEC90， MCENED， CMEEND（AAS） ， EMDNn，CMEN2m， D（m+n，n+2m） ， 点 D 在以 A（0，2）为圆心半径为 2 的圆上，
26、连接 AD，则 AD2， 2， ， 即， 点 E 在以点 O 为圆心，为半径的圆上， （到定点（0，0）的距离是的点的轨迹） ， 以点 A（0，2）为圆心，2 为半径的圆交 y 轴于点 B， B（0，4） ， OB4， C（2，0） ， OC2， BC2， 过点 O 作 OHBC 于 H， OH， 设点 E 到 BC 的距离为 h， SBCEBChhh， h 最小时，SBCE最小，而 h最小OH2， SBCE 最小（）4， 故答案为：4 【点评】此题主要考查了三角形的面积公式，圆的性质和定义，全等三角形的判定和性 质，确定出点 D 的坐标是解本题的关键，判断出点 E 的轨迹是解本题的难点 三解
27、答题（共三解答题（共 8 小题）小题） 17计算： （1） （） 1（ 1.41）0+|2+tan45| （2）解方程： 【分析】 （1）本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次 根式化简 5 个知识点在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的 运算法则求得计算结果； （2）去分母；求出整式方程的解；检验；得出结论 【解答】解： （1） （） 1（ 1.41）0+|2+tan45| 31+|2+1| 31+|2+| 31+2 4； （2）， 去分母得：x12（x+1） ， 解得：x3， 经检验 x3 是分式方程的解 故原方程的解为 x3 【点评】本题主要考
28、查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解决 此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、 二次根式等知识点的运算同时考查了解分式方程 18如图，为 44 的正方形网格图，ABC 的顶点都在网格格点上（每个小正方形的顶点 称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形） （1）在图 1，图 2，图 3 中分别画一个与ABC 有一公共边且与ABC 成轴对称的三角 形 （2）在图 4 中画出一个满足要求的格点DEF，要求：DEF 与ABC 相似，且相似 比的值为无理数 （画出一种即可） 【分析】 （1）根据轴对称的性质即可在图 1，图 2，图 3 中分别
29、画一个与ABC 有一公共 边且与ABC 成轴对称的三角形； （2）根据网格即可在图 4 中画出一个满足要求的格点DEF，DEF 与ABC 相似， 且相似比的值为无理数 【解答】解：如图， （1）图 1，图 2，图 3 中的三角形即为所求； （2）图 4 中DEF 即为所求 【点评】本题考查了作图应用与设计作图，解决本题的关键是掌握轴对称性质 19为了防范新冠肺炎疫情，某校在网络平台开展防疫宣传，并出了 6 道选择题，对甲、乙 两个班级学生（各有 40 名学生）的答题情况进行统计分析，得到统计表如下： 答对的题数 0 1 2 3 4 5 6 甲班 0 2 3 4 17 12 2 乙班 0 1 5
30、 3 15 14 2 请根据以上信息，解答下列问题： （1）甲班学生答对的题数的众数为 4 ； （2）若答对的题数大于或等于 5 道的为优秀，则乙班该次考试的优秀率为 40% ； （3）从甲、乙两班答题全对的学生中随机抽取 2 人做学习防疫知识心得交流，通过画树 状图或列表法，求抽到的 2 人来自同一个班级的概率 【分析】 （1）直接根据众数的概念求解可得； （2）用答对的题数大于或等于 5 道的人数和除以乙班被调查的总人数即可得； （3）画树状图列出所有等可能结果，从中找到抽到的 2 人来自同一个班级的结果数，再 根据概率公式求解可得 【解答】解： （1）甲班学生答对的题数的众数为 4， 故
31、答案为：4； （2）乙班该次考试的优秀率为100%40%， 故答案为：40%； （3）画树状图如下： 由树状图知共有 12 种等可能结果，其中抽到的 2 人来自同一个班级的有 4 种结果， 抽到的 2 人来自同一个班级的概率为 【点评】 本题主要考查了众数及列表法与树状图法， 解题的关键是弄清题意， 看懂图表， 利用树状图列出所有等可能结果 20如图，一次函数 y1kx+b 的图象分别交 x 轴，y 轴于 A，B 两点，交反比例函数 y2 的图象于 C，D 两点，B（0，3） ，D（2，1） （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）请直接写出当 y2y1时，x 的取值范围； （3）点 E
