1、如图，点 A 是量角器直径的一个端点，点 B 在半圆周上，点 P 在上，点 Q 在 AB 上，且 PBPQ若点 P 对应 135（45） ，则PQB 的度数为（ ） A65 B67.5 C60 D80 4 （3 分）我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法 “牟合方盖” 是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体如 图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的俯视图是（ ） A B C D 5 （3 分）下面两个统计图反映的是甲、乙两所学校三个年级的学生在各校学生总人数中的 占比情况，下列说法错误的是（ ） 第 2 页（共 30 页） A甲
2、校中七年级学生和八年级学生人数一样多 B乙校中七年级学生人数最多 C乙校中八年级学生比九年级学生人数少 D甲、乙两校的九年级学生人数一样多 6 （3 分）抛物线 yax2+bx+c 的顶点为（1，3） ，与 x 轴的交点 A 在点（3，0）和（ 2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论，其中正确结论的个数为（ ） 若点 P（3，m） ，Q（3，n）在抛物线上，则 mn； ca+3； a+b+c0； 方程 ax2+bx+c3 有两个相等的实数根 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 7 （
3、3 分）2019 年 4 月 10 日，人类首次看到黑洞，该黑洞的质量是太阳的 65 亿倍，距离地 球大约 55000000 光年，将数据 55000000 用科学记数法表示为 8 （3 分）不等式组的解为 9 （3 分）已知 、 是一元二次方程 x24x10 的两实数根，则代数式 2（+） 10 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，AC5cm，BC12cm，将ABC 绕点 B 第 3 页（共 30 页） 顺时针旋转 60，得到BDE，连接 DC 交 AB 于点 F，则ACF 与BDF 的周长之和 为 cm 11 （3 分）如图，在 RtABC 中，AB3，BC4，ABC90，过
4、B 作 A1BAC，过 A1作 A1B1BC，得阴影 RtA1B1B；再过 B1作 B1A2AC，过 A2作 A2B2BC，得阴影 Rt A2B2B1； 如 此 下 去 请 猜 测 这 样 得 到 的 所 有 阴 影 三 角 形 的 面 积 之 和 为 12 （3 分）能使 6|k+2|（k+2）2成立的 k 值为 三、 （本大题共三、 （本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 30 分）分） 13 （6 分） （1）先化简，再求值： （a2）2+a（a+4） ，其中； （2）解方程： 14 （6 分）如图，图，图均为由菱形 ABCD 与圆组合成的轴对称图形请你只用无刻 度的
5、直尺，分别在图（已知 A，C 两点在O 内，B，D 两点在O 上） ，图（已知 A，C，D 三点在O 外，点 B 在O 上，且A90）中找出圆心 O 的准确位置 15 （6 分）如图，一块余料 ABCD，ADBC，现进行如下操作：以点 B 为圆心，适当长为 第 4 页（共 30 页） 半径画弧，分别交 BA，BC 于点 G，H；再分别以点 G，H 为圆心，大于GH 的长为半 径画弧，两弧在ABC 内部相交于点 O，画射线 BO，交 AD 于点 E （1）求证：ABAE； （2）若A100，求EBC 的度数 16 （6 分）一个不透明的布袋里装有 16 个只有颜色不同的球，其中红球有 x 个，白
6、球有 2x 个，其他均为黄球，现甲同学从布袋中随机摸出 1 个球，若是红球，则甲同学获胜，甲 同学把摸出的球放回并搅匀，由乙同学随机摸出 1 个球，若为黄球，则乙同学获胜 （1）当 x3 时，谁获胜的可能性大？ （2）当 x 为何值时，游戏对双方是公平的？ 17 （6 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 y 的图象在第二象限交于点 B，与 x 轴交于点 C，点 A 在 y 轴上，满足条件：CACB，且 CACB，点 C 的坐标为（3，0） ，cosACO （1）求反比例函数的表达式； （2）直接写出当 x0 时，kx+b的解集 四、 （本大题四、
7、（本大题 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 18 （8 分）某文具店销售甲、乙两种圆规，销售 5 只甲种、1 只乙种圆规，可获利润 25 元； 销售 6 只甲种、3 只乙种圆规，可获利润 39 元 （1）问该文具店销售甲、乙两种圆规，每只的利润分别是多少元？ （2）在（1）中，文具店共销售甲、乙两种圆规 50 只，其中甲种圆规为 a 只，求文具店 第 5 页（共 30 页） 所获利 p 与 a 的函数关系式并求当 a30 时 p 的最大值 19 （8 分）下表是 2018 年三月份某居民小区随机抽取 20 户居民的用水情况： ： 月用水量/吨 15 20 25 3
8、0 35 40 45 户数 2 4 m 4 3 0 1 （1）求出 m ，补充画出这 20 户家庭三月份用水量的条形统计图； （2）据上表中有关信息，计算或找出下表中的统计量，并将结果填入表中： 统计量名称 众数 中位数 平均数 数据 （3）为了倡导“节约用水绿色环保”的意识，江赣市自来水公司实行“梯级用水、分类 计费” ，价格表如下： 月用水梯级标准 级（30 吨以内） 级（超过 30 吨的部分） 单价（元/吨） 2.4 4 如果该小区有 500 户家庭，根据以上数据，请估算该小区三月份有多少户家庭在级标 准？ （4）按上表收费，如果某用户本月交水费 120 元，请问该用户本月用水多少吨？
9、20 （8 分）如图，有一时钟，时针 OA 长为 6cm，分针 OB 长为 8cm，OAB 随着时间的变 化不停地改变形状求： （1）13 点时，OAB 的面积是多少？ （2）14 点时，OAB 的面积比 13 点时增大了还是减少了？为什么？ （3）问多少整点时，OAB 的面积最大？最大面积是多少？请说明理由 （4）设BOA（0180） ，试归纳 变化时OAB 的面积有何变化规律（不 证明） 第 6 页（共 30 页） 五、 （本大题五、 （本大题 2 小题，每小题小题，每小题 9 分，共分，共 18 分）分） 21 （9 分）如图 1，在一张ABCD 的纸片中，ABCD 的面积为 6，DC3
10、，BCD45， 点 P 是 BD 上的一动点（点 P 与点 B，D 不重合） 现将这张纸片分别沿 BD，AP 剪成三 块，并按图 2（注：图 2 中的，是将图 1 中的，翻转背面朝上，再拼接而成的） 所示放置 （1）当点 P 是 BD 的中点时，求 AP 的长 （2）试探究：当点 P 在 BD 的什么位置上时，MN 的长最小？请求出这个最小值 22 （9 分）如图，在ABC 中，以 AB 为直径的O 交 AC 于点 D，点 E 在 BC 上，连接 BD，DE，CDEABD （1）求证：DE 是O 的切线 （2）如图，当ABC90时，线段 DE 与 BC 有什么数量关系？请说明理由 （3）如图，
11、若 ABAC10，sinCDE，求 BC 的长 六、 （本大题共六、 （本大题共 12 分）分） 23 （12 分）已知二次函数 yax22ax2 的图象（记为抛物线 C1）顶点为 M，直线 l：y 第 7 页（共 30 页） 2xa 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B （1）对于抛物线 C1，以下结论正确的是 ； 对称轴是：直线 x1；顶点坐标（1，a2） ；抛物线一定经过两个定点 （2）当 a0 时，设ABM 的面积为 S，求 S 与 a 的函数关系； （3）将二次函数 yax22ax2 的图象 C1绕点 P（t，2）旋转 180得到二次函数的 图象（记为抛物线 C2） ，顶点为 N 当2
12、x1 时，旋转前后的两个二次函数 y 的值都会随 x 的增大而减小，求 t 的取值 范围； 当 a1 时，点 Q 是抛物线 C1上的一点，点 Q 在抛物线 C2上的对应点为 Q，试探究 四边形 QMQN 能否为正方形？若能，求出 t 的值，若不能，请说明理由 第 8 页（共 30 页） 2020 年江西省中等学校中考数学模拟试卷（年江西省中等学校中考数学模拟试卷（1） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题一、选择题（本大题 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分，每小题只有一个正确选项）分，每小题只有一个正确选项） 1 （3 分）在2，1，0，1 这四个数
13、中，最小的数是（ ） A2 B1 C0 D1 【分析】有理数大小比较的法则：正数都大于 0；负数都小于 0；正数大于一切 负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可 【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得 2101， 在2，1，0，1 这四个数中，最小的数是2 故选：A 【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明 确：正数都大于 0；负数都小于 0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大 的其值反而小 2 （3 分）下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可 【解答】解