32、 为反比例函数 y2的图象上一点，横坐标为 m，若将点 E 向右平移 2 个单位 后刚好落在一次函数 y1kx+b 的图象上，求 m 的值 【分析】 （1）把 B、D 两点的坐标代入即可求出两个函数关系式； （2）求出点 C 的坐标，根据函数的图象，可以直接得出当 y2y1时，x 的取值范围； （3）设出点 E 的坐标，表示出其对应点的坐标，根据平移前后坐标之间的关系列方程求 解即可 【解答】解： （1）把 B（0，3） ，D（2，1）代入一次函数 y1kx+b 得， ，解得，k2，b3， 一次函数的关系式为 y2x+3， 把 D（2，1）代入反比例函数关系式得，a2（1）2， 反比例函数的关
33、系式为 y； （2）由题意得， ，解得， D（2，1） ， C（，4） ， 根据图象可知，当 y2y1时，x 的取值范围为x0 或 x2 （3）设平移后落在 y2x+3 上的对应点为 E， 则 E（m，） ，E（m+2，2m1） 因此有：2m+1， 解得，m1，m2， 经检验，均符合题意， 故 m 的值为：或 【点评】考查反比例函数、一次函数的图象和性质，待定系数法是求函数关系式常用的 方法，数形结合有利于得出不等式的解集 21如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 D，过点 D 作 DEAC 于点 E （1）求证：DE 为O 的切线； （2）若 AB4，ABC30
34、，求阴影部分的面积 【分析】（1） 连接 OD， 如图， 利用等腰三角形的性质和平行线的判定方法证明 ODAC， 则利用 DEAC 得到 ODDE，然后根据切线的判定方法得到结论； （2）过点 O 作 OHBD 于 H，如图，利用垂径定理得到 BHDH，再计算出AOD 60，OH1，BH，然后利用扇形的面积公式，利用阴影部分的面积S扇形AOD+S OBD进行计算 【解答】 （1）证明：连接 OD，如图， ABAC， BC， OBOD， BODB， ODBC， ODAC， DEAC， ODDE， DE 为O 的切线； （2）过点 O 作 OHBD 于 H，如图，则 BHDH， BD30， AOD
35、B+ODB60，OHOB1， BHOH， BD2BH2， 阴影部分的面积S扇形AOD+SOBD +21 + 【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的 切线也考查了扇形面积的计算 22小明投资销售一种进价为每件 20 元的护眼台灯经过市场调研发现，每月销售的数量 y（件）是售价 x（元/件）的一次函数，其对应关系如表： x/（元/件） 22 25 30 35 y/件 280 250 200 150 在销售过程中销售单价不低于成本价，物价局规定每件商品的利润不得高于成本价的 60%， （1）请求出 y 关于 x 的函数关系式 （2）设小明每月获得利润为 w（元）
36、 ，求每月获得利润 w（元）与售价 x（元/件）之间 的函数关系式，并确定自变量 x 的取值范围 （3）当售价定为多少元/件时，每月可获得最大利润，最大利润是多少？ 【分析】 （1）根据题意和表格中的数据，可以求得 y 关于 x 的函数关系式； （2）根据题意和（1）中的函数关系式，可以写出每月获得利润 w（元）与售价 x（元/ 件）之间的函数关系式，并确定自变量 x 的取值范围； （3）将（2）中 w 与 x 的函数关系式化为顶点式，然后根据 x 的取值范围和二次函数的 性质可以得到当售价定为多少元/件时，每月可获得最大利润，最大利润是多少 【解答】解： （1）设 y 与 x 的函数关系式为
37、 ykx+b， ，得， 即 y 与 x 的函数关系式为 y10x+500； （2）由题意可得， w（x20）y（x20） （10x+500）10x2+700x10000， 在销售过程中销售单价不低于成本价，物价局规定每件商品的利润不得高于成本价的 60%， x20，x202060%， 20x32， 即每月获得利润 w（元）与售价 x（元/件）之间的函数关系式是 w10x2+700x10000 （20x32） ； （3）w10x2+700x1000010（x35）2+2250，20x32， 当 x32 时，w 取得最大值，此时 w2160， 答：当售价定为 32 元/件时，每月可获得最大利润，最
38、大利润是 2160 元 【点评】本题考查一次函数的应用、二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利 用一次函数的性质和二次函数的性质解答 23定义：如果将ABC 与DEF 各分割成两个三角形，且ABC 所分的两个三角形与 DEF 所分的两个三角形分别对应相似，那么称ABC 与DEF 互为“近似三角形” ，将 每条分割线称为“近似分割线” （1）如图 1，在 RtABC 和 RtDEF 中，CF90，A30，D40， 请判断这两个三角形是否互为“近似三角形”？如果是，请直接在图 1 中画出一组分割 线，并注明分割后所得两个小三角形锐角的度数；若不是，请说明理由 （2）判断下列命题是真命题还是假