14、：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项正确； D、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误； 故选：C 【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对 称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部 分重合 3 （3 分）如图，点 A 是量角器直径的一个端点，点 B 在半圆周上，点 P 在上，点 Q 在 第 9 页（共 30 页） AB 上，且 PBPQ若点 P 对应 135（45） ，则PQB 的度数为（ ）
15、A65 B67.5 C60 D80 【分析】连接 OP，如图，则AOP135，利用圆周角定理得到ABP67.5然后 根据等腰三角形的性质得到PQB 的度数 【解答】解：连接 OP，如图，则AOP135， ABPAOP67.5 PBPQ， PQBABP67.5 故选：B 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都 等于这条弧所对的圆心角的一半 4 （3 分）我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法 “牟合方盖” 是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体如 图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的俯视图是
16、（ ） A B C D 【分析】根据俯视图即从物体的上面观察得得到的视图，进而得出答案 【解答】解：该几何体的俯视图是： 第 10 页（共 30 页） 故选：A 【点评】此题主要考查了几何体的三视图；掌握俯视图是从几何体上面看得到的平面图 形是解决本题的关键 5 （3 分）下面两个统计图反映的是甲、乙两所学校三个年级的学生在各校学生总人数中的 占比情况，下列说法错误的是（ ） A甲校中七年级学生和八年级学生人数一样多 B乙校中七年级学生人数最多 C乙校中八年级学生比九年级学生人数少 D甲、乙两校的九年级学生人数一样多 【分析】扇形统计图反映的部分与整体的关系，即各个部分占的比例大小关系，在一个
17、 扇形统计图中，可以直观的得出各个部分所占的比例，得出各部分的大小关系，但在不 同的几个扇形统计图中就不能直观看出各部分的大小关系，虽然比例较大，代表的数量 不一定就多，还与总体有关 【解答】解：甲校中七年级学生占全校的 35%，和八年级学生人数也占全校的 35%，由 于甲校的人数是一定的，因此甲校中七年级学生和八年级学生人数一样多是正确的； 乙校中七年级占 45%，而其他两个年级分别占 25%，30%，因此 B 是正确的； 乙校中八年级学生占 25%，比九年级学生人数占 30%由于整体乙校的总人数是一定的， 所以 C 是正确的； 两个学校九年级所占的比都是 30%，若两个学校的总人数不同他们
18、也不相等，故 D 是 错误的， 故选：D 【点评】考查对扇形统计图所反映的各个部分所占整体的百分比的理解，扇形统计图只 第 11 页（共 30 页） 反映部分占总体的百分比，百分比相同，代表的数量不一定相等 6 （3 分）抛物线 yax2+bx+c 的顶点为（1，3） ，与 x 轴的交点 A 在点（3，0）和（ 2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论，其中正确结论的个数为（ ） 若点 P（3，m） ，Q（3，n）在抛物线上，则 mn； ca+3； a+b+c0； 方程 ax2+bx+c3 有两个相等的实数根 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】通过比较点 P（3，m）和 Q（3，
19、n）到直线 x1 的距离大小可对进行判 断；利用对称轴方程得到 b2a，再利用 x1 时，y3 可对进行判断；根据抛物线 的对称性得到抛物线与 x 轴的另一个交点 A 在点（0，0）和（1，0）之间，则利用当 x 1 时，y0 可对进行判断；根据抛物线 yax2+bx+c 的顶点为（1，3）可对进 行判断 【解答】解：抛物线 yax2+bx+c 的顶点为（1，3） ， 抛物线的对称轴为直线 x1， 而点 P（3，m）比 Q（3，n）到直线 x1 的距离小， mn；所以错误； 1， b2a， x1 时，y3， ab+c3， a2a+c3，即 ca+3，所以正确； 抛物线的对称轴为直线 x1，抛物
20、线与 x 轴的一个交点 A 在点（3，0）和（2， 0）之间， 第 12 页（共 30 页） 抛物线与 x 轴的另一个交点 A 在点（0，0）和（1，0）之间， 当 x1 时，y0， 即 a+b+c0，所以正确； 抛物线 yax2+bx+c 的顶点为（1，3） ， 方程 ax2+bx+c3 有两个相等的实数根，所以正确 故选：C 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 yax2+bx+c（a0） ， 二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小当 a0 时，抛物线向上开口；当 a0 时， 抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置 当 a 与 b 同
21、号 时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴右；常 数项 c 决定抛物线与 y 轴交点位置：抛物线与 y 轴交于（0，c） 抛物线与 x 轴交点个数 由决定：b24ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；b24ac0 时，抛物线 与 x 轴有 1 个交点；b24ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 7 （3 分）2019 年 4 月 10 日，人类首次看到黑洞，该黑洞的质量是太阳的 65 亿倍，距离地 球大约 55000000
22、光年，将数据 55000000 用科学记数法表示为 5.5107 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：550000005.5107 故答案为：5.5107 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其 中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 8 （3 分）不等式组的解为 1x9 【分析】分别求出各不等式的解集
23、，再求出其公共解集即可 【解答】解：， 由得，x1， 由得，x9， 第 13 页（共 30 页） 故此不等式组的解集为：1x9 故答案为：1x9 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中 间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键 9 （3 分）已知 、 是一元二次方程 x24x10 的两实数根，则代数式 2（+） 9 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案 【解答】解：根据题意，得 +4，1， 所以 2（+） 12418 9 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基 础题型 10 （3 分）如图，在 RtABC 中，A
24、CB90，AC5cm，BC12cm，将ABC 绕点 B 顺时针旋转 60，得到BDE，连接 DC 交 AB 于点 F，则ACF 与BDF 的周长之和 为 42 cm 【分析】根据将ABC 绕点 B 顺时针旋转 60，得到BDE，可得ABCBDE， CBD60， BDBC12cm， 从而得到BCD为等边三角形， 得到CDBCCD12cm， 在 RtACB 中，利用勾股定理得到 AB13，所以ACF 与BDF 的周长之和 AC+AF+CF+BF+DF+BDAC+AB+CD+BD，即可解答 【解答】解：将ABC 绕点 B 顺时针旋转 60，得到BDE， ABCBDE，CBD60， BDBC12cm，
25、 BCD 为等边三角形， CDBCCD12cm， 第 14 页（共 30 页） 在 RtACB 中，AB13， ACF 与BDF 的周长之和AC+AF+CF+BF+DF+BDAC+AB+CD+BD5+13+12+12 42（cm） ， 故答案为：42 【点评】本题考查了旋转的性质，解决本题的关键是由旋转得到相等的边 11 （3 分）如图，在 RtABC 中，AB3，BC4，ABC90，过 B 作 A1BAC，过 A1作 A1B1BC，得阴影 RtA1B1B；再过 B1作 B1A2AC，过 A2作 A2B2BC，得阴影 RtA2B2B1；如此下去请猜测这样得到的所有阴影三角形的面积之和为 2 【