39、命题，若是真命题，请在括号内打“” ；若是假命 题，请在括号内打“” 任意两个直角三角形都是互为“近似三角形” ； 两个“近似三角形”只有唯一的“近似分割线” ； 如果两个三角形中有一个角相等， 那么这两个三角形一定是互为 “近似三角形” （3）如图 2，已知ABC 与DEF 中，AD15，B45，E60，且 BCEF+，判断这两个三角形是否互为“近似三角形”？如果是，请在图 2 中 画出不同位置的“近似分割线” ，并直接分别写出“近似分割线”的和；如果不是，请说 明理由 【分析】 （1）根据互为“近似三角形”即可得出结论； （2）根据互为“近似三角形”的意义，判断出是假命题，画图说明即可得出
40、结论； （3）如图 5，先判断出BCMFEN（ASA） ，得出 CMFN，再构造出直角三角形， 即可得出结论； 如图 6，同（1）的方法即可得出结论 【解答】解： （1）这两个三角形是互为“近似三角形” ，如图 1 所示， ； （2）任意两个直角三角形都是互为“近似三角形” ，是真命题，如图 2 所示， ， 两个“近似三角形”只有唯一的“近似分割线” ，假命题，如图 3 所示， 在ABC 与DEF 中，AD15，B45，E60； 如果两个三角形中有一个角相等，那么这两个三角形一定是互为“近似三角形” ，是假 命题， 如图 4 所示，一个顶角为 20的等腰三角形和底角为 20的等腰三角形； ，
41、故答案为：，； （3）这两个三角形是互为“近似三角形” ， 如图 5， 在BCM 和FEN 中， BCMFEN（ASA） ， CMFN， 过点 M 作 MHBC 于 H， 在 RtMHC 中，设 CHx，则 MHx，CM2x， 在 RtBHC 中，BHMHx， BCx+x+， x， CM2， “近似分割线”的和为 CM+FN4； 同的方法得，CBMFEN（ASA） ， BMEN， 过点 C 作 CHBM 于 H， 在 RtBHC 中，BHCH1+， 在 RtCHM 中，CM2CH2+2，MHCH3+， NEBM4+2， “近似分割线”的和为 CM+EN6+4， 即“近似分割线”的和为 6+4或
42、 4 【点评】此题是三角形综合题，主要考查了新定义，相似三角形的判定和性质，解直角 三角形，根据题意画出图形是解本题的关键 24如图，在锐角等腰三角形 ABC 中，ABAC，点 O 为ABC 外接圆的圆心，连结 OC， 过点 B 作 AC 的垂线，交O 于点 D，交 OC 于点 E，交 AC 于点 F，连结 AD 和 CD （1）若BAC2，则BDA 90 （用含 的代数式表示） （2）求证：OCAD； 若 E 为 OC 的中点，求的值 （3）若 x，y，求 y 关于 x 的函数关系式 【分析】 （1）先判断出CAGBAC，进而得出ACB90，即可得出结 论； （2）先判断出OCAOAC，再判
43、断出CBF，得出CADCBF， 进而得出CADOCA，即可得出结论； 先判断出OEHCEF90，再判断出OHEBHG90，进而得出 OEHOHE，即 OEOHa，再判断出 OAOC2a，进而得出 AH3a，即可得 出结论； （3）先判断出CBDBCM，进而判断出BGHCGM（ASA） ，得出 HGMG， 设 MGm，O 的半径为 r，进而得出 OGrm，AG2rm，AH2r2m，即可得 出 y2，再判断出ACDBCE，得出，进而得出 x，即 AC24xCG2，再利用勾股定理得出 CG，在 RtCOG 中，CG ，进而得出，化简得出，即可得出结 论 【解答】解： （1）记 AO 交 BD 于 H
44、，交 BC 于 G， 点 O 是等腰三角形ABC 的外接圆的圆心， AG 平分BAC，AGBC， CAGBAC， ACB90， BDAACB90， 故答案为：90； （2）如图 1，由（1）知，OAC， OAOC， OCAOAC， 由（1）知，ACB90， BDAC， BFC90， CBF90ACB， CADCBF， CADOCA， OCAD； 由知，OACCAD， BDAC， AHAD， 设 OHa， 在 RtEFC 中，OCA， OEHCEF90， 在 RtBGF 中，CBF， OHEBHG90， OEHOHE， OEOHa， 点 E 是 OC 的中点， OC2a， OAOC2a， AHOA+OH2a+a3a， ； （3）如图 2， 记 AO 与O 的另一个交点为 M，连接 CM， 由（1）知，CBDBAG， BCMBAG， CBDBCM， 由（1）知，AGBC， ABAC， BGCG， BGHCGM（ASA） ， HGMG， 设 MGm，O 的半径为 r， OGrm，AG2rm，AH2r2m， 由（2）知，ADAH2r2m， y， y2， BDAC， AFB90， ABD90BAC902， ACDABD902，