26、分析】根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，那么阴影部 分面积与空白部分面积之比为 16：25，那么所有的阴影部分面积之和可求了 【解答】解：易得ABA1BA1B1， 相似比为 A1B：ABsinA4：5， 那么阴影部分面积与空白部分面积之比为 16：25， 同理可得到其他三角形之间也是这个情况， 那么所有的阴影部分面积之和应等于342 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方 12 （3 分）能使 6|k+2|（k+2）2成立的 k 值为 2，4 或8 【分析】根据解方程的方法可以求得 6|k+2|（k+2）2成立的 k 的值，本题得以解
27、决 【解答】解：6|k+2|（k+2）2 6|k+2|k+2|20， |k+2|（6|k+2|）0， |k+2|0 或 6|k+2|0， 解得，k2，k4 或 k8， 故答案为：2，4 或8 第 15 页（共 30 页） 【点评】本题考查换元法解一元二次方程，解题的关键是明确题意，会解一元二次方程 三、 （本大题共三、 （本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 30 分）分） 13 （6 分） （1）先化简，再求值： （a2）2+a（a+4） ，其中； （2）解方程： 【分析】 （1）本题应对方程去括号，合并同类项，将整式化为最简式，然后把 a 的值代 入即可； （2）本题应
28、对方程去分母，合并同类项，将 x 的系数化为 1 即可 【解答】解： （1）原式a24a+4+a2+4a （4 分） 2a2+4， 当时， 原式2（）2+4 （1 分） 10； （2）x12（x3） （3 分） x12x6 x5 经检验：x5 是原方程的根 【点评】本题考查了整式的化简整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，这 是各地中考的常考点，解分式方程一定要验根 14 （6 分）如图，图，图均为由菱形 ABCD 与圆组合成的轴对称图形请你只用无刻 度的直尺，分别在图（已知 A，C 两点在O 内，B，D 两点在O 上） ，图（已知 A，C，D 三点在O 外，点 B 在O 上，且A90）
29、中找出圆心 O 的准确位置 【分析】直接利用菱形的性质结合圆周角定理得出答案 【解答】解：如图，点 O 即为所求 第 16 页（共 30 页） 【点评】此题主要考查了点的与圆的位置关系以及菱形的性质，正确结合菱形的性质分 析是解题关键 15 （6 分）如图，一块余料 ABCD，ADBC，现进行如下操作：以点 B 为圆心，适当长为 半径画弧，分别交 BA，BC 于点 G，H；再分别以点 G，H 为圆心，大于GH 的长为半 径画弧，两弧在ABC 内部相交于点 O，画射线 BO，交 AD 于点 E （1）求证：ABAE； （2）若A100，求EBC 的度数 【分析】 （1）根据平行线的性质，可得AE
30、BEBC，根据角平分线的性质，可得 EBCABE，根据等腰三角形的判定，可得答案； （2）根据三角形的内角和定理，可得AEB，根据平行线的性质，可得答案 【解答】 （1）证明：ADBC， AEBEBC 由 BE 是ABC 的角平分线， EBCABE， AEBABE， ABAE； （2）由A100，ABEAEB，得 ABEAEB40 由 ADBC，得 第 17 页（共 30 页） EBCAEB40 【点评】本题考查了等腰三角形的判定，利用了平行线的性质，角平分线的性质，等腰 三角形的判定 16 （6 分）一个不透明的布袋里装有 16 个只有颜色不同的球，其中红球有 x 个，白球有 2x 个，其他
31、均为黄球，现甲同学从布袋中随机摸出 1 个球，若是红球，则甲同学获胜，甲 同学把摸出的球放回并搅匀，由乙同学随机摸出 1 个球，若为黄球，则乙同学获胜 （1）当 x3 时，谁获胜的可能性大？ （2）当 x 为何值时，游戏对双方是公平的？ 【分析】 （1）比较 A、B 两位同学的概率解答即可； （2）根据游戏的公平性，列出方程解答即可 【解答】解： （1）A 同学获胜可能性为，B 同学获胜可能性为， 因为， 当 x3 时，B 同学获胜可能性大； （2）游戏对双方公平必须有：， 解得：x4， 答：当 x4 时，游戏对双方是公平的 【点评】此题考查游戏的公平性问题，关键是根据 A、B 两位同学的概率
32、解答 17 （6 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 y 的图象在第二象限交于点 B，与 x 轴交于点 C，点 A 在 y 轴上，满足条件：CACB，且 CACB，点 C 的坐标为（3，0） ，cosACO （1）求反比例函数的表达式； （2）直接写出当 x0 时，kx+b的解集 第 18 页（共 30 页） 【分析】 （1）过点 B 作 BDx 轴于点 D，证明AOCCDB 得到 BD 与 CD 的长度， 便可求得 B 点的坐标，进而求得反比例函数解析式； （2）观察函数图象，当一次函数图象在反比例函数图象下方时的自变量 x 的取值范围便 是结果
33、 【解答】解： （1）过点 B 作 BDx 轴于点 D， CACB， BCD+ACOBCD+CBD90， ACOCBD， BDCAOC90，ACBC， AOCCDB（AAS） ， OCDB3，CDAO， cosACO AC， CDAO， ODOC+CD3+69， B（9，3） ， 把 B（9，3）代入反比例函数 y中，得 m27， 反比例函数为； （2） 当 x0 时， 由图象可知一次函数 ykx+b 的图象在反比例函数 y图象的下方时， 自变量 x 的取值范围是9x0， 当 x0 时，kx+b的解集为9x0 【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，熟练掌握函数解析式的求法以 第 1
34、9 页（共 30 页） 及利用数形结合根据函数图象的上下位置关系得出不等式的解集是重点 四、 （本大题四、 （本大题 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 18 （8 分）某文具店销售甲、乙两种圆规，销售 5 只甲种、1 只乙种圆规，可获利润 25 元； 销售 6 只甲种、3 只乙种圆规，可获利润 39 元 （1）问该文具店销售甲、乙两种圆规，每只的利润分别是多少元？ （2）在（1）中，文具店共销售甲、乙两种圆规 50 只，其中甲种圆规为 a 只，求文具店 所获利 p 与 a 的函数关系式并求当 a30 时 p 的最大值 【分析】 （1）根据题意可以列出相应的方程组，
35、然后解方程组即可解答本题； （2）根据题意可以列出文具店所获利 p 与 a 的函数关系式，然后根据当 a30，可以求 得 p 的最大值 【解答】解： （1）设文具店销售甲、乙两种圆规，每只的利润分别是 x 元、y 元， ， 解得 即文具店销售甲、乙两种圆规，每只的利润分别是 4 元、5 元； （2）由题意可得， p4a+5（50a）4a+2505a250a， a30， 当 a30 时，p 取得最大值，此时，p25030220， 即文具店所获利 p 与 a 的函数关系式是 p250a，当 a30 时 p 的最大值是 220 【点评】本题考查一次函数的应用，二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题
36、意， 列出相应的关系式，找出所求问题需要的条件 19 （8 分）下表是 2018 年三月份某居民小区随机抽取 20 户居民的用水情况： ： 月用水量/吨 15 20 25 30 35 40 45 户数 2 4 m 4 3 0 1 （1）求出 m 6 ，补充画出这 20 户家庭三月份用水量的条形统计图； （2）据上表中有关信息，计算或找出下表中的统计量，并将结果填入表中： 统计量名称 众数 中位数 平均数 数据 25 25 26.5 第 20 页（共 30 页） （3）为了倡导“节约用水绿色环保”的意识，江赣市自来水公司实行“梯级用水、分类 计费” ，价格表如下： 月用水梯级标准 级（30 吨以
37、内） 级（超过 30 吨的部分） 单价（元/吨） 2.4 4 如果该小区有 500 户家庭，根据以上数据，请估算该小区三月份有多少户家庭在级标 准？ （4）按上表收费，如果某用户本月交水费 120 元，请问该用户本月用水多少吨？ 【分析】 （1）根据各用户数之和等于数据总和即可求出 m 的值，根据表格数据补全统计 图； （2）根据众数、中位数、平均数的定义计算即可； （3）用达标的用户数除以总用户数，乘以 500 即可； （4）设该用户本月用水 x 吨，列方程 2.430+4（x30）120，解答即可 【解答】解： （1）m202443016， 这 20 户家庭三月份用电量的条形统计图： 故答
38、案为 6； （2）根据题意可知，25 出现的次数最多，则众数为 25， 由表可知，共有 20 个数据，则中位数为第 10、11 个的平均数，即为 25； 平均数为（152+204+256+304+451）2026.5， 第 21 页（共 30 页） 故答案为 25，25，26.5； （3）小区三月份达到级标准的用户数： （户） ， 答：该小区三月份有 400 户家庭在级标准； （4）2.43072120， 该用户本月用水超过了 30 吨， 设该用户本月用水 x 吨， 2.430+4（x30）120， 解得 x42， 答：该用户本月用水 42 吨 【点评】本题考查了条形统计图，熟练掌握条形统计图
39、的相关知识是解题的关键 20 （8 分）如图，有一时钟，时针 OA 长为 6cm，分针 OB 长为 8cm，OAB 随着时间的变 化不停地改变形状求： （1）13 点时，OAB 的面积是多少？ （2）14 点时，OAB 的面积比 13 点时增大了还是减少了？为什么？ （3）问多少整点时，OAB 的面积最大？最大面积是多少？请说明理由 （4）设BOA（0180） ，试归纳 变化时OAB 的面积有何变化规律（不 证明） 【分析】 （1）如图，过点 B 作 BEOA 于点 E在 13 点时，BOA30，根据三角 形的面积公式即可得到结论； （2）如图，过点 B 作 BEDA 于点 E在 14 点时，
40、BOA60，sin60， BE84（cm） ，根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）3 点时（即 15 时）或 9 点时（即 21 时）时OAB 的面积最大，如图根据 第 22 页（共 30 页） 三角形的面积公式即可得到结论； （4）当 0、180时不构成三角形；当 090时，SOAB的值随 增大而增 大；当 90180时，SOAB的值随 增大而减小 【解答】解： （1）如图，过点 B 作 BEOA 于点 E 在 13 点时，BOA30， BEOB4（cm） ， SOABOABE6412（cm2） ； （2）如图，过点 B 作 BEDA 于点 E 在 14 点时，BOA60，sin60，
41、BE84（cm） ， SOAB4612（cm2） 1212， 14 点时比 13 点时OAB 的面积增大了； （3）3 点时（即 15 时）或 9 点时（即 21 时）时OAB 的面积最大，如图 此时 BE 最长，BEOB8 cm，而 OA 不变， SOAOB6824（cm2） ； 第 23 页（共 30 页） （4）当 0、180时不构成三角形； 当 090时，SOAB的值随 增大而增大； 当 90180时，SOAB的值随 增大而减小 【点评】本题考查了三角形的面积，正确的理解题意是解题的关键 五、 （本大题五、 （本大题 2 小题，每小题小题，每小题 9 分，共分，共 18 分）分） 21
42、 （9 分）如图 1，在一张ABCD 的纸片中，ABCD 的面积为 6，DC3，BCD45， 点 P 是 BD 上的一动点（点 P 与点 B，D 不重合） 现将这张纸片分别沿 BD，AP 剪成三 块，并按图 2（注：图 2 中的，是将图 1 中的，翻转背面朝上，再拼接而成的） 所示放置 （1）当点 P 是 BD 的中点时，求 AP 的长 （2）试探究：当点 P 在 BD 的什么位置上时，MN 的长最小？请求出这个最小值 【分析】 （1）连接 AC 交 BD 于 P，根据平行四边形的性质得到 PDPB，即点 P 是 BD 的中点， 过D作DHAB于H， PEAB于E， 根据三角形的中位线的性质得
43、到PEDH， BEBH，根据已知条件得到 DH2，解直角三角形即可得到结论； （2）由题意得，CMCNAP，MCDPAB，NCBPAD，于是得到MCN 90，当 APBD 时，MN 的长最小，过 D 作 DHAB 于 H，根据勾股定理得到 BD ， 根据三角形的面积公式得到 AP， 根据勾股定理即可得到结论 【解答】解： （1）连接 AC 交 BD 于 P， 四边形 ABCD 是平行四边形， PDPB，即点 P 是 BD 的中点， 过 D 作 DHAB 于 H，PEAB 于 E， PEDH， PEDH，BEBH， ABCD 的面积为 6，DC3， 第 24 页（共 30 页） DH2， PE1
44、， BCD45， DAB45， AHDH2， BH1， HEBE， AE， AP； （2）由题意得，CMCNAP，MCDPAB，NCBPAD， MCD+NCB45， MCN90， 当 APBD 时，MN 的长最小， 过 D 作 DHAB 于 H， 由（1）求得 DH2，BH1 BD， APBD， SABDABDHBDAP， AP， CMCNAP， MN， MN 长的最小值是 第 25 页（共 30 页） 【点评】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，三角形准确性 的性质，正确的作出辅助线是解题的关键 22 （9 分）如图，在ABC 中，以 AB 为直径的O 交 AC 于点 D
45、，点 E 在 BC 上，连接 BD，DE，CDEABD （1）求证：DE 是O 的切线 （2）如图，当ABC90时，线段 DE 与 BC 有什么数量关系？请说明理由 （3）如图，若 ABAC10，sinCDE，求 BC 的长 【分析】 （1）先判断出BDC90，再判断出ABDODB，即可得出结论； （2）先判断出 BEDE，再判断出 CEDE，即可得出结论； （3）先利用三角函数求出求出 AB10，AD6，再用勾股定理求出 BD8，即可得出 结论 【解答】解： （1）证明：如图，连接 OD AB 为O 的直径， ADB90， CDE+BDEBDC90 CDEABD， ABD+BDE90 OBOD
